Правильные многогранники: Правильные многогранники — урок. Геометрия, 10 класс.

Презентация «Правильные многогранники»

#Учебно-методические материалы #Презентация #Среднее профессиональное образование

Правильные многогранники Презентация подготовлена :Смирнов Влад, гр.КЭ-9 Преподаватель:Лаврова Н.Н.

Что такое правильный многогранник? Правильный многогранник или  плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Определение Многогранник называется правильным, если: он выпуклый; все его грани являются равными правильными многоугольниками; в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Виды правильных многогранников В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников: Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».

Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник – от греческого «тетра», т.

е. четыре). Его четыре гра­ни – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число гра­ней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, харак­терными для однородных многогран­ников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отде­ляется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетра­эдра также равны между собой.

Куб, или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – са­мый общеизвестный и широко исполь­зуемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каж­дой вершине.

Октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составлен­ный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

Икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр – одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединя­ет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние тре­угольники.

И за­гадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), со­ставленный из двенадцати правильных пя­тиугольников. В известном смысле додекаэдр пред­ставляет наибольшую привлекатель­ность среди тел, соперни­чая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

Философ Платон и четыре стихии природы Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный, философ-идеалист Платон (428 –348 до н.э.), в уче­нии которого они играли важную роль. Поэтому эти многогранники носят название «платоновых тел». ПЛАТОН

Платон являлся основателем школы, названной «Академией» по имени местности вблизи Афин, где он постоянно встречался со своими учениками. Сам Платон не был математиком, но он придавал ей исключительно важное значение. При входе в основанную им Академию была надпись следующего содержания: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии …». Одному из желающих поступить в его школу для изучения философии, но не имеющему знаний по геометрии, Платон сказал: «Уйди прочь! У тебя нет орудия для изучения философии …». Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Какими соображениями при этом он руководствовался?

Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре, которые можно было бы сопоставить со стихиями. Платон считал, что некоторые элементы правильных многогранников могут перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников в другие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Но для этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которые были бы для них общими.

Из внешнего вида правильных многогранников следует, что грани трех многогранников – тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр – построены: первый – из квадратов, а второй – из правильных пятиугольников, поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела.

Итак, тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх. Куб или гексаэдр символизировал – землю, как самый «устойчивый». Октаэдр символизирует воздух, как самый «воздушный». Икосаэдр символизирует – воду, т.к. он самый «обтекаемый». И всей вселенной была приписана форма додекаэдра, т. е. мы живём внутри небесного свода.  

Комбинаторные свойства Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2. Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1. Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где: p — число рёбер в каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Теорема Эйлера

Многогранники в архитектуре Использовать многогранники в архитектуре люди стали очень давно, еще до новой эры. И по мере роста строительного мастерства в мире появлялись новые шедевры, основанные на сложных геометрических фигурах. Национальная библиотека — одна из них.

Национальная библиотека — одна из них.

Многогранники в архитектуре Современный стеклянный вход в Лувр, который появился во дворе ренессансного дворца 20 лет назад и до сих пор остается спорным новоделом — это тоже многогранник, пирамида.

Многогранники в архитектуре Усеченная пирамида пользуется популярностью у современных архитекторов. Например, в Индианополисе (США) в 1972 году закончили строительство офисного комплекса из трех зданий, который так и назвали — The Pyramids.

Сейчас в нем расположен Институт искусства Индианополиса.

Многогранники в архитектуре А это парк развлечений Футуроскоп под Парижем (Франция)

Развёртки правильных многогранников Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток. Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника.

Гармония правильных многогранников / Этюды // Математические этюды

Гармония правильных многогранников / Этюды // Математические этюды

Математические этюды

К списку

Пра­виль­ные многогран­ники инте­ре­со­вали многих вели­ких учё­ных. И этот инте­рес выхо­дил далеко за пре­делы матема­тики. Пла­тон (427 до н.э. — 347 до н.э.) рас­смат­ри­вал их как основу стро­е­ния Все­лен­ной, Кеплер (1571—1630) пытался свя­зать пра­виль­ные многогран­ники с движе­нием пла­нет Сол­неч­ной системы (кото­рых в его время было известно пять).

