Построить график производной: График производной функции

Содержание

Построение графика функции с помощью производной, сопутствующие задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Введение

Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

1. исследование без производной;

2. исследование с помощью производной.

Построение графика и исследование функции без производной

При исследовании функции без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.

2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.

3. График этой функции симметричен относительно точки .

Пояснение

Рассмотрим функцию

Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).

Эта функция нечетная:

График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .

Рис. 1. График функции

При прибавлении 4 к функции график сдвинется на 4 единицы вверх по оси (см. Рис. 2): корни и пропадают, а корень сдвигается влево. Следовательно, график функции будет симметричен относительно точки .

Рис. 2. Схематичное изображение графиков функции и

Нам удалось установить, что функция имеет как минимум один корень, который меньше чем .

Построение графика и исследование функции с помощью производной

Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:

– критические точки

Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 3).

До точки функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно, – это точка максимума.

До точки функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.

Рис. 3. График производной функции

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

Можно сделать вывод, что функция возрастает от до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.

На рисунке 4 показан график функции . Этот график читается следующим образом:

Если аргумент возрастает от до , то функция возрастает от до 6; если аргумент от до 1, то функция убывает от 6 до 2; если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .

Рис. 4. График функции

Результаты исследования функции

1. при и при

2. при

3. – т. max

– т. min

3. . Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.

Задача

Найти число корней уравнения в зависимости от параметра .

Решение

1. Перенесем в правую часть уравнения:

2. Построим график функции (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Уравнение имеет один корень при каждом из множества , а также из множества .

Уравнение имеет два корня при и при .

Уравнение имеет три корня при всех из множества .

Ответ: 1 корень:

2 корня: ; ;

3 корня: .

Частные случаи для задачи

1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.

Ответ: уравнение имеет два корня при и при .

2. Найти наибольшее натуральное значение параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.

Решение

Уравнение имеет три корня при всех из множества . В это множество входят такие натуральные числа: 3, 4, 5. Наибольшее из них – это 5.

Ответ: .

Общий план построения графика и исследования функции

Общий план состоит из двух этапов:

1. Этап А: исследование без производной.

2. Этап Б: исследование с производной.

Этап А

1. Найти область определения функции .

2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).

3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять и вычислить .

4. Выяснить специфику функции:

— четность, нечетность, периодичность;

— наличие центра или оси симметрии.

5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).

Рис. 7. Эскиз графиков в окрестностях корня

6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя. Они могут определять вертикальные асимптоты.

7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .

Этап Б

1. Найти производную функции .

2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.

3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.

4. Построить и описать график функции .

Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где и – многочлены.

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр. 265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график .

Построение графиков функций — презентация онлайн

Похожие презентации:

План построения графика функции с помощью производной

Исследование функции. Построение графиков

Применение производной

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции

Схема исследования функции и построение графика

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

Исследование функции и построение ее графика

Точки перегиба функции, выпуклость графика функции

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

Построение
графиков
функций
ДЗ

2. План построения графика функции с помощью производной

1) Найти область определения функции и
определить точки разрыва если они существуют
2) Выяснить является ли функция четно или
нечетной, проверить её на периодичность
3) Найти точки пересечения графика с осями
координат, если это возможно
4) Найти стационарные и критические точки
5) Найти точки экстремума функции и
промежутки монотонности
6) Определить промежутки вогнутости,
выпуклости и точки перегиба графика функции
7) Найти координаты ещё нескольких точек (для
большей точности)

3.

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функцииПромежутки выпуклости и вогнутости
кривой можно находить с помощью
производной.
Теорема. (признак вогнутости и выпуклости)
Если вторая производная функции у=f(х) в
данном промежутке положительна, то
кривая вогнута в этом промежутке, а если
отрицательна – выпукла в этом
промежутке.

4. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:

1) Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х)
2) Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0
3) Отмечают полученные точки на числовой
прямой и получают несколько
промежутков области определения
функции
4) Устанавливают знаки второй
производной в каждом из полученных
промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом
промежутке кривая выпукла; если
f ΄΄(х)>0 — вогнута
Точкой перегиба кривой называется
такая точка, которая отделяет
выпуклую часть кривой от вогнутой её
части.

0
х0
Точкой перегиба кривой графика
функции будут те точки, в которых
f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё
вторая производная меняет знак.

6. Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции

Решение.
y x 6x 4
Найдем у΄(х) и у΄΄(х):
у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1)
Найдём стационарные точки второго порядка,
т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1
х = ±1 у΄΄(х)
4
2
—
+
-1
+
1
Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция
вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки
перегиба х= ±1

7. Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график

Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не
определена
Найдем стационарные точки:
т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0
тогда х=0 и х=-1 стационарные точки
Найдем точки экстремума:
f´(x) +
+
т.к.
f(x)
-1
и х=-1 – точка максимума
х= 0 – точка минимума
0
х
Найдем промежутки монотонности:
при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) — функция
возрастает
при x ϵ [-1; 0] — функция убывает
Найдем точки пересечения графика с
осями координат:
если х=0, то у=-1 => (0;-1)
если у=0, то х= -1 => (-1; 0)
Найдем ещё некоторые точки
(контрольные, дополнительные):
• т.

к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0
=> (-1; 0) -точка локального максимума
• т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1
=> (0;-1) -точка локального минимума
• если х=1, то у=4 => (1;4)
• если х=-2, то у=-5 => (-2;-5)
Удобнее все эти данные заполнять в виде
таблицы.
Составим таблицу:
х
(-∞;-1)
-1
f΄(х)
f(х)
+
↑
0
0
(-1;0)
max
(-1;0)
0
(0;+∞)
↓
0
-1
+
↑
(0;-1)
min
Найдем f ΄΄(х).
f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1)
f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5 — точка перегиба
т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0,
а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0
Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не
трудно
Построим график
функции:
у
4
-2 -1 0
1
-5
х

12. Исследовать функцию и построить её график

1) у = 3х² — х³
2) у = — 9х + х³
3) у = х³ — 3х² + 2
4) у = — х³ + 6х² — 5
5) у = 3х³ + х² — 8х – 7
6) у = (х)/(1+х²)
Работа
с графиками
функций
№ 1.

По графику функции ответьте
на вопросы
1) Отметьте стационарные
точки.
2) Что можно сказать о
производной в точке х2?
3) Назовите точки экстремума.
4) Что можно сказать о
производной на (−∞; х2]?
5) Укажите промежутки
возрастания функции.
6) Отметьте критические точки

15. Проверим ответы

1. х1,х3,х4
2. не существует
3. х2,х3,х4
4. f′(х) ≤ 0
5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция
возрастает
6. х2

16. № 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4,

f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3
б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2
График.
а)
3
-1
1
1
4

17. б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2

б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2
График.
2
0
-2
1
3
5

18. № 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет

максимум, имеет минимум.

19. № 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

20. № 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

21. Верно или не верно ? №1

1. График производной. Точки х= -1, х=1, х=2
являются точками максимума.
2. Производная функции в точке хо равна 0,
значит хо — критическая точка.
3. Производная функции не существует в
точке хо, значит хо — критическая точка.
4. Критическая точка является точкой
экстремума.
5. Точка экстремума является
критической точкой.
6. Функция y(x) непрерывна в точке
x=4, причем y’ (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0
на (4;7). Точка x=4 является точкой
минимума.

23. № 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание

у
Х1
Х3
Х2
0
Х4
х
1) Точка х1 – точка минимума. Да
2) Точка х1 – точка перегиба.
Нет
3) В точках х2 и х4 касательная
Да
параллельна оси абсцисс
4) В точке х3 производной не
Да
существует.

5) Точка х4 – точка экстремума Да
Да
6) Точка х4 – точка минимума
7) Точка х4 – стационарная точка Да
8) Точка х3 – точка экстремума Нет
9) Точка х2 – точка максимума Да

25. Используемые ресурсы

• А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа»
10-11 класс. Учебник,- М., Мнемозина, 2016
• А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа»
10-11 класс. Задачник,- М., Мнемозина, 2016
• Л.И. Мартышова «Открытые уроки алгебры и
начала анализа» 9-11 классы, — М., ВАКО,
2012

English Русский Правила

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Производная функции

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

Примеры построения графиков функций

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

Для построения графика функции y = f (x) желательно сначала провести исследование поведения функции y = f (x) по следующей схеме.

Найти область определения D ( f ).
Выяснить, является ли функция y = f (x) четной или нечетной.
Выяснить, является ли функция y = f (x) периодической.
Найти асимптоты графика функции.
Вычислить производную функции f ‘ (x) .
Найти критические точки функции y = f (x) .
Найти интервалы возрастания и убывания функции y = f (x) .
Найти экстремумы функции y = f (x) .
Найти точки пересечения графика функции y = f (x) с осями координат.
Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс Ox, то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.
Вычислить вторую производную функции f » (x) .
Найти интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вниз.
Найти точки перегиба графика функции y = f (x) .

Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.

Примеры построения графиков функций

Пример 1. Построить график функции

y = x³ + 8x² + 16x + 128

(1)

Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямая.

Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.

Функция (1) не является периодической.

Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа x₀

Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку

то делаем вывод, что наклонных асимптот у графика функции (1) нет.

Теперь вычислим производную функции (1):

y’ (x) = 3x² + 16x + 16 .

Поскольку y’ (x) существует для всех , то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых

y’ (x) = 0 .

Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых y’ (x) сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение

3x² + 16x + 16 = 0.

Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной y’ (x)

Рис.1

На интервалах и производная y’ (x) положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.

Рис.2

При переходе через точку x = – 4 производная функции y’ (x) меняет знак с «+» на «–» . Следовательно, точка x = – 4 является точкой максимума функции (1). При переходе через точку производная функции y’ (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, точка является точкой минимума функции (1).

Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–4) = 256 ,

Теперь вычислим вторую производную функции (1):

y» (x) = (y’ (x))‘ = (3x² + 16x + 16)‘ = 6x + 16 .

y» (x) = (y’ (x))‘ =
= (3x² + 16x + 16)‘ =
= 6x + 16 .

Вторая производная y» (x) обращается в нуль при . Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной y» (x)

Рис.3

При переходе через точку вторая производная функции y» (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, – точка перегиба графика функции (1). При функция (1) выпукла вверх, при функция (1) выпукла вниз.

Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).

Рис.4

Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью Ox , решим уравнение

x³ + 8x² + 16x + 128 = 0 ,

x² (x + 8) + 16 (x + 8) = 0 ,

(x + 8) (x² + 16) = 0 .

Таким образом, точка (– 8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью Ox . Точкой пересечения графика функции (1) с осью Oy будет точка (0; 128) .

На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).

Рис. 5

Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):

Рис.6

Пример 2. Построить график функции

(2)

Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки x = 0 , то есть .

Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.

Функция (2) не является периодической.

Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика функции (2), так как

Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:

(3)

Из формулы (3) получаем равенство

откуда вытекает, что прямая

y = x + 3

является наклонной асимптотой графика функции (2), как при , так и при .

Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):

(4)

Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):

Следовательно,

(5)

и стационарными точками функции (2) являются точки x = – 1 и x = 2 .

Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной y’ (x)

Рис.7

На интервалах , и производная y’ (x) положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале (0, 2) производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.

Рис.8

При переходе через точку x = – 1 производная функции y’ (x) знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку x = 2 производная функции y’ (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, точка x = 2 является точкой минимума функции (2).

Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–1) = 0 ,

Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):

Вторая производная y» (x) обращается в нуль при x = – 1 . Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной y» (x)

Рис.9

При переходе через точку x = – 1 вторая производная функции y» (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = – 1 – точка перегиба графика функции (2). При x < – 1 функция (2) выпукла вверх, при x > – 1 функция (2) выпукла вниз.

Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).

Рис.10

Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка (– 1; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью Ox , а точек пересечения графика функции (2) с осью Oy нет, поскольку x = 0 не входит в область определения функции (2).

На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).

Рис.11

Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис. 12):

Рис.12

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Применение производной к построению графиков функций (10 класс)

У-25

А- 10 класс

Тема: «Применение производной к построению графиков функций»

Тип урока: ОНЗ

Основные цели:

1) сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

2) тренировать универсальные учебные действия;

3) сформировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Материалы к занятию

Оборудование: проектор, компьютер, экран, слайды, плакаты, переносная координатная плоскость, таблица, плакат с эпиграфом.

Демонстрационный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремум; 3) схема построения графика функции; 4) подробный образец для самопроверки.

Раздаточный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) пробное задание; задание для первичного закрепления; 3) задания для этапа включения в систему знаний;

4) задания для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

− Доброе утро, ребята.

− Скажите, что нового вы узнали на предыдущих уроках? (Мы узнали, как с помощью производной найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы.)

− Сегодня вы продолжите исследовать функции с помощью производной.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности.

На слайде изображен график производной функции у = f (x):

а на доске алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы:

− Какие свойства функции вы можете определить по графику ее производной? (По графику производной можно определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

)

− Как по графику производной определить, где функция возрастает и где убывает? (Если производная положительна на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке; если производная отрицательна на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.)

− Укажите промежутки возрастания и убывания функции. (f(x) возрастает на промежутке (− ¥; − 3] и на отрезке [− 1; 4], f(x) убывает на отрезке [− 3; − 1] и на промежутке [4; + ¥).)

− Какие точки называют критическими? (Критические точки − это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.)

− Назовите критические точки функции.(− 3; − 1; 4; 7.)

− Как по графику производной найти точки экстремумов? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «−», то данная критическая точка является точкой максимума, если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «−» на «+», то данная критическая точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку не меняет знака, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

)

− Укажите точки максимума и точки минимума функции. (Точки максимума: х₁ = − 3;

х₂ = 4; точка минимума: х₃ = − 1.)

