Правила разложения на множители: 5 способов разложения многочлена на множители

alexxlab / / Разное

Содержание

«Различные способы разложения многочлена на множители»

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
 (2014/15 учебный год)

Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся

Название работы: «Различные способы разложения

многочлена на множители»


Автор: Волкова Лилия , 8 класс, руководитель Кудашева Ольга Алексеевна

Место выполнения работы:

ГБОУ СОШ «ОЦ» с. Старая Шентала

муниципального района Шенталинский

Самарской области

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

2.1 Основные понятия

2.2 Методы разложения многочленов на множители

2.2.1 Вынесение общего множителя за скобки

2.2.2 Использование формул сокращенного умножения

2.2.3 Способ группировки
2.2.4 Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена

2.2.5 Деление многочлена на многочлен

(деление многочлена на двучлен углом)

2. 2.6 Метод (Бином Ньютона)

3. Практическая часть

3.1 Практическая значимость разложения многочлена на множители

3.2 Применение различных способов разложения на множители

к решению задач

4. Вывод по исследованию

5. Список литературы

6. Приложение « Банк заданий»

1. Введение

Математика – удивительный мир! Мы никогда не перестанем удивляться, какие интересные задания может задавать нам эта наука!

В октябре месяце ученики школы принимали участие в школьном туре олимпиады по математике. Задания были разные, интересные, требующие рассуждений, выстраивания логической цепочки, внимательности. Среди заданий было и такое: х4 +х2 =1.

Для его решения необходимо разложить левую часть на множители. Здесь я и столкнулась с проблемой.

Мы изучали в 7 и 8 классе тему «Разложение многочлена на множители». Рассматривали основные способы. Но такого задания, которое досталось на олимпиаде, нам раньше не встречалось. Подумав и скомбинировав изученные способы разложения многочлена на множители, задание я выполнила. Появился интерес к таким заданиям.

Актуальность исследования. Для решения многих задач, заданий в математике разработаны общие правила — алгоритмы. Решение таких задач особых трудностей не вызывает – надо лишь распознать вид данной задачи и вспомнить соответствующее правило. Значительно труднее решать задачи, для которых в математике нет готовых правил. При разложении многочлена на множители зачастую приходится самостоятельно отыскивать те или иные приемы, как это случилось на олимпиаде.

В своей работе я рассмотрю различные способы разложения многочлена на множители, которые лежат за страницами нашего учебника. Работа называется «Различные способы разложения многочлена на множители»

Эта тема заинтересовала меня тем, что с помощью разложения на множители можно приводить дроби к общему знаменателю, применять разложение многочленов на множители при сокращении дробей, при решении уравнений, рационально вычислять значения числовых выражений, доказывать неравенства, делить выражения на какое-либо число, сравнивать числа.

Объект исследования: многочлены.

Предмет исследования: способы разложения многочлена на множители.

Цель работы: исследовать различные способы разложения многочленов на множители.

Задачи:

— рассмотреть начальные сведения о многочленах;

— рассмотреть традиционные школьные способы разложения;

— рассмотреть способы, которые не изучаются в школе;

— исследовать, насколько разнообразными могут быть задачи на применение разложения многочлена на множители;

— сделать подборку заданий для применения каждого из рассмотренных способов.

Гипотеза исследования: Рассмотренные способы разложения многочлена на множители позволят рационально решать многие алгебраические задания.
Практическая значимость работы.

Настоящая работа будет полезна при обучении в старших классах, при подготовке к экзаменам, олимпиадам, так как при решении задач на разложение развивается логическое мышление. Материал работы может заинтересовать тех, кто увлекается математикой и желает расширить свой кругозор. Подборка заданий, презентация может использоваться учителем математики на факультативных занятиях.

Новизна исследования: исследованием способов разложения многочлена на множители, которые не изучаются в 8 классе, ранее не занимались.

Методы исследования:

— поисковый

— аналитический

-сравнение и обобщение
2. Основная часть

2.1 Основные понятия

Многочлен – алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов. По латыни многочлен называют полином.

Например, Зх2 у — 5xy2 + х — у – многочлен. (а — с)4 и многочленами не являются.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена или мономами.

