» Корень n-ой степени «.
План-конспект урока по алгебре 9 класс
на тему: « Корень n-ой степени «.
Тема урока: Корень n-ой степени.
Цель урока:
актуализировать знания по теме «Квадратные корни». Формировать понятие
корня n-ой степени; арифметического корня n-ой степени, объяснить его свойства
Образовательная: Создать условия для формирования у обучающихся целостного представления о корне n-ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.
Развивающая: Создать условия для развития алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Структура урока:
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний
3. Изучение нового материала
4. Закрепление новых знаний и умений учащихся
5. Самостоятельная работа
6. Итог урока
7. Домашнее задание
Ход урока
1. Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над числами
(сложение и вычитание, умножение и деление).
2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как
деление?
(нет, делить на нуль нельзя)
3. Какую еще операцию вы можете выполнять с числами?
(возведение в степень)
4. Какая операция будет ей обратной?
(извлечение корня)
5. Какие свойства квадратного корня вы знаете?
(извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из
корня, возведение в степень)
6.
Найдите значения выражений:
2, т.к.22 = 4, 3 т.к.32 = 9, 12 т.к.122 = 144,
9, 0,5, т.к. 0,52 = 0,25, =1
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Запись читается «квадратный корень из а», опуская при этом слово «арифметический». , а- подкоренное выражение, а знак-радикал (от латинского — корень).
3. Изучение нового материала.
Корнем n-й степени из числа а называется такое число b, n-я степень которого равна а, т. е. b – корень n-й степени из |
Очевидно, что в соответствии с основными свойствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два противоположных значения корня четной степени, например, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4)2 = 42 = 16, а числа 3 и -3 являются корнями четвертой степени из 81, так как (-3)4 = З4 = 81.
Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна. Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один корень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2)5 = 32.
В связи с существованием двух корней четной степени из положительного числа, введем понятие арифметического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.
Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.
Обозначение: – корень n-й степени.
Число n называется степенью арифметического корня. Если n=2, то степень корня не указывается и пишется . Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени – кубическим.
, а ≥ 0, в ≥ 0
., а ≥ 0, в ≥ 0
, а ≥ 0, в > 0
, а ≥ 0, в > 0
а ≥ 0
m, n, k — натуральные числа
4.
Закрепление нового материала.
Устная работа
а) Какие выражения имеют смысл?
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; .
б) при каких значениях переменной а имеет смысл выражение?
в) Вычислите:
; ; ; ; ; ; ; .
г) Верно ли равенство (устно):
= 2; = 2; ()2 = 2;
= — 2; = а; = — а;
= ; а — = 0; а — = 2а;
а — = а -; = 3; = — 2;
= 2; = 3; = .
Вычислите:
а)
б)
в)
г)*
д) *
Какие из следующих записей не имеют смысла?
; ; ;
При каких значениях переменной а выражение имеет смысл?
Какие из следующих записей не имеют смысла?
; ; ;
5. Самостоятельная работа.
Вычислите:
1) а) 5 б) 6 в) 4 г) –36. | 4) 2 а) — 2 б) 6 в) — 6 г) 54 | 7) 5 а) 5,5 б) 3 в) 0,7 г) 3,5 |
2) а) 15 б) 18 в) 20 г) 10 | 5) а) 8 б) 3 в) 4 г) 2 | 8) а) 12 б) 6 в) 7 г) 36 |
3) а) б) в) г) | 6) а) 18 б) 72 в) 36 г) 4 | 9) а) 15 б) 45 в) 54 г) 30 |
10) а) 1 б) 64 в) – 1 г) 38 | 11) х4= 81 а)3; б) -3; в) -3,+3; г)2 | 12) х5=32 а) -2; б) 2; в) -2; 2; г) 3 |
6.
{m}} $ за $ \displaystyle m\ge 0$ 9{2}}=25$
б) $ \displaystyle \frac{{3+\sqrt{{18}}+\sqrt{5}+\sqrt{{10}}}}{{3+\sqrt{ 5}}}-\sqrt{2}$
$ \displaystyle \frac{{3+\sqrt{{18}}+\sqrt{5}+\sqrt{{10}}}}{{3+\ sqrt{5}}}-\sqrt{2}=$
$ \displaystyle \frac{{\cancel{{3+\sqrt{5}}}}}{{\cancel{{3+\sqrt{5 }}}}}+\frac{{\sqrt{{18}}+\sqrt{{10}}}}{{3+\sqrt{5}}}-\sqrt{2}=$
$ \ displaystyle 1+\frac{{\sqrt{{2\cdot 9}}+\sqrt{{2\cdot 5}}}}{{3+\sqrt{5}}}-\sqrt{2}=$
$ \displaystyle 1+\frac{{\sqrt{2}\sqrt{9{{-1}}}=$
$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{3}-2}}=$$\displaystyle \frac{{(\sqrt{3}+2)}} {{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}}=$$ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}+2}}{{3-4}}=$
$ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}+2}}{{-1}}=$$ \displaystyle -2-\sqrt{3}$
d) Упростить $\displaystyle \sqrt{ {22+\sqrt{{12-\sqrt[3]{{22+\sqrt{{25}}}}}}}}$
Решение
$ \displaystyle \sqrt{{22+\sqrt{{ 12-\sqrt[3]{{22+\sqrt{{25}}}}}}}}=$ $ \displaystyle \sqrt{{22+\sqrt{{12-\sqrt[3]{{22+ 5}}}}}}=$ $ \displaystyle \sqrt{{22+\sqrt{{12-\sqrt[3]{{27}}}}}}=$ $ \displaystyle \sqrt{{22+\ sqrt{{12-3}}}}=$ $ \displaystyle \sqrt{{22+\sqrt{9{{-\frac{1}{6}}}}=\frac{1}{{\sqrt[6]{3}}}$
Copyright © Math OriginalУпрощение квадратных корней | Колледж Алгебра |
Использование правила произведения для упрощения извлечения квадратных корней
Чтобы упростить квадратный корень, мы перепишем его так, чтобы в подкоренных числах не было полных квадратов.
Есть несколько свойств квадратных корней, которые позволяют нам упростить сложные подкоренные выражения. Первое правило, которое мы рассмотрим, — это правило произведения для упрощения квадратных корней, , который позволяет нам разделить квадратный корень из произведения двух чисел на произведение двух отдельных рациональных выражений. Например, мы можем переписать
15\sqrt{15}15
как
3⋅5\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}3
5
. Мы также можем использовать правило произведения, чтобы выразить произведение нескольких подкоренных выражений в виде одного подкоренного выражения.
Общее примечание: Правило произведения для упрощения квадратных корней
If
aaa
and
bbb
are nonnegative, the square root of the product
ababab
is equal to the product of the square roots of
aaa
and
bbb
.
ab=a⋅b\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}ab
=a
⋅b
Как: Дана радикальная формула с квадратным корнем , используйте правило произведения, чтобы упростить его.
9{4}}162a5b4
Решение
100⋅3Помножить на совершенный квадрат из подкоренного числа и.100⋅3Записать подкоренное выражение как произведение подкоренных выражений.103Упростить. \begin{array}{cc}\sqrt{100\cdot 3}\qquad & \text{Помножить на квадраты из подкоренных чисел}.\qquad \\ \sqrt{100}\cdot \sqrt{3}\qquad & \text {Запишите подкоренное выражение как произведение подкоренных выражений}.\qquad \\ 10\sqrt{3}\qquad & \text{Упрощение}.\qquad \\ \text{ }\end{array}100⋅3
9{3}z}50x2y3z
.
Решение
Как сделать: Имея произведение нескольких подкоренных выражений, используйте правило произведения, чтобы объединить их в одно подкоренное выражение.
- Выразите произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.
- Упростить.
Пример 3. Использование правила произведения для упрощения произведения кратных квадратных корней
Упростите подкоренное выражение.
12⋅3\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}12
⋅3
Решение
12⋅3Выразите произведение как одиночное радикальное выражение.36}{Beginar{Simplify.6 cc}\sqrt{12\cdot 3}\qquad & \text{Выразите произведение одним подкоренным выражением}.\qquad \\ \sqrt{36}\qquad & \text{Упрощение}.\qquad \\ 6\ qquad & \end{array}12⋅3
36
6Выразите произведение в виде одного радикального выражения.
Simplify.Попробуйте 3
Упростить 9.
Решение
Использование правила частного для упрощения квадратных корней
Точно так же, как мы можем переписать квадратный корень произведения как произведение квадратных корней, мы также можем переписать квадратный корень частного как частное квадратных корней, используя правило для упрощения квадратных корней. Может быть полезно разделить числитель и знаменатель дроби под радикалом, чтобы мы могли извлекать их квадратные корни отдельно. Мы можем переписать
52\sqrt{\frac{5}{2}}25
как
52\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}2
5
.
Общее примечание: Правило частных для упрощения квадратных корней
Квадратный корень из частного
ab\frac{a}{b}ba
равен частному из квадратных корней
aaa
и
bbb
, где
b≠ ne 0b=0
.
Simplify.