Правила подобных треугольников: Признаки подобия треугольников — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

подобных треугольников | Superprof

Рассмотрим изображение ниже.

Вы что-то заметили? Они оба похожи, но похожи ли они? Именно поэтому мы расскажем вам, как определить, подобны два треугольника или нет.

Сходство и конгруэнтность

Прежде чем мы начнем с того, как отличить два треугольника от сходства, давайте узнаем о сходстве и конгруэнтности. Слово «конгруэнтный», означает, что две вещи равны во всех пропорциях. Проще говоря, оба объекта идентичны. В мире геометрии два треугольника равны, если все стороны и углы равны. Следовательно, если вы заметите хотя бы одно отличие, оба треугольника не будут считаться конгруэнтными.

Посмотрим на сходство. Слово «сходство» означает, что оба объекта имеют сходство. Например, у вас есть два карандаша. Один из карандашей заточен, что означает, что карандаш короткий, однако оба имеют одинаковое острие, оба от одной компании и одного цвета. Одно можно сказать наверняка, оба треугольника не равны, но мы можем назвать их подобными. Причина проста, все то же самое, только высота карандаша другая. Можно сделать вывод, что оба карандаша похожи друг на друга.

В мире геометрии два треугольника подобны, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры. Их стороны могут быть разными, но если внимательно присмотреться, все стороны подобных треугольников имеют одинаковое отношение. Рассмотрите изображение выше, это неконгруэнтные треугольники, потому что все стороны не равны. Однако, если вы заметили, все стороны треугольника номер два похожи на треугольник номер один. Это означает, что нам нужно пойти глубже, а затем прийти к выводу, подобны ли оба треугольника или нет. Давайте узнаем!

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Как найти сходство обоих треугольников

Независимо от того, исправляете ли вы что-либо, анализируете или оптимизируете, вам нужны инструменты. Инструменты важны для каждой области, и математика не является исключением. Мы также будем использовать инструмент, который поможет нам выяснить, подобны два треугольника или нет. Инструмент, который мы будем использовать, называется «инструментом сравнения» .

Нам снова понадобится изображение выше для лучшего понимания. Мы будем сравнивать каждую сторону треугольника, а также углы, а затем проверять, смотрим ли мы на какой-то шаблон или нет. Здесь нет определенного расположения, вы можете сначала проверить стороны или углы. Сначала мы начнем со сторон треугольника, но если вы хотите, вы можете сначала перейти к углам.

Два треугольника подобны, если:

Их соответствующие стороны пропорциональны, то есть имеют одинаковое отношение.
Периметры подобных треугольников имеют одинаковое отношение.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения.

В случае углов необходимо проверить, чтобы все углы были равны. Если стороны треугольников увеличиваются или уменьшаются в определенном отношении, то их углы должны быть одинаковыми.

Задачи

1. Вычислить высоту здания, отбрасывающего тень в м, если в то же время и в том же месте столб высотой даёт тень в .

2. Катеты прямоугольного треугольника измеряют и . Какова длина катетов подобного треугольника этому треугольнику, гипотенуза которого равна ?

Подобные правила треугольника

Мы знаем, что эти правила не кажутся приятными, поэтому мы разбили правила на разные примеры, чтобы вам было легче их понять и изучить.

Правило №1

Два треугольника подобны, если два угла равны.

Правило №2

Два треугольника подобны, если стороны пропорциональны.

Правило №3

Два треугольника подобны, если две стороны пропорциональны и угол между ними равен.

Правило №4

Правило №5

Два прямоугольных треугольника подобны, если у них две стороны пропорциональны.

Правило №6

Два прямоугольных треугольника подобны, если отношения гипотенуз и катетов пропорциональны.

Примеры

Определите, подобны ли следующие треугольники:

3, потому что стороны пропорциональны.

Эти треугольники подобны, потому что у них два угла равны.

Они подобны, потому что две стороны пропорциональны и угол между ними равен.

Подобные треугольники | Мир математики Пасси

Источник изображения: www.ebay.com

Подобные треугольники встречаются в самых странных местах, даже в украшениях из кристаллов драгоценного камня «Турмалин».

Изображения взяты из Google Images

В этом уроке мы рассмотрим природу подобных фигур, сосредоточив внимание на подобных треугольниках.

Похожие объекты имеют одинаковую форму, но разные по размеру.

Мы расскажем о методах и правилах установления сходства.

Мы также учимся находить неизвестные стороны, используя коэффициенты сходства.