Если многочлен содержит два слагаемых — одночлена, то его называют двучленом или биномом (12а3 — 64), три слагаемых – трехчленом или триномом (12а3 — 64а2 + 7а) и т. д., одночлен или моном — многочлен, состоящий из одного члена (3х2, 5bd).

Среди членов многочлена могут быть подобные. Они имеют одну и ту же буквенную часть, отличающиеся друг от друга лишь коэффициентами.

В многочлене 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b — 7 члены 5а2b и – 3a2b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена.

Приведём подобные члены в многочлене

5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7.

Имеем 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b — 7 = (5а2b – 3a2b) + 4ab2 + (2 -7)= 2a2b +4ab2-5.

Каждый член многочлена 2a2b +4ab2-5 является одночленом стандартного вида. И этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Итак, любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида 8xy + 6x2y3 – 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую их этих степеней называют степенью многочлена. Многочлен 8xy + 6x2y3 – 9 является многочленом пятой степени.

Таким образом, степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящего в них одночлена. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Выясним, какова степень многочлена

3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b.

Для этого приведём его к стандартному виду:

3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b = 8ab + 5b.

Степень многочлена 8ab + 5b равна 2, поэтому степень многочлена

3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b также равна 2.

Многочлен первой степени называют линейным многочленом, многочлен второй степени — квадратным, а многочлен третьей степени — кубическим многочленом.

Если степени всех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен называют однородным. Например с4 + 2с3у – 6с2у2 + Зу4 — однородный многочлен степени 4. Любое число, и даже нуль, является многочленом.

Если имеем многочлен Рп(х) относительно одной переменной х и он записан в порядке убывания степеней, то такой многочлен имеет канонический вид.
2.2 Методы разложения многочленов на множители

Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей.

Разложение многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе:


  • вынесение множителя за скобку;

  • использование формул сокращённого умножения;

  • способ группировки.

§ Вынесение общего множителя за скобки. Разложение многочлена на множители.

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

  • Геометрия: начальная школа
  • Действия в столбик
  • Деление с остатком
  • Законы арифметики
  • Периметр
  • Порядок действий
  • Разряды и классы. Разрядные слагаемые
  • Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

  • Взаимно обратные числа и дроби
  • Десятичные дроби
  • Натуральные числа
  • Нахождение НОД и НОК
  • Обыкновенные дроби
  • Округление чисел
  • Перевод обыкновенной дроби в десятичную
  • Площадь
  • Проценты
  • Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
  • Среднее арифметическое
  • Упрощение выражений
  • Уравнения 5 класс
  • Числовые и буквенные выражения

Математика 6 класс

  • Масштаб
  • Модуль числа
  • Окружность. Площадь круга
  • Отношение чисел
  • Отрицательные и положительные числа
  • Периодическая дробь
  • Признаки делимости
  • Пропорции
  • Рациональные числа
  • Система координат
  • Целые числа

Алгебра 7 класс

  • Алгебраические дроби
  • Как применять формулы сокращённого умножения
  • Многочлены
  • Одночлены
  • Системы уравнений
  • Степени
  • Уравнения
  • Формулы сокращённого умножения
  • Функция в математике

Геометрия 7 класс

  • Точка, прямая и отрезок
  • Что такое аксиома и теорема

Алгебра 8 класс

  • Квадратичная функция. Парабола
  • Квадратные неравенства
  • Квадратные уравнения
  • Квадратный корень
  • Неравенства
  • Системы неравенств
  • Стандартный вид числа
  • Теорема Виета

Алгебра 9 класс

  • Возрастание и убывание функции
  • Нули функции
  • Область определения функции
  • Отрицательная степень
  • Среднее
    геометрическое
  • Чётные и нечётные функции

Алгебра 10 класс

  • Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

  • Факториал

Лёгким кажется слово тому, кто его бросит, но тяжёлым тому, в кого угодит.Бальтасар Грасиан

на главную

Введите тему

Русский язык Поддержать сайт

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется

вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Запомните!

