Правила интегралов: способы кратко и понятно, примеры задач

Содержание

§3. Основные правила интегрирования

I. .

II. .

III. Если , то.

Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества , надо каждый элемент множества умножить на число .Правило III можно доказать так: . Тогда

т.е. .

Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования фигурирует линейная функция :

но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .

Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).

§4. Основные методы интегрирования

I Непосредственное интегрирование

Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Примеры.

Можно предложить и другой способ:

Ответы по форме различны, но формулы тригонометрии позволяют доказать их тождественность.

3. .

4.Частный случай формулы 14 из §2:

5.Один полезный прием:

II Метод замены переменной

Существуют две реализации этого метода: 1) в качестве новой переменной интегрирования рассматриваем некоторую функцию , которая фигурирует в подынтегральном выражении; 2) переменную интегрированиязаменяем специально подобранной функцией.

II.1 Подведение под знак дифференциала

Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция– непрерывно-дифференцируема, то

. (1)

Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

что и доказывает (1).

Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.

Примеры.

Замечание 1.

Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.

Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-

ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на).

Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их

лучше запомнить как табличные:

II.2 Метод подстановки

Теорема 2. Пусть требуется вычислить интеграл и пусть– непрерывно-дифференцируемая функция, имеющая обратную. Тогда, если

, (2)

то

. (3)

Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда

Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).

Пример.

Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:

III Интегрирование по частям

Теорема 3. Если и– непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула

. (4)

Доказательство вытекает из правила дифференцирования произведения: . Проинтегрируем обе части этого равенства и учтем одно из свойств неопределенного интеграла:

отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).

При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функциявычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.

Примеры.

10.

Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например, получим тот же результат:

Замечание 4. Область применения этого метода в основном исчерпывается интегралами вида , где– многочлен, а– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2) логарифмические и обратные тригонометрические функции. При этом в качествев случае 1) берем многочлен, а в случае 2)– логарифмы и аркфункции. Отметим, что в случае 2) «многочлен» может содержать степени переменной с ненатуральными показателями.

Примеры.

12.

13.

Мы пришли к уравнению , из которого

получаем

14.Для интеграла путем двукратного интегриро-

вания по частям можно получить уравнение

из которого находим

Аналогичным образом можно найти интегралы

, , .

3.2.2. Простейшие правила интегрирования

Простейшие правила нахождения первообразных основаны на следующих свойствах неопределенного интеграла.

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. В самом деле:

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная.

Из второго и третьего свойств следует, что символы дифференциала и неопределенного интеграла уничтожают друг друга, будучи примененными последовательно (если отвлечься от постоянного слагаемого в последней формуле).

Свойство 4. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

(3. 2.2)

где u, υ,…,ω – функции независимой переменной х.

Свойство 5. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла, т.е.:

(3.2.3)

где С – константа.

Пример 4. Вычислить интеграл

Применяя свойства интеграла, получим:

Хотя каждое промежуточное интегрирование дает произвольное постоянное слагаемое, но их сумма снова будет произвольной постоянной.

Теорема 2. (Об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

то и

где t = φ(x) – любая дифференцируемая функция от х.

Доказательство. Пусть где F‘(x) = f(x).

Возьмем теперь сложную функцию F[φ(x)] = F(t), у которой промежуточным аргументом является дифференцируемая функция t = φ(x). В силу теоремы об инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала функции имеем:

dF(t) = F‘(t)dt = f(t)dt

Отсюда

Таким образом, переменной интегрирования может быть любая функция от х. Теорема доказана.

В силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от нее.

2^а.

2^б.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. или

17.

18.

19.

Таблица интегралов для элементарных функций выписана в предположении, что t может быть как независимой переменной, так и любой дифференцируемой функцией от

х, т.е. t = φ(x).

Легко понять, что табличные интегралы можно было бы писать и в виде

3. 5. 6. и т.п.

Точно также интеграл можно записать в любом из видов Сказанное делает понятным назначение множителя dx. Он указывает на переменную интегрирования: x, t, z, u, y.

Операция интегрирования значительно сложнее дифференцирования. Интегрирование требует индивидуального подхода к каждой функции.

Вычислить неопределенные интегралы

Пример 5.

