| Тема: Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. (Слайд №2) Цель: 1.Выработать прочные навыки сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. 2.Воспитывать прилежание, активность, самостоятельность. Форма проведения урока: комбинированный Оборудование: компьютер, видеопроектор, карточки – знания, карточки с дополнительными заданиями. Ход урока (слайд№3) Давайте ребята познакомимся с историей возникновения отрицательных чисел. Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные — как долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. в Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII—XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги, большинство ученых считали их «ложными», в отличие от положительных чисел — «истинных». Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Ренё Декарта (1596—1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел — ввел координатную прямую (1637 г.). Складывать и вычитать отрицательные числа научились древнекитайские ученые еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как, «имущества», а отрицательные числа как «долги». вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух имуществ есть имущество», «сумма двух долгов есть долг», «сумма имущества и долга равна их разности» и т. Устная работа А) Как сложить 2 отрицательных числа? Б) Как сложить 2 числа с разными знаками? В) Как из одного числа вычесть другое? 1. Учитель показывает классу заранее приготовленные задания на компьютере. (слайд№4) -5+0,8= 13-(-25)= 18-24= -20-70= -19+40= -35+(-42)= -29+50= -58-26= 24-41= -7,92+2,5= -2,8-3,1= -7+11= 2. Учитель предложил Вите Степанову решить дома следующее задание: « Найти сумму всех целых чисел от – 499 до 501». Витя как обычно сел за работу, однако дело шло медленно. Тогда на помощь ему пришли мама, папа, бабушка. Вычисляли, пока от усталости не стали смыкаться глаза, а на следующий день все они ругали неразумного учителя, задающего детям такие задания. А вы, ребята, как бы решили такое задание? Напомню, что надо найти значение выражения: (слайд №5) -499 + (-498) + (497) +…+ 497 + 498 + 499 + 500 + 501. Таблица сложения.
2. Каждый ряд получит карточки. Вы должны решить один пример и передать дальше и т.д. Какой ряд решить первым и правильно, тот получить балл при выставлении оценки. -2,5 -5,2= 5,7 -8,6= +6,5= +9,3= +(-6,7)= -7,2= -3,9= -(-6,7)= +3,8= -5,6 = +1,1= -8,7= +(-6,1)= +4,1 = +8= -0,7= 4. Физкультурная минутка (слайд №8) Закачалось деревцо (наклоны в стороны). Ветерок всё тише, тише (приседания), Деревцо всё выше, выше (потягивания вверх) 5 Закрепление Решим № 1106, самостоятельная работа № 233, 234. Когда училась в среднем звене, мы очень любили игру «СЛОВО»: мы записывали какое-нибудь слово и составляли из его буков новые слова (имена существительные в единственном числе). Тут, что мы видим? Набор буков. А у нас? Может быть набор чисел. А теперь подумайте и скажите, какую игру с отрицательными числами можно подумать. Взять несколько чисел и составить из них равенства, кто больше составит, Тот и выиграл! Например, возьмём числа -9, -8, -6, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3. Выберем из них три числа такие, чтобы можно было бы составить равенство. Скажем, 1+2=3; -8-(-6)=-2 и т.д. А это число равенств, по-вашему, конечно или бесконечно? Разумеется, конечно, так как мы сможем перебрать все варианты. Итак, попробуйте свои силы! можно минус получить. -2+(-3)=-5 -7-12=-19 Если сложишь минус, плюс, То получится конфуз?! Знак числа ты выбирай Что сильнее, не зевай! Модули их отними, Да все числа помири. 8-11=-3 -3+5=2. Каталог: home жүктеу/скачать 54 Kb. Достарыңызбен бөлісу: |
Решение примеров (слайд №7)
Например, «ТРЕВОГА»: вор, ров, гора, рог и т.д. Как вы думаете, интересная игра?
сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
Слайд 1
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Островская Таисия Алексеевна Учитель математики МБОУ лицея № 15 у ченица Репина Ксения
Слайд 2
О бщее правило при сложении и вычитании рациональных чисел.
Слайд 3
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ? 1. Что такое положительное и что такое отрицательное число? 2. Как они располагаются на числовом луче? 3. Как сравнить положительные и отрицательные числа?
Слайд 4
ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! Выпиши все положительные и все отрицательные числа : — 7; 9 ,2; — 10,5; 73 ; — 55 ,99; — 0,056; 123; 41,9; — 0,4 Расположи их в порядке возрастания. Расположи их в порядке убывания .
Слайд 5
ОТВЕТЫ: 9,2; 73; 123; 41,9; ( + ) -7; -10,5; — 55 ,99; — 0,056; — 0,4. ( — ) В порядке возрастания: — 55 ,99 ; -10,5 ;-7;-0,4; — 0,056; 9, 2 ; 41,9;73; 123; В порядке убывания: 123;73; 41,9;9,2; — 0,056; — 0,4;-7; — 10,5; -55,99 .