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами.
    Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
  2. Работаем с буквенными множителями.
    Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
  3. Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Одночлен Числовой коэффициент Вывод
6a2 6 Все числовые коэффициенты делятся без остатка на число «3».
−3a −3
12ab 12

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

В многочлене «6a2 − 3a + 12ab» — только буквенный множитель «a» присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя «a» среди всех одночленов — первая.

Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим «3a» и вынесем его за скобки.

Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить «3а», чтобы получить данный одночлен?»

Вопрос Полученный одночлен
На что нужно умножить «3а», чтобы получить «6а2»? На «2а».
На что нужно умножить «3а», чтобы получить «−3a»? На «−1».
На что нужно умножить «3а», чтобы получить «12ab»? На «4b».

Запишем полученный ответ.

Важно!

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Важно!

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

  • a4 + 2a2 = a2(a2 + 2)
    Проверка: a2(a2 + 2) = a2 · a2 + 2a2 = a2 + 2 + 2a2 = a
    4     + 2a2
  • 2x2y2 − 2x4y2 + 6x3y3 = 2x2y2(1 − x2 + 3xy)
    Проверка: 2x2y2(1 − x2 + 3xy) = 2x2y2 · 1 − 2x2y2 · x2 + 2x2y2 · 3xy =
    = 2x2y2 − 2x2 + 2 y2 + 6x2 + 1 y2 + 1 = 2x2y2 − 2x4y2 + 6x3y3

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

  • a2(x + y) + b3(x + y) = (x + y)(a2 + b3) — выносим многочлен (x + y) за скобки.
  • a3(x2 + y2) − b(x2 + y2) = (a3 − b)(x2 + y2) — выносим многочлен (x2 + y2) за скобки.

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

Общие рекомендации по разложению многочленов на множители

Мы изучили различные методы факторизации многочленов, содержащих до четырех членов. Задача состоит в том, чтобы определить тип многочлена, а затем решить, какой метод применить.

Ниже приводится общее руководство по разложению полиномов на множители:

  1. Проверка общих множителей. Если термины имеют общие множители, то вынесите за скобки наибольший общий множитель (GCF) и посмотрите на полученные полиномиальные множители для дальнейшего множителя.

  2. Определить количество членов многочлена.

    а. Фактор четырехчленных полиномов путем группировки.

    б. Факторные трехчлены (три члена) с использованием «проб и ошибок» или метода переменного тока.

    в. Факторные биномы (два члена) с использованием следующих специальных произведений:

    Разность квадратов: а2-b2=(а+б)(а-б)
    Сумма квадратов:
    a2+b2   без общей формулы
    Разность кубов: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
    Сумма кубов: а3+b3=(а+b)(а2-аб+b2)

  3. Ищите факторы, которые можно дополнительно учесть.
  4. Проверить умножением.

Примечание

  • Если бином представляет собой разность квадратов и разность кубов, то сначала разложите его как разность квадратов, а затем как сумму и разность кубов, чтобы получить более полную факторизацию.
  • Не все полиномы с целочисленными коэффициентами учитываются. В этом случае говорят, что многочлен простой.

Если у выражения есть GCF, сначала вынесите его на множитель. Это часто упускается из виду и обычно приводит к факторам, с которыми легче работать. Кроме того, ищите полученные факторы для дальнейшего учета; многие проблемы факторинга требуют более одного шага. Многочлен полностью разложен на множители, если ни один из множителей нельзя разложить на множители.

 

Пример 1: Коэффициент: 6×4-3×3-24×2+12x.

Решение: Этот четырехчленный полином имеет НГК, равный 3x. Учтите это в первую очередь.

Теперь разложите полученный четырехчленный полином на группы.

Множитель (x2−4) представляет собой разность квадратов и может быть разложен на множители.

Ответ: 3x(2x−1)(x+2)(x−2)

 

Пример 2: Коэффициент: 18x3y−60x2y+50xy.

Решение: НОКФ этого трехчлена равен 2xy. Учтите это в первую очередь.

Трехчленный множитель можно дополнительно разложить методом проб и ошибок. Используйте множители 9=3⋅3 и 25=(−5)⋅(−5). В совокупности они дают правильный коэффициент для среднего члена: 3(−5)+3(−5)=−15−15=−30.

Проверить.