Все три интеграла табличные.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

При нахождении первообразных использованы свойства неопределенного интеграла и алгебраические преобразования подынтегральной функции, в результате все интегралы свелись к табличным.

интеграционных правил — что такое интеграционные правила? Примеры

Интегральные правила используются для простого вычисления интеграла. На самом деле интеграл от функции f(x) — это функция F(x) такая, что d/dx (F(x)) = f(x). Например, d/dx (x ² ) = 2x и, следовательно, ∫ 2x dx = x ² + C, т. е. интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию. Но нельзя (не легко) каждый раз применять обратный процесс дифференцирования для вычисления интегралов. Правила интеграции очень помогли бы в этом отношении.

Давайте посмотрим, каковы правила интеграции различных функций вместе с примерами.

1.	Что такое правила интеграции?
2.	Основные правила интеграции
3.	Правила интегрирования тригонометрических функций
4.	Правила интегрирования обратных тригонометрических функций
5.	Правила интеграции специальных функций
6.	Правило интеграции ILATE
7.	Правила замещения метода интеграции
8.	Правила интегрирования с использованием неполных дробей
9.	Правила интеграции FTC
10.	Часто задаваемые вопросы о правилах интеграции

Что такое правила интеграции?

Правила интеграции — это правила, используемые для интеграции различных типов функций. Мы видели, что ∫ 2x dx = x ² + C, поскольку d/dx (x ² ) = 2x. Это можно получить с помощью степенного правила интегрирования, которое гласит: ∫x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ /(n+1) + C, где ‘C’ — постоянная интегрирования (которую мы добавляем после интеграла любую функцию). Используя это правило, ∫ 2x dx = 2 [x ¹⁺¹ /(1+1) ]+ C = 2 (x ² /2) + C = x ² + C и мы получили тот же ответ. Теперь вы, возможно, поняли важность правил интеграции. Существуют различные типы интегральных правил, и наиболее часто используемые из них перечислены ниже:

Основные правила интеграции

Вот основные правила интегрирования, каждое из которых может быть проверено путем дифференцирования результата. Если вы хотите увидеть, как выводится каждое из этих правил, нажмите на соответствующие ссылки.

Степенное правило интегрирования:
Интеграл от 1 равен ∫ 1 dx = x + C.
Интеграл от e ^x равен, ∫ e ^x dx = e ^x + C
Интеграл от ^x равен ∫ a ^x dx = a ^x / ln a + C
Интеграл от 1/x равен ∫ 1/x dx = ln |x| + С

Кроме того, мы используем следующие свойства интегралов, когда вместо подынтегральной функции стоит сумма/разность членов.

∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ [f(x)-g(x)] dx = ∫ f(x) dx — ∫ g(x) dx
∫ a f(x) dx = ∫ f(x) dx + C, где a — константа

Правила интегрирования тригонометрических функций

Существует 6 тригонометрических функций: sin, cos, tan, csc, sec и cot. Вот правила интегрирования всех этих тригонометрических функций:

Интеграл от sin x равен ∫ sin x dx = -cos x + C.
Интеграл от cos x равен ∫ cos x dx = sin x + C.
Интеграл от tan x равен ∫ tan x = ln (sec x) + C (или) -ln |(cos x)+C
Интеграл csc x равен ∫ cosec x dx = ln |cosec x — cot x| + C (или) — ln |cosec x + cot x| + С (или) пер | загар (x/2) | + С
Интеграл от sec x равен ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C (или) (1/2) ln | (1 + sin x) / (1 — sin x) (или) ln | загар [(x/2) + (π/4)] | + С
Интеграл от cot x равен ∫ cot x dx = ln |sin x| + С

Помимо этих, есть и другие правила, которые включают в себя комбинацию тригонометрических функций.

∫ сек ² x dx = tan x + C
∫ cosec ² x dx = -cot x + C
∫ сек x.tan x dx = сек x + C
∫ косек х . раскладушка x dx = -cosec x + C

Правила интегрирования обратных тригонометрических функций

Существует 6 обратных тригонометрических функций: arcsin (sin ^-1 ), arccos (cos ^-1 ), arctan (tan ^-1 ), arccsc (csc ^-1 ), arcsec (sec ^-1 ) и arccot (cot ^-1 ). Вот правила интегрирования этих обратных тригонометрических функций.