Слайд 6
Правила. 1. Числа, меньше нуля, называют отрицательными. И ставят знак (-). Числа, больше нуля, называют положительными. И ставят знак (+). Число 0 (нуль) не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. │0│= 0; 2. Расстояние от точки, изображающей число, до 0 называется МОДУЛЕМ числа и всегда положительно, как любое расстояние. Модуль обозначают двумя черточками: │5│= 5; │-5│= 5; Модули противоположных чисел РАВНЫ: │-6│=│6 │Модуль положительного числа равен самому числу. │5│ = │5│
Слайд 7
Правила . 3. Чем число больше, тем правее оно лежит на числовой оси. 4. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. 5. Числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком, называются противоположными.
Слайд 8
СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно: а). Поставить известный сразу знак результата – «минус»; б). Сложить модули чисел: ( — 3,5 ) + ( — 4,8 ) = — (3,5 + 4,8) = — 8,3 Реши самостоятельно: (- 6,7 ) + ( — 23,3 ) = ? ( — 75,6 ) + (- 5,7) = ? ( — 46,2 ) + ( — 55 ) = ? 2.
А что происходит если складывать числа с разными знаками? 6 + (- 2 ) = … ; 1 + ( — 3 ) = … ?
Слайд 9
Задачка Во вpемя сильного дождя на остановке автобуса стояли 12 человек. Подкатил автобус и забpызгал гpязью пятеpых . Остальные успели попpыгать в колючие кусты. Сколько исцаpапанных пассажиpов поедет в автобусе, если известно, что тpое так и не смогли выбpаться из колючих кустов ?
Слайд 10
При сложении чисел с разными знаками знак результата совпадает со знаком того числа, модуль которого больше, а сам ответ определяется действием вычитания . Объясни, как были решены примеры: ( — 17 ) + 7 = — (17 – 7) = — 10 12 + ( — 20 ) = — (20 -12) = — 8 А теперь сам, пользуясь правилом, подробно запиши решения следующих примеров: 1). (-3) + 5 =… ; 2). 7 + (- 4 ) = … ; 3). (-10) + 3 = … ; 4). (-22) + 33 = … ; 5). ( 5 ) + ( -9 ) = … ; 6). (1,7) + ( — 3,9 ) = … ; 7). 17 + ( — 40 ) = …?
Слайд 11
ПРОВЕРЬ СВОИ РЕШЕНИЯ ! 1). 2 2). 3 3). — 7 4). 11 5). -4 6). — 2,2 7). — 23
Слайд 12
ЗАДАЧКА Во вpемя игpы в пpятки 5 мальчиков спpятались в бочку из под известки, 7 — в бочку из-под зеленой кpаски , 4 — в бочку из-под кpасной и девять — в ящик из-под угля.
Мальчик, котоpый пошел их искать, нечаянно упал в бочку из-под желтой кpаски . Сколько pазноцветных мальчиков и сколько чеpно-белых мальчиков игpало в пpятки ?
Слайд 13
АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ. НУЖНО СООБРАЗИТЬ: ЧИСЛА «дружат» ? (ЗНАКИ ОДИНАКОВЫЕ) Числа «ссорятся» ? (ЗНАКИ РАЗНЫЕ) Поставить у результата тот же знак и сложить модули чисел. 4 + 5=9 — 4 +(-5) = — 9 Реши примеры: 5 + 8 = …; (- 5) + ( — 11 ) = … ( — 8,1 ) + (- 0,7) = … (-2) + (-8) = … (-49) + (-13) = … Поставить у результата знак «победителя» и из большего модуля вычесть меньший. 3 +(-8 ) = — (8 -3)= -5 6 + (-4) = + ( 6-4) = 2 Реши примеры: (-2) + (8) = …; 3,5 +(-10) =… 18 + (-5,7) = … (-11) + 5 = …
Слайд 14
ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Вычитание можно заменить сложением с Числом, противоположным вычитаемому: 9 – (-3) = 9 + (+3) = 9 +3=12 Мы заменили вычитание сложением с числом противоположным. Кратко можно записать так : 9 – ( — 3 ) = 9 + 3 = 12; Два минуса перед числом превратились в плюс: -( — 3 ) = + 3 Потренируемся : 2 – ( — 7 ) =… — 10 – ( — 15 = — 10 + 15 = 15 – 10 = 5;- — 25 – ( -4 ) = — 25 + 4 = — 21
Слайд 15
Если перед числом стоят два одинаковых знака ( — — ) или ( + + ), то они меняются на ( + ).
3 – (-7) = 3 +7 = 10 12 – ( + 8 ) = 12 – 8 = … (-9) – (-5) =…. 6 + ( — 10 ) = 6 – 10 = … 15 + (+10)=…. Видно, что если перед числом стоят 2 разных знака ( + — ) или ( — + ), то они заменяются на минус ( — ) !