Возможно, именно кра­сота и гар­мо­ния пра­виль­ных многогран­ни­ков застав­ляла вели­ких учё­ных прошлого предпо­лагать какое-то более глу­бо­кое их назна­че­ние, чем про­сто геомет­ри­че­ских объек­тов.

Пра­виль­ным многогран­ни­ком назы­ва­ется многогран­ник, все грани кото­рого суть пра­виль­ные много­уголь­ники, все плос­кие углы кото­рого равны между собой и дву­гран­ные углы кото­рого равны между собой. (Плос­кими углами многогран­ника назы­ваются углы много­уголь­ни­ков-гра­ней, дву­гран­ными углами многогран­ника назы­ваются углы между гра­нями, имеющими общее ребро.)

Заме­тим, что из этого опре­де­ле­ния авто­ма­ти­че­ски сле­дует выпук­лость пра­виль­ного многогран­ника, кото­рая в неко­то­рых книгах вклю­ча­ется в опре­де­ле­ние.

В трёхмер­ном про­стран­стве суще­ствует ровно пять пра­виль­ных многогран­ни­ков: тет­раэдр, октаэдр, куб (гек­саэдр), ико­саэдр, доде­каэдр. То, что других пра­виль­ных многогран­ни­ков не суще­ствует, было дока­зано Евкли­дом (около 300 г. \circ$.

Возьмём в сере­ди­нах гра­ней тет­раэдра по точке и соеди­ним их между собой отрез­ками. Эти отрезки равны по длине и обра­зуют рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ники. Точки являются верши­нами, отрезки — рёб­рами, а тре­уголь­ники — гра­нями ещё одного тет­раэдра.

Ана­логич­ное постро­е­ние при­ме­нимо и в более общем слу­чае. Рас­смот­рим про­из­воль­ный выпук­лый многогран­ник и возьмём точки в сере­ди­нах его гра­ней. Соеди­ним между собой точки сосед­них гра­ней отрез­ками. Тогда точки являются верши­нами, отрезки — рёб­рами, а много­уголь­ники, кото­рые огра­ни­чи­вают эти отрезки, гра­нями ещё одного выпук­лого многогран­ника. Этот многогран­ник назы­ва­ется двойствен­ными к исход­ному.

Как было пока­зано выше, двойствен­ным к тет­раэдру явля­ется тет­раэдр.

Уве­ли­чим размер тет­раэдра, верши­нами кото­рого являются сере­дины гра­ней исход­ного тет­раэдра, до разме­ров послед­него. Восемь вершин так рас­по­ложен­ных тет­раэд­ров являются верши­нами куба. \circ$.

Отме­тим сере­дины гра­ней октаэдра и перей­дём к двойствен­ному к октаэдру многогран­нику. Это — куб или гек­саэдр (от греч. εξά — шесть). У куба грани являются квад­ра­тами. Он имеет 6 гра­ней, 8 вершин, 12 рёбер. Плос­кие углы куба равны $\pi/2$, дву­гран­ные углы также равны $\pi/2$.

Если взять точки на сере­ди­нах гра­ней куба и рас­смот­реть двойствен­ный к нему многогран­ник, то можно убе­диться, что им снова будет октаэдр. Верно и более общее утвер­жде­ние: если для выпук­лого многогран­ника постро­ить двойствен­ный, а затем двойствен­ный к двойствен­ному, то им будет исход­ный многогран­ник (с точ­но­стью до подо­бия).

Возьмём на рёб­рах октаэдра по точке, с тем усло­вием, чтобы каж­дая делила ребро в соот­ноше­нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (золо­тое сече­ние) и при этом точки, при­над­лежащие одной грани, явля­лись верши­нами пра­виль­ного тре­уголь­ника. Полу­чен­ные 12 точек являются верши­нами ещё одного пра­виль­ного многогран­ника — ико­саэдра (от греч. \circ$.

