Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя. Подробный пример решения
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида и дает правило Лопиталя, сущность которого заключается в следующей теореме.Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при x → x0 равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть (K может быть конечным и бесконечным).
Другой вид неопределенность 0/0 можно раскрыть другим методом.
Пример №2. Найти .
Решение. .
Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность или .
Пример №3. Найти .
Решение.
.
Замечание 1.
Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.
Замечание 2. В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что тоже не существует. Например, – не существует, однако .
Неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞ с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям 0/0 или ∞/∞ и затем раскрываются по правилу Лопиталя.
Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти при условии . В результате преобразования (либо ) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞).
Если нужно найти , причем и , то, представив разность f(x) – g(x) = , получим неопределенность 0/0. Неопределенности вида 00, 1∞, ∞0 путем логарифмирования выражения [f(x)]g(x)сводятся к неопределенности 0·∞, рассмотренной выше.
Пример №4. Найти .
Решение. Здесь имеем неопределенность 0·∞. Перепишем данное выражение в виде .
Теперь можно применить правило Лопиталя:
.
Перейти к онлайн решению своей задачи
Пример №5. Найти .
Решение.
.
Пример №6. Найти .
Решение.Данное выражение представляет собой неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем его к другому виду:
Пример №7. Найти .
Решение. .
Пример №8. Найти .
Решение.Здесь неопределенность вида 00. Обозначим y=xx и прологарифмируем: lny = x·lnx, откуда в силу непрерывности логарифмической функции (пример 4). Итак, , откуда , т.е. .
Пример №9. Найти .
Решение.
Имеем неопределенность 1∞, которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим , тогда
.
Получим , тогда по определению логарифма .Пример №10. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли: .
Решение.
Функция f(x)=ln(x) дифференцируема на всей области определения, функция φ(x) = x3 дифференцируема для любого x из R, при x→∞; x3→∞. Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя–Бернулли:
.
Пример №11. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли:
.
Решение. Логарифмируем функцию , получим: .
.
Пример №12.
Вычислите предел, применяя правило Лопиталя.
Решение. Для нашего примера:
Для нашего примера:
f(x) = π-2arctg(x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
g'(x) = -1/x2
f’(x) = 2x
g’(x) = 2x
Ответ: 2
Пример №13. Используя правило Лопиталя, найдите пределы функции.
Решение. Записываем как:
Для нашего примера:
f(x) = sin(1/x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
f'(x) = -(cos(1/x))/x2
Упростим:
Пример №14. Раскрыть неопределённости по правилам Лопиталя:
Представим в виде:
Тогда можно записать как:
Пример №15. Найти данный предел, используя правило Лопиталя.
Решение.
Для нашего примера:
f(x) = ln(1-2x)
g(x) = x
Находим первую производную
Пример №15.
{2}} \cdot x=1 \cdot 0=0$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{\operatorname{ctg} x}=0$
Замечание
Правило Лопиталя распространяется и на случай $x \rightarrow \infty$. Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену $x=\frac{1}{t}$ и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.
Замечание
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.
Замечание
Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями $\left[\frac{0}{0}\right]$ и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
{2}}}=$
$=a \lim _{x \rightarrow \infty} \cos \frac{a}{x}=a \cdot \cos 0=a$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \sin \frac{a}{x}\right)=a$
Читать дальше: основные неопределенности и способы их раскрытия.
Правило Лопиталя — исчисление 2
Все ресурсы исчисления 2
9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →
Исчисление 2 Помощь » Производные » Новые концепции » Правило Лопиталя
Решите:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Замена недействительна. Чтобы решить, перепишите это как уравнение.
Возьмите натуральный логарифм с обеих сторон, чтобы уменьшить показатель степени.
Поскольку в неопределенной форме, используйте правило Лопиталя.
Правило Лопиталя выглядит следующим образом:
Это означает, что правая часть уравнения равна нулю.
Используйте этот термин, чтобы исключить естественный логарифм.
Сообщить об ошибке
Оцените предел, используя правило Лопиталя.
Возможные ответы:
Не определено
Правильный ответ:
Пояснение:
Правило Лопиталя используется для оценки сложных пределов. Правило требует, чтобы вы брали производную как числителя, так и знаменателя по отдельности, чтобы упростить функцию. В данной функции возьмем производные первый раз и получим
.