− Является ли точка х = 7 точкой экстремума? (Нет, так как нет смены знака производной, но в этой точке производная равна нулю, и график будет вести себя по-особому.)

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции

у = f(x), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, учитель последовательно открывает шаги алгоритма на доске.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

− Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у = − 3х⁵ + 5х³.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. Область определения функции: D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).

2. Производная функции:¦¢(х) = − 15х⁴ + 15х² = − 15х²(х² – 1) = − 15х² (х – 1)(х + 1).

Область определения производной: D() = D(f ) = R

3. Критические точки: при х = − 1, х = 0, х = 1.

4. Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, находим промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

f(x) возрастает на отрезке [− 1; 1], f(x) убывает на промежутке (− ¥; − 1] и на промежутке [1; + ¥).

− Что вы повторили?

− Какое следующее задание я вам предложу?

− С какой целью вам предлагается пробное задание?

Задание на затруднение.

− Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя данные исследования, построить график функции у = − 3х⁵ + 5х³.

− Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?

На доске карточки с формулировками возможных затруднений:

Я не могу построить график функции.

Я не могу доказать, что построил график функции правильно.

− Посмотрите на карточки и запишите номер той карточки, на которой сформулировано затруднение, которое может у вас возникнуть.

Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возможные затруднения.

3. Выявление причины затруднения.

− Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции.)

− Почему у вас возникнет затруднение? (Не знаем способа построения графиков, используя исследование функции. )

4. Построение проекта выхода из затруднения.

− Что вы используете для исследования функции? (Производную.)

− Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функции, то есть производную.)

− Сформулируйте тему урока. («Использование производной для построения графика».)

Тема урока открывается на доске.

− Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графика функции? (Использовали таблицы.)

− Теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?

(Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график.)

5. Реализация проекта выхода из затруднения.

На доске открывается пустая таблица:

х
¦^/(х)
¦(х)

− Вы исследовали функцию у = − 3х⁵ + 5х³.

− Перечислите шаги, которые вы выполняете при исследовании функции. (Находим область определения функции, указываем ее непрерывность, находим производную функции и ее область определения, находим критические точки, определяем промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.)

− Используя исследование, заполните первую строку таблицы. Что у вас получилось?

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)
¦(х)

− Что внесете во вторую строку? (Значения производной в критических точках, а также знаки производной на полученных промежутках. )

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)

− Что внесете в третью строку? (В третью строку вносим значения функции в критических точках и показываем стрелками возрастание и убывание функции на промежутках. )

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)		− 2		0		2

− Что необходимо зафиксировать в четвёртой строке? (Отметить характер экстремумов. )

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)		− 2		0		2
		min				max

− Куда надо перенести результаты, полученные в таблице? (Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость. )

− Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, можно посмотреть, какой является функция: четной или нечетной.)

На доске появляется график функции:

f(x) = − 3х⁵ + 5х³

− Итак, вы построили график функции. Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика функции.)

Алгоритм вывешивается на доску:

6. Первичное закрепление во внешней речи.

– Что теперь необходимо сделать? (Надо научиться использовать алгоритм для построения графиков.)

− Постройте теперь график функции f(x) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. Область определения функции: D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥), f(x) непрерывна на D(f).

2. Производная функции:

D() = D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥)

3. Критические точки:

при х = 2 и х = − 2, не существует − нет.

4. Таблица:

x			0	2
f’(x)	+	0	#	0	+
f(x)			#	4
		max	#	min

5. Дополнительные точки:

x	1	4
y	5	5

f (x) − нечетная

6. График функции:

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

– А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

Учащимся раздаются карточки:

Вариант 1.

По полностью проведенному исследованию построить график функции

Вариант 2.

По частично проведенному исследованию построить график функции

Вариант 3.

Исследовать функцию и построить ее график.

– Вам предлагается выполнить один из трёх вариантов по вашему выбору. Уровень сложности заданий повышается с увеличением номера варианта.

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний.

– Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Решение: (− ¥; − 4] È [4; + ¥).

2) Решение: корня при р < − 4 и р > 4; 1 корень при р = − 4 и р = 4; не имеет корней при − 4 < p < 4.

9. Рефлексия деятельности на уроке.

– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной. )

− Что вы создали? (Мы создали алгоритм построения графика.)

− Где вы сможете применить новые знания?

− Оцените свою деятельность на уроке: большой палец вверх, если вы поняли, как построить график функции, или вниз, если не все понятно.

Домашнее задание: п.24, № 300−301 (а, б), 304 (б)

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим функции и , которые непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма : если функция в точке имеет локальный экстремум, то .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа: , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если и , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции ;
2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу:
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке:

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции .
Решение . Используя таблицу производных найдем производную функции: . Найдем критические точки: , , . Нанесем числа и на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках:

Ответ : На промежутках и функция возрастает. На промежутке функция убывает. Точки экстремума: , .
Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .
Решение . 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции: .
2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции: .
3. Найдем критические точки второго рода: , .
4. Нанесем точку на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках:

Ответ : На промежутке функция выпукла вверх; на промежутке функция выпукла вниз; – точка перегиба графика функции.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение . 1. По формуле найдем производную данной функции: .
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение , откуда , .
3. Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке , поскольку она принадлежит данному отрезку: , , .

Ответ : , .

Приведем схему полного исследования функции .
1. Находим область определения функции.
2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.
3. Выясняем, является ли функция периодической.
4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.
5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:
а) находим критические точки первого рода;
б) находим промежутки возрастания и убывания функции;
в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.
7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:
а) находим критические точки второго рода;
б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;
в) находим точки перегиба графика функции.
8. Находим асимптоты графика функции.
9. Строим график функции.
10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.
11. Находим область значений функции.

Урок по теме «Применение производной к построению графиков» | План-конспект урока по алгебре (10 класс):

Алгебра и начала анализа, 10 класс

Тема: «Применение производной к построению графиков функций»

Тип урока: Освоение новых знаний

Основные цели:

1)сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

2) тренировать универсальные учебные действия;

Материалы к занятию

Демонстрационный материал: 1)задание для актуализации знаний; 2) алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремум; 3) схема построения графика функции; 4) подробный образец для самопроверки.

4) задания для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

− Доброе утро, ребята.

− Сегодня вы продолжите исследовать функции с помощью производной.

2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

На слайде изображен график производной функции у = f (x):

а на доске алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы:

1) D (f), непрерывность

2) f’(x) ,D(f’)

3) f’(x) = 0, f’(x) не существует

5) f(x) возрастает на (− ¥; х₁]и [х₂; + ¥), f(x) убывает на [х₁; х₂]

x_max = x₁ y_max = ¦(x₁),

x_min = x₂ y_min = ¦(x₂)

− Какие свойства функции вы можете определить по графику ее производной? (По графику производной можно определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. )

− Укажите промежутки возрастания и убывания функции.(f(x) возрастает напромежутке (− ¥; − 3]и наотрезке [− 1; 4], f(x) убывает на отрезке [− 3; − 1]и на промежутке [4; + ¥).)

− Назовите критические точки функции.(− 3; − 1; 4; 7.)

− Укажите точки максимума и точки минимума функции.(Точки максимума: х₁ = − 3;

х₂ = 4; точка минимума: х₃ = − 1.)

− Является ли точка х = 7 точкой экстремума?(Нет, так как нет смены знака производной, но в этой точке производная равна нулю, и график будет вести себя по-особому.)

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, учитель последовательно открывает шаги алгоритма на доске.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

− Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у = − 3х⁵ + 5х³.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. Область определения функции: D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).

2. Производная функции:¦¢(х) = − 15х⁴ + 15х² = − 15х²(х² – 1) = − 15х² (х – 1)(х + 1).

Область определения производной: D( ) = D(f ) = R

3. Критические точки: при х = − 1, х = 0, х = 1.

4.Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, находим промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

f(x) возрастает на отрезке [− 1; 1], f(x) убывает напромежутке (− ¥; − 1]и на промежутке [1; + ¥).

− Что вы повторили?

− Какое следующее задание я вам предложу?

− С какой целью вам предлагается пробное задание?

Задание на затруднение.

− Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?

На доске карточки с формулировками возможных затруднений:

Я не могу построить график функции.

Я не могу доказать, что построил график функции правильно.

Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возможные затруднения.

3. Выявление причины затруднения.

− Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

− Что вы используете для исследования функции? (Производную.)

− Сформулируйте тему урока. («Использование производной для построения графика».)

Тема урока открывается на доске.

− Теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?

(Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график. )

5. Реализация проекта выхода из затруднения.

На доске открывается пустая таблица:

х
¦^/(х)
¦(х)

− Вы исследовали функцию у = − 3х⁵ + 5х³.

− Используя исследование, заполните первую строку таблицы. Что у вас получилось?

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)
¦(х)

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)		− 2		0		2

− Что необходимо зафиксировать в четвёртой строке? (Отметить характер экстремумов.)

х	(− ¥; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	(0; 1)	1	(1 + ¥)
¦^/(х)	−	0	+	0	+	0	−
¦(х)		− 2		0		2
		min				max

На доске появляется график функции:

f(x) = − 3х⁵ + 5х³

− Итак, вы построили график функции. Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика функции.)

Алгоритм вывешивается на доску:

1) D (f), непрерывность

2) f’(x) ,D(f’)

3) f’(x) = 0, f’(x) не существует

4) таблица:

х	(− ¥; х₁)	х₁	(х₁; х₂)	х₂	(x₂; +¥)
¦^/(х)	+	0	−	0	+
¦(х)		¦(х₁)		¦(х₂)
		max		min

5) дополнительные точки; особенности функции

6) график

6. Первичное закрепление во внешней речи.

– Что теперь необходимо сделать? (Надо научиться использовать алгоритм для построения графиков.)

− Постройте теперь график функции f(x) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. Область определения функции: D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥), f(x) непрерывна на D(f).

2. Производная функции:

D( ) = D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥)

3. Критические точки:

при х = 2 и х = − 2, не существует − нет.

4. Таблица:

x			0	2
f’(x)	+	0	#	0	+
f(x)			#	4
		max	#	min

5. Дополнительные точки:

x	1	4
y	5	5

f (x) −нечетная

6. График функции:

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

– А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

Учащимся раздаются карточки:

Вариант 1.

По полностью проведенному исследованию построить график функции

Вариант 2.

По частично проведенному исследованию построить график функции

Вариант 3.

Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 1. /Оборотная сторона левого крыла доски/

1) D (f) = R, функция непрерывна.

2) y^| = 3x² – 6x

3) 3x² – 6x = 0; D (f^|) = R

х₁ = 0; х₂ = 2

+ − +

0 2

х	(− ¥; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +¥)
¦^/(х)	+	0	−	0	+
¦(х)		¦(0) = 4		¦(2) = 0
		max		min

6) график

Вариант 2. /Оборотная сторона правого крыла доски/

1) D (f) = R, функция непрерывна.

2) y^¢ = 6x² – 6

3) 6x² – 6 = 0; D (f^|) = R

х₁ = − 1; х₂ = 1

+ − +

− 1 1

x		-1	1
f’(x)	+	0	0	+
f(x)		2	-6
		max	min

6) график

Вариант 3. /Оборотная сторона переносной доски или слайд/

1) D (f) = R, функция непрерывна.

2) y^¢ = 4x³ – 8х

3) 4x³ – 8х = 0; D (f^|) = R

х₁ = 0; х₂ = − ; х₃ =

x			0
f’(x)	0	+	0	0	+
f(x)	1		3	1
	min		max	min

x	1	2
y	0	3

f (x) — четная

6) график

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний.

– Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Решение: (− ¥; − 4] È [4; + ¥).

2) Решение: корня при р < − 4и р >4; 1 корень при р = − 4 и р = 4; не имеет корней при − 4< p <4.

9. Рефлексия деятельности на уроке.

– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.)

− Что вы создали? (Мы создали алгоритм построения графика.)

− Где вы сможете применить новые знания?

Домашнее задание:п.24, № 300−301 (а, б), 304 (б)

Как рассчитать и построить производную функции с помощью Python-Matplotlib?

Посмотреть обсуждение

Улучшить статью

Сохранить статью

Уровень сложности: Средний
Последнее обновление: 24 фев, 2021

Читать

Обсудить

Посмотреть обсуждение

Улучшить статью

Сохранить статью

В этой статье мы построим производную функции, используя matplotlib и python. Для этого мы используем несколько модулей в Python, а именно:

Matplotlib: Matplotlib — один из самых популярных пакетов Python, используемых для визуализации данных. Это кроссплатформенная библиотека для создания 2D-графиков из данных в массивах.
NumPy: Это библиотека python, которая используется для работы с массивами, также поддерживает большие многомерные массивы и матрицы, также имеет несколько математических функций.
SciPy: Python имеет библиотеку SciPy, которая используется для математических, научных и инженерных расчетов. Эта библиотека зависит от NumPy и предоставляет различные числовые операции.

Чтобы сначала построить производную функции, мы должны ее вычислить. В библиотеке scipy.misc есть функция , производная () , которая принимает один аргумент как функцию, а другой — переменную, по которой мы будем различать функцию. Итак, мы создадим метод с именем function(), который будет возвращать исходную функцию, и второй метод с именем deriv(), который будет возвращать производную от этой функции.

После этого расчета производной входной функции мы будем использовать NumPy linspace() функция, которая устанавливает диапазон оси X. Функция plot() будет использоваться для построения графика функции, а также производной этой функции.