Взяв сере­дины гра­ней доде­каэдра, и перейдя к двойствен­ному ему многогран­нику, полу­чим снова ико­саэдр. Итак, ико­саэдр и доде­каэдр двойственны друг другу. Это ещё раз иллю­стри­рует тот факт, что двойствен­ным к двойствен­ному будет исход­ный многогран­ник.

Заме­тим, что при пере­ходе к двойствен­ному многогран­нику, вершины исход­ного многогран­ника соот­вет­ствуют гра­ням двойствен­ного, рёбра — рёб­рам двойствен­ного, а грани — верши­нам двойствен­ного многогран­ника. Если у ико­саэдра 20 гра­ней, зна­чит у двойствен­ного ему доде­каэдра 20 вершин и у них оди­на­ко­вое число рёбер, если у куба 8 вершин, то у двойствен­ного ему октаэдра 8 гра­ней.

Суще­ствуют раз­лич­ные спо­собы впи­сы­ва­ния пра­виль­ных многогран­ни­ков друг в друга, при­во­дящие ко многим заме­ча­тель­ным кон­струкциям. Инте­рес­ные и кра­си­вые многогран­ники полу­чаются также при объеди­не­нии и пере­се­че­нии пра­виль­ных многогран­ни­ков.

В доде­каэдр впишем куб так, чтобы все 8 вершин куба совпа­дали с верши­нами доде­каэдра. Вокруг доде­каэдра опишем ико­саэдр так, чтобы его вершины ока­за­лись в сере­ди­нах гра­ней ико­саэдра. Вокруг ико­саэдра опишем октаэдр, так, чтобы вершины ико­саэдра лежали на рёб­рах октаэдра. Нако­нец, вокруг октаэдра опишем тет­раэдр так, чтобы вершины октаэдра попали на сере­дины рёбер тет­раэдра.

Такую кон­струкцию из кусоч­ков сло­ман­ных дере­вян­ных лыж­ных палок сде­лал ещё ребён­ком будущий вели­кий матема­тик XX века В. И. Арнольд. Вла­ди­мир Иго­ре­вич хра­нил её долгие годы, а затем отдал в лабо­ра­то­рию попу­ля­ри­за­ции и про­паганды матема­тики Матема­ти­че­ского инсти­тута им. В. А. Стек­лова.

Лите­ра­тура

Кокс­тер Г. С. М. Вве­де­ние в геомет­рию. — М. : Наука, 1966.

Адамар Ж. Элемен­тар­ная геомет­рия. — Часть 2. Сте­реомет­рия. — М. : Про­свеще­ние, 1951.

Евклид. Начала Евклида. Книги XXI—XXV. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»

  Тени  Увеличение объёма выпуклых многогранников  Удивительные объёмы многогранников  Кусочно гладкое вложение многогранника  Изгибаемые многогранники