Ответ: 2xy(3x−5)2

 

Пример 3: Множитель: 5a3b4+10a2b3−75ab2.

Решение: НОКФ этого трехчлена равен 5ab2. Учтите это в первую очередь.

Полученный трехчленный множитель можно разложить на множители следующим образом:

Ответ: 5ab2(ab+5)(ab−3)

 

Попробуйте! Коэффициент: 3x3y−12x2y2+12xy3.

Ответ: 3xy(x−2y)2

Решение для видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

 

Пример 4: Коэффициент: 16y4−1.

Решение: Этот бином не имеет НОК. Поэтому начните разложение с определения его как разности квадратов.

Здесь a=4y2 и b = 1. Подставляем в формулу разности квадратов.

Множитель (4y2+1) представляет собой сумму квадратов и является простым числом. Однако (4y2−1) представляет собой разность квадратов и может быть дополнительно разложена на множители.

Ответ: (4y2+1)(2y+1)(2y−1)

 

Пример 5: Коэффициент: x6−64y6.

Решение: Этот двучлен представляет собой разность квадратов и разность кубов. В этом случае сначала разложите его как разность квадратов.

Мы можем написать

Каждый множитель можно разложить на множители либо как сумму, либо как разность кубов соответственно.

Следовательно,

Ответ: (x+2y)(x2−2xy+4y2)(x−2y)(x2+2xy+4y2)

 

Пример 6: Коэффициент: x2−(2x−1) 2.

Решение: Сначала определите это выражение как разность квадратов.

Здесь используйте a=x и b=2x−1 в формуле разности квадратов.

Ответ: (3x−1)(−x+1)

 

Попробуйте! Фактор: x4+2×3+27x+54.

Ответ: (x+2)(x+3)(x2−3x+9)

Решение для видео

(щелкните, чтобы посмотреть видео)

Ключевые выводы

  • Используйте полиномиальный тип, чтобы определить метод, используемый для его факторизации.
  • Рекомендуется сначала найти и выделить наибольший общий делитель (GCF). Это облегчит дальнейший факторинг и упростит процесс. Обязательно включите GCF как фактор в окончательный ответ.
  • Ищите результирующие факторы для дальнейшего факторинга. Часто бывает так, что факторинг требует более одного шага.
  • Если двучлен можно рассматривать и как разность квадратов, и как разность кубов, то сначала разложите его как разность квадратов. Это приводит к более полной факторизации.

Упражнения по теме

Часть A: Смешанный факторинг

Фактор полностью.

1. 2x5y2–12x4y3

2. 18x5y3–6x4y5

3. 5×2+20x — 25

4. 4×2+10x — 6

5. 10x

7. 6×3+27×2-9x

8. 21×3+49×2-28x

9. 5×3-30×2-15x+90

10. 6×4+24×3-1x1x2-8x 900 −48

12. x4−5×3+27x−135

13. 4×3−4×2−9x+

14. 50×3+25×2–32x -16

15. 2×3+250

16. 3×5–81×2

17. 2×5–162×3

18. 4×4–36

19. x4+16

.

20. x3+

21. 72–2×2

22. 5×4–25×2

23. 7×3–14x

24. 36×2-12x+1

25. 25×2+10x+10005

26. 250×3 +200×4+40×5

27. -7×2+19x+6

28. -8×4+40×3-50×2

29. a4-16

30. 16a4-81b4+5y-5y-05 91.002

32. 4y5+2y4−4y2−2y

33. 3×8–192×2

34. 4×7+4x

35. 4×2–19xy+12y2

36. 16×2-66xy — 27y2

37. 5×5-3×4-5×3+3×2

38. 4A2B2B2.4A2B2.4A2B2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2.4A2. −9b2+9

39. 15a2−4ab−4b2

40. 6a2−25ab+4b2

41. 6×2+5xy+6y2

42. 9×2+5xy-2xy2

4 (3,00005) −64

44. (x−5)2−(x−2)2

45. (x+1)3+8

46. (x−4)3−27

47. (2x− 1)2−(2x−1)−12

48. (x−4)2+5(x−4)+6

49. a3b−10a2b2+25ab3

50. 2A3B2-12A2B+18A

51. 15A2B2-57AB -12

52. −60×3+4×2+24x

53. −24×5+78×3-54x

54. 9000-13y4+4y2

5955955955955595559555955955595595559555955955955955955.

