Правая тройка векторов как определить: Правая и левая тройки векторов

Пусть наши плоскости  изаданы уравнениями:

:  :

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

1) Плоскости параллельны:

2) Плоскости совпадают, если выполняются следующие условия:

a₂*x₀ + b₂*y₀ + c₂*z₀ + d₂ = 0

существует точка M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащая плоскости П₁

4. О векторном произведении двух векторов

4. О векторном произведении двух векторов

Предпошлём определению векторного произведения двух векторов ряд необходимых в дальнейшем понятий.

Три некомпланарных вектора будем называть упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них является первым, какой — вторым и какой — третьим.

Записывая упорядоченную тройку векторов, мы будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым — вектор и третьим — вектор . Таким образом, и  — две различные упорядоченные тройки векторов.

В дальнейшем мы будем рассматривать только упорядоченные тройки векторов, поэтому слово «упорядоченная» будем опускать и говорить просто «тройка векторов».

Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если выполнено одно из следующих трёх условий.

1. Eсли после приведения всех трёх векторов к общему началу кратчайший поворот от к мы видим из конца вектора совершающимся против часовой стрелки (рис. 264, а).

2. Ecли, находясь внутри трёхгранного угла, определяемого приведёнными к общему началу векторами , , , мы видим поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки (рис.  264, б).

Рис. 264

3. Ecли, будучи приведёнными к общему началу, векторы , и располагаются так, как могут быть расположены большой (), указательный () и средний () пальцы правой руки (рис. 264, в).

Вы можете легко проверить эквивалентность условий один, два и три.

Если кратчайший поворот от к упомянутый в условиях 1 и 2, мы видим из конца вектора совершающимся по часовой стрелке (рис. 265, а, б), то тройка некомпланарных векторов называется левой; также тройка некомпланарных векторов называется левой, если, будучи приведёнными к общему началу, векторы , и располагаются так, как могут быть расположены большой (), указательный () и средний () пальцы левой руки (рис. 265, в). Вы можете легко убедиться в эквивалентности всех трёх определений левой тройки некомпланарных векторов.

Заметим, что для компланарных векторов понятие правой (левой) тройки смысла не имеет.

Если две тройки векторов обе — правые (обе — левые), то говорят, что эти тройки имеют одинаковую ориентацию (тройки одной ориентации). Если же из двух троек векторов одна — правая, а другая — левая, то говорят, что эти тройки имеют противоположную ориентацию (тройки противоположной ориентации). Например, тройки векторов и имеют одинаковую ориентацию, а тройки и  — тройки противоположной ориентации (убедитесь в этом с помощью рисунка).

Рис. 265

Из трёх векторов , , можно составить лишь следующие шесть троек: , , , , , . Вы можете убедиться, что если первые три тройки — правые, то остальные три тройки — левые.

Заметим, что тройка векторов , , декартова прямоугольного базиса (ортонормированного репера) трёхмерного векторного пространства является правой, если кратчайший поворот от к наблюдается из конца вектора против часовой стрелки, и является левой, если кратчайший поворот от к наблюдается из конца вектора по часовой стрелке. В нашем учебнике тройка векторов , , предполагается правой.

Теперь введём определение векторного произведения двух векторов.

Определение. Если ненулевые векторы и неколлинеарны, то векторным произведением вектора на вектор называется такой третий вектор , обозначаемый символом  ×  и определяемый следующими тремя условиями: 1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла ϕ между ними, т.  е.

|  | = |  ×  | = |  |•|  |•sin ϕ;(*)

2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ; 3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой (рис. 266).

Рис. 266

Рис. 267

Если векторы и коллинеарны, то по определению их векторное произведение полагают равным (нуль-вектору).

Свойства векторного произведения

1. Длина вектора, равного векторному произведению неколлинеарных векторов и , численно равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и , как на сторонах (рис. 267).

Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из условия (*): |  | = |  ×  |  = |  |•|  | sin ϕ в определении векторного произведения векторов и .

2. ×  = –( × ) (свойство антиперестановочности сомножителей).