∫ sin ^-1 x dx = x sin ^-1 x + √(1 — x ² ) + C
∫ cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
∫ тангенс ^-1 x dx = x тангенс ^-1 x — ½ ln |1+x ² | + С
∫ csc ^-1 x dx = x csc ^-1 x + ln |x + √(x ² — 1)| + С
∫ сек ^-1 x dx = x сек ^-1 x — ln |x + √(x ² — 1)| + С
∫ раскладушка ^-1 x dx = x раскладушка ^-1 x + ½ ln |1+x ² | + С

На самом деле нам не нужно запоминать эти правила, вместо этого мы можем применить правило интегрирования по частям, чтобы быстро получить каждое из них.

Помимо этих, у нас есть несколько других правил интегрирования, которые включают обратные тригонометрические функции:

∫1/√(1 — x ² ). dx = sin ^-1 x + C
∫ 1/(1 — x ² ).dx = -cos ^-1 x + C
∫ 1/x√(x ² — 1).dx = сек ^-1 x + C
∫ 1/x√(x ² — 1).dx = -cosec ^-1 x + C
∫1/(1 + x ² ).dx = тангенс ^-1 x + C
∫ 1/(1 +x ² ).dx = -cot ^-1 x + C

Эти правила напрямую выводятся из производных обратных триггерных функций.

Правила интеграции специальных функций

Помимо правил, которые мы видели в предыдущих разделах, у нас есть некоторые правила интегрирования, которые используются для интегрирования некоторых специальных типов рациональных функций, где знаменатель включает квадраты. Они следующие:

∫1/ (x ² — a ² ) dx = (1/2a) log|(x-a)/(x+a)| +С
∫1/ (a ² — x ² ) dx = (1/2a) log|(a+x)/(a-x)| +С
∫ 1/ √(x ² + a ² ) dx = log |x + √(x ² + a ² )|+C
∫1/ √(x ² — a ² ) dx = log |x + √(x ² — a ² )|+C
∫1/ (a ² + x ² ) dx = (1/a) tan ^-1 (х/д) + C
∫ 1/ √(a ² — x ² ) dx = sin ^-1 (x/a) +C

Существуют и другие правила интегрирования, в которых используются квадратные корни подынтегральных выражений.

∫√(a ² — x ² ).dx = x/2 · √(a ² — x ² ) + a ²/203 — 90 а + С
∫√(x ² + a ² ).dx = x/2 · √(x ² + a ² ) + a ² /2 · log |x + √(x ² + a ² )| + С
∫√(x ² — a ² ).dx = x/2 · √(x ² — a ² ) — a ² /2 · log |x + √(x — а ² )| + С

Эти 3 правила можно получить, используя метод подстановки интегрирования.

Правило интеграции ILATE

Правило интегрирования ILATE используется в процессе интегрирования по частям. Это применяется для интеграции произведения любых двух различных типов функций. Правило интегрирования по частям гласит:

∫ у дв = ув — ∫ в дю

Но когда у нас есть произведение функций u × dv, мы не можем понять, какая функция должна быть u, а какая — dv. В этом случае мы используем правило ILATE, где:

I : Обратные тригонометрические функции
L: Логарифмические функции
А: Алгебраические функции
T: Тригонометрические функции
E: экспоненциальные функции

Первая функция «u» должна быть выбрана в соответствии с приведенным выше порядком функций с учетом первого приоритета функции, которая появляется первой в приведенном выше списке. Это правило также иногда называют LIATE. Это правило используется для интегрирования обратных тригонометрических функций (как упоминалось в одном из предыдущих разделов) и логарифмических функций. Одним из наиболее важных применений этого правила интегрирования является интеграл от ln x, то есть ∫ ln x dx = x ln x — x + C. Мы можем вывести это правило следующим образом:

∫ ln x dx = ∫ ln x · 1 dx

Здесь ln x — логарифмическая функция, а 1 — алгебраическая функция. Таким образом, используя порядок ILATE, ln x должна быть первой функцией u. т. е.