Подход:

Импортируйте необходимые модули.
Определить методы для функции и ее производной
Использовать функцию NumPy linspace для создания интервала по оси X.
Построить график функции и ее производной
Изменить пределы оси с помощью функции gca()
Построить текст с помощью функции text()

Пример 1: (Производная кубической)

В этом примере мы зададим функцию f(x)=2x ³ +x+3 в качестве входных данных, затем вычислим производную и построим график функции и его производная.

Python3

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.misc import derivative

import numpy as np

def function(x):

return 2 * x * x * x + x + 3

def deriv(x):

return derivative(function, x)

y = np. linspace( - 6 , 6 )

plt.plot(y, function(y), color = 'purple' , label = 'Function' )

plt.plot(y, deriv(y), color = 'green' , этикетка = 'Derivative' )

plt.legend(loc = 'upper left' )

plt.grid( True )

. +5 в качестве входных данных, затем вычислить производную и построить график функции и ее производной.

Python3

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.misc import derivative

import numpy as np

DEF Функция (x):

Возврат x * x * x * * x * * x *0090 x + x * x + 5

def deriv(x):

return derivative(function, x)

y = np. linspace( - 15 , 15 )

plt.plot(y, function(y), color = 'red' , label = 'Function' )

plt .plot(y, deriv(y), color = 'green' , label = 'Derivative' )

plt.legend(loc = 'вверху слева' )

PLT.GRID ( TRUE )

Выход:

Пример 3: (DRIVATIONSTATIONSTITIONS

. , мы построим производную от f(x)=4x ² +x+1. Кроме того, мы будем использовать некоторое форматирование с помощью функции gca() , которая изменит пределы оси так, чтобы обе оси x, y пересекались в начале координат. text() Функция, входящая в состав библиотеки matplotlib, отображает текст на графике и принимает аргумент в виде координат (x, y). Мы также сделаем некоторое форматирование.

Python3

9. . = Y 99999. = .0090 - 6 , 6 ) plt.plot(y, function(y), color = 'brown' , label = 'Function' ) plt.plot(y, deriv(y), color = 'blue' , label = 'Derivative' ) PLT.GCA (). SPINES [ 'Слева' ] . set_position ( 'Zero' ,) .GCA (9

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.misc import derivative

import numpy as np

def function(x):

return 4 * x * * 2 + x + 1

DEF Производство (x):

Возврат Производная (функция, x)

Y 9999990

090

890

9.GCA ( 9003 9.GCA). 'Bottom' ] .set_position ( 'Zero' ,) PLT.LEGEND (LOC = 'Верхний левый' ) 9003 899999989999989999999898999999998998989 '99999999998989899' ) 9003 ' ). ( 5.0 , 2+x+1$' , horizontalalignment = 'center' , fontsize = 18 , color = 'brown' ) plt. grid( Правда )