45.

5955595055.

5955.

.

5955.

.

5955.

5. 9000 5. 9000 5. 9000 5. 9000 5. 9000 545950559505

9 54.

3. . 36–15A — 6A2

56. 60AB2+5A2B2 — 5A3B2

57. X4 — 1

58. 16×4 — 64

59. X8 —

60. 81×8–1

61. x16-1

60. 81×8–1

61. x16-1

60. 81×8–1

61. x16-1

60. 81×8–1

61. x16-1

60. 81×8–1

61. x16-1

60. 81×8–1

69.

62. x12–1

63. 54×6–216×4–2×3+8x

64. 4a4-4a2b2 — A2+B2

65. 32y3+32y2-18y — 18

66. 3A3+A2B -12AB -18. 4b2

67. 18m2−21mn−9n2

68. 5m2n2+10mn−15

69. Объем некоторого прямоугольного тела определяется функцией V(x)=x3−2×2−3x. Запишите функцию в факторизованной форме.

70. Объем некоторого прямого кругового цилиндра определяется функцией V(x)=4πx3−4πx2+πx. Запишите функцию в факторизованной форме.

Часть B: Дискуссионная доска

71. Сначала разложите трехчлен 24×2−28x−40. Затем факторизовать GCF. Сначала обсудите значение факторизации GCF. Вы получаете тот же результат?

72. Обсудите план факторизации полиномиальных выражений на экзамене. Что вы должны искать и чего ожидать?

Ответы

1: 2x4y2(x−6y)

3: 5(x−1)(x+5)

5: 3x(2x−3)(4x+1)

7: 3x(2×2 +9x−3)

9: 5(x−6)(x2−3)

11: (x−6)(x+2)(x2−2x+4)

13: (x−1) (2x−3)(2x+3)

15: 2(x+5)(x2−5x+25)

17: 2×3(x+9)(x−9)

19: Простое число

21 : 2(6+х)(6−х)

23: 7x(x2−2)

25: (5x+1)2

27: −(x−3)(7x+2)

29: (a2+4)(a+2)( а-2)

31: (у2+1)(у-1)(у+1)2

33: 3х2(х+2)(х2-2х+4)(х-2)(х2+2х +4)

35: (x−4y)(4x−3y)

37: x2(5x−3)(x+1)(x−1)

39: (3a−2b)(5a+2b )

41: Простое число

43: 3(x−3)(3x+7)

45: (x+3)(x2+3)

47: 2(x+1)(2x−5)

49: ab(a−5b)2

51: 3(ab−4)(5ab+1)

53: −6x(x+1)(x−1)(2x+3)(2x− 3)

55: −3(a+4)(2a−3)

57: (x2+1)(x+1)(x−1)

59: (x4+1)(x2+1)( x+1)(x−1)

61: (x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x−1)

63: 2x(x+2)(x −2)(3x−1)(9×2+3x+1)

65: 2(y+1)(4y−3)(4y+3)

67: 3(2m−3n)(3m+n)

69: V(x)=x(x+1)(x−3)

Факторизация трехчленов – определение, правила, методы, формулы, примеры

Факторизация трехчленов означает запись выражения в виде произведения двух или более двучленов и записывается как (x + m) (x + n). Биномиал — это двухчленный многочлен, а трехчлен — трехчленный многочлен. Разложение трехчленов на множители осуществляется путем разбиения алгебраических выражений на двучлен, который можно умножить обратно на трехчлен. Дайте нам знать больше о факторинге трехчленов, различных методах и решите несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию.

1. Что такое факторинг трехчленов?
2. Правила факторинга трехчленов
3. Методы факторизации трехчленов
4. Факторинг Трехчленная формула
5. Часто задаваемые вопросы о факторинге трехчленов

Что такое факторинг трехчленов?