Слайд 16
Проверь свое решение 1. …. = 10 4. …. = — 4 2. …. = 4 5. …. = + 25 3. …. = — 4 ПРАВИЛЬНО! МОЛОДЦЫ!
Слайд 17
ЗАДАЧКА Один дедушка охотился в кухне на таpаканов и убил пятеpых , а pанил в тpи pаза больше. Тpех таpаканов дедушка pанил смеpтельно , и они погибли от pан , а остальные pаненые таpаканы выздоpовели , но обиделись на дедушку и навсегда ушли к соседям. Сколько таpаканов ушли к соседям навсегда?
Слайд 18
РЕШИ ПРИМЕРЫ САМ: 21 + ( — 8 ) =…; -10 + ( — 16 ) =…; — 7 – ( -15 ) = …; 3 – ( — 11 ) =… ; — 32 – ( — 22 ) = …; 16 – ( + 5 ) = … ; 5 – ( + 15) = … ; 2 – ( — 9 ) = … ; — 13 + ( — 18 ) = … ; — 49 + ( — 10 ) = … ; — 15 – ( — 21 ) = … ; 6 – ( + 10 ) = … ;
Слайд 19
Проверь свои ответы 1. = 13 2. = -26 3. = 8 4. = 14 5. = -10 6.
= 11 Правильное решение! 7. = 10 8. = 11 9. = 31 10. = -59 11. = 6 12. = -4 МОЛОДЦЫ!
Слайд 20
Усложним задачу и попробуем решить длинные примеры, используя те же правила : 5 – ( — 8 )+ (-12) – (+ 5 ) +17 – 10 – ( — 2 ) = = 5 +8 -12 – 5 + 17- 10 + 2= (8+17+2) + (-12-10)= = 27 + ( — 22 ) 27 -22 = 5 Запомни алгоритм вычисления: Отбросим скобки, используя правило превращения знаков « кошки-собаки»; Получилась алгебраическая сумма. Можно взаимно уничтожить противоположные по знакам слагаемые +5 и — 5; Сгруппируем отдельно (+) и (-) слагаемые; Найдем результат.
Слайд 21
ЗАДАЧКА Допустим , что ты pешил пpыгнуть в воду с высоты 8метpов и, пpолетев 5 метpов , пеpедумал . Сколько метpов пpидется тебе еще лететь поневоле?
Сложение и вычитание
ложение и вычитание целых чисел
В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся.
К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.
Содержание урока
- Примеры сложения и вычитания целых чисел
- Правила сложения и вычитания целых чисел
- Задания для самостоятельного решения
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший.
Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше.
У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
5 − 3 = 2
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам.
Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположновычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
5 + (−3)
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем.
Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2.
На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
(+3) − (+7)
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Приведём выражение к понятному виду:
(−4) − (+5)
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа.
Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание.
Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Просмотр содержимого документа
«Сложение и вычитание»
ложение и вычитание целых чисел
В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.
Содержание урока
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Правила сложения и вычитания целых чисел
Задания для самостоятельного решения
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой.
Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3.
Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число.
Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное.
Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
5 − 3 = 2
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположновычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3.
Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
5 + (−3)
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом.
Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
(+3) − (+7)
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Приведём выражение к понятному виду:
(−4) − (+5)
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус.
Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9.
Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно.
Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Добавление и вычитание отрицательных чисел
Опубликовано Математика с мамой
Добавление и вычитание отрицательных чиселExampleVideoQuestionsLesson
Поделиться в Google Classroom
- Вот руководство для понимания правил сложения и вычитания отрицательных чисел.
- Если два знака, стоящие рядом, одинаковы, то их можно заменить знаком плюс.
- И «- -», и «+ +» заменяются одним знаком «плюс».
- Если два знака, стоящие рядом, различны, то их можно заменить знаком минус.
- И «+ -», и «- +» можно заменить одним знаком «минус».
Два положительных или два отрицательных значения равносильны сложению.
Отрицательное и положительное в любом порядке равносильно вычитанию.
- Всякий раз, когда у нас есть положительный и отрицательный знак рядом друг с другом, мы просто заменяем оба знака одним вычитанием.
- Мы заменяем «+ -» или «- +» на «-».
- 10 + – 4 можно переписать как 10 – 4.
- 10 – 4 = 6, поэтому 10 + – 4 = 6.
- 17 – + 6 можно переписать как 17 – 6.
- 17 – 6 = 11, поэтому 17 – + 6 = 11.
