Правило признаки делимости на 4: Признак делимости на 4, Делимость на 4

§ Признак делимости на 2, 4 и 8

Признаки делимости
на 2, 4 и 8 Признаки делимости
на 3, 6 и 9 Признаки делимости
на 5, 25 и 10 Признак делимости на 11

Чтобы понять делится ли одно число на другое не обязательно проводить сложные вычисления или иметь при себе калькулятор.

Математики придумали специальные правила, который помогут вам узнать делятся ли числа нацело друг на друга. Эти правила называются признаками делимости.

Признак делимости на 2

Запомните!

Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.

Примеры:

• 52 делится на 2. Последняя цифра 2 делится на 2 нацело 2 : 2 = 1.
• 300 делится на 2. Последняя цифра 0.
• 11 не делится на 2. Последняя цифра 1 не делится на 2.

Признак делимости на 4

Запомните!

Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

Примеры:

• 548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12).
• 600 делится на 4. Две последние цифры нули.
• 755 не делится на 4. Две последние цифры 55 не делятся на 4.

Признак делимости на 8

Запомните!

Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

• 1128 делится на 8. Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16).
• 7000 делится на 8. Три последние цифры нули.
• 6755 не делится на 4. Три последние цифры 755 не делятся на 4.

Признаки делимости
на 2, 4 и 8 Признаки делимости
на 3, 6 и 9 Признаки делимости
на 5, 25 и 10 Признак делимости на 11

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

31 мая 2018 в 11:03

Зураб Валиев Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Ребята! У Вас ошибка в статье про признак делимости.

math-prosto.ru/ru/pages/delimost/delimost/

Суммы там должны отличаться не ровно на 11, а число, кратное 11 (в том числе и ноль, кстати говоря :D).

Проблема в том, что по Вашему признаку число 90904 не будет делиться на 11. Не верите? А Вы проверьте! 😉

0 СпасибоОтветить

31 мая 2018 в 14:13
Ответ для Зураб Валиев

Борис Гуров Профиль Благодарили: 1
Сообщений: 27

Здравствуйте, Зураб.

Благодарим за ваше наблюдение. Вы правы, число будет делиться на 11, если разница между суммами цифр на нечетных местах кратно 11.

Случай, когда разница между суммами равна нулю, в уроке описан:
«когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных».

Изменения в урок будут внесены в ближайшее время.

0 СпасибоОтветить

8 сентября 2015 в 0:09

Елена Шурыгина Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Спасибо! Приходится «обновлять» знания… Вроде знаю, а пояснить грамотно уже не получается… Спасибо, за «возрождение» моего математического языка.

0 СпасибоОтветить

2 сентября 2016 в 14:58
Ответ для Елена Шурыгина

Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197

0 СпасибоОтветить

---

Признак делимости на 4: правила

Оглавление

Время чтения:  5 минут

252

Разберемся как определить, что число может делиться на 4, рассмотрим формулировку признака. Рассмотрим признак делимости на 4, правило и примеры использования признака при вычислении.

Для начала, чтобы узнать делится ли однозначное натуральное число на 4 без остатка, можно разделить его прямым путем на 4. Среди этих чисел только 4 и 8. Так же можно поступить с двузначными числами, трехзначными и т.п. Но по мере увеличения разрядов в числе проводить деление для проверки делимости на 4 становится все сложнее.

Тогда на помощь приходит Признак делимости на 4, с которым более подробно ознакомимся. Его суть заключается в проверке делимости на 4 одной или двух последних цифр многозначного натурального числа.

Рассмотрим, что это значит более подробно. Некоторое значение a может быть поделено на 4 только если одна или две крайние правые цифры в записи числа a могут быть поделены на 4 без остатка. Если же в записи некоторого числа a 2 цифры с правого края не могут быть поделены на 4 без остатка, то и все число a невозможно поделить на 4.

Примеры 1 — 2

Какие из натуральных чисел 484 788, 89 336, 53 869 делятся на 4?

Решение:У числа 484 788 две крайние правые цифры 88 делятся на 4 без остатка, значит и 484 788 может быть поделено на 4 без остатка.

89 336 имеет 2 крайние правые цифры 36, а 36 делится на 4, значит и 89 336 можно поделить на 4.

53 869 имея две крайние цифры 69, не делится на 4, так как 69 не делимо без остатка на 4.

Ответ: числа 484 788 и 89 336 делятся на 4.

В случае если в исходном числе предпоследняя цифра ноль, то необходимо отбросить его из рассмотрения и ориентироваться на последнюю цифру в числе.