Если вы не уверены в коэффициентах, мы предлагаем просмотреть эти предыдущие уроки: -of-proportions/

Мы настоятельно рекомендуем, чтобы вы также выполнили наш урок о конгруэнтных треугольниках, прежде чем приступать к подобным треугольникам.

Congruent Triangles

В этом уроке «Похожие треугольники» мы не рассматриваем составные вопросы о подобных треугольниках или применения подобных треугольников, поскольку они рассматриваются в отдельном уроке.

Похожие объекты

Два или более предметов похожи друг на друга, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры.

ПОХОЖИЕ = ТАКАЯ ФОРМА, РАЗНЫЕ РАЗМЕРЫ

Масштабный коэффициент

Величина, на которую мы увеличиваем или уменьшаем размер объекта, называется «Масштабным коэффициентом» или «КФ».

Следующие примеры увеличения и уменьшения размера фотографии иллюстрируют концепцию масштабного коэффициента.

Расчет масштабного коэффициента0003

Мы вычисляем МАСШТАБНЫЙ ФАКТОР, сравнивая совпадающие стороны, используя Отношения.

Следующее видео дает хорошее представление о масштабном коэффициенте, а также показывает некоторые реальные приложения, которые включают использование относительных дробей и перекрестного умножения.

Если вы не уверены в пропорциях и методе перекрестного умножения, ознакомьтесь с нашим предыдущим уроком по этому вопросу по ссылке ниже:

Finding Ratio Amounts of Proportions

Если вы не уверены в пропорциях и методе перекрестного умножения, ознакомьтесь с нашим предыдущим уроком по этому вопросу по ссылке ниже:Finding Ratio Amounts of Proportions

Поиск похожих объектов

Чтобы два объекта были похожи, все их измерения должны быть изменены в точно таком же соотношении.

Два объекта будут пропорциональны друг другу.

В приведенном ниже примере мы сначала увеличиваем фотографию с соотношением сторон 4:3 в два раза по сравнению с исходным размером.

Начальная маленькая фотография и конечная большая фотография имеют одинаковую форму и похожие объекты.

Во втором увеличении фотографии в нашем примере мы изменили соотношение сторон со стандартного цифрового фотоаппарата 4:3 на широкоугольное соотношение сторон 16:9.

Когда мы вычисляем соотношение пропорций, мы обнаруживаем, что отношения соответствующих сторон НЕ одинаковы.

В этом увеличении от 4:3 до 16:9 у нас не та же форма, теперь у нас гораздо более широкое фото, поэтому две фотографии НЕ похожи.

Подобные треугольники

Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но разные размеры.

В оставшейся части этого урока мы будем рассматривать подобные треугольники.

В следующем примере двух подобных треугольников используется один треугольник, а затем вторая копия треугольника половинного размера.

У любых двух подобных треугольников углы будут одинаковыми.

Однако стороны второго треугольника будут либо увеличением, либо уменьшением сторон первого треугольника.

Вводное видео о подобных треугольниках

Следующее видео дает хорошее введение в подобные треугольники, включая некоторые доказательства и решение задач.

Определение подобных треугольников

Подобные треугольники должны иметь одинаковую форму, что произойдет, если все их углы одинаковы.

Подобные треугольники НЕ имеют одинакового размера, что означает, что их совпадающие стороны НЕ равны.

Вместо этого их совпадающие стороны «Пропорционально», например. либо Увеличенный, либо Уменьшенный.

Правила подобных треугольников

Как и в случае с конгруэнтными треугольниками, есть несколько «упрощенных» правил, которые мы можем использовать, чтобы доказать, что два треугольника подобны.

Напр. Нам не нужно проверять, что все три угла равны или что все три стороны пропорциональны.

Сокращение Правила определения сходства двух треугольников очень похожи на правила, которые мы используем для конгруэнтных треугольников.

Существует четыре правила для подобных треугольников:

Угол Угол Угол или «ААА», который на самом деле оказывается просто углом Угол или правило «АА»

Пропорциональная сторона, Пропорциональная сторона, Пропорциональная сторона или «PPP» или Правило «SSS»

Пропорциональные стороны, равные внутренние углы, пропорциональные стороны или правило «PAP» или «SAS»

Правило прямого угла, пропорциональные гипотенузы, пропорциональные стороны или правило «RHS».

Вот краткое изложение этих четырех правил.

Угол Угол Угол Правило ААА

Если все три угла имеют одинаковые размеры (но размеры треугольников разные), то треугольники должны быть подобны.

На самом деле нам нужны только две пары совпадающих углов, потому что третья пара будет совпадать автоматически, потому что общий размер угла в любом треугольнике составляет в сумме 180 градусов.

Пропорциональные стороны PPP или SSS Правило

Здесь, в Passy’s World, мы предпочитаем называть это правилом «PPP», а не правилом «SSS», и оставляем правило «SSS» только для конгруэнтных равновеликих треугольников.

Правило «PPP» верно, если все три стороны двух треугольников дают одинаковое значение Масштабного коэффициента.

Если все три стороны имеют одинаковую S.F. тогда все стороны пропорциональны и оба треугольника подобны.

Пропорциональные стороны с углом Правило PAP или SAS

Мы предпочитаем называть это правилом «PAP», а не правилом «SAS», и оставляем правило «SAS» только для конгруэнтных равновеликих треугольников.

Прямоугольные треугольники Правило RHS

Это правило очень похоже на правило RHS для конгруэнтных равновеликих треугольников.

Однако в этом правиле подобных треугольников гипотенузы и любая пара двух сторон пропорциональны друг другу, а не равны друг другу.

ВИДЕО О ПРАВИЛАХ ТРЕВТОЕЙ

. Следующее видео охватывает четыре аналогичные правила Triangles

Аналогичные Triangles в реальном World

70003

Triangles. можно найти в природе, в искусстве и ремесле, а также во многих конструкциях, которые мы проектируем и строим.

Удивительные похожие треугольники находятся внутри кристаллов красиво окрашенного драгоценного камня «Турмалин».

Подобные треугольники могут создавать поразительные эффекты при использовании в искусстве и ремесле.

Подобные треугольники значительно увеличивают прочность и жесткость конструкций, а также уменьшают их вес. используется в. 9Примеры использования правил сходных треугольников

Оказывается, нужно использовать правило «ААА».

Во втором примере нас просят использовать либо AAA, либо PPP, либо PAP, либо RHS, чтобы доказать, что у нас есть подобные треугольники.

Два треугольника имеют две стороны и углы между этими двумя сторонами.

Поэтому нам необходимо использовать правило PAP/SAS. Примеры решения подобных треугольников

После этого мы можем найти Масштабный Коэффициент, существующий между двумя треугольниками.

Использование S.F. значение, то находим неизвестную сторону.

Использование масштабного коэффициента хорошо работает в ситуации, когда у нас есть известная сторона маленького треугольника, и нам нужно найти неизвестную длину совпадающей стороны большого треугольника. .

Однако, если ситуация обратная, мы получаем масштабные коэффициенты дроби, такие как одна треть 1/3, и это делает математические вычисления немного громоздкими.

Другой способ решения подобных треугольников состоит в том, чтобы написать две пропорции, а затем использовать «перекрестное умножение» (или «Перекрестные произведения»).

В Passy’s World мы предпочитаем использовать этот метод «перекрестных произведений» для решения вопросов треугольника, потому что он помогает избежать дробей.

В «Примере 3B» ниже мы повторяем «Пример 3A», но на этот раз используем метод перекрестных произведений для решения нашего вопроса о треугольнике.

В этом финальном «Примере 3C» наш вопрос заключается в обратном, и мы должны найти неизвестную сторону меньшего треугольника.

Мы могли бы вычислить, что коэффициент масштабирования равен 10/30, и уменьшить его до 1/3. Но затем мы начинаем работать с дробями, чтобы получить окончательный ответ.

Здесь, в Passy’s World, мы обнаружили, что учащиеся испытывают трудности с дробями, поэтому мы разработали «Пример 3C», используя перекрестное умножение, как показано ниже.

Использование перекрестного умножения позволяет избежать работы с дробями, и мы считаем, что это хорошо.

Видео о решении аналогичных треугольников

Вот некоторые видео, где неизвестные стороны находятся для аналогичных треугольников

Концепции сходства.

Это очень хорошо продемонстрировано в следующем видео г-на Билла Конста.

Музыкальное видео о похожих треугольниках

Немного юмористической рэп-песни о похожих треугольниках.

В этой занимательной небольшой истории есть несколько весьма необычных математических понятий, связанных с треугольниками.

Интерактивные похожие треугольники

Вышеупомянутый онлайн-манипулятор (который может работать в полноэкранном режиме) позволяет нам перетаскивать угловые вершины и создавать пары одинаковых треугольников любой формы.

Нажмите на ссылку ниже, чтобы попробовать:

http://www.mathopenref.com/similartriangles.html