Факторизация трехчленов — это преобразование алгебраического выражения из трехчленного в биномиальное. Трехчлен — это многочлен с тремя членами с общим выражением как ax 2 + bx + c, где a и b — коэффициенты, а c — константа. При разложении трехчленов на множители следует помнить три простых шага:

  • Определите значения b (средний член) и c (последний член).
  • Найдите два числа, которые в сумме дают b и умножаются на c.
  • Используйте эти числа, чтобы разложить выражение на множители, чтобы получить факторизованные члены.

Считается, что два целых числа, такие как r и s, делят на множители трехчлен, сумма которого равна b, а произведение равно ac. Мы можем переписать трехчлен как ax 2 + rx + sx + c, а затем использовать группировку и распределительное свойство, чтобы разложить многочлен на множители. После того, как трехчлен подвергся процессу факторизации, выражение становится биномом в форме (x + r) (x + s). Вот изображение, чтобы понять это лучше.

Правила факторинга трехчленов

При разложении трехчлена на множители необходимо помнить некоторые моменты или правила. Эти правила основаны на математических знаках, таких как (+) и (-), которые играют важную роль при разложении трехчленов на множители и упрощают разложение трехчленов на множители. Правила следующие:

  • Если все члены трехчлена положительны, то все члены двучлена будут положительными.
  • Если последний член трехчлена отрицательный, а средний и первый члены положительны, то один член двучлена будет отрицательным, а другой положительным. (Больший множитель будет положительным, а меньший — отрицательным).
  • Если средний и последний члены трехчлена отрицательны, а первый член положителен, то знак одного двучлена будет положительным, а знак другого отрицательным. (Больший множитель будет отрицательным, а меньший — положительным).
  • Если последний член и первый член трехчлена положительны, а средний член отрицателен, то оба знака двучлена будут отрицательными.
  • Найдите общие делители для трехчленного топора 2 + bx + c, где a равно 1. Сначала факторизуется общий множитель, затем факторизуется остальная часть выражения.
  • Если ax 2 отрицательно в трехчлене, вы можете сначала разложить -1 из всего трехчлена.

Методы факторизации трехчленов

Разложение трехчлена на множители означает преобразование уравнения в произведение двух или более двучленов. Записывается как (x + m) (x + n). Трехчлен можно разложить на множители разными способами. Давайте обсудим каждый случай.

Квадратный трехчлен с одной переменной

Общая форма квадратичной трехчленной формулы с одной переменной: ax 2 + bx + c, где a, b, c — постоянные члены, и ни a, ни b, ни c не равны нулю. Для значений a, b, c, если b 2 — 4ac > 0, то мы всегда можем факторизовать квадратичный трехчлен. Это означает, что ax 2 + bx + c = a(x + h)(x + k), где h и k — действительные числа. Теперь давайте узнаем, как факторизовать квадратный трехчлен на примере.

Пример: Факторизация: 3x 2 — 4x — 4

Решение:

Шаг 1:- Сначала умножьте коэффициент при x 2 и постоянный член.

3 × -4 = -12

Шаг 2:- Разбейте средний член -4x так, чтобы при умножении полученных чисел мы получили результат -12 (полученный на первом шаге).

-4x = -6x + 2x

-6 × 2 = -12

Шаг 3:- Перепишите основное уравнение, применив изменение среднего члена.

3x 2 — 4x — 4 = 3x 2 — 6x + 2x — 4

Шаг 4:- Объедините первые два члена и два последних члена, упростите уравнение и удалите любые общие числа или выражения.

3x 2 — 6x + 2x — 4 = 3x (x — 2) + 2(x — 2)

Шаг 5:- Снова возьмите (x — 2) общее из обоих членов.

3x (x — 2) + 2(x — 2) = (x — 2) (3x + 2)

Следовательно, (x — 2) и (3x + 2) являются множителями 3x 2 — 4x — 4.

Квадратный трехчлен с двумя переменными

Не существует определенного способа решения квадратного трехчлена с двумя переменными. Возьмем пример.