Математические этюды

Правильные многогранники

I. Геометрические свойства Правильные многогранники обобщают понятие правильного многоугольника на три измерения. Правильный многогранник – это многогранник с конгруэнтными гранями и одинаковыми вершинами. Есть только пять выпуклых правильных многогранников, и они известны под общим названием платоновых тел, показанных ниже. Слева вверху это правильный тетраэдр (четыре грани), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (двенадцать) и икосаэдр (двадцать). Нас будет интересовать вычисление объема и площади поверхности этих твердых тел. Ситуация сильно отличается от правильных многоугольников, потому что Платоновых тел всего пять, поэтому мы будем рассматривать каждое из них отдельно. Обозначения немного более громоздкие, но мы всегда будем использовать одни и те же переменные. Пусть n обозначает количество граней многогранника. Пусть s будет длиной ребра, S n общая площадь поверхности, V n объем, r расстояние от центра многогранника до вершины и a расстояние от центра многогранника до центра одного из его лица. Определения радиуса r и апофемы a имеют смысл, поскольку они являются радиусами описанной сферы и вписанной сферы соответственно. Пусть А к ( с ) — площадь правильного многоугольника с k сторонами и длиной стороны s . Площадь поверхности многогранника просто , где каждая грань многогранника имеет k сторон. Как площадь правильного многоугольника можно найти, разбив его на конгруэнтные треугольники, так и объем правильного многогранника можно найти, разбив его на n конгруэнтных пирамид, где каждая грань многогранника является основанием одна пирамида и ребра пирамид являются отрезками прямых от центра многогранника к вершинам. Объем многогранника равен сумме объемов составляющих его пирамид (и объема пирамиды высотой ч и площадь основания А равна ч · А /3): (1) (Обратите внимание на сходство этого уравнения с аналогичным уравнением для площади правильного многоугольника: число измерений. ) В то время как довольно просто найти объем первых трех Платоновых тел, не разбивая их на пирамиды, вычислить объем икосаэдра намного проще, разбив его. Куб Для куба, В 6 = с 3 и S 6 = 6 с 2 . Апофема a = s / 2. Чтобы найти радиус r , мы образуем отрезок от центра куба до вершины, а другой от центра куба до центра грани, касающейся этой вершина. По теореме Пифагора так Тетраэдр Площадь поверхности правильного тетраэдра равна Отрезок, проведенный из вершины к середине противоположной стороны, имеет длину h , высоту тетраэдра. Этот отрезок образует прямоугольный треугольник с длиной стороны и отрезком, проведенным от середины базового треугольника к вершине этого треугольника. По теореме Пифагора так Таким образом, объем Октаэдр Правильный октаэдр имеет площадь поверхности Мы находим объем правильного октаэдра, разрезая его на две квадратные пирамиды (имеющие общее основание). Если ч высота каждой из этих пирамид, то по теореме Пифагора имеем Таким образом, ч = с / √2, а объем равен Икосаэдр Площадь поверхности правильного икосаэдра составляет Мы вычисляем объем правильного икосаэдра, находя апофему a и, наконец, применяя (1). В поперечном сечении справа два ребра длиной s лежат напротив друг друга на икосаэдре и образуют прямоугольник с диагоналями (длиной d ) из двух правильных пятиугольников. Эти пятиугольники имеют длину стороны s и могут рассматриваться как двумерная «граница» икосаэдра, если смотреть на него. (На рисунке эти два пятиугольника лежат в плоскостях, перпендикулярных странице.) Четыре отрезка длиной х являются высотами треугольных граней икосаэдра. Снова воспользуемся теоремой Пифагора, получив два уравнения: Имеем d = (1 + √5) s / 2 и h = √3 s / 2, поэтому удаление r и нахождение a дает По уравнению (1) объем икосаэдра равен Додекаэдр Правильный додекаэдр имеет общую площадь поверхности Нам понадобится больше изобретательности, чтобы найти объем додекаэдра, поскольку геометрия не так проста. Однако есть более простой способ, чем найти апофему. Мы можем разбить додекаэдр на куб со стороной c = (1 + √5) s / 2 и шесть пирамидоподобных тел, как показано. Затем мы находим объем каждой пирамиды, что можно сделать, рассматривая среднюю часть как треугольную призму, а концевые части вместе как настоящую пирамиду, как показано ниже. Но сначала нам понадобятся два соотношения, включающие наклонную высоту l сторон трапеции и перпендикулярную высоту h тел. Они исходят из теоремы Пифагора: (На диаграммах слева x = ( c s ) / 2.) Объединение этих уравнений дает Решаем для высоты h найти или ч = с /2. Теперь мы можем вычислить объем V P каждого из шести пиримидальных объектов: Тогда объем додекаэдра равен

II. Сдвоенные многогранники В следующей таблице указано количество V вершин, количество E ребер и количество F граней в каждом из пяти Платоновых тел. Как многогранники, эти значения удовлетворяют формуле Эйлера V E + F = 2. Polyhedron V E F 777 F 8 правильный тетраэдр 4 6 4 куб 8 12 6 правильный октаэдр 6 12 8 правильный додекаэдр 20 30 12 правильный икосаэдр 12 30 20 Тетраэдр сам себе дуален. Двойственным правильному октаэдру является куб, а двойственным кубу — правильный октаэдр. Додекаэдр и икосаэдр двойственны. Многогранники, двойственные друг другу, имеют свои V и F 9Значения 0016 поменялись местами в таблице выше. Правильный тетраэдр не имеет внутренних диагоналей, потому что его ребра уже соединяют каждую вершину с любой другой вершиной. Для каждой вершины куба существует только одна другая вершина, которая не имеет общих граней с первой. Таким образом, в кубе есть 4 внутренние диагонали, соединяющие каждую пару противоположных вершин, и они пересекаются в центре. В правильном октаэдре каждая вершина соединена со всеми остальными вершинами, кроме одной. Снова вершины спарены, и есть 3 внутренние диагонали, которые пересекаются в центре октаэдра. Додекаэдр и икосаэдр немного сложнее. Додекаэдр имеет 20 вершин. Число способов выбрать среди них две вершины равно , поэтому число отрезков, соединяющих две различные вершины, равно 190. Из них 30 являются ребрами додекаэдра, а дополнительные 5 · 12 = 60 лежат на гранях додекаэдра . Это оставляет 100 внутренних диагоналей. Правильный икосаэдр имеет 12 вершин и, следовательно, отрезки, соединяющие каждую пару. Треугольные грани не дают диагоналей, но 30 из них являются ребрами. Следовательно, икосаэдр имеет 36 внутренних диагоналей.

геометрия — Я слышал, что правильных многогранников 48. То, что Ян Мисали называет правильными многогранниками, есть ли еще?

При сделанных вами предположениях на самом деле существует бесконечно много других правильных многогранников. Возьмем любые рациональные $m$, $n$ с $m, n>2$ и $$(m-2)(n-2)<4.$$. Оказывается, можно создать конфигурацию из $\{m \}$ многоугольники вокруг вершины, создавая вершинную фигуру $\{n\}$. Вот пример с $m=n=\frac{5}{2}$ с выделенной пентаграммой:

Эта конфигурация всегда будет иметь описанную сферу. Таким образом, мы можем однозначно повторить эту конструкцию в каждой из новых вершин, которые мы создаем счетно бесконечно много раз, на каждом шаге сохраняя описанную сферу, и мы либо получим Платоново тело, либо тело Кеплера-Пуансо после конечного числа шагов. или получить правильный апейроэдр $\{m,n\}$.

В действительности многогранники, рассматриваемые Макмалленом и Шульте, исключают такую ​​конструкцию. Упомянутые вами правила верны, но неполны. Самое основное правило — это, конечно, основное правило, определяющее многогранники:

1. Правильный многогранник, конечно же, должен удовлетворять свойствам многогранника. То есть каждое ребро должно быть смежным ровно с двумя вершинами и ровно с двумя гранями.

Макмаллен и Шульте затем добавляют ограничения, о которых вы уже упоминали:

2. Правильный многогранник должен быть вложен в трехмерное евклидово пространство.

3. Правильный многогранник должен быть связным, что означает, что каждые две вершины соединены путем ребер.

4. Никакие две вершины, ребра или грани правильного многогранника не могут занимать одно и то же положение в пространстве.

Конечно, эти ограничения часто являются теми же неявными ограничениями, которые используются для описания всех многогранников. Мы еще не дошли до определения регулярности. Это стандартное определение, которое мы добавляем в качестве дополнительного правила:

5. Правильный многогранник должен быть транзитивным по флагу.

Флаг — это просто набор граней, ребер и вершин, инцидентных друг другу. Транзитивность флага означает, что для любых двух флагов существует симметрия многогранника (вращение, отражение, перенос или скользящее отражение), которая переводит первый во второй, сохраняя при этом общую форму многогранника.

Можно убедиться, что $\{m,n\}$ апейроэдры, о которых я упоминал ранее, действительно удовлетворяют требованиям 1–5. Однако Макмаллен и Шульте предъявляют еще одно требование, чтобы сузить набор правильных многогранников до 48.

6. Группа симметрии правильного многогранника должна быть дискретной.

Для наших целей группа симметрии фигуры есть не что иное, как множество всех симметрий этой фигуры. Группа симметрии называется дискретной, если она имеет наименьшее ненулевое вращение и сдвиг.