Рис. 268

Для доказательства этого свойства обозначим:  =  × ,  =  × . Если  || , то  =  = и свойство доказано. Если векторы и неколлинеарны (рис. 268), то: 1) |  | = |  |; 2) векторы  = × и  = × коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и , приведёнными к общему началу. Тогда либо  = , либо  = –. Если бы имело место  = , то обе тройки векторов и были бы правыми, что невозможно, так как эти тройки противоположной ориентации. Значит, остаётся  = –, а это означает: ×  = – ( × ), что и требовалось доказать. ▼

3. (m•) ×  = m•( × ) (сочетательное свойство относительно числового (скалярного) множителя).

Для доказательства этого свойства обозначим  = (m•) ×  и  = m•( × ) и рассмотрим случаи.

а) Если векторы и коллинеарны, то, вследствие коллинеарности векторов m• и , векторы m• и также коллинеарны. Тогда на основании определения векторного произведения имеем: (m•) ×  = и m•( × ) = , т. е.

 = (m•) ×  = m•( × ) = .

б) Если m = 0, то m• = и тогда  = (m•) ×  =  ×  = (вектор коллинеарен любому вектору). Обозначим  ×  = , тогда m•( × ) = 0• = . Опять получили:

р = (m•) ×  = m•( × ) = .

в) Если векторы и неколлинеарны и m ≠ 0, то неколлинеарны и векторы m• и . Обозначим: α = ∠ (; ), β = ∠ (m; ). Тогда

|  | = | (m) |•|  | sin β = | m |•|  |•|  | sin β;
|  | = | m |•|  ×  | = | m |•|  |•| |•sin α.

Учитывая, что α = β при m > 0 (рис. 269, а) и α + β = π при m < 0 (рис. 269, б), приходим к выводу, что sin β = sin α. Это означает, что и при m > 0, и при m < 0 длины векторов и равны.

Осталось доказать, что векторы и коллинеарны и сонаправлены.

Рис. 269

Коллинеарность этих векторов следует из того, что если вектор перпендикулярен плоскости, которой компланарны векторы и (рис. 269, в), то этот вектор перпендикулярен и плоскости, которой компланарны векторы m и , так как m || . Но этой плоскости перпендикулярен и вектор . Значит, || .

И, наконец, докажем, что ⇈ . Если m > 0, то m• ⇈ , значит, ( × ) ⇈ (m•) × . А так как m•( × ) ⇈ ( × ) при  m > 0, то m•( × ) ⇈ (m•) × , т.  е. ⇈ . Если m < 0, то m• ⇅ , значит, ( × ) ⇅ (m•) × . А так как m•( × ) ⇅ ⇅ ( × ) при m < 0, то m•( × ) ⇈ (m•) × , т. е. ⇈ .

Таким образом, и при m > 0, и при m < 0 имеем |  | = |  | и  ⇈ . Это означает:  = , т. е. (m•) ×  = m•( × ), что и требовалось доказать. ▼


4. ( + ) ×  = × + × (свойство распределительности векторного произведения относительно сложения векторов).

Преждe чeм доказывать этo свойство векторного произведения векторов, рассмотрим следующий интересный и полезный в дальнейшем геометрический факт.

Пусть неколлинеарные векторы и приведены к общему началу O:  = ,  = , ∠ (; ) = ϕ; α — плоскость, проходящая через точку O перпендикулярно вектору (рис. 270).

Рис. 270

Спроектируем ортогонально вектор на плоскость α и полученный вектор повернём в плоскости α вокруг точки О на угол 90° так, чтобы этот поворот наблюдался из конца вектора происходящим по часовой стрелке. Получим вектор , для которого: a) |  | = |  | = |  |•sin ϕ; б) ⟂ , ⟂ ; в) векторы , , образуют правую тройку. Умножив, далее, вектор на число, равное модулю вектора , получим такой вектор , что |  | = |  |•|  | = |  |•| |•sin ϕ. Так как, кроме того, ⇈ , то  — правая тройка векторов и  ⟂ , ⟂ . Это означает, что вектор равен векторному произведению векторов и , т. е.  =  × .

Докажем теперь свойство ( + ) ×  = × + × векторного произведения векторов, для чего отложим векторы  = ,  = ,  = ,  =  = + от точки О и ортогонально спроектируем их на плоскость δ, перпендикулярную вектору . При этом параллелограмм ОАРВ проектируется в такой параллелограмм O1A1P1B1 (рис. 271), что для векторов  = ,  = ,  = , являющихся ортогональными проекциями соответственно векторов , , , выполняется: +  = и |  | = |  |•sin α, |  | = |  |•sin β, |  | = |  |•sin γ, гдe α = ∠ (; ), β = ∠ (; ), γ = ∠ (; ).

Рис. 271

Далее рассмотрим такой поворот пространства вокруг прямой O1C на угол 90°, при котором индуцируемый в плоскости δ поворот вокруг точки О наблюдается из точки C совершающимся по часовой стрелке. Этот поворот отображает параллелограмм O1A1P1B1 на параллелограмм O1A2P2B2, а каждый из векторов , ,  — на перпендикулярный ему и равный по модулю соответственно вектор , , . Умножив каждый из этих векторов на |  |, получим соответственно такие векторы  = ,  = ,  = , что:

1) |  | = |  |•|  | = |  |•|  | = (|  |•sin α)•|  | = |  |•|  |•sin α;

аналогично, |  | = |  |•|  |•sin β; |  | = |  |•|  |•sin γ;

2) ⟂ , ⟂ ; ⟂ , ⟂ ; ⟂ , ⟂ ;

3) тройки векторов , и правые.

Это означает, что  =  × ,  =  × и  =  ×  = ( + ) × . Так как в параллелограмме O1A3P3B3 вектор  = + , то получаем ( + ) ×  = × + × , что и требовалось доказать. ▼

5. Для любого вектора справедливо ×  = , так как любой вектор коллинеарен сам с собой.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах

Векторное произведение × двух векторов и есть вектор, координаты которого нужно уметь находить, если известны координаты векторов сомножителей и .

Предварительно найдём все возможные векторные произведения базисных векторов , , .

Рис. 272

Из определения векторного произведения, учитывая, что векторы , , попарно взаимно перпендикулярны (рис. 272) и являются единичными, имеем:

×  = , ×  = , ×  = ,(**)
×  = –, ×  = –, ×  = –.

Теперь найдём координаты векторного произведения × векторов и , заданных в декартовом прямоугольном базисе (; ; ) своими координатами: (x1; y1; z1), (x2; y2; z2) или в виде разложения по базисным векторам , , :

 = x1 + y1 + z1,  = x2 + y2 + z2.

Принимая во внимание свойства векторного произведения векторов, используя соотношения (**) и учитывая, что тройка базисных векторов является правой, находим:

 ×  = (x1 + y1 + z1) × (x2 + y2 + z2) = (x1x2)•( × ) +
+ (x1y2)•( × ) + (x1z2)•( × ) + (y1x2)•( × ) + (y1y2)•( × ) +
+ (y1z2)•( × ) + (z1x2)•( × ) + (z1y2)•( × ) +
+ (z1z2)•( × ) = (x1x2)• + (x1y2)• + (x1z2)•(–) +
+ (y1x2)•(–) + (y1y2)• + (y1z2)• + (z1x2)• + (z1y2)•(–) + + (z1z2)• = (y1z2 – y2z1)• + (z1x2 – x1z2)• + (x1y2 – x2y1)•.

Таким образом, векторное произведение ×  = векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеет координаты:

 ×  = (y1z2 – y2z1; z1x2 – x1z2; x1y2 – x2y1).

 Таблица составленная из четырёх чисел a, b, с и d, называется квадратной матрицей второго порядка. Числа а, b, с и d называются элементами матрицы, при этом числа a и b называются элементами первой строки, числа с и d — элементами второй строки; числа a и c — элементами первого столбца, числа b и d — элементами второго столбца; числа a и d — элементами главной диагонали матрицы.

Определение. Число a•d – b•c называется определителем (или детерминантом) матрицы и обозначается так: .

Из определения видно, что определитель матрицы  равен разности произведений чисел a и d главной диагонали и чисел b и c второй диагонали определителя, т. е.

 = a•d – b•c.

Например,  = 3•(–2) – 1•(– 4) = –2.

Тогда координатами X = y1z2 – y2z1, Y = z1x2 – x1z2, Z =  x1y2 – x2y1 векторного произведения ×  = (X; Y; Z) векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) являются определители второго порядка, составленные из координат векторов — сомножителей. Действительно,

X = y1z2 – y2z1 = ; Y = z1x2 – x1z2 = ;
Z = x1y2 – x2y1 = .

Таким образом,

 ×  = 

или в виде разложения по базису имеем:

 ×  =  = • + • + •.

ЗАДАЧА. Найдём, например, площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах  = 2 + 3 – 5 и  = – 2 + 4, как на сторонах.

Решение. Так как площадь S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, равна модулю векторного произведения × , то найдём |  ×  |.

Имеем:

 ×  = • + • + • =
= (3•4 – (– 2)•(–5))• + ((–5)•1 – 4•2)• +
+ (2•(–2) – 1•3)• = 2 – 13 – 7,

откуда |  ×  | =  = Значит, искомая площадь S параллелограмма равна  

В высшей школе вы подробнее познакомитесь с векторным произведением и его приложениями в естественных науках. Кроме того, вам расскажут и о смешанном произведении () = (•)• векторов , и , его свойствах и приложениях.

Самостоятельно решите следующие задачи.

1. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 1; 1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2). (Ответ: )

2. На векторах (4; 6; 2) и (–2; 2; 4) построен треугольник. Найдите его площадь и высоты.

S = 18,75; h2 = h3 =  ; h4 =

3. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах + 3 и 3 + , если |  | = |  | = 1, ∠ (; ) = 30°. (Ответ: 4.)

4. Дан треугольник АВС площади S. Докажите, что площадь треугольника, сторонами которого являются медианы данного треугольника, равна  S.

Путаница с векторным тройным произведением

спросил 4 года, 6 месяцев назад

Изменено 4 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Вопрос простой. Скажем, у меня есть два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, и я хочу упростить произведение $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{b} $.

Однако это векторное произведение абсолютно перпендикулярно к $\mathbf{b}$, поэтому оно не должно иметь компонент на $\mathbf{b}$. Я понял, что $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ могут быть не ортогональны, но я не могу продолжить с этого момента, чтобы оправдать наличие $\mathbf{b}$.

Может ли кто-нибудь объяснить это простыми словами, почему там $\mathbf{b}$?

• векторы
• перекрестное произведение

$\endgroup$

$\begingroup$

Если $a$ и $b$ ортогональны друг другу, то вы правы в том, что $(a\times b)\times b$ должно быть скаляром $a$. В противном случае вы можете нарисовать картинку и увидеть, что $(a\times b)\times b$ — это вектор в плоскости, натянутый на $a$ и $b$ и ортогональный вектору $b$. Но так как $a$ и $b$ не ортогональны, необходимо, чтобы $a$ и $b$ записали $(a\times b)\times b$ как линейную комбинацию $a$ и $b$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Запишем более систематически. Учитывая равенство $$ (a \times b) \times b = -(b\cdot b)a + (b \cdot a) b, $$ вы правильно утверждаете, что левая сторона должна быть перпендикулярна $b$. Теперь давайте проверим, перпендикулярна ли правая сторона $b$: $$ \text{RHS}\cdot b = -\left( (b\cdot b)a + (b \cdot a) b \right) \cdot b = — (b \cdot b)(a \cdot b) + ( b \cdot a)(b \cdot b) = 0. $$ Как видите, правая часть также перпендикулярна $b$, и противоречия нет.

Ваше замешательство связано с предположением, что существование $b$ в правой части не позволяет ей быть перпендикулярной к $b$. Это не всегда правильно, если только $a$ и $b$ не перпендикулярны. Но, как видите, в данном конкретном случае $a\cdot b$ будет равно нулю, а $\text{RHS}=-(b \cdot b)a$. Итак, все еще нет противоречия.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

$\endgroup$

$\begingroup$

Пока $a$ и $b$ линейно независимы, они охватывают плоскость $P$, и $a\times b$ перпендикулярно $P$. Но $(а\раз б)\раз б$ перпендикулярна $a\times b$, поэтому

Чтобы подтвердить, что $\mu=-b\cdot b$ и $\nu=a\cdot b$, нужно всего лишь нужно доказать, что $c=-(b\cdot b)a+(a\cdot b)b$ имеет одинаковые скалярные произведения с $a$ и $b$, которые имеют $(a\times b)\times b$. Но $$c\cdot b =-(b\cdot b)(a\cdot b)+(a\cdot b)(b\cdot b)=0$$, что хорошо поскольку $(a\times b)\times b$ ортогонален $b$. 2t.$$ Действительно, тогда $c=(a\times b)\times b$.