Сложение отрицательного числа или вычитание положительного числа
Вычитание отрицательных чисел
Сложение отрицательных чисел и вычитание положительных чисел: интерактивное занятие
Сложение отрицательных чисел и вычитание положительных чисел: интерактивное задание
Добавление отрицательного числа и вычитание положительного числа Рабочие листы и ответы
Вычитание отрицательного числа Рабочие листы и ответы
Правила сложения и вычитания отрицательных чисел
Правило сложения и вычитания отрицательных чисел состоит в том, чтобы складывать числа, если знаки одинаковы, и вычитать числа, если знаки разные.
Если есть два отрицательных знака или два положительных знака, то выполнить сложение. Если есть положительный и отрицательный знак в любом порядке, то выполните вычитание.
Вот руководство по правилам сложения и вычитания направленных чисел.
Мы можем думать о отрицательном знаке как об обратном эффекте. Отрицательный знак изменит знак рядом с ним, чтобы иметь противоположный эффект.
В случае «—» первый отрицательный знак изменяет отрицательный знак, за которым он стоит, на «+».
Существует четыре правила сложения и вычитания отрицательных чисел:| Знаки | Правило | |
| Те же знаки | + и + | Сложите числа |
| – и – | ||
| Различные знаки | + и – | Вычесть числа |
| – и + |
Эти правила используются, когда в уравнении есть два знака рядом друг с другом.
Например, 10 + — 4 можно записать как 10 — 4, что равно 6.
17 – + 6 можно записать как 17 – 6, что равно 11.
В этих примерах комбинации «+ -» или «- +» были заменены одним вычитанием.
Вот пример вычитания отрицательного числа. У нас есть 2 – – 5. Два знака «- -» совпадают, поэтому мы будем выполнять сложение.
Два отрицательных знака заменены одним дополнением.
2 – – 5 равно 2 + 5, что равно 7.
В последнем случае два положительных знака заменены одним.
Например, 6 + + 3 равно 6 + 3, что равно 9.
В этой сумме нет необходимости писать два плюса.
Добавление отрицательного числа
Чтобы добавить отрицательное число, просто проигнорируйте знак минус и вычтите его из другого числа вместо добавления.
Например, вот 15+-7. У нас к положительному числу прибавляется отрицательное число. Прибавляем минус 7 к плюсу 15.
Замените «+-» в сумме одним знаком «-».
15+-7 равно 15-7.
15 — 7 = 8 и так, 15 + — 7 = 8.
Чтобы понять, почему прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию, мы можем рассматривать отрицательные числа как кубики льда. При добавлении кубика льда температура падает. При добавлении минуса значение числа падает.
Вот напиток, который измеряет 7 градусов.
Мы будем думать о нашем отрицательном числе (-1) как о кубике льда.
Добавление кубика льда делает напиток более холодным, поэтому температура снижается.
7 – 1 = 6, поэтому добавление кубика льда привело к вычитанию.
Мы можем написать 7 + — 1 = 6 или мы можем записать отрицательное число в скобках как 7 + (-1) = 6.
Неважно, написано в скобках отрицательное число или нет. Написание скобки может облегчить для некоторых людей визуализацию отрицательного числа в этой аналогии с кубиком льда, а также показать, что отрицательный знак принадлежит 1. Однако, не написание скобки может облегчить просмотр «+ -» комбинацию и более легко заменить ее на «-».
Если вместо 1 кубика льда мы добавим 3, то температура снизится на 3 вместо 1.
Каждый кубик льда снижает температуру на 1. Каждый кубик льда стоит (-1).
Напиток изначально был 7 градусов. Сложение трех кубиков льда может быть показано суммой 7 + — 3.
Температура снижается на 3, чтобы подняться до 4.
7 + — 3 = 4, потому что 7 — 3 = 4.
Не имеет значения, в каком порядке написаны положительные и отрицательные знаки. И +-, и -+ заменены на -. Если есть положительный и отрицательный знак вместе, результатом является вычитание.
Вот пример 8 – 5. Число 5 может быть записано как положительное 5 или + 5.
Мы можем записать 8 – 5 как 8 – + 5 или даже как 8 – (+ 5). Обычно мы не пишем знак плюс перед цифрой 5, потому что считаем число положительным, если не указано иное.
8 – 5 = 3, значит, 8 – + 5 тоже равно 3.
Знак «-+» аналогичен знаку «-». «- +» заменяется вычитанием.
Вычитание отрицательного числа
Чтобы вычесть отрицательное число из другого числа, игнорируйте отрицательные знаки и складывайте числа вместе.
Например, здесь 10 – – 4. Не обращая внимания на отрицательные знаки, мы имеем 10 и 4. Складываем 10 и 4, чтобы получить 14. Следовательно, 10 – – 4 = 14.
Если два отрицательных знака стоят рядом друг с другом, мы можем заменить их положительным знаком. «—» можно заменить на «+».
Вот еще один пример вычитания отрицательного числа. У нас есть 8 – – 3.
Может быть полезно обвести все двойные отрицания и поставить над ними знак добавления.
8 – – 3 можно записать как 8 + 3, что равно 11. 8 – – 3 = 11.
Чтобы понять, почему вычитание отрицательного числа приводит к сложению, мы можем рассматривать отрицательное число как кубик льда. Удаление кубика льда может привести к повышению температуры. Удаление отрицательного числа может увеличить значение числа.
Вот напиток, который содержит кубик льда. Его температура составляет 5 градусов.
Если убрать кубик льда, температура повысится.
Если кубик льда охлаждает напиток на 1 градус, то его удаление подогреет напиток на 1 градус.
Напиток был 5 градусов и сейчас 6 градусов. 5 + 1 = 6 и, следовательно, 5 – – 1 = 6.
Мы видим, что «- -» в 5 – – 1 = 6 можно заменить на «+», чтобы получилось 5 + 1 = 6.
Вот другой напиток, который содержит 3 кубика льда. Сейчас 5 градусов.
Мы удалим все три кубика льда, чтобы температура поднялась на три.
5 + 3 = 8 и так, 5 – – 3 = 8.
Два отрицательных знака дают положительный результат, поскольку один отрицательный знак создает противоположный эффект в другом отрицательном знаке. Эффекты каждого из двух отрицательных знаков уравновешиваются, создавая положительный эффект.
Обучение сложению и вычитанию направленных чисел
Чтобы преподавать направленные числа, важно начать с аналогий из реальной жизни. Вот некоторые примеры:
- Удаление кубика льда приводит к повышению температуры напитка.
- Удаление груза может привести к тому, что что-то пойдет вверх
- Удаление счета или долга означает, что у вас есть больше денег, чтобы их потратить.
При обучении сложению и вычитанию отрицательных чисел в целом полезно поощрять обведение комбинаций положительных и отрицательных знаков перед заменой их знаком + или -. Это может создать долгосрочную стратегию, о которой не так легко забыть.
Имея несколько различных правил отрицательных чисел, которые нужно помнить, важно много практиковаться с каждым методом, и наличие письменных стратегий может помочь в этом.
Дети иногда могут забыть использовать эту процедуру и могут подумать, что сумма сложнее, чем она есть на самом деле. Выработав у них привычку обводить два знака и заменяя их одной операцией, можно получить больше структуры для решения вопроса.
Теперь попробуйте наш урок на Как вычитать положительные числа из отрицательных с помощью числовой строки , где мы узнаем, как вычесть положительное число из числа, которое уже является отрицательным.
Сложение и вычитание с отрицательными числами Математическое видео для детей
1%
Обработка, пожалуйста, подождите…
Обработано успешно!
КАК СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА?
Вы узнали, как использовать числовую прямую для представления отрицательных чисел. В этом уроке вы научитесь использовать числовую прямую для демонстрации сложения и вычитания отрицательных чисел.
Чтобы лучше понимать сложение и вычитание отрицательных чисел…
КАК СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА?. Вы видели, как использовать числовую прямую для представления отрицательных чисел. В этом уроке вы научитесь использовать числовую прямую для демонстрации сложения и вычитания отрицательных чисел. Чтобы лучше понять, как складывать и вычитать отрицательные числа…
ДАВАЙТЕ РАЗЪЯСНИМ!
Вы можете использовать быстрое правило, которое поможет вам складывать и вычитать целые числа.
Есть одно правило, которое мы можем использовать при сложении и вычитании целых чисел: когда мы видим 2 знака рядом друг с другом, мы можем перевернуть их оба, чтобы составить более простую задачу с тем же ответом. Например, –7 + (–5) равно –7 – (+5), что равно –7 – 5. –7 – 5 = –12. Это правило устраняет проблемы, когда вы видите 2 знака рядом друг с другом, и вместо этого позволяет отображать 1 операцию. При использовании этого правила оставшаяся одна операция говорит вам, в какую сторону двигаться по числовой строке: чтобы сложить, двигаться вправо; чтобы вычесть, двигаться влево. Попробуйте это сами. Используйте правило, чтобы найти 5 + (-4).
Вы можете использовать быстрое правило, которое поможет вам складывать и вычитать целые числа. Есть одно правило, которое мы можем использовать при сложении и вычитании целых чисел: когда мы видим два знака рядом друг с другом, мы можем перевернуть их оба, чтобы составить более простую задачу с тем же ответом. Например, –7 + (–5) равно –7 – (+5), что равно –7 – 5.
–7 – 5 = –12. Это правило устраняет проблемы, когда вы видите 2 знака рядом друг с другом, и вместо этого позволяет отображать 1 операцию. При использовании этого правила оставшаяся одна операция говорит вам, в какую сторону двигаться по числовой строке: чтобы сложить, двигаться вправо; чтобы вычесть, двигаться влево. Попробуйте это сами. Используйте правило, чтобы найти 5 + (-4).
Используйте правило для добавления отрицательного числа.
Вот еще пример: 7 + (-10). Эквивалентным способом написания этой задачи является 7 – (+10), что соответствует 7 – 10. На числовой прямой вы можете начать с 7, а затем вычесть 10, переместив 10 единиц влево. Число, на которое вы приземлитесь, равно -3. 7 + (–10) = –3. При вычитании в подобных задачах важно думать о том, на какой стороне нуля вы окажетесь. Если вы окажетесь слева от 0, ответ будет отрицательным. Если вы окажетесь справа от нуля, это положительно. Попробуйте это сами. Найдите 8 + (-9).
Используйте правило для добавления отрицательного числа.
Вот еще пример: 7 + (-10). Эквивалентным способом написания этой задачи является 7 – (+10), что соответствует 7 – 10. На числовой прямой вы можете начать с 7, а затем вычесть 10, переместив 10 единиц влево. Число, на которое вы приземлитесь, равно -3. 7 + (–10) = –3. При вычитании в подобных задачах важно думать о том, на какой стороне нуля вы окажетесь. Если вы окажетесь слева от 0, ответ будет отрицательным. Если вы окажетесь справа от нуля, это положительно. Попробуйте это сами. Найдите 8 + (–9).
Используйте правило для вычитания отрицательного числа.
Предположим, вам нужно решить задачу 7 – (–5). В этой задаче два отрицательных знака стоят рядом друг с другом. Когда вы используете правило, вы можете записать эту задачу как 7 + (+5) или 7 + 5. Тогда задача включает сложение двух положительных чисел: 7 + 5 = 12. На числовой прямой начните 7 единиц справа от 0, а затем переместиться на 5 единиц вправо. Вот еще задачка: – 7 – (–5). Переверните два отрицательных знака, которые находятся рядом друг с другом, чтобы получить -7 + (+5), что равно -7 + 5.
Переместитесь к -7 на числовой прямой, а затем переместитесь на 5 единиц в положительном направлении. Приземлиться на -2. Всегда помните, что левое и правое правила работают только тогда, когда второе число положительное. Попробуйте это сами. Найдите 3 – (–4).
Используйте правило для вычитания отрицательного числа. Допустим, вам нужно решить задачу 7 – (–5). В этой задаче два отрицательных знака стоят рядом друг с другом. Когда вы используете правило, вы можете записать эту задачу как 7 + (+5) или 7 + 5. Тогда задача включает сложение двух положительных чисел: 7 + 5 = 12. На числовой прямой начните 7 единиц справа от 0, а затем переместиться на 5 единиц вправо. Вот еще задачка: – 7 – (–5). Переверните два отрицательных знака, которые находятся рядом друг с другом, чтобы получить -7 + (+5), что равно -7 + 5. Переместитесь к -7 на числовой прямой, а затем переместитесь на 5 единиц в положительном направлении. Приземлиться на -2. Всегда помните, что левое и правое правила работают только тогда, когда второе число положительное.
Попробуйте это сами. Найдите 3 – (–4).
Складывать и вычитать целые числа для решения реальных задач.
Вы аквалангист, начинающий с уровня моря, который мы называем нулевым. Вы ныряете вниз на 8 метров, а потом еще на 4 метра. Насколько ты глубок? Вы можете представить задачу как –8 – 4. На числовой прямой это будет 8 слева, а затем еще 4 слева. Вы приземляетесь на -12. Вы находитесь на глубине –12 метров. Далее вы отправляетесь в поход. Вы начинаете на высоте 8 метров над уровнем моря и заканчиваете поход в долине на 2 метра ниже уровня моря. Какова разница высот между началом и концом похода? Вам нужно найти 8 – (–2). Используйте правило, чтобы найти, что это то же самое, что 8 + 2, что равно 10. Ваша высота изменилась на 10 метров. Попробуйте это сами. Вы собираетесь в поход. Вы начинаете на 4 метра ниже уровня моря и заканчиваете поход на высоте 8 метров над уровнем моря. Какова разница высот между началом и концом похода?
Складывайте и вычитайте целые числа для решения реальных задач.
Вы аквалангист, начинающий с уровня моря, который мы называем нулевым. Вы ныряете вниз на 8 метров, а потом еще на 4 метра. Насколько ты глубок? Вы можете представить задачу как –8 – 4. На числовой прямой это будет 8 слева, а затем еще 4 слева. Вы приземляетесь на -12. Вы находитесь на глубине –12 метров. Далее вы отправляетесь в поход. Вы начинаете на высоте 8 метров над уровнем моря и заканчиваете поход в долине на 2 метра ниже уровня моря. Какова разница высот между началом и концом похода? Вам нужно найти 8 – (–2). Используйте правило, чтобы найти, что это то же самое, что 8 + 2, что равно 10. Ваша высота изменилась на 10 метров. Попробуйте это сами. Вы собираетесь в поход. Вы начинаете на 4 метра ниже уровня моря и заканчиваете поход на высоте 8 метров над уровнем моря. Какова разница высот между началом и концом похода?