---

 

Делится ли на 4 натуральные числа 888 709 и 79 508?

Решение: У числа 888 709 две крайние правые цифры 09, поэтому ноль отбрасываем и ориентируемся на цифру 9, которая на 4 не делится.

79 508 имеет две крайние цифры 08, поэтому ноль отбрасываем, рассматриваем только цифру 8, которая на 4 делится без остатка.

Ответ: 888 709 на 4 не делится, а 79 508 может быть поделено на 4.

Если рассматривать числа, в конце записи которых находятся сразу два ноля, то они делятся на 4. Это доказывается тем, что 100 делится без остатка на 4, получается 25. Это утверждение можно доказать с помощью правила умножения числа на сто.

Если а — это произвольное многозначное число, в записи которого справа находятся два ноля.

То есть оно равно а₁*100, где а

1 — это сумма а, если отбросить два ноля, расположенные справа в записи.

Например, 777 800= 7 778*100.

Полученное произведение а₁*100 имеет один из множителей цифру 100, она без остатка может быть поделена на 4, то есть 100:4=25. Это значит, что все произведение а₁*100 можно поделить на 4.

Доказательство и правило делимости на 4

Правило

Правило признака делимости на 4, можно сформулировать таким образом:
Натуральное число может быть разделено без остатка на 4, если:

• две правые цифры в числе могут быть поделены на 4;
• оканчивается на 00.

Рассмотрим такой момент, придумаем любое натуральное число а и представим его в виде суммы а=а₁*100+а₀, где а₁ — это сумма а, из записи которого откинуты две цифры с правой стороны, а

0 — это 2 цифры с правого края из записи числа а.

Если рассматривать одно или двузначные числа, то в данном случае а=а₀.

Свойства делимости

Вспомним и сформулируем свойства делимости:

1. При делении модуля числа a на модуль числа b достаточно и необходимо, чтобы само значние a возможно было разделить на b без остатка.
2. В равенстве a=s+t, при делении всех членов кроме одного на некоторое значение b, доказывает тот факт, что и последний член тоже можно поделить на некоторое значение b.

На основании данных свойств постараемся сформулировать теорему делимости на 4 и докажем ее правоту.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Теорема и доказательства

Доказательство

Поясним доказательство признака делимости на 4 в виде достаточного и необходимого условия делимости на 4.

Сформулируем теорему:

Необходимым и достаточным условием для делимости целого натурального числа а на 4 является факт делимости 2 цифр числа а, расположенных в конце записи, на 4.

Доказательство теоремы:

Предположим, что а равно 0, тогда теорема не нуждается в доказательстве. Для всех остальных натуральных чисел а, будем применять модуль числа а, которое является положительным:

\[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\]

Учитывая тот факт, что произведение a1*100 всегда делится на 4, при этом опираясь на свойства делимости можно сделать вывод о том, что если а делится на 4, то и модуль а можно поделить на 4.

Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] следует, что а₀ делится на 4. Этим мы доказали необходимость.

Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] можно сделать вывод, что модуль числа а делится на 4, а это означает, что и само а можно поделить на 4. Этим мы докажем достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда возникает необходимость проверить делится ли число на 4, если оно представлено в виде некоторого выражения, значение которого сначала надо вычислить. В этом случае необходимо:

1. Исходное выражение постараемся изменить, чтобы получилось произведение, один из множителей которого будет делиться на 4.
2. На основании полученных данных и свойств делимости необходимо сделать заключение о делимости всего исходного выражения на 4.

Формула бинома Ньютона поможет в решении таких задач.

Примеры 3 — 5

Необходимо вычислить делится ли на 4 выражение 9ⁿ−12n+7, если n – это некоторое натуральное число?

Решение: Для начала необходимо представить 9 в виде суммы 8+1, далее мы сможем применить формулу бинома Ньютона:

\[\begin{aligned}
&9^{n}-12 n+7=(8+1)^{n}-12 n+7= \\
&\left(C \stackrel{0}{n} * 8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2} * 1^{n-2}+C\stackrel{n-1}{n} * 8 * 1^{n-1}+C \stackrel{n}{n} * 1^{n}\right)-12 n+7= \\
&\left(8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2}+n * 8+1\right)-12 n+7= \\
&8^{n}+C\stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C^{n-2} * 8^{2}-4 n+8= \\
&4 *\left(2 * 8^{n-1}+2 * C\stackrel{1}{n} * 8^{n-2}+\ldots+2 * C\stackrel{n-2}{n} * 8^{1}-n+2\right)
\end{aligned}\]

Произведение, которое получилось в результате преобразований, имеет один из множителей 4, а выражение в скобках — это натуральное число. Поэтому можно сделать вывод о том, что это произведение без остатка можно поделить на 4.