Пример: Факторизация: x 2 + 3xy + 2y 2

Решение

. средний срок.

x 2 + 3xy + 2y 2 = x 2 + 2xy + xy + 2y 2

Шаг 2: Упростите уравнение и уберите общие числа выражений.

x 2 + 2xy + xy + 2y 2 = x (x + 2y) + y (x + 2y)

Шаг 3: Снова возьмите (x + 2y) общее из обоих членов.

x (x + 2y) + y (x + 2y) = (x + y) (x + 2y)

Следовательно, (x + y) и (x + 2y) являются множителями x 2 + 3xy + 2y 2

Если трехчлен является тождеством

Давайте посмотрим на некоторые алгебраические тождества, указанные в таблице ниже:

Тождество Расширенная форма
(х + у) 2 x 2 + 2xy + y 2
(х — у) 2 x 2 — 2xy + y 2
(х 2 — у 2 ) (х + у) (х — у)

Пример : Разложить на множители: 9x 2 + 12xy + 4y 2

Решение:

9000 Решение:

9000 Определите, какое выражение можно применить к шагу 09.

Мы можем применить (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Шаг 2: Переформулируйте выражение так, чтобы оно могло появиться в форме приведенного выше тождества.

9x 2 + 12xy + 4y 2 = (3x) 2 + 2 × 3x × 2y + (2y) 2

После составления выражения в виде 4: 900 тождество, напишите его множители.

(3x) 2 + 2 × 3x × 2y + (2y) 2 = (3x + 2y) 2 = (3x + 2y) (3x + 2y)

Следовательно, (3x + 2y) является коэффициентом 9x 2 + 12xy + 4y 2 .

Старший коэффициент 1

Рассмотрим пример.

Пример: Факторизация x 2 + 7x + 12

Решение:

Шаг 1: Сравните данное уравнение со стандартной формой, чтобы получить коэффициенты.

ax 2 + bx + c — стандартная форма, сравнивая уравнение x 2 + 7x + 12 получаем a = 1, b = 7 и c = 12

Шаг 2: Найдите парное множители c, т. е. 12, такие, что их сумма равна b, т.е. 7.

Парные множители числа 12: (1, 12), (2, 6) и (3, 4). Следовательно, подходящая пара — это 3 и 4.

Шаг 3: Добавьте каждое число к x отдельно.

(x + 3) (x + 4)

Следовательно, (x + 3) (x + 4) являются множителями для x 2 + 7x + 12. для факторизации, где старший коэффициент не равен 1, применяется концепция GCF (Greatest Common Factor). Давайте посмотрим на шаги:

  • Запишите трехчлен в порядке убывания, от высшей степени к низшей.
  • Найдите GCF с помощью факторизации.
  • Найдите произведение старшего коэффициента «а» на константу «с».
  • Найдите множители произведения ‘a’ и ‘c’. Выберите пару, которая суммируется, чтобы получить число вместо «b».
  • Перепишите исходное уравнение, заменив термин «bx» выбранными факторами.
  • Фактор уравнения по группировке.

Отрицательные термины

В некоторых ситуациях a является отрицательным, как в −ax 2 + бх + в. Чтобы сделать разложение трехчлена проще, мы выносим на первый шаг -1 из ax 2 и факторизуем остальную часть выражения. Давайте посмотрим на пример.

Пример: Разложить на множители -4x 2 — 8x — 3.

Решение:

Шаг 1: Вынести -1 из выражения, которое изменяет знаки всего выражения.

-1 (4x 2 + 8x + 3)

Шаг 2: Умножить первый член и постоянный член.

4 × 3 = 12

Шаг 3: Разбейте средний член в 8 раз так, чтобы при умножении полученных чисел мы получили результат 12 (полученный из предыдущего шага)

8x = 6x + 2x

6 × 2 = 12.

Шаг 4: Перепишите средний член и сгруппируйте их.

-1 (4x 2 + 6x + 2x + 3)

-1 ([4x 2 + 2x] + [6x + 3])

Шаг 5: Фактор сгруппированных членов.

-1 (2x[2x + 1] + 3[2x + 1])

Шаг 6: Запишите в виде бинома.

-1 [(2x + 1)(2x + 3)]

(-2x -1)(2x -3)

Следовательно, (-2x -1) (2x -3) являются множителями -4x 2 — 8x — 3.