ДОБАВИТЬ И ВЫЧИТАТЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СЛОВАРЬ
Отрицательные числа
Числа слева от 0 в числовой строке.
Положительные числа
Числа справа от 0 на числовой прямой.
Числовая строка
Строка, на которой числа отмечены по порядку и через равные промежутки.
Целые числа
Ноль, все целые числа и их противоположности.
Знак
Идентифицирует число как положительное или отрицательное.
Операция
Четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
ПРИСЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ ВОПРОСЫ ДЛЯ ОБСУЖДЕНИЯ
Дайте учащимся задачу 5 + 7 и попросите их показать решение на числовой прямой.
Числовая линия показывает, что решение 5 + 7 равно 12. Начните с 5 и прыгните на 7 делений вправо, до 12.
Дайте учащимся задачу –5 + (–8) и попросите их показать решение на числовой ряд.
Числовая линия показывает, что решение -5 + (-8) равно -13. Начните с -5 и прыгните на 8 единиц влево до -13.
Дайте учащимся задачу +3 – 7 и попросите показать решение на числовой прямой.
Числовая линия показывает, что решение +3 – 7 равно –4.
Начните с 3 и прыгните на 7 единиц влево до -4.
Дайте учащимся задачу –4 + (–3) и попросите показать решение на числовой прямой.
Числовая линия показывает, что решение -4 + (-3) равно -7. Начните с -4 и прыгните на 3 единицы влево до -7.
Дайте учащимся задачу 4 – (–5) и попросите показать решение на числовой прямой.
Числовая линия показывает, что решение 4 – (–5) равно 9. Начните с 4 и прыгните на 5 единиц вправо, до 9.
Вернуться к уроку
Правила сложения и вычитания целых чисел
В этом уроке мы узнаем, что такое целые числа и как работают сложение и вычитание целых чисел.
Что такое целое число?
Целое число всегда является целым числом. Это не может быть дробь или десятичная дробь. Кроме того, целые числа могут быть положительными или отрицательными. Ноль также является целым числом.
Примеры целых чисел
-1, 0, 5, -19, 456, -2587, 97 102, -116 708
Примеры не ин -интегран любое число, не являющееся целым числом.
Таким образом, они могут быть дробями или десятичными числами.
3/5, 2,015, – 7/12, 0,00125, -14,133
Числовая прямая — лучший способ понять положительные и отрицательные целые числа, а также ноль (0) в своей позиции.
Набор целых чисел, обозначенный Z, может быть показан следующим образом;
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }
В математике нам приходится много иметь дело с этими положительными и отрицательными целыми числами. В начальных классах вам в основном приходится работать с положительными целыми числами. Однако, когда вы начнете свое среднее образование, вам придется очень часто работать как с положительными, так и с отрицательными целыми числами, особенно с их сложением, вычитанием, умножением и делением.
Сложение и вычитание целых чисел
Сложение целых чисел
Сложение целых чисел включает сложение как положительных, так и отрицательных целых чисел.
Это может быть сложение только положительных целых чисел, либо положительных, и отрицательных целых чисел, либо только отрицательных целых чисел.
Вы очень хорошо умеете складывать только положительные целые числа. На самом деле, вы в этом мастер.
2 + 6 = 8
56 + 98 = 154
456 + 123 = 579
645 869 + 98 521 = 744 390
Да….
Итак, теперь мы должны быть осторожны со сложением как положительных, так и отрицательных целых чисел и только отрицательных целых чисел, потому что есть некоторые правила сложения и вычитания целых чисел, которые вы должны помнить при выполнении этих вычислений.
****Помните, что эти правила действительны как для целых, так и для нецелых чисел, то есть целых чисел, дробей, десятичных дробей и т. д.
В этом уроке мы работаем только с целыми числами или целыми числами.
Правило № 1:
Сложение целых чисел с одинаковым знаком знак.
Сложение положительных целых чисел
Примеры:
4 + 2
= 6
Оба являются положительными целыми числами. Итак, мы складываем положительные целые числа, и ответ также является положительным целым числом, но мы обычно не показываем положительный знак. Если перед целым числом нет знака, это всегда положительное целое или число. Это то, чем вы занимались все это время.
Сложение отрицательных целых чисел
Теперь применим то же правило и к отрицательным целым числам.
– 4 + (- 2)
= -6
Оба являются отрицательными целыми числами. Итак, мы добавляем отрицательные целые числа, и ответ также является отрицательным целым числом.
Давайте посмотрим, что здесь происходит;
К нужно добавить -4 и -2.
Итак, вот как мы это показываем;
– 4 + (- 2)
– 4 + (- 2)
Скобки означают умножение.