Итак, мы сможем утверждать, что исходное выражение  9ⁿ+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n – это любое натуральное значение.

Ответ: исходное выражение может быть поделено на 4 без остатка.

К решению данного выражения можно применить метод математической индукции.

---

Необходимо доказать, что выражение 9ⁿ+12n−7 можно без остатка поделить на 4, при соблюдении условия, что n – это любое натуральное.

Решение: Предположим, что n=1, тогда мы сможем решить выражение таким образом

9¹+12∗1−7=4, а это означает, что 4 делится на 4 без остатка.

Далее предположим, что n=k, и при этом значении выражение 9ⁿ+12n−7, будет делиться без остатка на 4.

Получаем выражение 9^k+12k−7 и оно без остатка делится на 4.

Далее докажем, что выражение 9ⁿ+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n=k+1, но с учетом того, что выражение 9^k+12k−7 делится на 4.

9^k+1−12(k+1)+7=9∗9^k−12k−5=9∗(9^k−12k+7)+96k−68=9∗(9^k−12k+7)+4∗(24k−17)

В итоге преобразований получаем сумму, где первое слагаемое 9∗(9^k−12k+7) может быть поделено на 4 без остатка, имея ввиду наше предположение о том, что 9^k−12k+7 делится на 4, а второе слагаемое в выражении имеет вид 4∗(24k−17) и содержит множитель 4, исходя из этого можно сделать вывод, что оно тоже делимо на 4. Соответственно и вся исходная сумма может быть поделена на 4.

Ответ: с помощью математической индукции мы доказали, что 9ⁿ−12n+7 можно поделить на 4, если n – это любое натуральное число.

Мы можем использовать еще один вариант для того, чтобы доказать делимость без остатка некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает следующее:

• докажем, что значение выражения с переменной nможно поделить на 4, если n=4*m, n=4*m+1, n=4*m+2, n=4*m+3, с учетом того, что m – это целое значение;
• сделаем вывод о доказательстве делимости выражение на 4, при условии, что n – это целое.

---

Необходимо доказать, что значение выражения n*(n²+1)*(n+3)*(n²+4) при условии, что n это целое, делится на 4.

Решение: Предположим, что n=4*m, тогда получаем выражение:

4m*((4m)²+1)*(4m+3)*((4m)²+4)=4m*(16m²+1)*(4m+3)*4*(4m²+1)

Произведение, которое получилось в результате преобразований, содержит множитель 4, а все остальные множители – это целые числа, исходя из этого можно утверждать, что все выражение делится на 4.

Предположим, что n=4*m+1, тогда получаем выражение:

(4m+1)*((4m+1)²+1)*(4m+1+3)*((4m+1)²+4)=(4m*1)+((4m+1)²+1)*4(m+1)*((4m+1)²+4)

В полученном произведении есть множитель 4, что свидетельствует о том, что исходное выражение делится на 4.

Если же предположить, что n=4*m+2, то получаем:

(4m+2)*((4m+2)²+1)+(4m+2+3)*((4m+2)²+4)=2*(2m+1)+(16m²+16m+5)*(4m+5)*8*(2m²+2m+1)

В данном произведении получаем один из множителей 8, а 8 делится на 4, значит и все выражение делится на 4.

Рассмотрим вариант, если что n=4*m+3, то получаем следующее выражение:

(4m+3)*((4m+3)²+1)*(4m+3+3)*((4m+3)²+4)=(4m+3)*2*(8m²+12m+5)*2*(2m+3)*(16m²+24m+13)=4*(4m+3)*(8m²+12m+5)*(16m²+24m+13)

Оценить статью (59 оценок):

Поделиться

Делимость

— Есть ли способ определить, делится ли число на 4, если цифра состоит из 2 цифр

спросил 3 года 10 месяцев назад

Изменено 2 года, 2 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь помочь своей дочери выучить математику. Она борется с множителями, которая заключается в том, чтобы выяснить, какие числа входят в большее число (деление).

Я уже узнал, что при суммировании чисел, если они составляют 3, оно может делиться на 3. Я также знаю правила для 2, 5, 6, 9 и 10.

Я пытаюсь выяснить, есть ли правило для 4. Я думаю, что нет.

https://www.quora.com/Why-does-the-divisibility-rule-for-the-number-4-work показывает следующее

Правило делимости на 4 в любом большом числе, если разряды десятков и единиц делятся на, то все число делится на 4.