Факторинг Трехчленная формула

Трехчлен может быть полным или несовершенным квадратом. У нас есть две формулы для факторизации идеального квадратного трехчлена. Но для факторизации несовершенного квадратного трехчлена у нас нет какой-либо конкретной формулы, вместо этого у нас есть процесс.

  • Формулы факторизации трехчленов совершенных квадратных трехчленов:

    а 2 + 2ab + b 2 = (а + b) 2

    а 2 — 2аб + б 2 = (а — б) 2

    Для применения любой из этих формул трехчлен должен быть одной из форм a 2 + 2ab + b 2 (или) a 2 — 2ab + b 2 .

  • Процесс факторизации несовершенной трехчленной оси 2 + bx + c это:

    Шаг 1: Найдите ac и определите b.

    Шаг 2: Найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b.

    Шаг 3: Разделите среднее слагаемое на сумму двух слагаемых, используя числа из шага — 2.

    Шаг 4: Фактор по группировке.

Чтобы разложить на множители трехчлен вида ax 2 + bx + c, мы можем использовать любую из следующих формул:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b)
  • a 2 — 2ab + b 2 = (a — b) 2 = (a — b) (a — b)
  • а 2 — б 2 = (а + б) (а — б)
  • a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
  • а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2 )

Связанные темы

Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с факторингом трехчленов, посмотрите.

  • Трехчлен Perfect Square
  • Квадратное уравнение
  • Биномиальное распределение

Часто задаваемые вопросы о факторинге трехчленов

Что такое факторинг трехчленов?

Разложение трехчленов на множители — это процесс нахождения множителей для заданного трехчленного выражения. Эти факторы выражаются в виде двучленов, которые представляют собой сумму и произведение членов трехчлена. Общая форма трехчлена — это ось 9.0477 2 + bx + c, который преобразуется в бином в виде (x + m)(x + n).

Как разложить трехчлены на множители?

Трехчлен можно представить в виде x 2 + bx + c. Во-первых, нам нужно найти два целых числа (r и s), произведение которых в сумме равно c, а после сложения — b. Как только мы найдем два числа, мы перепишем трехчлен как x 2 + rx + sx + c и воспользуемся группирующим и распределительным свойством множителя, чтобы найти множители выражения. Факторы будут (x + r) (x + s).

Что такое формула для разложения трехчлена на множители?

Формулы трехчленов разложения на множители для трехчленов с полным квадратом: — б) 2

Для применения любой из этих формул трехчлен должен быть одной из форм a 2 + 2ab + b 2 (или) a 2 — 2ab + b 2 .

Каковы основные правила факторинга трехчленов?

Правила или моменты, которые следует помнить при разложении трехчлена на множители:

  • Если все члены трехчлена положительны, то все члены двучлена будут положительными.
  • Если последний член трехчлена отрицательный, а средний и первый члены положительны, то один член двучлена будет отрицательным, а другой положительным. (Больший множитель будет положительным, а меньший — отрицательным).
  • Если средний и последний члены трехчлена отрицательны, а первый член положителен, то знак одного двучлена будет положительным, а знак другого отрицательным. (Больший множитель будет отрицательным, а меньший — положительным).
  • Если последний член и первый член трехчлена положительны, а средний член отрицателен, то оба знака двучлена будут отрицательными.
  • Найдите общие делители для трехчлена ax2 + bx + c, где a равно 1. Сначала факторизуйте общий делитель, затем факторизуйте остальную часть выражения.
  • Если ax2 отрицательно в трехчлене, вы можете сначала разложить -1 на весь трехчлен.

Какие алгебраические тождества используются для факторизации трехчленов?

Три основных алгебраических тождества, используемые при факторизации трехчленов:

  • (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
  • (х — у) 2 = х 2 — 2ху + у 2
  • (х 2 — у 2 ) = (х + у) (х — у)

Как разложить на множители идеальный квадратный трехчлен?

Прямоугольный трехчлен имеет три члена, которые могут быть в форме (ах) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2 (или) (ax) 2 −2abx + b 2 = (ax−b) 2 . идеальный квадратный полином выглядит следующим образом.

  • Проверить, имеет ли данный трехчлен идеального квадрата форму 2 + 2ab + b 2 (или) a 2 −2ab + b 2 .

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *