Методы решения дифференциальных уравнений в картинках
Приводятся основные сведения об обыкновенных дифференциальных уравнениях в сжатом виде – в картинках. Большинство из них содержат методы решения уравнений.
Здесь приводятся главные картинки страниц раздела «Дифференциальные уравнения». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. В частности, на многих из них даются методы решения уравнений. Просматривая картинки, можно освежить в памяти методы решений дифференциальных уравнений. Также каждый заголовок снабжен ссылкой на страницу, к которой относится картинка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Методы решения дифференциальных уравнений
Рассмотрены основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с примерами их решений. Рассмотрены уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения второго и высших порядков.
Даны три метода решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Основные понятия и определения дифференциальных уравнений
Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Приведена инструкция, как решать дифференциальные уравнения первого порядка. Перечислены основные типы обыкновенных ДУ первого порядка. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы с подробным изложением методов решения и разобранными примерами.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Показано как определить, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Рассмотрен метод решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению.
Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.
Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Изложен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли – введением двух функций. Рассмотрен пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.
Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Рассмотрен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной (Лагранжа). Дан пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Лагранжа.
Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным
Рассмотрены дифференциальные уравнения, приводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка.
Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению.
Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения
Дано определение дифференциального уравнения Бернулли. Рассмотрены методы его решения: приведением к линейному уравнению и методом Бернулли. Рассмотрены два примера уравнений с подробными решениями методом Бернулли.
Дифференциальное уравнение Риккати
Дано определение дифференциального уравнения Риккати. Рассмотрены его свойства, приведение к более простой форме и частные случаи решения.
Дифференциальное уравнение Якоби
Дано определение дифференциального уравнения Якоби и рассмотрен метод его решения.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Даны методы его решения. Приводится пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя способами.
Решение дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Приведены свойства интегрирующих множителей и указаны методы их нахождения. Разобраны примеры решений уравнений с помощью интегрирующего множителя.
Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
Формулировка теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство теоремы методом последовательных приближений Пикара.
Не разрешенные относительно производной
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Приводятся основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенные относительно производной. Разобраны самые простые из них и даны ссылки на страницы, содержащие методы их решения с примерами.
Дифференциальные уравнения первого порядка, содержащие только производную
Рассмотрено решение дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих только производную. Приводится пример решения такого уравнения.
Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных
Дан метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, не содержащих в явном виде одну из переменных. Рассмотрен частный случай, когда уравнение может быть разрешено относительно переменной. Приводятся примеры решений таких уравнений.
Дифференциальное уравнение Клеро
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Клеро и нахождение его особого решения. Дан пример решения дифференциального уравнения Клеро.
Дифференциальное уравнение Лагранжа
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Лагранжа. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения Лагранжа.
Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, приводящиеся к уравнению Бернулли
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, приводящихся к уравнению Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков
Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение.
Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.
Дифференциальное уравнение y(n) = f(x)
Рассмотрено дифференциальное уравнение, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x. Такое уравнение решается непосредственным интегрированием n раз. Также его можно решить, выполняя однократное интегрирование с помощью формулы Коши для повторных интегралов. Дан подробный пример решения такого уравнения.
Формула Коши для повторных интегралов
Доказана формула Коши, которая сводит повторные интегралы от некоторой функции f к однократному. Показано, что эти интегралы являются частным решением дифференциального уравнения, в котором производная n-ой степени от y равна f(x), с нулевыми начальными условиями. Дано общее решение такого уравнения.
Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Приводятся типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, решаемых в квадратурах.
Подробно изложены методы их решения. Разобраны пять примеров решений подобных задач.
Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.
Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего переменную x в явном виде. Такое уравнение сводится к уравнению более низкого порядка с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.
Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков
Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков
Дано определение и указано как распознать обобщенно однородное относительно переменных дифференциальное уравнение высшего порядка. Приводится подстановка, с помощью которой в этом уравнении можно понизить порядок. Подробно рассмотрен пример решения обобщенно однородного ДУ второго порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной
Показано как понизить порядок дифференциального уравнения с полной (точной) производной. Рассмотрены методы выделения полной производной, и примеры применения этих методов для решения дифференциальных уравнений высших порядков.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка
Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка. Доказательство производится путем сведения уравнения к системе уравнений первого порядка.
Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений
Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений методом последовательных приближений Пикара.
Линейные с постоянными коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.
Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли
Рассмотрен метод Бернулли (двух функций) для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Этот метод применим, если известно частное решение однородного уравнения. Приведены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Бернулли.
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа
Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа.
Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.
Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа
Рассмотрены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).
Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрен способ решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом понижения порядка.
Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом понижения порядка
Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни, методом понижения порядка.
Пример комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения
Рассмотрен пример применения комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то подстановка позволяет понизить порядок уравнения на две единицы.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрен способ решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Дан вид общего решения. Примеры решений.
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью
Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью, содержащей комбинации из многочленов, экспонент, синусов и косинусов. Установлен вид частного решения.
Пример решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью
Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью в виде суммы экспоненты, умноженной на x, синуса и многочлена второй степени.
y′′+y=x2cos x. Пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью
Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью y′′+y=x∧2cos x. Приводится подробное решение тремя способами: понижением порядка линейной подстановкой; стандартным способом; стандартным способом, используя комплексные функции.
Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера
Рассмотрены примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера.
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка
Рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка методом вариации постоянных Лагранжа.
Линейные уравнения в частных производных первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик.
Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.
Дифференциальные уравнения: виды, методы решения
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений».
А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.
Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)
Начнем с примеров таких уравнений.
y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73
Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.
Пример 2Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1
Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.
Пример 3Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)
Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)
Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx
Пример 4К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx
Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0 .
Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.
В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.
К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.
Пример 6Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.
Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример 7Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.
Пример 9Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.
Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0
Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.
Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)
Приведем примеры таких уравнений.
Пример 10К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:
y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x
Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».
Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya
Приведем примеры подобных уравнений.
Пример 11К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2
Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.
Пример 12Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y»+py’+qy=0, p,q∈R
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто.
Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:
- действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
- действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
- комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
- y=C1ek1x+C2ek2x;
- y=C1ekx+C2xekx;
- y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y»+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2
Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y»+py’+qy=f(x), p,q∈R
Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y»+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.
Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.
Пример 14К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:
y»-2y’=(x2+1)ex;y»+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x
Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Пример 15Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=0.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=x2+1.
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), …, y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.
В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p»(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.
Пример 17В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y», .
.., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:
d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Рассмотрим решение уравнения 4y3y»=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
- находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+.
..+f1·k+f0=0; - записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
..+f1·k+f0=0;Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Пример 19Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=0.
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Дифференциальные уравнения первого порядка – Учебники по математическому анализу
Рассмотрим ОДУ первого порядка, когда самая высокая производная в уравнении является первой производной.
$y’=f(t,y)$, $y(t_{0})=y_{0}$
- $y’=f(t,y)$, $y(t_ {0})=y_{0}$ есть решение?
- Если да, то можем ли мы найти формулу решения?
Первый вопрос решается легко:
Предположим, что $f(t,y)$ и $\frac{\partial f(t,y)}{\partial y}$ непрерывный на замкнутом прямоугольнике $R$ плоскости $ty$. Если $(t_{0},y_{0}) \in R$, затем IVP , ОДУ вместе с заданным начальным условием, $$ y’=f(t,y), \quad y(t_{0})=y_{0} $$ имеет единственное решение $y(t)$ на некотором $t$-интервале, содержащем $t_{0}$.
Второй вопрос гораздо сложнее, и часто нам приходится прибегнуть к численным методам. Однако в этом руководстве мы рассмотрим четыре из наиболее часто используемых аналитических методов решения для первого порядка ОДЫ.
Разделение переменных
Если ОДУ можно записать в виде $$ \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{g(t)}{h(y)}, $$, то ОДУ называется , разделимым на .
В этом случае простой метод решения можно вывести следующим образом:
Предположим, $y=f(t)$ решает ОДУ. Переписывая ОДУ как $h(y)y’=g(t)$,
$$\begin{array}{rcl} h(f(t))f'(t) &= &g(t) \\ \int h(f(t))f'(t)dt &= & \int g(t)dt +C \\ \int h(y)dy & = & \int g(t)dt +C. \end{массив}$$
Поскольку $y=f(t)$, $y’=f’(t)$.
Интегрирование по $t$ с каждой стороны.
Так как $dy=f'(t)dt$.
После интегрирования у нас есть наше неявно определенное общее решение ОДУ, которое мы часто можем решить явно для y ( t ). Говорят, что решение ОДУ записывается неявно, если оно имеет форму $H(xy)=C$, а не решается для y через x.
Пример
Решим сепарабельное ОДУ $y’ = \frac{4y}{t}$. Разделение переменные и интегрирование, 9{2}}-\frac{1}{2}$.
Для практики решите $y’ = \frac{4y}{t}$, представив его в виде нормальной линейной
форме и с использованием интегрирующего коэффициента. Убедитесь, что вы получаете то же самое
результат, как мы сделали, разделив переменные.
Использование замены переменных
Часто ОДУ первого порядка, которое не является ни сепарабельным, ни линейным, может быть упрощается до одного из этих типов путем замены переменных. Вот несколько важных примеров:
Однородное уравнение порядка 0 9{2}+ F(t)$. Если известно одно частное решение $g(t)$, используйте замену переменных $z=\frac{1}{y-g}$, чтобы преобразовать ОДУ в $\frac{dz}{dt}+ (a+2bg) z=-b$, который является линейным.
При использовании замены переменных решить преобразованное ОДУ, а затем вернуться к исходным переменным, чтобы получить общее решение исходного ОДУ. Часто вам придется оставить свое решение в неявной форме.
Пример
Решим ОДУ $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x-4y}$. Чтобы увидеть, что это однородна порядка 0, заметим, что $$ f(kx,ky)= \frac{ky-kx}{kx-4ky}=\frac{y-x}{x-4y}=f(x,y). $$ 9{3}(2y-x) = C$, записывается неявно.
Нахождение интеграла для точного уравнения
ОДУ $N(x,y)y’ + M(x,y) = 0$ является точным уравнением, если
$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ в
области $xy$-плоскости.
Если мы сможем найти функцию $H(x,y)$ для
которые $\frac{\partial H}{\partial x}= M$ и $\frac{\partial
H}{\partial y}= N$, то $H(x,y)$ называется интегралом ОДУ и $H(x,y) = C$ — общее решение исходного ОДУ.
Чтобы найти $H(x,y)$, заметим, что $$ H(x,y) = \int M(x,y)dx + g(y) $$ для некоторого $g(y)$, поскольку $ \frac{\partial H}{\partial x}= M(x,y)$. Чтобы найти $g(y)$, вычислите $$ \frac{\partial H}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y} \left[ \int M(x,y)dx \right ] + g'(y) $$ и приравняем его к $N(x,y)$. Найдите $g'(x,y)$ , который не зависит от $ x $, и проинтегрируйте по $y$, чтобы получить $g(y)$ и, таким образом, $H(x,y)$, явно . Обратите внимание, что наше решение $H(x,y) = C$ записано в неявной форме. В качестве альтернативы мы можем начать с $H(x,y) = \int N(x,y)dy + h(x)$ для некоторого $h(x)$ и продолжить соответствующим образом. 9{2}-3x+4y=С. $$
Ключевые понятия
[Я готов пройти тест.]
[Мне нужно просмотреть больше.
]
Дифференциальные уравнения первого порядка
Возраст от 16 до 18 лет
Статья Майкла Грейлинга
Опубликовано в 2014 г. Пересмотрено в 2016 г. . В первую очередь, это могут быть дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. наибольшая производная из присутствующих есть первого, или более высокого порядка, т.е. есть производная больше первой. Иногда вопрос приведет вас к определенному методу решения дифференциального уравнения.
Однако чаще вам придется применять стандартный метод для решения, и в этой статье рассматриваются два основных метода для дифференциальных уравнений первого порядка. Однако стоит отметить, что, как и в случае с большинством экзаменов STEP и других экзаменов по продвинутой математике, вы должны убедиться, что очень хорошо знаете все различия и интеграцию в A-Level; который включает в себя важные неявные
дифференциация. Имея в виду этот последний момент, давайте перейдем к нашей первой технике, разделению переменных.
Первый метод, используемый для «разделимых» дифференциальных уравнений первого порядка, — это разделение переменных. Дифференциальное уравнение первого порядка \(dy/dt\) называется разделимым, если его можно записать в виде:
\( \hspace{3,25 дюйма} \frac{dy}{dt}=f(y)g (t).\)
Тогда разделение переменных означает деление на \(f(y)\) и последующее интегрирование по \(t\), т.е.:
\( \hspace{3 in} \int \frac{1}{f(y)}dy = \int g(t)dt.\)
Больше ничего! Хотя, конечно, интегралы в левой и правой частях могут быть не особенно простыми; они часто требуют, чтобы вы сделали замену. Это одна из причин, почему знание интеграции A-Level наизнанку имеет ключевое значение; и вам следует подумать о том, чтобы пройти модуль 10, чтобы получить некоторые подсказки и подсказки.
Метод интегрирования коэффициентов
Наш второй метод использует правило произведения для дифференцирования для решения дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно записать в виде:{-3t}.
\)
Итак, это две техники, с которыми вам необходимо ознакомиться, чтобы начать решать задачи STEP с дифференциальными уравнениями первого порядка. Однако, чтобы действительно все проверить, давайте продолжим работу над частью прошлого вопроса STEP.
Пример
Этот отрывок взят из вопроса 6 по STEP III 2008 и дает хорошее введение в дифференциальные уравнения первого порядка в STEP. Во-первых, нас сначала просят дифференцировать \(y\) по \(x\). Важно помнить, что \(p\) сама является функцией \(x\), поэтому мы выполняем неявное дифференцирование. Находим: 92+2xp \right)=2p \frac{dp}{dx}+2x \frac{dp}{dx}+2p.\)
Тогда реализация LHS \(dy/dx\) может быть заменена на \ (p\) и соответствующим образом переставляя, мы находим:
\( \hspace{1,85 дюйма} \frac{dp}{dx}=-\frac{p}{2p+2x} \Rightarrow \frac{dx}{dp} =-\frac{(2p+2x)}{p}=-2-2\frac{x}{p}, \)
по мере необходимости.
Итак, теперь у нас есть дифференциальное уравнение относительно \(x\), которое нам нужно решить.