пусть u = ln x и dv = 1. Тогда

du = (1/x) dx и v = ∫ 1 dx = x.

По правилу интегрирования по частям dx = x ln x — ∫ 1 dx = x ln x — x + C.

Таким образом, всякий раз, когда нет прямого правила для интегрирования функции и есть только одна функция для интегрирования, примите вторую функцию равной 1 и примените интегрирование по правилу частей.

Правила подстановки Метод интеграции

Когда ни одно из вышеперечисленных правил интегрирования не может быть применено, и если какая-то часть подынтегрального выражения является производной от другой части подынтегрального выражения, то используется метод подстановки. В этом методе:

Предположим, что часть подынтегрального выражения равна u.
Найти ду.
Полностью переведите данный интеграл через u.
Затем выполните интеграцию по одному из вышеуказанных правил.
Подставьте обратно значение u в результат.

Пример: Найдите интеграл от ∫ 2x sin x ² dx.

Решение:

Пусть x ² = dx. Тогда 2x dx = du.

∫ 2x sin x ² dx = ∫ sin u du

= — cos u + C

= — cos x ² + C

Используя этот метод подстановки, мы можем вывести несколько других правил интегрирования как следует:

∫ f ‘(x) / f(x) dx = ln |f(x)| + С
∫ f ‘(x) / √(f(x)) dx = 2√[f(x)] + C
∫ sin ax dx = (1/a) (- cos ax) + C ;
∫ cos ax dx = (1/a) (sin ax) + C;
∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| и т. д. (аналогичные правила можно вывести и для других функций)

Правила интегрирования с использованием неполных дробей

Чтобы проинтегрировать рациональную функцию, мы сначала разобьем ее на частичные дроби, используя одно из следующих правил, а затем применим правило ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| + C для интегрирования каждой частичной дроби. Чтобы узнать больше об интегрировании неполными дробями, нажмите здесь.

Пример: Найдите интеграл ∫ (4x + 1) / [ (x — 2) (x + 1)] dx.

Решение:

Разложив приведенную выше дробь на неполные, получим: (4x + 1) / [ (x — 2) (x + 1)] = 3 / (x — 2) + 1 / ( х + 1).

Интеграл с обеих сторон,

∫ (4x + 1) / [ (x — 2) (x + 1)] dx = ∫ [3 / (x — 2) + 1 / (x + 1)] dx

Теперь применим правило ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| для каждой из фракций:

∫ (4x + 1) / [ (x — 2) (x + 1)] dx = 3 ln |x — 2| + пер |х + 1| + тел.

Правила интеграции FTC

FTC (Фундаментальная теорема исчисления) содержит два правила, которые помогают при интегрировании. Первое правило используется для нахождения производной неопределенных интегралов, тогда как второе правило используется для вычисления определенных интегралов.

FTC 1: d/dx ∫ _a ^x f(t) dt = f(x)
ФТК 2: ∫ _а ^b f(t) dt = F(b) — F(a), где F(x) = ∫ _a ^b f(x) dx

Пример: Найти d/dx ∫ ₂ ^x sin t ² dt.

Решение:

Здесь f(t) = sin t ² и a = 2. По первой основной теореме исчисления имеем:

d/dx ∫ _a ^{x 9000 t) dt = f(x)}

d/dx ∫ ₂ ^x sin t ² dt = f(x) = sin x ² .

Важные замечания по правилам интегрирования:

Постоянная интегрирования (C) должна добавляться к каждому результату неопределенного интеграла.
Постоянная интегрирования не появляется в результате определенного интеграла.
Примените правило LIATE для объединения произведения двух разных типов функций.
Для интегрирования частных функций в большинстве случаев полезен метод подстановки.

☛ Похожие темы:

Калькулятор интегралов
Расчетный калькулятор
Калькулятор производных

Часто задаваемые вопросы о правилах интеграции

Каковы важные правила интеграции?

Правила интеграции — это правила, используемые для интеграции функции. Наиболее важные правила интегрирования следующие:

∫ x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ /(n+1) + C
∫ е ^х dx = е ^х + С
∫ (1/x) ^{dx = ln |x| + С}
∫ a ^x dx = a ^x / ln a + C
∫ 1 дх = х + С

Что такое УФ правило интегрирования?