Это не имеет смысла. 56 делится на 4. Однако 2 числа в сумме дают 11, поэтому их нельзя разделить на 4.

На это вполне может быть получен ответ «нет», но есть ли какая-либо закономерность/метод, который я могу использовать для определения того, число делится на 4, если оно меньше 100 (и больше 4)

• делимость
• образование

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Как понять это правило делимости на $4$: это не говорит к добавить последние две цифры; это просто говорит посмотреть на последние две цифры. Поскольку $4$ делит $100$, число делится на $4$ тогда и только тогда, когда его последние две цифры (десятки и единицы) делятся на $4$. Ответ Роберта Исраэля дает метод определения того, делится ли двузначное число на 4 доллара, и правило гласит, что это практически все, что вам нужно.

Например, если вы хотите узнать, делится ли $2389080349$ на $4$, вам просто нужно определить, делится ли $49$ на $4$. (Это не так.)

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Десятки четные и единицы $0$, $4$ или $8$ (т.е. делятся на $4$) или десятки нечетные и единицы $2$ или $6$ (четные, но не делятся на $4$).

$\endgroup$

$\begingroup$

Признак делимости на $4$ задано любое целое число $n$, учитывая две последние цифры; если это двузначное число делится на $4$, то делится и $n$.

Пример.

Рассмотрим 96. Так как 96$ делится на 4$, то и 196$ делится на

Причина: 196$ = 100 + 96$. Число слева (которое всегда будет иметь место, даже если оно равно $0$) делится на $4$; следовательно, достаточно рассмотреть только число, представленное двумя последними цифрами целого числа $n$.

Наконец, что касается вашего последнего вопроса, предположим, что у вас есть число 8. Описывая $8$ как $08$, тест применим и к однозначным числам.

$\endgroup$

$\begingroup$

Суть в том, что 100 делится на 4. Итак, имеем:

$12345678956 = (123456789)(100) + 56 = (123456789)(25)(4) + (14)(4) = ( (123456789)(25)+14)(4)$$

Следовательно, если первые две цифры делятся на четыре, то и все число делится на четыре. На самом деле остаток при делении на четыре равен остатку при делении только двух последних цифр, потому что 3 цифры и далее имеют нулевой остаток.

$\endgroup$

$\begingroup$

Здесь есть правило делимости числа $4$. Вот оно:

Чтобы выяснить, делится ли число на четыре, вам сначала нужно посмотреть на две последние цифры, и если они делятся на четыре вместе, вы можете предположить, что все число делится на $4$ .

Почему это работает? Что ж, 100 долларов делятся на четыре, любое числовое значение разряда, превышающее разряд сотен, кратно 100 долларам. Например, в числе $2375$ 2$ в тысячном разряде означает $2000$, а 100\умножить на 20=2000$, поэтому $2000$ кратно $100$. Если мы затем добавим две цифры ниже разряда сотен, мы можем сказать, что если все цифры над разрядом единиц и разрядом десятков делятся на четыре, если две оставшиеся цифры также делятся на четыре, это не изменится. что-либо!

Надеюсь, это помогло вам ответить на ваш вопрос.

$\endgroup$

Искусство решения проблем

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы только для базы 10 — для других баз есть свои, разные версии этих правил.

Содержание

• 1 Делимость Видео
• 2 Основы
  • 2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
  • 2. 2 Правило делимости на 3 и 9
  • 2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
  • 2.4 Правило делимости для 7
  • 2.5 Правило делимости на 10 и степени 10
  • 2.6 Правило делимости для 11
  • 2.7 Общие правила для композитов
    • 2.7.1 Пример
• 3 Расширенный
  • 3.1 Общее правило для простых чисел
  • 3.2 Правило делимости для 13
  • 3.3 Правило делимости для 17
  • 3.4 Правило делимости для 19
  • 3.5 Правило делимости для 29
  • 3.6 Правило делимости для 49
• 4 Проблемы
• 5 ресурсов
  • 5.1 Книги
  • 5.2 Классы
• 6 См. также

Видео о делимости

https://youtu.be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости на 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это

, а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени числа 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень числа 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.

Доказательство

Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости на 10 и степени 10

Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.

Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .

Правило делимости для 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для составных чисел

Число делится на , где простая факторизация , если число делится на каждое из .

Пример

Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Первичная факторизация 36 должна быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.

• Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
• Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.

Расширенный

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.

Правило делимости на 13

Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости для 19

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.

Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.

Примеры:

49. Округлить: . Разница: . ? Да!

1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!

1470. Округлить: .