Это все еще не может быть оценено должным образом, поэтому мы снова возьмем производную от вершины и основания по отдельности.
.
Теперь у нас есть только один x, поэтому мы можем оценить, когда x равно бесконечности. Подставляем бесконечность вместо х и получаем
и .
Итак, мы можем упростить функцию, вспомнив, что любое число, деленное на бесконечность, дает ноль.
Сообщить об ошибке
Оценить предел с помощью правила Лопиталя.
Возможные ответы:
Не определено
Правильный ответ:
Пояснение:
Правило Лопиталя используется для оценки сложных пределов. Правило требует, чтобы вы брали производную как числителя, так и знаменателя по отдельности, чтобы упростить функцию. В данной функции первый раз возьмем производные и получим
.
Так как первый набор производных исключает член x, мы можем подставить ноль вместо оставшегося члена x.
Мы делаем это, потому что предел приближается к нулю.
Это дает нам
.
Сообщить об ошибке
Оценить предел с помощью правила Лопиталя.
Возможные ответы:
Не определенный
Правильный ответ:
Объяснение:
Правило Лопиталя используется для оценки сложных пределов. Правило требует, чтобы вы брали производную как числителя, так и знаменателя по отдельности, чтобы упростить функцию. В данной функции первый раз возьмем производные и получим
Это все еще не может быть оценено должным образом, поэтому мы снова возьмем производную от вершины и основания по отдельности. На этот раз мы получаем
.
Теперь у нас есть только один x, поэтому мы можем оценить, когда x равно бесконечности. Подставляем бесконечность вместо х и получаем
.
Сообщить об ошибке
Рассчитайте следующий предел.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы вычислить предел, часто мы можем просто подставить значение предела в выражение. Однако в этом случае, если бы мы это сделали, мы получили бы , что не определено.
Что мы можем сделать, чтобы исправить это, так это использовать правило Лопиталя, которое говорит
.
Итак, правило Лопиталя позволяет нам взять производную как от вершины, так и от основания и получить тот же предел.
.
Подключите , чтобы получить ответ .
Сообщить об ошибке
Рассчитайте следующий предел.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если бы мы подключили предел интегрирования к выражению в задаче, мы бы получили , что не определено.
Здесь мы используем правило Лопиталя, которое показано ниже.
Это дает нам
.
Однако даже с этим упрощенным ограничением мы все равно получаем . Так что же нам делать? Мы снова делаем L’Hopital!
.
Теперь, если мы подставим бесконечность, мы получим 0.
Сообщить об ошибке
Рассчитайте следующий предел.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если бы мы подключились напрямую, то получили бы неопределенное значение .
Мы можем исправить это с помощью правила Лопиталя. Мы берем производную от вершины и основания и пересчитываем тот же предел.
.
Мы все еще не можем оценить предел нового выражения, поэтому делаем это еще раз.
Сообщить об ошибке
Найти
.
Возможные ответы:
Не существует
Правильный ответ:
5
Объяснение:
Подстановка нуля в даст вам , поэтому мы можем попытаться использовать правило Лопиталя для решения.
Сначала найдем производную от числителя.
находится в форме , которая имеет производную , поэтому ее производная есть .
находится в форме , которая имеет производную , поэтому ее производная есть .
Производная от равна , поэтому производная от числителя .
В знаменателе производная от равна , а производная от равна . Таким образом, вся производная знаменателя равна .
Теперь берем
, что дает нам .
Сообщить об ошибке
Оценить следующий предел.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если мы подставим 0 в предел, мы получим , что неопределенно.
Мы можем использовать правило Лопиталя, чтобы исправить это. Мы можем взять производную от верха и низа и переоценить предел.
.
Теперь, если мы подставим 0, мы получим 0, так что это наш окончательный предел.
Сообщить об ошибке
Оцените следующий предел
, если возможно.
Возможные ответы:
Ограничения не существует Объяснение:
Если мы попытаемся напрямую подставить предельное значение в функцию, мы получим
Поскольку предел имеет вид , мы можем применить правило Лопиталя, чтобы «упростить» предел до
.
Теперь, если мы снова подставим 0, мы получим
.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы исчисления 2
9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя обеспечивает метод оценки неопределенных форм типа 0/0 или ∞/∞.