$\endgroup$

$\begingroup$

$\frac{(a\cdot b)\,b}{b\cdot b}$ — проекция $a$ на направление $b$.

$\frac{a\times b}{|b|}$ — это проекция $a$ на плоскость, перпендикулярную $b$, с последующим поворотом $\frac\pi2$ вокруг направления $b$. Поскольку $\frac{a\times b}{|b|}$ перпендикулярно $b$, векторное произведение с $\frac{b}{|b|}$ просто поворачивает его еще на $\frac\pi2$ вокруг направление $b$. То есть $-\frac{(a\times b)\times b}{b\cdot b}$ — это проекция $a$ на плоскость, перпендикулярную $b$.

Сложение этих двух ортогональных проекций дает $$ \frac{(a\cdot b)\,b}{b\cdot b}-\frac{(a\times b)\times b}{b\cdot b}=a\tag1 $$ Решение для $(a\times b)\times b$ дает $$ (a\times b)\times b=(a\cdot b)\,b-(b\cdot b)\,a\tag2 $$

Хотя кажется, что компонент $b$ находится в правой части $(2)$, все, что $(a\cdot b)\,b$ служит для того, чтобы отменить часть $(b\cdot b)\,a$, которая находится в направлении $b$. Обратите внимание, что $$ ((a\cdot b)\,b-(b\cdot b)\,a)\cdot b=0\tag3 $$ Таким образом, компоненты в направлении $b$ действительно нет.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Скалярное тройное произведение | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, как вычислить скалярное тройное произведение векторов. Но прежде чем двигаться дальше, давайте сначала определим вектор.

Вектор — это величина, которая изображается как по величине, так и по направлению. Мы представляем векторы с помощью алфавитов со стрелкой вправо вверху, которая показывает их направление. Например, , и являются представлениями векторов.

Скалярное тройное произведение векторов

Скалярное тройное произведение также известно как смешанный продукт . Скалярное тройное произведение трех векторов , и математически обозначается как и равно скалярному произведению первого вектора на векторное произведение двух других векторов и . Он называется скалярным произведением, потому что, как и скалярное произведение, скалярное тройное произведение дает одно число.

Мы можем математически обозначить это произведение как:

Перекрестное произведение этих векторов равно определителю. Строки этого определителя равны координатам векторов относительно ортонормированного базиса.

Свойства тройного произведения

Свойства тройного произведения приведены ниже:

• Если порядок множителей круговой, тройное произведение остается неизменным. Например,
• Однако тройное произведение меняет знаки, если множители переставлены. Например,
• Если три вектора линейно зависят друг от друга, то тройное произведение равно нулю.

Лучшие репетиторы по математике

Let’s Go

Пример 1

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически Скалярное тройное продукт представлен в виде:

Сначала мы будем собирать продукт, используя, используя использование, используя. определитель. Координаты этих векторов будут элементами определителя.

Вычислим определитель по формуле нахождения определителя матрицы 3х3 так:

Теперь мы рассчитаем точечный продукт и подобно этим:

Пример 2

Найдите скалярную тройную продукт следующих векторов:

Раствор

Математическая математическая произведение представлено как:

Сначала мы вычислим произведение с помощью определителя. Координаты этих векторов будут элементами определителя.

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение и следующим образом:

2  

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представляется как:

Сначала мы вычислим произведение с помощью определителя. Координаты этих векторов будут элементами определителя.

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение и следующим образом:

Найти еще здесь на Суперпроф.

Пример 4

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представляется как:

Сначала мы вычислим произведение с помощью определителя. Координаты этих векторов будут элементами определителя.

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение и следующим образом:

Пример 2

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически скалярное тройное произведение представляется как:

Сначала мы вычислим произведение с помощью определителя.