Правило интегрирования UV также известно как правило интегрирования произведения (или) правило интегрирования по частям. Это правило гласит:

∫ u dv = uv — ∫ v du

Здесь первая функция ‘u’ выбирается по правилу ILATE.

Как получить правила интеграции?

Мы знаем, что интеграция — это обратный процесс интеграции. Итак, чтобы найти интеграл функции, просто подумайте, производная от какой функции дает данную функцию. Например, чтобы вывести правило интегрирования для ∫ cos x dx, просто подумайте, «производная какой функции является cos x», тогда ответ может быть получен как sin x. Просто добавьте константу интегрирования, и тогда мы получим ∫ cos x dx = sin x + C. Однако все правила интегрирования не могут быть получены так просто. Для сложных функций вы можете обратиться ко всей этой странице.

Что такое правило интегрирования трапеций?

Правило интегрирования трапеций используется для нахождения приближенного значения интеграла на определенном интервале [a, b] путем деления интервала на равные n подинтервалов с конечными точками a = x ₀ < x ₁ < х ₂ < х ₃ <…..<х _n = б. Правило гласит:

^b ∫ₐ f(x) dx = h/2 (f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂)) + … + f(x _n )), где h = (b — a)/n.

Что такое правило интеграции Симпсона?

Мы используем правило интегрирования Симпсона для аппроксимации интеграла ^b ∫ₐ f(x) dx путем деления [a, b] на n подынтервалов, где a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < х ₃ <…..<х _н = б. Правило гласит:

^b ∫ₐ f(x) dx = h/3 (f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂)) + . .. + f(x _n )), где h = (b — a)/n.

Что такое правило интеграции средней точки?

Используя правило средней точки интегрирования, мы можем аппроксимировать определенный интеграл ^b ∫ₐ f(x) dx по правилу ∑ _i=1 ⁿ h f(x _i ^* ), где h = (b — a)/n и x _i ^* — середина интервала [x _i-1, x _i]. Здесь a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < x ₃ <….. n = b — концы подынтервалов, когда [a, b] делится на n подынтервалы.

Что такое правило обратной степени интегрирования?

Степенное правило обычно относится к степенному правилу дифференцирования, которое гласит d/dx (x ⁿ ) = n x ^n-1 . Используя это, d/dx [x ⁿ⁺¹ /(n+1)] = x ⁿ и, следовательно, ∫ x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ /(n+1) + C. Это правило называется степенным правилом интегрирования.

Математические слова: интегральные правила

индекс: нажмите на букву






индекс: предметные области

Интеграл Правила

Для следующего, a , b , c и C являются константами; для определенных интегралов они представляют действительные числовые константы. Правила применяются только тогда, когда интегралы существуют.

Неопределенные интегралы (Эти все правила применяются к определенным интегралы тоже)

5. Интегрирование по частям:

Определенные интегралы

3. Если f ( u ) ≤ г ( u ) для всех a ≤ u ≤ b , затем

4. Если f ( u ) ≤ M для все a ≤ u ≤ b , затем

5. Если м ≤ f ( u ) для всех a ≤ u ≤ b , затем

§3. Основные правила интегрирования

§4. Основные методы интегрирования

I Непосредственное интегрирование

II Метод замены переменной

II.1 Подведение под знак дифференциала

II.2 Метод подстановки

III Интегрирование по частям

3.2.2. Простейшие правила интегрирования

интеграционных правил — что такое интеграционные правила? Примеры

Что такое правила интеграции?

Основные правила интеграции

Правила интегрирования тригонометрических функций

Правила интегрирования обратных тригонометрических функций

Правила интеграции специальных функций

Правило интеграции ILATE

Правила подстановки Метод интеграции

Правила интегрирования с использованием неполных дробей

Правила интеграции FTC

Часто задаваемые вопросы о правилах интеграции

Каковы важные правила интеграции?

Что такое УФ правило интегрирования?

Как получить правила интеграции?

Что такое правило интегрирования трапеций?

Что такое правило интеграции Симпсона?

Что такое правило интеграции средней точки?

Что такое правило обратной степени интегрирования?

Математические слова: интегральные правила

Добавить комментарий Отменить ответ