Вывод: 7

2 Анализ данных с помощью SciPy Рекомендуемые статьи Страница : 3.2: Производная как функция Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 2491 Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман ОпенСтакс Цели обучения Определить производную функцию заданной функции. Постройте производную функцию по графику заданной функции. Укажите связь между производными и непрерывностью. Опишите три условия, при которых функция не имеет производной. Объясните значение производной высшего порядка. Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения. Производные функции Производная функция дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом. Определение: производная функция Пусть $f$ - функция. Производная функция , обозначаемая $f'$, является функцией, область определения которой состоит из таких значений $x$, что существует следующий предел: \[f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \label{derdef} \] Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в $a$, если $f'(a)$ существует. В более общем смысле функция называется дифференцируемой на $S$, если она дифференцируема в каждой точке открытого множества $S$, а дифференцируемой функцией является функция, в которой $f'( x)$ существует в своей области определения. В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ref{derdef} для нахождения производной функции. Пример $\PageIndex{1}$: нахождение производной функции квадратного корня Найдите производную $f(x)=\sqrt{x}$. Решение Начните непосредственно с определения функции производной. Подставьте $f(x+h)=\sqrt{x+h}$ и $f(x)=\sqrt{x}$ в $f'(x)= \displaystyle \lim_{ h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$. $f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{ х}}{\sqrt{х+ч}+\sqrt{х}}$ Умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ без распределения в знаменателе. 2\). 92−2x\справа)=2x−2\). Таким образом, для функции $y=f(x)$ каждое из следующих обозначений представляет собой производную от $f(x)$: $f'(x), \quad \dfrac{dy }{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)$. Вместо $f'(a)$ мы также можем использовать $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}$. Использование нотации $\dfrac{dy}{dx}$ (называемой нотацией Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде $\dfrac{Δy}{Δx}$, где $Δy$ - разность значений $y$, соответствующая разнице в $x $ значения, которые выражаются как $Δx$ (рисунок $\PageIndex{1}$). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения $у$ по отношению к $х$, выражается как $\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$. Рисунок $\PageIndex{1}$: производная выражается как $\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$. Построение графика производной Мы уже обсудили, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение функции производной, мы можем построить ее график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку $f'(x)$ дает скорость изменения функции $f(x)$ (или наклон касательной строка к $f(x)$). В примере $\PageIndex{1}$ мы обнаружили, что для $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {Икс}}$. Если мы изобразим эти функции на тех же осях, как на рисунке $\PageIndex{2}$, мы сможем использовать графики, чтобы понять связь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что $f(x)$ возрастает по всей своей области, а это означает, что наклоны ее касательных во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем $f'(x)>0$ для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения $x$ наклоны касательных линий к $f(x)$ уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение $f'(x)$. +}f'(x)=+∞\), что соответствует вертикальной касательной к $f( х)$ в $0$. 92−2x,\; f'(x)=2x−2\). Графики этих функций показаны на рисунке $\PageIndex{3}$. Обратите внимание, что $f(x)$ убывает при $x<1$. Для этих же значений $x$, $f'(x)<0$. Для значений $x>1$ $f(x)$ возрастает и $f'(x)>0$. Кроме того, $f(x)$ имеет горизонтальную касательную в точках $x=1$ и $f'(1)=0$. Рисунок $\PageIndex{3}$: производная $f'(x)<0$, где функция $f(x)$ убывает и $f'(x)>0$ где $f(x)$ возрастает. Производная равна нулю там, где функция имеет горизонтальный тангенс Пример $\PageIndex{3}$: набросок производной с помощью функции Используйте следующий график $f(x)$ для построения графика $f'(x)$. Решение Решение показано на следующем графике. Заметим, что $f(x)$ возрастает и $f'(x)>0$ на $(–2,3)$. Кроме того, $f(x)$ убывает и $f'(x)<0$ на $(−∞,−2)$ и на $(3,+∞)$. Также обратите внимание, что $f(x)$ имеет горизонтальные касательные в точках $-2$ и $3$, а $f'(-2)=0$ и $f'(3)= 0$. 92−4\). На каком интервале находится график $f'(x)$ над осью $x$? Подсказка График $f'(x)$ положителен, где $f(x)$ возрастает. Ответить $(0,+∞)$ Производные и непрерывность Теперь, когда мы можем изобразить производную, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин. Дифференцируемость подразумевает непрерывность Пусть $f(x)$ — функция и $a$ находится в ее области определения. Если $f(x)$ дифференцируема в $а$, то $f$ непрерывна в $а$. Доказательство Если $f(x)$ дифференцируема в $a$, то $f'(a)$ существует и, если положить $h = x - a$, мы имеют $ x = a + h $, и поскольку $h=x-a\to 0$, мы можем видеть, что $x\to a$. Тогда \[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber \] можно переписать как $f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$. Мы хотим показать, что $f(x)$ непрерывно в $a$, показав, что $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).$ Таким образом , $\begin{align*} \displaystyle \lim_{x→a}f(x) &=\lim_{x→a}\;\big(f(x)−f(a)+f( a)\big)\\[4pt] &=\lim_{x→a}\left(\frac{f(x)−f(a)}{x−a}⋅(x−a)+f( a)\right) & & \text{Умножить и разделить}(f(x)−f(a))\text{ на }x−a.\\[4pt] &=\left(\lim_{x→ a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\right)⋅\left( \lim_{x→a}\;(x−a)\right)+\lim_{x→ а}ж(а)\\[4pt] &=f'(a)⋅0+f(a)\\[4pt] &=f(a). \end{align*}$ Следовательно, поскольку $f(a)$ определено и $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$, мы заключаем, что $f$ непрерывна в $a$. □ Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, мы исследуем функцию $f(x)=|x|$. Эта функция всюду непрерывна; однако $f'(0)$ не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для $f(x)=|x|$, 92}}=+∞\). Таким образом, $f'(0)$ не существует. Беглый взгляд на график $f(x)=\sqrt[3]{x}$ проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке $0$ (рисунок $\PageIndex{5}$). Рисунок $\PageIndex{5}$: Функция $f(x)=\sqrt[3]{x}$ имеет вертикальную касательную в точке $x=0$. Он непрерывен в точке $0$, но не дифференцируем в точке $0$. Функция $f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \ text{ if } x=0\end{cases}$ также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при $0$. Мы видим, что $f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_ {x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$. Этого предела не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю (рис. $\PageIndex{6}$). Рисунок $\PageIndex{6}$: функция $f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ если } x≠0\\0, & & \text{ если } x=0\end{cases}$ не дифференцируемо в $0$. Итого: Заметим, что если функция не непрерывна, то она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой. Мы видели, что $f(x)=|x|$ не может быть дифференцируемым в $0$, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к острому углу на графике функции в точке $0.$. Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой». Как мы видели на примере $f(x)=\sqrt[3]{x}$, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная. Как мы видели с $f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}$ функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами. Пример $\PageIndex{4}$: кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой 92+bx+c, & & \text{, если }x <−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{, если } x≥−10\ end{cases}\), где $x$ и $f(x)$ указаны в дюймах. Для плавного движения автомобиля по трассе функция $f(x)$ должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой в точке $−10$. Найдите значения $b$ и $c$, которые делают $f(x)$ одновременно непрерывным и дифференцируемым. Рисунок $\PageIndex{7}$: Чтобы автомобиль двигался плавно по трассе, функция должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой. 92−10b+c=10−10b+c\) и $f(−10)=5$, мы должны иметь $10−10b+c=5$. 2+bx+c−5}{x+10}\\[4pt] 92, & & \text{ если } x≥3\end{cases}\) как непрерывны, так и дифференцируемы в $3$. Подсказка Используйте пример $\PageIndex{4}$ в качестве руководства. Ответить $a=6$ и $b=−9$ Производные высшего порядка Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее. В совокупности они обозначаются как 92−3ч}{ч}\) Упростите числитель. $=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)$ Вынесите $h$ в числителе и сократите с $h$ в знаменателе. $=4x−3$ Возьмите предел. Затем найдите $f''(x)$, взяв производную от $f'(x)=4x−3.$ 93\), найти $a(t).$ Подсказка Используйте пример $\PageIndex{6}$ в качестве руководства. Ответить $а(т)=6т$ Ключевые понятия Производной функции $f(x)$ называется функция, значение которой в точке $x$ равно $f'(x)$. График производной функции $f(x)$ связан с графиком функции $f(x)$. Где $f(x)$ имеет касательную с положительным наклоном, $f'(x)>0$. Где $f(x)$ имеет касательную с отрицательным наклоном, $f'(x)<0$. Где $f(x)$ имеет горизонтальную касательную, $f'(x)=0.$ 9{\text{th}}\) производная. Ключевые уравнения Производная функция $f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$ Глоссарий производная функция дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная дифференцируемый в $а$ функция, для которой $f'(a)$ существует, дифференцируема в точке $a$ 9{\text{th}}\) называется производной высшего порядка Авторы и авторство Эта страница под названием 3.2: Производная как функция распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор ОпенСтакс Лицензия CC BY-NC-SA Версия лицензии 4,0 Программа OER или Publisher ОпенСтакс Показать страницу Содержание нет Теги автор @ Эдвин «Джед» Герман автор@Гилберт Странг производная функция Дифференцируемая функция дифференцируемый на S производная высшего порядка источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1 AC Производная функция Мотивирующие вопросы Как предельное определение производной функции $f$ приводит к совершенно новой (но родственной) функции $f'\text{?}$ В чем разница между написанием $f'(a)$ и $f'(x)\text{?}$ Как график производной функции $f'(x)$ связан с графиком $f(x)\text{?}$ Приведите примеры функций $f$, для которых $f'$ не определена в одной или нескольких точках? Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции $f(x)$ в точке $x = a\text{,}$ или, что то же самое, наклон касательной к графику $y = f(x)$ at $x = a\text{,}$ задается значением $f'(a)\text{.}$ Во всех наших примерах до сих пор мы идентифицировали конкретное значение $a$ в качестве нашего интереса: $a = 1\text{,}$ $a = 3\text{,}$ и т. д. Но нетрудно представить, что мы часто будет интересоваться значением производной для более чем одного $a$-значения и, возможно, для многих из них. В этом разделе мы исследуем, как мы можем перейти от вычисления производной в одной точке к вычислению формулы для $f'(a)$ в любой точке $a\text{.}$. Действительно, процесс «взятие производной» порождает новую функцию, обозначаемую $f'(x)\text{,}$, производную от исходной функции $f(x)\text{.}$ 92\текст{.}\) Используйте определение предела для вычисления производных значений: $f'(0)\text{,}$ $f'(1)\text{,}$ $f'(2)\text {,}$ и $f'(3)\text{.}$ Обратите внимание, что работа по нахождению $f'(a)$ одинакова, независимо от значения $a\text{.}$ Основываясь на вашей работе в (a), что вы предполагаете значение $f'(4)\text{?}$ Как насчет $f'(5)\text{?}$ (Примечание: вы должны , а не использовать предельное определение производной, чтобы найти любое значение.) 92\text{,}\) возможно, вы нашли несколько шаблонов. Один исходит из наблюдения, что $f'(0) = 4\text{,}$ $f'(1) = 2\text{,}$ $f'(2) = 0\text{, }$ и $f'(3) = -2\text{. }$. Эта последовательность значений естественным образом приводит нас к предположению, что $f'(4) = -4$ и $f'(5 ) = -6\text{.}$ Мы также замечаем, что конкретное значение $a$ очень мало влияет на процесс вычисления значения производной через определение предела. Чтобы увидеть это более ясно, мы вычисляем $f'(a)\text{,}$, где $a$ представляет собой число, которое будет названо позже. Следуя теперь уже стандартному процессу использования предельного определения производной, 92}{ч}\\ =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{h(4 - 2a - h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 - 2a - h)\text{.} \конец{выравнивание*} Здесь мы видим, что ни $4$, ни $2a$ не зависят от значения $h\text{,}$, так что $h \to 0\text{,}$ $( 4 - 2a - h) \to (4 - 2a)\text{.}$ Таким образом, $f'(a) = 4 - 2a\text{.}$ Этот результат согласуется с конкретными значениями, которые мы нашли выше: например, $f'(3) = 4 - 2(3) = -2\text{.}$ И действительно, наша работа подтверждает, что значение \ (а\) почти не влияет на процесс вычисления производной. 2\text{,}\) следует, что $f'(x) = 4 - 2x\text{.}$ 92\) вместе с набором касательных в точках, которые мы рассмотрели выше. Справа мы показываем график $f'(x) = 4 - 2x$ с акцентом на высотах графика производной при том же выборе точек. Обратите внимание на связь между цветами на левом и правом графиках: зеленая касательная на исходном графике связана с зеленой точкой на правом графике следующим образом: наклон касательной в точке на левом графике такой же, как высота в соответствующей точке на правом графике. То есть при каждом соответствующем значении $x\text{,}$ наклон касательной к исходной функции равен высоте производной функции. Обратите внимание, однако, что единицы измерения на вертикальных осях разные: на левом графике вертикальные единицы — это просто выходные единицы $f\text{.}$. На правом графике $y = f' (x)\text{,}$ единицы измерения по вертикальной оси представляют собой единицы $f$ на единицу $x\text{.}$ Отличный способ изучить, как график $f(x)$ генерирует график $f'(x)$, — это использовать апплет. См., например, апплеты по адресу gvsu.edu/s/5C или gvsu.edu/s/5D на сайтах Дэвида Остина ¹ и Марка Рено ². В разделе 1.3, когда мы впервые определили производную, мы записали определение в терминах значения $a$, чтобы найти $f'(a)\text{.}$ Как мы видели выше, буква \ (a\) — это просто заполнитель, и часто имеет смысл использовать вместо него $x$. Для справки, здесь мы повторяем определение производной. Определение 1.4.2. Пусть $f$ функция и $x$ значение в области определения функции. Мы определяем производную $f$ , новую функцию, называемую $f'\text{,}$ по формуле $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}$ при условии, что этот предел существует. Теперь у нас есть два разных взгляда на производную функцию: задан график $y = f(x)\text{,}$ как этот график приводит к графику производной функции $y = f'(x)\text{?}$ и учитывая формулу для $y = f(x)\text{,}$ как предельное определение производной порождает формулу для $y = f'(x)\text{?}$ Оба этих вопроса исследуются в ходе следующих занятий. Мероприятие 1.4.2. Для каждого заданного графика $y = f(x)\text{,}$ начертите приближенный график его производной функции $y = f'(x)\text{,}$ на осях непосредственно ниже. Масштаб сетки для графика $f$ равен $1 \times 1\text{;}$ предположим, что горизонтальный масштаб сетки для графика $f'$ идентичен масштабу для $f\text{.}$ При необходимости отрегулируйте и обозначьте вертикальный масштаб на осях для $f'\text{.}$ Когда вы закончите со всеми 8 графиками, напишите несколько предложений, описывающих общий процесс построения графика производной функции, учитывая, что график исходной функции. Какие значения производной функции вы обычно идентифицируете в первую очередь? Что вы делаете после этого? Как ключевые черты графика производной функции иллюстрируют свойства графика исходной функции? Для динамического исследования, которое позволяет вам экспериментировать с графическим отображением $f'$ при заданном графике $f\text{,}$, см. это приложение Марка Рено 92\) и использовал предельное определение производной, чтобы показать, что $f'(a) = 4 - 2a\text{,}$ или, что то же самое, что $f'(x) = 4 - 2x\text{. }$ Впоследствии мы построили графики функций $f$ и $f'$, как показано на рисунке 1.4.1. Следуя Упражнению 1.4.2, мы теперь понимаем, что могли построить довольно точный график $f'(x)$ , не зная формулы для $f$ или $f'\text{. }$ В то же время полезно знать формулу производной функции всякий раз, когда ее можно найти. В следующем упражнении мы дополнительно исследуем более алгебраический подход к нахождению $f'(x)\text{:}$ по формуле для $y = f(x)\text{,}$ предела определение производной будет использовано для разработки формулы для $f'(x)\text{.}$ Мероприятие 1.4.3. Для каждой из перечисленных функций определите формулу производной функции. Для первых двух определите формулу производной, размышляя о характере данной функции и ее наклоне в различных точках; не используйте определение предела. Для последних четырех используйте определение предела. Обратите особое внимание на имена функций и независимых переменных. Важно уметь использовать буквы, отличные от $f$ и $x\text{.}$. Например, для данной функции $p(z)\text{,}$ мы называем ее производной $p'(z)\text{.}$ 93\) $\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}$ $\displaystyle G(y) = \sqrt{y}$ Подраздел 1.4.2 Резюме Предельное определение производной, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\ ) дает значение для каждого \(x$, при котором определяется производная, и это приводит к новой функции $y = f'(x)\text{.}$. Особенно важно отметить, что взятие производная - это процесс, который начинается с заданной функции ($f$) и производит новую связанную функцию ($f'$). По существу нет разницы между записью $f'(a)$ (как мы регулярно делали в разделе 1.3) и записью $f'(x)\text{.}$. В любом случае переменная просто заполнитель, который используется для определения правила для производной функции. Имея график функции $y = f(x)\text{,}$, мы можем нарисовать приближенный график ее производной $y = f'(x)$, заметив, что высот на график производной соответствует наклонам на графике исходной функции. В упражнении 1.4.2 мы столкнулись с некоторыми функциями, у которых на графиках были острые углы, например, функция сдвинутого абсолютного значения. В таких точках производная не существует, и мы говорим, что $f$ там не дифференцируема. Пока достаточно понимать это как следствие скачка, который должен произойти в производной функции на остром углу графика исходной функции. Упражнения 1.4.3 Упражнения 1. Производная функция графически. Рассмотрим функцию $f(x)$, показанную на графике ниже. (Обратите внимание, что вы можете нажать на график, чтобы получить его увеличенную версию, и что может быть полезно распечатать эту увеличенную версию, чтобы иметь возможность работать с ней вручную. ) Тщательно нарисуйте производную функцию данной функции (при этом вы захотите оценить значения производной функции при разных значениях $x$). Используйте график производной функции, чтобы оценить следующие значения производной функции. 9{2}-8\) с использованием коэффициентов разности: $g'(x) = \lim\limits_{h\to0}\, [($ $) / h]$ $\qquad знак равно (В первом поле ответа укажите числитель разностного отношения, которое вы используете для оценки производной. Во втором поле введите производную, полученную после завершения расчета предела.) 3. Зарисовка производной. Для функции \(f(x)$, показанной на графике ниже, нарисуйте график производной. Затем вы будете выбирать, какой из следующих графиков является правильным графиком производной, но обязательно сначала нарисуйте производную самостоятельно. Какой из следующих графиков является производным от $f(x)\text{?}$ 1 2 3 4 5 6 7 8 (Нажмите на график, чтобы увеличить его. ) $f''(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}$ Используйте $f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$ с $f '(x)$ в место $f(x).$ $=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}$ Замените $f'(x+h)=4(x+h)−3$ и $f'(x)=4x−3.$ $=\displaystyle \lim_{h→0}4$ Упростить. $=4$ Возьмите предел. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 4. Сравнение значений функции и производной. График функции $f$ показан ниже. При каком из размеченных $x$-значений $f(x)$ наименьшее? $х =$ x1 x2 x3 x4 x5 x6 $f(x)$ наибольший? $х =$ x1 x2 x3 x4 x5 x6 $f'(x)$ меньше всего? $х =$ x1 x2 x3 x4 x5 x6 $f'(x)$ наибольший? $х =$ x1 x2 x3 x4 x5 x6 5. Предельное определение производной рациональной функции. Пусть \begin{equation*} е (х) = \ гидроразрыва {1} {х - 4} \end{уравнение*} Найти (i) $f'(3)$ (ii) $f'(5)$ (iii) $f'(6)$ (iv) \ (f'(8)\) 6. Пусть $f$ — функция со следующими свойствами: $f$ дифференцируема при каждом значении $x$ (то есть $f$ имеет производную в каждой точке), $ f(-2) = 1\text{,}$ и $f'(-2) = -2\text{,}$ $f'(-1) = -1\text{,}\ ) \(f'(0) = 0\text{,}$ $f'(1) = 1\text{,}$ и $f'(2) = 2\text{.}$ На осях слева на рисунке 1.4.3 нарисуйте возможный график $y = f(x)\text{.}$ Объясните, почему ваш график соответствует установленным критериям. 92 - 4x + 12\текст{.}\) Сравните найденные вами формулы для $g'(x)$ и $p'(x)$. Как константы 5, 4, 12 и 3 влияют на результаты? 8. Пусть $g$ — непрерывная функция (т. е. функция без скачков и дыр в графике) и предположим, что график $y = g'(x)$ задается графиком справа на рисунке 1. 4.4. Рисунок 1.4.4. Оси для построения $y = g(x)$ и, справа, графика $y = g'(x)\text{.}$ Обратите внимание, что для каждого значения $x$, удовлетворяющего условию $0 \lt x \lt 2\text{,}$, значение $g'(x)$ является постоянным. Что это говорит вам о поведении графика $y = g(x)$ на этом интервале? На каких интервалах, кроме $0 \lt x \lt 2$, вы ожидаете, что $y = g(x)$ будет линейной функцией? Почему? При каких значениях $x$ $g'(x)$ не определено? Какое поведение вы ожидаете увидеть на графике $y=g(x)\text{?}$ Предположим, что $g(0) = 1\text{.}$ На осях, указанных слева на рисунке 1.4.4, нарисуйте точный график $y = g(x)\text{.}\ ) 9. Для каждого графика, представляющего исходную функцию \(y = f(x)$ на рисунке 1.4.5, ваша задача состоит в том, чтобы начертить приблизительный график ее производной функции, $y = f'(x)\text{ ,}$ на осях непосредственно ниже. Просмотрите масштаб сетки для графика $f$ как $1 \times 1\text{,}$ и предположите, что горизонтальный масштаб сетки для графика $f'$ идентичен к тому, что для $f\text{.}$ Если вам нужно настроить вертикальный масштаб по осям для графика $f'\text{,}$, вы должны пометить это соответствующим образом. Рисунок 1.4.5. Графики $y = f(x)$ и сетки для построения соответствующего графика $y = f'(x)\text{.}$ gvsu.edu/s/5r gvsu .edu/s/5p gvsu.edu/s/8y 4.5 Производные и форма графика — исчисление, том 1 Цели обучения 4.5.1 Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции. 4.5.2 Сформулируйте критерий первой производной для критических точек. 4.5.3 Используйте вогнутость и точки перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции. 4.5.4 Объясните критерий вогнутости функции на открытом интервале. 4.5.5 Объясните связь между функцией и ее первой и второй производной. 4.5.6 Сформулируйте критерий второй производной для локальных экстремумов. Ранее в этой главе мы утверждали, что если функция ff имеет локальный экстремум в точке c, c, то cc должна быть критической точкой f.f. Однако не гарантируется, что функция будет иметь локальный экстремум в критической точке. Например, f(x)=x3f(x)=x3 имеет критическую точку при x=0x=0, поскольку f′(x)=3x2f′(x)=3x2 равно нулю при x=0,x=0, но ff не имеет локального экстремума при x=0.x=0. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, идет ли график функции вверх или вниз. Первый производный тест Следствие 33 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале II, то функция возрастает на интервале I. I. С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале I, I, то функция убывает на интервале II, как показано на следующем рисунке. 0. Другими словами, f увеличивается. На рис. b показана функция, возрастающая вогнуто от (a, f(a)) до (b, f(b)). В двух точках берется производная и отмечается, что в обеих f’ > 0. Другими словами, f возрастает. На рис. c показана функция, вогнуто убывающая от (a, f(a)) до (b, f(b)). В двух точках берется производная и отмечается, что при обеих f’ Рисунок 4.30 Обе функции возрастают на интервале (a,b).(a,b). В каждой точке x,x производная f′(x)>0.f′(x)>0. Обе функции убывают на интервале (a,b).(a,b). В каждой точке x,x производная f′(x)<0.f′(x)<0. Непрерывная функция ff имеет локальный максимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с возрастания на убывание в точке c.c. Точно так же ff имеет локальный минимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с убывания на возрастание в точке c. c. Если ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем cc, и дифференцируемая на I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ, которым ff может переключиться с возрастания на убывание (или наоборот) в точке cc, — это если f′f′ меняет знак при увеличении xx через c.c. Если ff дифференцируема в точках c,c, то только так f′.f′. может менять знак по мере увеличения xx через cc is, если f′(c)=0.f′(c)=0. Следовательно, для функции ff, которая непрерывна на интервале II, содержащем cc, и дифференцируема на I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ, которым ff может переключиться с возрастания на убывание (или наоборот), состоит в том, что f′(c )=0f′(c)=0 или f′(c)f′(c) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции f,f, мы ищем точки cc в области определения ff такие, что f′(c)=0f′(c)=0 или f′(c)f′(c) неопределенный. Напомним, что такие точки называются критическими точками ф.ф. Обратите внимание, что ff не обязательно должен иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рис. 4.31 показано, что если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, то он должен находиться в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если ff имеет локальный экстремум в критической точке, то знак f′f′ меняется при увеличении xx через эту точку. 0. Затем f убывает от x = a до x = b (поэтому f' 0. Функция имеет точку инверсии в c, и она отмечена f'(c) = 0. Функция возрастает еще немного до d (поэтому f' > 0), что является глобальным максимумом. Отмечается, что f'(d) = 0. Затем функция убывает, и отмечается, что f' > 0."> Рисунок 4.31 Функция ff имеет четыре критические точки: a,b,c,d.a,b,c,d. Функция ff имеет локальные максимумы в точках aa и d,d и локальный минимум в точках b.b. Функция ff не имеет локального экстремума в точке c.c. Знак f′f′ меняется на всех локальных экстремумах. Используя рис. 4.31, мы суммируем основные результаты относительно локальных экстремумов. Если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен находиться в критической точке c.c. Функция имеет локальный экстремум в критической точке cc тогда и только тогда, когда производная f′f′ меняет знак при увеличении xx через c.c. Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке c,c, мы должны определить знак f′(x)f′(x) слева и справа от c.c. Этот результат известен как тест первой производной. Теорема 4.9 Первый производный тест Предположим, что ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем критическую точку c.c. Если ff дифференцируема над I,I, за исключением, быть может, точки c,c, то f(c)f(c) удовлетворяет одному из следующих описаний: Если f′f′ меняет знак с положительного, когда xc,x>c, то f(c)f(c) является локальным максимумом f. f. Если f′f′ меняет знак с отрицательного, когда xc,x>c, то f(c)f(c) является локальным минимумом f.f. Если f′f′ имеет один и тот же знак для xc,x>c, то f(c)f(c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом f.f. Мы можем резюмировать первый тест производной как стратегию поиска локальных экстремумов. Стратегия решения проблем Стратегия решения проблем: использование теста первой производной Рассмотрим функцию ff, непрерывную на интервале I.I. Найдите все критические точки ff и разделите интервал II на меньшие интервалы, используя критические точки как конечные точки. Проанализируйте знак f′f′ в каждом из подинтервалов. Если f′f′ непрерывна на данном подинтервале (что обычно и бывает), то знак f′f′ на этом подинтервале не меняется и, следовательно, может быть определен путем выбора произвольной контрольной точки xx в этом подинтервале. и оценивая знак f'f' в этой контрольной точке. Используйте анализ знаков, чтобы определить, увеличивается или уменьшается ff на этом интервале. Используйте тест первой производной и результаты шага 22, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в каждой из критических точек. Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций. Пример 4.17 Использование теста первой производной для нахождения локальных экстремумов Использование теста первой производной для нахождения местоположения всех локальных экстремумов для f(x)=x3−3x2−9x−1.f(x)=x3−3x2−9х-1. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты. Решение Шаг 1. Производная равна f′(x)=3x2−6x−9.f′(x)=3x2−6x−9. Чтобы найти критические точки, нам нужно найти, где f′(x)=0. f′(x)=0. Разлагая полином на множители, заключаем, что критические точки должны удовлетворять 3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0,3(x2−2x−3)=3(x−3) (х+1)=0. Таким образом, критическими точками являются x=3,−1.x=3,−1. Теперь разделим интервал (−∞,∞)(−∞,∞) на меньшие интервалы (−∞,−1),(−1,3) и (3,∞).(−∞,−1),( −1,3) и (3,∞). Шаг 2. Поскольку f′f′ – непрерывная функция, для определения знака f′(x)f′(x) на каждом подинтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов (−∞,− 1),(−1,3)и(3,∞)(−∞,−1),(−1,3)и(3,∞) и определить знак f′f′ в каждой из этих точек. Например, давайте выберем x=−2,x=0 иx=4x=-2,x=0 иx=4 в качестве контрольных точек. Интервал Контрольная точка Знак f′(x)=3(x−3)(x+1)f′(x)=3(x−3)(x+1) в контрольной точке Заключение (-∞,-1)(-∞,-1) х=-2х=-2 (+)(-)(-)=+(+)(-)(-)=+ ff увеличивается. (−1,3)(−1,3) х=0х=0 (+)(-)(+)=-(+)(-)(+)=- ff уменьшается. (3,∞)(3,∞) х=4х=4 (+)(+)(+)=+(+)(+)(+)=+ ff увеличивается. Шаг 3. Поскольку f′f′ меняет знак с положительного на отрицательный при увеличении xx на –1,f–1, f имеет локальный максимум при x=−1.x=−1. Поскольку f′f′ меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении xx до 3,f3,f имеет локальный минимум при x=3.x=3. Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком. Рисунок 4,32 Функция ff имеет максимум при x=−1x=−1 и минимум при x=3x=3 Контрольно-пропускной пункт 4. 16 Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f(x)=−x3+32x2+18x.f(x)=−x3+32x2+18x. Пример 4.18 Использование теста первой производной Используйте тест первой производной, чтобы найти местоположение всех локальных экстремумов для f(x)=5x1/3−x5/3.f(x)=5x1/3−x5/3. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты. Решение Шаг 1. Производная равна f′(x)=53x−2/3−53x2/3=53x2/3−5x2/33=5−5x4/33x2/3=5(1−x4/3)3x2 /3.f′(x)=53x−2/3−53x2/3=53x2/3−5x2/33=5−5x4/33x2/3=5(1−x4/3)3x2/3. Производная f′(x)=0f′(x)=0, когда 1−x4/3=0,1−x4/3=0. Следовательно, f′(x)=0f′(x)=0 при x=±1.x=±1. Производная f′(x)f′(x) не определена при x=0.x=0. Следовательно, у нас есть три критические точки: x=0,x=0,x=1,x=1 и x=−1.x=−1. Следовательно, разделим интервал (−∞,∞)(−∞,∞) на меньшие интервалы (−∞,−1),(−1,0),(0,1),(−∞,−1), (−1,0),(0,1) и (1,∞). (1,∞). Шаг 2: Поскольку f′f′ непрерывна на каждом подинтервале, достаточно выбрать контрольную точку xx в каждом из интервалов из шага 11 и определить знак f′f′ в каждой из этих точек. Точки x=-2,x=-12,x=12 и x=2x=-2,x=-12,x=12 иx=2 являются контрольными точками для этих интервалов. Интервал Контрольная точка Знак f′(x)=5(1−x4/3)3x2/3f′(x)=5(1−x4/3)3x2/3 в контрольной точке Заключение (-∞,-1)(-∞,-1) х=-2х=-2 (+)(-)+=-(+)(-)+=- ff уменьшается. (−1,0)(−1,0) х=-12х=-12 (+)(+)+=+(+)(+)+=+ ff увеличивается. (0,1)(0,1) х=12х=12 (+)(+)+=+(+)(+)+=+ ff увеличивается. (1,∞)(1,∞) х=2х=2 (+)(-)+=-(+)(-)+=- ff уменьшается. Шаг 3: Поскольку ff убывает на интервале (−∞,−1)(−∞,−1) и возрастает на интервале (−1,0),(−1,0), ff имеет локальный минимум при x=−1.x=−1. Поскольку ff возрастает на интервале (−1,0)(−1,0) и на интервале (0,1),(0,1), ff не имеет локального экстремума при x=0.x=0. Поскольку ff возрастает на интервале (0,1)(0,1) и убывает на интервале (1,∞), f(1,∞), f имеет локальный максимум при x=1.x=1. Результаты анализа согласуются со следующим графиком. Рисунок 4,33 Функция f имеет локальный минимум при x=−1x=−1 и локальный максимум при x=1.x=1. Контрольно-пропускной пункт 4.17 Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f(x)=x−13.f(x)=x−13. Вогнутость и точки перегиба Теперь мы знаем, как определить, где функция возрастает или убывает. Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, он изгибается вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции. На рис. 4.34(а) показана функция ff с графиком, изгибающимся вверх. С увеличением xx увеличивается наклон касательной. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением xx, f′f′ является возрастающей функцией. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вверх. На рис. 4.34(b) показана функция ff, кривая которой направлена вниз. С увеличением xx наклон касательной уменьшается. Поскольку производная уменьшается с увеличением xx, f′f′ является убывающей функцией. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вниз. г. Определение Пусть ff — функция, дифференцируемая на отрезке И.И. Если f′f′ возрастает по I,I, мы говорим, что ff вогнут вверх по I.I. Если f′f′ убывает по I,I, мы говорим, что ff вогнут вниз по I.I. Рисунок 4,34 (a), (c) Поскольку f′f′ возрастает на интервале (a,b),(a,b), мы говорим, что ff вогнут вверх над (a,b).(a,b). (b), (d) Поскольку f′f′ убывает на интервале (a,b),(a,b), мы говорим, что ff вогнута вниз над (a,b).(a,b). Вообще говоря, не имея графика функции f,f, как определить ее вогнутость? По определению функция ff является вогнутой, если f′f′ возрастает. Из следствия 3,3 мы знаем, что если f′f′ — дифференцируемая функция, то f′f′ возрастает, если ее производная f″(x)>0.f″(x)>0. Таким образом, дважды дифференцируемая функция ff является вогнутой, когда f″(x)>0.f″(x)>0. Точно так же функция ff вогнута вниз, если f′f′ убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция f′f′ убывает, если ее производная f″(x)<0.f″(x)<0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff является вогнутой вниз, когда f″(x)<0.f″(x)<0. Применение этой логики известно как проверка вогнутости. Теорема 4.10 Тест на вогнутость Пусть ff — функция, дважды дифференцируемая на интервале I.I. Если f″(x)>0f″(x)>0 для всех x∈I,x∈I, то ff вогнут вверх над I.I. Если f″(x)<0f″(x)<0 для всех x∈I,x∈I, то ff вогнута вниз над I.I. Мы заключаем, что можем определить вогнутость функции ff, взглянув на вторую производную от f.f. Кроме того, мы видим, что функция ff может переключать вогнутость (рис. 4.35). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке xx, если f″(x)=0f″(x)=0 или f″(x)f″(x) не определено. Следовательно, чтобы определить интервалы, на которых функция ff является вогнутой вверх и вогнутой вниз, мы ищем такие значения xx, где f″(x)=0f″(x)=0 или f″(x)f″(x) равно неопределенный. Когда мы определили эти точки, мы делим область определения ff на меньшие интервалы и определяем знак f″f″ на каждом из этих меньших интервалов. Если f″f″ меняет знак при прохождении через точку x,x, то ff меняет вогнутость. Важно помнить, что функция ff не может изменить вогнутость в точке xx, даже если f″(x)=0f″(x)=0 или f″(x)f″(x) не определено. Если, однако, ff меняет вогнутость в точке aa и ff непрерывна в точках a, a, мы говорим, что точка (a,f(a))(a,f(a)) является точкой перегиба f.f. Определение Если функция ff непрерывна в точке aa и ff меняет вогнутость в точках a, a, то точка (a,f(a))(a,f(a)) является точкой перегиба функции f. f. 0. Функция достигает локального минимума и начинает возрастать, поэтому f’ > 0 и f’’ > 0. Отмечено, что наклон увеличивается для этих двух интервалов. Затем функция достигает точки перегиба (a, f(a)) и отсюда наклон уменьшается, хотя функция продолжает увеличиваться, поэтому f’ > 0 и f’’ Рисунок 4,35 Поскольку f″(x)>0f″(x)>0 при xa,x>a, функция ff вогнута вниз на интервале (a,∞).(a,∞). Точка (a,f(a))(a,f(a)) является точкой перегиба ф.ф. Пример 4.19 Проверка на вогнутость Для функции f(x)=x3−6x2+9x+30,f(x)=x3−6x2+9x+30 определите все интервалы, где ff вогнуто вверх, и все интервалы, где ff вогнутый вниз. Перечислите все точки перегиба для с.ф. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты. Решение Чтобы определить вогнутость, нам нужно найти вторую производную f″(x). f″(x). Первая производная равна f′(x)=3x2−12x+9,f′(x)=3x2−12x+9, поэтому вторая производная равна f″(x)=6x−12.f″(x)=6x −12. Если функция меняет вогнутость, это происходит либо когда f″(x)=0f″(x)=0, либо f″(x)f″(x) не определено. Поскольку f″f″ определено для всех действительных чисел x,x, нам нужно только найти, где f″(x)=0.f″(x)=0. Решая уравнение 6x−12=0,6x−12=0, мы видим, что x=2x=2 — единственное место, где ff может изменить вогнутость. Теперь проверим точки на интервалах (−∞,2)(−∞,2) и (2,∞)(2,∞), чтобы определить вогнутость ф.ф. Точки x=0x=0 и x=3x=3 являются контрольными точками для этих интервалов. Интервал Контрольная точка Знак f″(x)=6x−12f″(x)=6x−12 в контрольной точке Заключение (-∞,2)(-∞,2) х=0х=0 -- ff вогнутый вниз (2,∞)(2,∞) х=3х=3 ++ ff имеет вогнутую форму. Мы заключаем, что ff вогнута вниз на интервале (−∞,2)(−∞,2) и вогнута вверх на интервале (2,∞).(2,∞). Поскольку ff меняет вогнутость при x=2,x=2, точка (2,f(2))=(2,32)(2,f(2))=(2,32) является точкой перегиба. Рисунок 4.36 подтверждает аналитические результаты. Рисунок 4,36 Данная функция имеет точку перегиба в точке (2,32)(2,32), где график меняет вогнутость. Контрольно-пропускной пункт 4.18 Для f(x)=−x3+32x2+18x,f(x)=−x3+32x2+18x найдите все интервалы, в которых ff вогнут вверх, и все интервалы, в которых ff вогнут вниз. Теперь мы обобщим в таблице 4.1 информацию о графике f,f, которую дают первая и вторая производные функции ff, и проиллюстрируем эту информацию на рис. 4.37. Знак f′f′ Знак f″f″ ff увеличивается или уменьшается? Вогнутость Положительный Положительный Увеличение Подбарабанья Положительный Отрицательный Увеличение Вогнутая вниз Отрицательный Положительный По убыванию Подбарабанья Отрицательный Отрицательный По убыванию Вогнутая вниз Стол 4. 1 Что производные говорят нам о графиках 0. Вторая секция увеличивается и вогнута вверх; здесь f’ > 0 и f’’ > 0. Третье сечение увеличивается и вогнуто вниз; здесь f’ > 0 и f’’ Рисунок 4,37 Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff на отрезке И.И. Если f′(x)>0f′(x)>0 для всех x∈I,x∈I, функция возрастает по I.I. Если f′(x)<0f′(x)<0 для всех x∈I,x∈I, функция убывает по I.I. Если f″(x)>0f″(x)>0 для всех x∈I,x∈I, функция вогнута вверх. Если f″(x)<0f″(x)<0 для всех x∈I,x∈I, функция вогнута вниз на I.I. Тест второй производной Критерий первой производной обеспечивает аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может быть использована для обнаружения экстремумов. Использование второй производной иногда может быть более простым методом, чем использование первой производной. Мы знаем, что если непрерывная функция имеет локальные экстремумы, они должны находиться в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать критерий второй производной, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть ff — дважды дифференцируемая функция такая, что f′(a)=0f′(a)=0 и f″f″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем п.в. Предположим, что f″(a)<0.f″(a)<0. Поскольку f″f″ непрерывна над I,I,f″(x)<0f″(x)<0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3,3 f′f′ является убывающей функцией над I.I. Поскольку f′(a)=0,f′(a)=0, заключаем, что для всех x∈I,f′(x)>0x∈I,f′(x)>0, если xa.x>a. Следовательно, по критерию первой производной ff имеет локальный максимум в точке x=a.x=a. С другой стороны, предположим, что существует точка bb такая, что f′(b)=0f′(b)=0, но f″(b)>0.f″(b)>0. Поскольку f″f″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем b,b, то f″(x)>0f″(x)>0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3 f′3,f′ — возрастающая функция над I. I. Поскольку f′(b)=0,f′(b)=0, заключаем, что для всех x∈I,x∈I,f′(x)<0f′(x)<0, если x0f′(x)>0, если x>b.x>b. Следовательно, по критерию первой производной ff имеет локальный минимум при x=b.x=b. 0."> Рисунок 4,38 Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff такую, что f″f″ непрерывна. Поскольку f′(a)=0f′(a)=0 и f″(a)<0,f″(a)<0, существует интервал II, содержащий aa, такой, что для всех xx в I,I,ff есть возрастает, если xa.x>a. В результате ff имеет локальный максимум при x=a.x=a. Поскольку f′(b)=0f′(b)=0 и f″(b)>0,f″(b)>0, существует интервал II, содержащий bb такой, что для всех xx в I,I,ff есть уменьшается, если xb.x>b. В результате ff имеет локальный минимум при x=b.x=b. Теорема 4.11 Второй производный тест Предположим, что f′(c)=0,f″f′(c)=0,f″ непрерывна на интервале, содержащем c.c. Если f″(c)>0,f″(c)>0, то ff имеет локальный минимум в точке c. c. Если f″(c)<0,f″(c)<0, то ff имеет локальный максимум в точке c.c. Если f″(c)=0,f″(c)=0, то проверка неубедительна. Обратите внимание, что для случая iii. когда f″(c)=0,f″(c)=0, то ff может иметь локальный максимум, локальный минимум или ни то, ни другое в точке c.c. Например, функции f(x)=x3,f(x)=x3,f(x)=x4,f(x)=x4 и f(x)=-x4f(x)=-x4 имеют критические указывает на x=0.x=0. В каждом случае вторая производная равна нулю при x=0.x=0. Однако функция f(x)=x4f(x)=x4 имеет локальный минимум при x=0x=0, тогда как функция f(x)=-x4f(x)=-x4 имеет локальный максимум при x,x, а функция f(x)=x3f(x)=x3 не имеет локального экстремума при x=0.x=0. Теперь посмотрим, как использовать критерий второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в критической точке cc, где f′(c)=0.f′(c)=0. Пример 4.20 Использование теста второй производной Используйте вторую производную, чтобы найти местоположение всех локальных экстремумов для f(x)=x5−5x3. f(x)=x5−5x3. Решение Чтобы применить тест второй производной, нам сначала нужно найти критические точки cc, в которых f′(c)=0.f′(c)=0. Производная равна f′(x)=5x4−15x2.f′(x)=5x4−15x2. Следовательно, f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0 при x=0,±3.x=0,± 3. Чтобы определить, имеет ли ff локальные экстремумы в любой из этих точек, нам нужно оценить знак f″f″ в этих точках. Вторая производная равна f″(x)=20x3−30x=10x(2x2−3).f″(x)=20x3−30x=10x(2x2−3). В следующей таблице мы оцениваем вторую производную в каждой из критических точек и используем критерий второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в любой из этих точек. хх f″(x)f″(x) Заключение −3−3 −303−303 Локальный максимум 00 00 Тест второй производной не дает результатов 33 303303 Местный минимум С помощью теста второй производной мы заключаем, что ff имеет локальный максимум при x=−3x=−3, а ff имеет локальный минимум при x=3. x=3. Тест второй производной неубедителен при x=0.x=0. Чтобы определить, имеет ли ff локальные экстремумы при x=0,x=0, мы применяем критерий первой производной. Чтобы оценить знак f′(x)=5x2(x2−3)f′(x)=5x2(x2−3) для x∈(−3,0)x∈(−3,0) и x∈( 0,3),x∈(0,3), пусть x=−1x=−1 и x=1x=1 — две контрольные точки. Поскольку f′(−1)<0f′(−1)<0 и f′(1)<0,f′(1)<0, заключаем, что ff убывает на обоих интервалах и, следовательно, ff не имеет локальные экстремумы при x=0x=0, как показано на следующем графике. Рисунок 4,39 Функция ff имеет локальный максимум при x=−3x=−3 и локальный минимум при x=3x=3 Контрольно-пропускной пункт 4.19 Рассмотрим функцию f(x)=x3−(32)x2−18x.f(x)=x3−(32)x2−18x. Точки c=3,−2c=3,−2 удовлетворяют условию f′(c)=0.f′(c)=0. Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в этих точках. Теперь мы разработали инструменты, необходимые для определения возрастания и убывания функции, а также получили представление об основной форме графика. В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при x→±∞.x→±∞. На данный момент у нас достаточно инструментов для создания точных графиков большого количества функций. Раздел 4.5 Упражнения 194. Если cc является критической точкой f(x),f(x), когда нет локального максимума или минимума в точке c?c? Объяснять. 195. Для функции y=x3,y=x3, является ли x=0x=0 одновременно точкой перегиба и локальным максимумом/минимумом? 196. Для функции y=x3,y=x3 является ли x=0x=0 точкой перегиба? 197. Может ли точка cc быть и точкой перегиба, и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции? 198. Зачем нужна непрерывность для первого теста производной? Придумайте пример. 199. Объясните, должна ли вогнутая функция пересекать y=0y=0 для некоторого значения x.x. 200. Объясните, может ли многочлен степени 22 иметь точку перегиба. В следующих упражнениях проанализируйте графики f′,f′, затем перечислите все интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается. 201. 202. 203. 204. 205. В следующих упражнениях проанализируйте графики f′,f′, затем перечислите все интервалы, где ff увеличивается и уменьшается и расположены минимумы и максимумы. 206. 207. 208. 209. 210. В следующих упражнениях проанализируйте графики f′,f′, затем перечислите все точки перегиба и интервалы ff, которые вогнуты вверх и вогнуты вниз. 211. 212. 213. 214. 215. Для следующих упражнений нарисуйте граф, удовлетворяющий заданным спецификациям для области xϵ[−3,3].xϵ[−3,3]. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой. 216. f(x)>0,f′(x)>0f(x)>0,f′(x)>0 по x>1,−31 ,−3 217. f′(x)>0f′(x)>0 по x>2,−32,−3 218. f″(x)<0f″(x)<0 свыше −10,−30,−3 219. Имеется локальный максимум при x=2,x=2, локальный минимум при x=1,x=1, и график не вогнут ни вверх, ни вниз. 220. Имеются локальные максимумы при x=±1,x=±1, функция выпуклая для всех x,x, и функция остается положительной для всех x.x. Для следующих упражнений определите интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается и локальных минимумов и максимумов ф.ф. 221. f(x)=sinx+sin3xf(x)=sinx+sin3x свыше −π 222. f(x)=x2+cosxf(x)=x2+cosx Для следующих упражнений определите a. интервалы, где ff вогнут вверх или вогнут вниз, и b. точки перегиба ф.ф. 223. f(x)=x3−4x2+x+2f(x)=x3−4x2+x+2 Для следующих упражнений определите интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается, локальных минимумов и максимумов f,f, интервалов, где ff вогнут вверх и вогнут вниз, и точки перегиба ф. ф. 224. f(x)=x2−6xf(x)=x2−6x 225. f(x)=x3−6x2f(x)=x3−6x2 226. f(x)=x4−6x3f(x)=x4−6x3 227. f(x)=x11−6x10f(x)=x11−6x10 228. f(x)=x+x2−x3f(x)=x+x2−x3 229. f(x)=x2+x+1f(x)=x2+x+1 230. f(x)=x3+x4f(x)=x3+x4 Для следующих упражнений определите интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается, локальных минимумов и максимумов f,f, интервалов, где ff вогнут вверх и вогнут вниз, и точки перегиба ф.ф. Нарисуйте кривую, затем используйте калькулятор, чтобы сравнить свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором. 231. [T] f(x)=sin(πx)−cos(πx)f(x)=sin(πx)−cos(πx) над x=[−1,1]x=[−1, 1] 232. [T] f(x)=x+sin(2x)f(x)=x+sin(2x) над x=[−π2,π2]x=[−π2,π2] 233. [T] f(x)=sinx+tanxf(x)=sinx+tanx над (−π2,π2)(−π2,π2) 234. [T] f(x)=(x−2)2(x−4)2f(x)=(x−2)2(x−4)2 235. [Т] f(x)=11−x,x≠1f(x)=11−x,x≠1 236. [T] f(x)=sinxxf(x)=sinxx над x=x=[2π,0)∪(0,2π][2π,0)∪(0,2π] 237. f(x)=sin(x)exf(x)=sin(x)ex над x=[−π,π]x=[−π,π] 238. f(x)=lnxx,x>0f(x)=lnxx,x>0 239. f(x)=14x+1x,x>0f(x)=14x+1x,x>0 240. f(x)=exx,x≠0f(x)=exx,x≠0 В следующих упражнениях интерпретируйте предложения в терминах f,f′,andf″.f,f′,andf″. 241. Население растет медленнее. Здесь ff — население. 242. Велосипед разгоняется быстрее, но машина едет быстрее. Здесь f=f= положение велосипеда минус положение автомобиля. 243. Самолет плавно приземляется. Здесь ff — высота самолета. 244. Цены на акции достигли своего пика. Здесь ff — цена акции. 245. Экономика набирает обороты. Здесь ff — показатель экономики, такой как ВВП. В следующих упражнениях рассмотрим многочлен третьей степени f(x),f(x), обладающий свойствами f′(1)=0,f′(3)=0.f′(1)=0, f′(3)=0. Определите, являются ли следующие утверждения истинными или ложными . Обосновать ответ. 246. f(x)=0f(x)=0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3 247. f″(x)=0f″(x)=0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3 248. Нет абсолютного максимума при x=3x=3 249. Если f(x)f(x) имеет три корня, то она имеет 11 точек перегиба. 250. Если f(x)f(x) имеет одну точку перегиба, то она имеет три действительных корня. Исчисление I. Форма графика, часть I Онлайн-заметки Пола Главная / Исчисление I / Применение производных / Форма графика, часть I Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания Мобильное уведомление Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Раздел 4-5: Форма графика, часть I В предыдущем разделе мы видели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции. Однако есть гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем рассматривать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в определении всех относительных экстремумов функции. Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция $f\left( x \right)$. Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная $f'\left( x \right)$ — это скорость изменения функции. Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивается, уменьшается или не изменяется. Прежде чем рассмотреть эту идею, давайте сначала запишем математическое определение возрастания и убывания. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей/убывающей функции, но иногда неплохо иметь и математическое определение. Вот. Определение Даны любые ${x_1}$ и ${x_2}$ из интервала $I$ с ${x_1} < {x_2}$, если $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$, тогда $f\left( x \right)$ равно увеличение на $I$. Даны любые ${x_1}$ и ${x_2}$ из интервала $I$ с ${x_1} < {x_2}$, если $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$, тогда $f\left( x \right)$ равно уменьшению на $I$. Это определение фактически будет использоваться при доказательстве следующего факта в этом разделе. Теперь вспомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции положительна в точке, то функция в этой точке возрастает, а если производная в какой-то точке отрицательна, то функция убывает в эта точка. Мы также использовали тот факт, что если производная функции равна нулю в какой-то точке, то функция в этой точке не меняется. Мы использовали эти идеи для определения интервалов возрастания и убывания функции. Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе. Факт Если $f'\left( x \right) > 0$ для каждого $x$ на некотором интервале $I$, то $f\left( x \right)\ ) возрастает на интервале. Если \(f'\left( x \right) < 0$ для каждого $x$ на некотором интервале $I$, то $f\left( x \right)$ убывает на интервал. Если $f'\left( x \right) = 0$ для каждого $x$ на некотором интервале $I$, то $f\left( x \right)$ постоянно на интервал. Доказательство этого факта находится в разделе «Доказательства производных приложений» главы «Дополнительно». Давайте рассмотрим пример. Этот пример имеет две цели. Во-первых, это напомнит нам о возрастающем/убывающем типе задач, которые мы решали в предыдущей главе. Во-вторых, и, возможно, что более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, то первым шагом почти в каждой задаче на возрастание/убывание будет нахождение критических точек функции, и поэтому процесс, который мы будем использовать в следующем примере должны быть знакомы. 92}\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\end{align*}\] Обратите внимание, что когда мы разлагали производную на множители, мы сначала выносили на множители «-1», чтобы сделать остальную часть разложения немного проще. Из факторизованной формы производной видно, что у нас есть три критические точки: $x = - 2$, $x = 0$ и $x = 4$. Они нам понадобятся через некоторое время. Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Мы уже делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является многочленом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить ее знак — это сначала пройти через нуль. Другими словами, единственное место, где производная может менять знак, находится в критических точках функции. Теперь у нас есть еще одно применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нарисуем критические точки и выберем контрольные точки из каждой области, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждой области. Вот числовая прямая и контрольные точки для производной. Убедитесь, что вы проверили свои точки в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет иметь один и тот же знак в каждой области. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой. Итак, у нас получились следующие интервалы возрастания и убывания. \[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & - 2 < x < 0{\mbox{и}}0 < x <4\\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \infty < х < - 2 {\ mbox {и}} 4 < х < \ infty \ end {align *} \] В этом примере мы использовали тот факт, что производная может менять знак только в критических точках. Также критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, где производная не существует. Это приятно знать. Функция, в данном разделе производная, может менять знак там, где она равна нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная равнялась нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, мы также увидим пример или два позже с критическими точками, где производная не существует. 92}}}\) например. Опять же, этого явно не существует при $x = 0$ и но положителен по обе стороны от $x = 0$. Итак, повторюсь еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак там, где они либо равны нулю, либо не существуют. Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы возрастания и убывания функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика. Обратите внимание, что эскиз на этом этапе может быть не очень точным, когда речь идет о кривизне графика, но он, по крайней мере, будет иметь правильную основную форму. Чтобы получить правильную кривизну графика, нам понадобится информация из следующего раздела. 93} + 5\] Показать решение В этом примере не так уж много всего. Всякий раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые дают нам отправную точку. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки, \[f\left( { - 2} \right) = - \frac{89}{3} = - 29.67\hspace{0.25in}f\left( 0 \right) = 5\hspace{0.5in}f\ влево( 4 \вправо) = \frac{1423}{3} = 474,33\] После того, как эти точки нанесены на график, мы переходим к информации об увеличении и уменьшении и начинаем рисовать. Для справки здесь приведена информация о возрастании/убывании. \[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & - 2 < x < 0{\mbox{и}}0 < x <4\\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \infty < х < - 2 {\ mbox {и}} 4 < х < \ infty \ end {align *} \] Обратите внимание, что мы только после эскиза графика. Как отмечалось до того, как мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график. Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока не дойдем до $x = - 2$. В этот момент функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет $x = 4$. Однако обратите внимание, что во время возрастающей фазы ему нужно пройти через точку $x = 0$, и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, поэтому график проходит через $x = 0$ по горизонтали. Наконец, как только мы достигаем $x = 4$, график начинает и продолжает уменьшаться. Также обратите внимание, что, как и при $x = 0$, график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки. Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, за исключением некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следовали информации о возрастании/убывании и сначала наносили все критические точки, у вас должно было быть что-то похожее на это. Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов. Напомним из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба они находятся в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительным экстремумом ($x = 0$). Это нормально, поскольку нет причин думать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Мы знаем только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек. На наброске графика из предыдущего примера видно, что слева от $x = - 2$ график убывающий, а справа от $x = - 2$ график возрастает и $x = - 2$ является относительным минимумом. Другими словами, график ведет себя вокруг минимума точно так, как он должен был бы быть для того, чтобы $x = - 2$ было минимумом. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при $x = 4$ . График возрастает слева и убывает справа точно так, как и должно быть, чтобы $x = 4$ было максимальным. Наконец, график возрастает по обе стороны от $x = 0$, поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом. Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни тем, ни другим. Если $x = c$ является критической точкой и функция убывает слева от $x = c$ и возрастает справа, то $x = c$ должен быть относительным минимумом функции . Точно так же, если функция возрастает слева от $x = c$ и убывает справа, тогда $x = c$ должен быть относительным максимумом функции. Наконец, если функция возрастает с обеих сторон $x = c$ или убывает с обеих сторон из $x = c$, то $x = c$ не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом. Эти идеи можно обобщить в следующем тесте. Первый тест производной Предположим, что $x = c$ является критической точкой $f\left( x \right)$, тогда Если $f'\left( x \right) > 0$ слева от $x = c$ и $f'\left( x \right) < 0$ справа от $x = c$, тогда $x = c$ является относительным максимумом. Если $f'\left( x \right) < 0$ слева от $x = c$ и $f'\left( x \right) > 0$ справа от $ x = c$, то $x = c$ является относительным минимумом. Если $f'\left( x \right)$ имеет одинаковый знак с обеих сторон $x = c$, то $x = c$ не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом. Здесь важно отметить, что критерий первой производной будет классифицировать критические точки только как относительные экстремумы, а не как абсолютные экстремумы. Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшее и наименьшее значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют. Тест первой производной - это именно тест, использующий первую производную. Он никогда не использует значение функции, поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (что необходимо для выявления абсолютных экстремумов) и даже не начать. чтобы учесть тот факт, что абсолютные экстремумы могут не возникать в критических точках. Возьмем другой пример. 2} - 4}}\] 9{\ гидроразрыва {2} {3}}}}} \ конец {выравнивание *} \] Итак, похоже, здесь у нас будет четыре критических точки. Они есть, \[\begin{align*}t & = \pm \,2 & \hspace{1.0in} & {\mbox{Производная здесь не существует}}{\mbox{.}}\\ t & = \ pm \sqrt {\frac{{12}}{5}} = \pm 1,549 & \hspace{1,0in} & {\mbox{Здесь производная равна нулю}}{\mbox{.}}\end{align* }\] Нахождение интервалов возрастания и убывания также даст классификацию критических точек, так что давайте начнем с них. Вот числовая линия с нанесенными критическими точками и контрольными точками. Итак, похоже, мы получили следующие интервалы возрастания и убывания. \[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & - \infty < x < - 2,\,\,\, - 2 < x < - \ sqrt {\ frac {{12}} {5 }} ,\,\,\,\sqrt {\frac{12}{5}} < x < 2,\,\,\,\,\& \,\,\,2 < x <\infty \\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \sqrt {\frac{{12}}{5}} < x <\sqrt {\frac{{12}}{5}} \end{align*}\] Отсюда видно, что $t = - 2$ и $t = 2$ не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон. С другой стороны, $t = - \sqrt {\frac{12}{5}} $ является относительным максимумом, а $t = \sqrt {\frac{12}{5}} $ является относительным минимум. Для полноты картины приведен график функции. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличении и уменьшении информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит. В предыдущем примере две критические точки, в которых производная не существовала, оказались не относительными экстремумами. Ничего не читайте в этом. Они часто будут относительными экстремумами. Посмотрите Пример 5 в Абсолютных Экстремумах, чтобы увидеть пример одной из таких критических точек. Давайте рассмотрим еще пару примеров. Пример 4 Предположим, что высота дороги над уровнем моря задается следующей функцией. \[E\влево( x \вправо) = 500 + \cos \влево( {\frac{x}{4}} \right) + \sqrt 3 \sin \left({\frac{x}{4}} \Правильно)\] где $x$ в милях. Предположим, что если $x$ положительное, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если $x$ отрицательное, мы находимся к западу от начальной точки измерения. Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы ехали вверх по склону? Показать решение Хорошо, это просто очень причудливый способ спросить, каковы интервалы возрастания и убывания для функции на интервале $\left[ { - 25,25} \right]$. Итак, сначала нам нужна производная функции. \[E'\left( x \right) = - \frac{1}{4}\sin\left({\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3}}{ 4} \ cos \ влево ( {\ гидроразрыва {х} {4}} \ вправо) \] Установка этого параметра равным нулю дает, \[\begin{align*} - \frac{1}{4}\sin\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3}}{4}\cos \left( {\frac{x}{4}} \right) & = 0\\ \tan \left({\frac{x}{4}} \right) & = \sqrt 3 \end{align*} \] Решения для этого и, следовательно, критические точки, \[\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle \frac{x}{4} = 1,0472 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots}\\{\displaystyle \frac{x}{4} = 4,1888 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{array}\ hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,1888 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \ pm 2, \ldots \,\,}\\{x = 16,7552 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{массив}\] Я оставлю вам проверить, что критические точки, попадающие в нужный нам интервал, равны . \[ - 20,9439,\,\,\, - 8,3775,\,\,\,4,1888,\,\,\,16,7552\] Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками. Итак, интервалы возрастания и убывания равны, \[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & - 25 < x < - 20,9439, \,\,\, - 8,3775 < x < 4,1888 {\ mbox {и}} 16,7552 < x < 25 \\ {\ mbox {Уменьшение: }} & - 20,9439 < x < - 8,3775 {\ mbox {и} } 4,1888 < x < 16,7552 \end{align*}\] Обратите внимание, что мы должны были закончить наши интервалы в -25 и 25, так как мы не сделали никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем ничего сказать о функции за пределами интервала $\left[ { - 25 ,25} \справа]$. Из интервалов мы можем фактически ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов увеличения, поэтому общее количество миль равно 9.0003 \[\begin{align*}{\mbox{Расстояние}} & = \left( { - 20,9439 - \left( { - 25} \right)} \right) + \left( {4. 1888 - \left( { - 8,3775} \right)} \right) + \left( {25 - 16,7552} \right)\\ & = 24,8652{\mbox{мили}}\end{align*}\] Несмотря на то, что задача об этом не просила, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале $\left[ { - 25,25} \right]$. \[\begin{align*}{\mbox{Относительные максимумы: }} & - 20,92}\ln \влево( {3t} \вправо) + 6\] Определите, уменьшается ли численность населения в первые два года. Показать решение Итак, снова мы действительно после интервалов и увеличения и уменьшения в интервале [0,2]. Мы нашли единственную критическую точку для этой функции в разделе «Критические точки»: . \[x = \frac{1}{{3\sqrt {\bf{e}}}} = 0,202\] Здесь числовая линия для интервалов возрастания и убывания. Итак, похоже, что население на короткое время уменьшится, а затем продолжит расти вечно. Кроме того, хотя проблема и не требовала этого, мы можем видеть, что единственная критическая точка является относительным минимумом. В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы получить некоторую информацию о форме графика, и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях. Использование первой производной для получения информации о том, возрастает или убывает функция, является очень важным применением производных и довольно часто встречается во многих областях. Обзор исчисления AP: оценка производных по графикам - Блог Magoosh By Shaun Ault on 1 февраля 2018 г. в AP Итак, вы, возможно, запомнили все производные правила. Возможно, вы сможете вывести f '(x) из f ( x ) независимо от сложности функции. Но как вы оцениваете производные непосредственно по графику? Как мы увидим в этой обзорной статье, все дело в наклоне ! Наклон производных мер Начнем с фундаментальной связи между производными и графиками функций. Значение производной f '(a) равно наклону касательной к графику y = f ( x ) в x = a . Я рекомендую сначала освежить представление о касательных линиях. Вот несколько ресурсов, которые могут помочь. Как найти наклон линии, касательной к кривой Является ли производная функции касательной? Пример — оценка производных с использованием касательных линий Используйте информацию на графике f ( x ) ниже, чтобы оценить значение f '(1). График параболы с касательной в точке (1, 1). Решение Помните, производные значения — это наклоны! Таким образом, f '(1) равно наклону касательной к графику в точке x = 1, . Для определения наклона достаточно двух точек на линии. Одну точку легко заметить, потому что она есть и на графике самого числа f : (1, 1). Далее мы смотрим вдоль касательной, пока не найдем другую точку, координаты которой легко оценить. Попробуйте найти точку, которая пересекает «пересечение», потому что тогда она будет иметь целые координаты. Например, (2, 3), или (3, 5), или (0, -1) и т. д. Я выберу (3, 5) в качестве второй точки. Однако если вы выберете любую другую точку, если она находится на касательной, то ваш ответ должен быть равен (или очень близок) к моему. Затем используйте формулу наклона ( RISE over RUN ) для вычисления наклона касательной. Следовательно, f '(1) = 2. Увеличение, уменьшение и поворот Итак, первый пример может быть довольно простым. Насколько тяжело это может быть? Иногда нам приходится оценивать всех значений производной! Другими словами, имея график функции 91 477 f 91 478 (91 477 x 91 478), можно нарисовать график функции 91 477 f 91 478 '(91 477 x 91 478). При работе с дифференцируемыми функциями необходимо помнить о трех вещах. Если f увеличивается на интервале, то f ' > 0 (над осью x ) в этом интервале. Если f уменьшается на интервале, тогда f ' < 0 (ниже оси x ) в этом интервале. Если f плавно поворачивается в точке x = a , то f '( a ) = 0 (пересечение оси x ). Пример — оценка графика производной Нарисуйте график производной функции, график которой показан ниже. Решение Сначала определите две точки поворота: x = -2 и 0. Это означает, что f '(-2) = f '(0) = 0, Затем определите интервалы, на которых график увеличивается и уменьшается. Когда f увеличивается, мы имеем f ' > 0. Когда f уменьшается, мы имеем f ' < 0, График функции дает информацию о ее производной. .. если вы умеете ее анализировать. На приведенном ниже графике оригинал показан черным цветом, а набросок его производной — синим цветом. Обратите внимание, как синяя кривая соответствует описанию f '. Синяя кривая выше оси x всякий раз, когда f увеличивается. Синяя кривая находится ниже оси x всякий раз, когда f уменьшается. Синяя кривая пересекает ось x всякий раз, когда f имеет точку поворота. Недифференцируемые точки Методы оценки деривативов до сих пор игнорировали существенный вопрос. Что происходит, когда функция не имеет значения производной в данной точке? Любая точка x = a , в которой f '( a ) не существует, называется точкой недифференцируемости. Если a является такой точкой, то на графике f ' будет либо дыра, либо разрыв на x = a . Такое поведение может быть вызвано тремя причинами. Исходная функция не определена или прерывиста. На графике исходной функции есть угловая точка. Касательная вертикальна. Давайте рассмотрим три ситуации на следующем примере. Пример — оценка производных с недифференцируемыми точками Нарисуйте график производной следующей функции. Решение На этом графике многое происходит! Вертикальная асимптота x = -5. Поскольку f в этот момент не определено, мы знаем, что значение производной f '(-5) не существует. График подходит к острому углу x = 5. Производные не существуют в угловых точках. На точке x = 8 имеется изгиб. В точке перехода значение производной становится бесконечным. Помимо этих важных ориентиров, есть еще одна точка разворота, x = 0. Давайте проанализируем, что происходит в промежутках между особыми точками. А что именно происходит около х = -5, 5 и 8? При x = -5 исходный график следует вертикальной асимптоте. По определению, значения функции приближаются к ∞ или -∞, чем ближе x приближается к -5. В результате функция становится бесконечно крутой как x → -5. Бесконечная крутизна означает бесконечные значения уклона, поэтому f ' также должны иметь вертикальную асимптоту x = -5. Далее угловая точка с размерами x = 5 представляет очень резкое изменение направления. Вместо плавного поворота функция мгновенно меняет курс. Это означает, что произойдет скачок значения производной при переходе через х = 5, (Подробнее о разрывах скачков и связанных с ними темах см.: Обзор исчисления AP: разрывы.) Наконец, имеется изгиб с размерами x = 8. В стыке касательная к графику становится настолько крутой, что фактически становится вертикальной. Это означает, что наклон бесконечен, и снова на графике f ' будет вертикальная асимптота. Давайте соберем все вместе. Синий график представляет собой всего лишь эскиз 9.1478 кривой производной (не на 100% точно, но достаточно близко для наших целей). Обратите внимание не только на странное поведение вблизи каждой точки разрыва, но и на то, как значения производной находятся выше оси x , когда f увеличивается, и ниже оси, когда f уменьшается. Эскиз производной сложной функции. Оригинал черного цвета; производная синего цвета. Заключение Важно знать, как определить производную функции, основываясь только на ее графике. К счастью, на экзаменах AP Calculus от вас не потребуется рисовать саму кривую производной, но вам может быть предложено выбрать вариант ответа, который лучше всего ей соответствует. Использовать точки плавного разворота в качестве ориентиров. Убедитесь, что вы понимаете странное поведение в недифференцируемых точках. No related posts.