Значит, надо умножать + и -.
= – 4 – 2
Когда мы умножаем + и – всегда – . Теперь примените правило. Сложите целые числа с одинаковым знаком.
= – 6
Ответ сохраняется с тем же знаком.
Объяснение:
Шаг 1:
Когда положительный и отрицательный знаки целого числа 2 умножаются друг на друга, получается отрицательный знак.
— 4 + (- 2)
=- 4- 2
Шаг 2:
Затем добавьте целые знаки и сохранить ответ с тем же знаком. .
= – 4 – 2
= – 6
Вот как при сложении двух отрицательных целых чисел получается отрицательный знак.
***Помните;
Если между целыми числами нет скобок, круглых скобок, показателей степени или любых других знаков, всегда добавляйте целые числа, если целые числа имеют один и тот же знак, и ответ также должен быть с тем же знаком.
4 + 5 = 9
OR
– 4 -5 = -9
Rule No. 2:
Сложение целых чисел с разными знаками
При сложении двух целых чисел с несовпадающими знаками, одного положительного и одного отрицательного числа, мы вычтем целые числа, как если бы все они были положительными, и оставим ответ с большим знаком целого числа .
Теперь давайте посмотрим, что происходит в этих примерах;
К нужно добавить 2 и -7.
Вот как мы это показываем;
2 + (- 7)
Отсутствие знака перед 2 означает, что это положительное целое число.
2 + (- 7)
Скобки означают умножение. Значит, надо умножать + и -.
= + 2 – 7
Когда мы умножаем + и – всегда – .
Затем примените правило. Два целых числа с разными знаками. Вычтите меньшее целое из большого.
= – 5
Ответ сохраняется со знаком большего целого числа.
Объяснение:
Шаг 1:
, когда положительный признак и негативные признаки приводит к негативному. По другому.
2 + (- 7)
= 2 – 7
Шаг 2:
Затем примените правило. Два целых числа с разными знаками, одно положительное целое и одно отрицательное целое. Вычтите из большого целого меньшее число и сохраните ответ со знаком большего целого числа.
= 2 – 7
= – 5
Таким образом, при сложении целых чисел с разными знаками ответ получается со знаком большего целого числа.
Возьмем другой пример.
Добавьте -2 и +7.
Вот как мы это показываем;
– 2 + 7
Если перед 2 нет знака, это означает, что это положительное целое число.
– 2 + 7
Два целых числа с разными знаками. Вычтите меньшее целое из большого.
= 5
Ответ сохраняется со знаком большего целого числа.
Объяснение:
Есть два целых числа со знаками, которые не совпадают, одно положительное целое и одно отрицательное целое. Вычтите из большого целого меньшее число и сохраните ответ со знаком большего целого числа.
– 2 + 7
= 5
9026 *** Запомните;
Правила сложения положительных и отрицательных целых чисел можно также применять для сложения положительных и отрицательных нецелых чисел, таких как дроби, десятичные дроби и т. д.
Вычитание целых чисел
Вычитание целых чисел включает вычитание как положительных, так и отрицательных целых чисел. Это может быть вычитание только положительных целых чисел, положительных и отрицательных целых чисел или только отрицательных целых чисел.
Вы очень хорошо умеете вычитать следующее.
6 – 2 = 4
98 – 56 = 42
456 – 123 = 333
645869 – 98521 = 547 348
Полегче…! Верно?
Точно так же нам придется вычитать как положительные, так и отрицательные целые числа, или только положительные целые числа, или только отрицательные целые числа. Тем не менее, вы должны соблюдать некоторые правила при вычитании положительных и отрицательных целых чисел.
Правило № 1:
Вычитание целых чисел с одинаковым знаком
Это похоже на сложение целых чисел с разными знаками.
Теперь давайте посмотрим, как мы получаем эти ответы.
Посмотрите на следующий пример:
6 – 8 = ?
В начальных классах это сделать невозможно, потому что первоклассники понятия не имеют об отрицательных числах.
Если мы покажем 6 – 8 =? По-другому;
6 – (+8) = ?
Это похоже на вычитание двух положительных чисел.
Давайте посмотрим, что здесь происходит;
6 – (+8)
Скобки означают умножение. Вот и говорит умножать – и +.
= 6 – 8
При умножении – и + всегда – . Два целых числа с разными знаками. Вычтите меньшее целое из большого.
= – 2
Ответ сохраняется со знаком большего целого числа.
Возьмем другой пример.
Вычесть -6 из -8.
-6 – (-8)
Скобки означают умножение. Так что он говорит умножить — и -.
= -6 + 8
Когда мы умножаем – и – всегда +. Теперь у вас есть два целых числа с разными знаками. Вычтите меньшее целое из большого.
= 2
Ответ сохраняется со знаком большего целого числа.