\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{ х}}{\sqrt{х+ч}+\sqrt{х}}\)	Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) без распределения в знаменателе. 2\). 92−2x\справа)=2x−2\). Таким образом, для функции \(y=f(x)\) каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\): \(f'(x), \quad \dfrac{dy }{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)\). Вместо \(f'(a)\) мы также можем использовать \(\dfrac{dy}{dx}\Big\|_{x=a}\). Использование нотации \(\dfrac{dy}{dx}\) (называемой нотацией Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \(\dfrac{Δy}{Δx}\), где \(Δy\) - разность значений \(y\), соответствующая разнице в \(x \) значения, которые выражаются как \(Δx\) (рисунок \(\PageIndex{1}\)). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения \(у\) по отношению к \(х\), выражается как \(\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\). Рисунок \(\PageIndex{1}\): производная выражается как \(\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\). Построение графика производной Мы уже обсудили, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение функции производной, мы можем построить ее график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \(f'(x)\) дает скорость изменения функции \(f(x)\) (или наклон касательной строка к \(f(x)\)). В примере \(\PageIndex{1}\) мы обнаружили, что для \(f(x)=\sqrt{x}\), \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {Икс}}\). Если мы изобразим эти функции на тех же осях, как на рисунке \(\PageIndex{2}\), мы сможем использовать графики, чтобы понять связь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \(f(x)\) возрастает по всей своей области, а это означает, что наклоны ее касательных во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем \(f'(x)>0\) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \(x\) наклоны касательных линий к \(f(x)\) уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \(f'(x)\). +}f'(x)=+∞\), что соответствует вертикальной касательной к \(f( х)\) в \(0\). 92−2x,\; f'(x)=2x−2\). Графики этих функций показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\). Обратите внимание, что \(f(x)\) убывает при \(x<1\). Для этих же значений \(x\), \(f'(x)<0\). Для значений \(x>1\) \(f(x)\) возрастает и \(f'(x)>0\). Кроме того, \(f(x)\) имеет горизонтальную касательную в точках \(x=1\) и \(f'(1)=0\). Рисунок \(\PageIndex{3}\): производная \(f'(x)<0\), где функция \(f(x)\) убывает и \(f'(x)>0\) где \(f(x)\) возрастает. Производная равна нулю там, где функция имеет горизонтальный тангенс Пример \(\PageIndex{3}\): набросок производной с помощью функции Используйте следующий график \(f(x)\) для построения графика \(f'(x)\). Решение Решение показано на следующем графике. Заметим, что \(f(x)\) возрастает и \(f'(x)>0\) на \((–2,3)\). Кроме того, \(f(x)\) убывает и \(f'(x)<0\) на \((−∞,−2)\) и на \((3,+∞)\). Также обратите внимание, что \(f(x)\) имеет горизонтальные касательные в точках \(-2\) и \(3\), а \(f'(-2)=0\) и \(f'(3)= 0\). 92−4\). На каком интервале находится график \(f'(x)\) над осью \(x\)? Подсказка График \(f'(x)\) положителен, где \(f(x)\) возрастает. Ответить \((0,+∞)\) Производные и непрерывность Теперь, когда мы можем изобразить производную, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин. Дифференцируемость подразумевает непрерывность Пусть \(f(x)\) — функция и \(a\) находится в ее области определения. Если \(f(x)\) дифференцируема в \(а\), то \(f\) непрерывна в \(а\). Доказательство Если \(f(x)\) дифференцируема в \(a\), то \(f'(a)\) существует и, если положить \(h = x - a\), мы имеют \( x = a + h \), и поскольку \(h=x-a\to 0\), мы можем видеть, что \(x\to a\). Тогда \[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber \] можно переписать как \(f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\). Мы хотим показать, что \(f(x)\) непрерывно в \(a\), показав, что \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).\) Таким образом , \(\begin{align} \displaystyle \lim_{x→a}f(x) &=\lim_{x→a}\;\big(f(x)−f(a)+f( a)\big)\\[4pt] &=\lim_{x→a}\left(\frac{f(x)−f(a)}{x−a}⋅(x−a)+f( a)\right) & & \text{Умножить и разделить}(f(x)−f(a))\text{ на }x−a.\\[4pt] &=\left(\lim_{x→ a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\right)⋅\left( \lim_{x→a}\;(x−a)\right)+\lim_{x→ а}ж(а)\\[4pt] &=f'(a)⋅0+f(a)\\[4pt] &=f(a). \end{align}\) Следовательно, поскольку \(f(a)\) определено и \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)\), мы заключаем, что \(f\) непрерывна в \(a\). □ Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, мы исследуем функцию \(f(x)=\|x\|\). Эта функция всюду непрерывна; однако \(f'(0)\) не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для \(f(x)=\|x\|\), 92}}=+∞\). Таким образом, \(f'(0)\) не существует. Беглый взгляд на график \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \(0\) (рисунок \(\PageIndex{5}\)). Рисунок \(\PageIndex{5}\): Функция \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) имеет вертикальную касательную в точке \(x=0\). Он непрерывен в точке \(0\), но не дифференцируем в точке \(0\). Функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \ text{ if } x=0\end{cases}\) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при \(0\). Мы видим, что \(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_ {x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\). Этого предела не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю (рис. \(\PageIndex{6}\)). Рисунок \(\PageIndex{6}\): функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ если } x≠0\\0, & & \text{ если } x=0\end{cases}\) не дифференцируемо в \(0\). Итого: Заметим, что если функция не непрерывна, то она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой. Мы видели, что \(f(x)=\|x\|\) не может быть дифференцируемым в \(0\), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к острому углу на графике функции в точке \(0.\). Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой». Как мы видели на примере \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная. Как мы видели с \(f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}\) функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами. Пример \(\PageIndex{4}\): кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой 92+bx+c, & & \text{, если }x <−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{, если } x≥−10\ end{cases}\), где \(x\) и \(f(x)\) указаны в дюймах. Для плавного движения автомобиля по трассе функция \(f(x)\) должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой в точке \(−10\). Найдите значения \(b\) и \(c\), которые делают \(f(x)\) одновременно непрерывным и дифференцируемым. Рисунок \(\PageIndex{7}\): Чтобы автомобиль двигался плавно по трассе, функция должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой. 92−10b+c=10−10b+c\) и \(f(−10)=5\), мы должны иметь \(10−10b+c=5\). 2+bx+c−5}{x+10}\\[4pt] 92, & & \text{ если } x≥3\end{cases}\) как непрерывны, так и дифференцируемы в \(3\). Подсказка Используйте пример \(\PageIndex{4}\) в качестве руководства. Ответить \(a=6\) и \(b=−9\) Производные высшего порядка Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее. В совокупности они обозначаются как 92−3ч}{ч}\)	Упростите числитель.
\(=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)\)	Вынесите \(h\) в числителе и сократите с \(h\) в знаменателе.
\(=4x−3\)	Возьмите предел.

\(f''(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}\)	Используйте \(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\) с \(f '(x)\) в место \(f(x).\)
\(=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}\)	Замените \(f'(x+h)=4(x+h)−3\) и \(f'(x)=4x−3.\)
\(=\displaystyle \lim_{h→0}4\)	Упростить.
\(=4\)	Возьмите предел.

Построение графика функции с помощью производной, сопутствующие задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Введение

Построение графика и исследование функции без производной

Построение графика и исследование функции с помощью производной

Задача

Частные случаи для задачи

Построение графиков функций — презентация онлайн

2. План построения графика функции с помощью производной

3.

4. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:

6. Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции

7. Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график

12. Исследовать функцию и построить её график

15. Проверим ответы

16. № 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4,

17. б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2

18. № 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет

19. № 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

20. № 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

21. Верно или не верно ? №1

23. № 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание

25. Используемые ресурсы

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

Примеры построения графиков функций

Применение производной к построению графиков функций (10 класс)

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Урок по теме «Применение производной к построению графиков» | План-конспект урока по алгебре (10 класс):

Как рассчитать и построить производную функции с помощью Python-Matplotlib?

Python3

Python3

Python3

3.2: Производная как функция

Цели обучения

Производные функции

Определение: производная функция

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение производной функции квадратного корня

Построение графика производной

Пример \(\PageIndex{3}\): набросок производной с помощью функции

Производные и непрерывность

Дифференцируемость подразумевает непрерывность

Доказательство

Пример \(\PageIndex{4}\): кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой 92+bx+c, & & \text{, если }x

Производные высшего порядка

Ключевые понятия

Ключевые уравнения

Глоссарий

Авторы и авторство

AC Производная функция

Мотивирующие вопросы

Определение 1.4.2.

Мероприятие 1.4.2.

Мероприятие 1.4.3.

Подраздел 1.4.2 Резюме

Упражнения 1.4.3 Упражнения

1. Производная функция графически.

3. Зарисовка производной.

4. Сравнение значений функции и производной.

5.

6.

8.

9.

4.5 Производные и форма графика — исчисление, том 1

Цели обучения

Первый производный тест

Теорема 4.9

Первый производный тест

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: использование теста первой производной

Пример 4.17

Использование теста первой производной для нахождения локальных экстремумов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 4.

Пример 4.18

Использование теста первой производной

Решение

Контрольно-пропускной пункт 4.17

Вогнутость и точки перегиба

г. Определение

Теорема 4.10

`Добавить комментарий Отменить ответ`