Правило степеней: Свойства степеней, действия со степенями

alexxlab / / Разное

Содержание

Степени сравнения английских прилагательных ‹ Инглекс

Объясним правила образования и использования английских прилагательных.

Содержание:

  • 1. Образование сравнительной степени прилагательных
  • 2. Образование превосходной степени прилагательных
  • 3. Less и the least

Есть три степени сравнения прилагательных в английском языке: положительная (positive degree), сравнительная (comparative degree) и превосходная (superlative degree).

Положительная степень прилагательного в английском языке — это форма, в которой слово записано в словаре, например, big (большой), small (маленький) или pretty (симпатичный). Мы используем положительную степень, чтобы сказать, что предмет или человек обладает определенным признаком или качеством. Сравнительную степень используем, когда хотим отметить, что предмет или человек обладает определенным качеством в большей степени, чем другие. А превосходная степень прилагательного показывает, что объект обладает качеством в наибольшей степени.

Английские прилагательные делят на две категории:

  • качественные прилагательные описывают качество, например: narrow (узкий), beautiful (красивый), friendly (дружелюбный).
  • относительные прилагательные называют признак, например: wooden (деревянный), French (французский).

Только у качественных прилагательных есть три степени сравнения.

My car is fast but your car is faster. — Моя машина быстрая, но твоя машина быстрее.
My car is German and your car is French. — Моя машина немецкая, а твоя машина французская.

French и German — относительные прилагательные, сравнивать их невозможно. Нельзя сказать, что какой-то предмет более немецкий или самый французский.

Образование сравнительной степени прилагательных в английском языке

Рассмотрим образование сравнительной степени прилагательных на примере.

Возьмем две дороги: одна из них двухполосная, вторая — четырехполосная. Следовательно, вторая дорога шире, чем первая. Сравнить предметы можно при помощи слова than (чем, нежели):

This road is broader than that one. — Эта дорога шире, чем та.

При образовании сравнительной степени прилагательных в английском языке необходимо учитывать длину прилагательного. Измерять эту длину надо слогами. Если вы сомневаетесь в количестве слогов, воспользуйтесь ресурсом How Many Syllables.

Прилагательное длиной в один слог — big (большой), small (маленький), thin (тонкий), cute (забавный), cold (холодный) — называется односложным.

Прилагательное длиной в два слога — mod-ern (современный), bus-y (занятой), clev-er (умный), pret-ty (красивый) — двусложное.

Прилагательное длиной в три и более слогов — beau-ti-ful (красивый), con-fi-den-tial (секретный), de-fen-sive (защищающий) — многосложное.

Особенности образования сравнительной степени прилагательных:

  1. Односложные прилагательные

    Если прилагательное односложное, сравнительная степень образуется путем добавления суффикса -(e)r:

    cold (холодный) – colder (холоднее)
    warm (теплый) – warmer (теплее)
    cool (прохладный) – cooler (прохладнее)
    safe (безопасный) – safer (безопаснее)
    cute (забавный) – cuter (забавнее)
    wide (широкий) – wider (шире)

    In Canada I got used to colder winters. — В Канаде я привык к более холодным зимам.
    Kate’s dog is cuter than Ann’s. — Пес Кейт

    милее, чем пес Энн.

    Если односложное прилагательное оканчивается на сочетание краткая гласная + согласная, то конечная согласная удваивается:

    big (большой) – bigger (больше)
    thin (тонкий, худой) – thinner (тоньше, худее)
    fat (толстый, жирный) – fatter (толще, жирнее)

    The cuts were thinner but deeper. — Разрезы были тоньше, но более глубокие.
    July this year is hotter, I think. — Июль в этом году жарче, мне кажется.

    Конечная согласная не удваивается, если односложное прилагательное оканчивается на сочетание долгая гласная + согласная:

    slow (медленный) – slower (медленнее)
    cheap (дешевый) – cheaper (дешевле)

    The bus started moving slower.

    — Автобус стал двигаться медленнее.
    Property is cheaper in Turkey than here. — Недвижимость в Турции дешевле, чем здесь.

  2. Двусложные прилагательные
    • К двусложным прилагательным, которые оканчиваются на звуки /r/, /l/ или безударный гласный звук, добавляем суффикс -(e)r:

      clever /ˈklevər/ (умный) – cleverer (умнее)
      noble /ˈnəʊbl/ (благородный) – nobler (самый благородный)
      narrow /ˈnærəʊ/ (узкий) – narrower (у́же)

      The road became narrower, so we had to turn around. — Дорога стала уже, и нам пришлось повернуть назад.
      You will appear to be nobler if you just admit that you are wrong. — Вы будете выглядеть благороднее, если просто признаете свою неправоту.

    • Если прилагательное оканчивается на гласную -y, она меняется на -i и добавляется суффикс -(e)r:

      busy (занятой) – busier (более занятой)
      cosy (уютный) – cosier (уютнее)

      The house in the mountains was cosier compared to the house we rented at the seaside. — Дом в горах был уютнее по сравнению с домом, который мы снимали на побережье.
      A cleverer student will get an opportunity to go to the contest. — Более умный студент получит возможность поехать на состязание.

    • Прилагательные, которые оканчиваются на -ing, -ed, -ful и -less, образуют сравнительную степень с помощью more:

      thankful (благодарный) – more thankful (более благодарный)
      amusing (забавный) – more amusing (более забавный)

      My previous job was

      more stressful than this one. — Моя предыдущая работа была более напряженной, чем эта.
      The situation was more amusing than I thought it would be. — Ситуация оказалась более забавной, чем я предполагала.

      Однако некоторые двусложные прилагательные с другими окончаниями также образуют сравнительную степень только при помощи more:

      modern (современный) – more modern (более современный)
      central (центральный) – more central (более центральный)
      famous (известный) – more famous (более известный)
      human (человеческий) – more human (более человечный)
      honest (честный) – more honest (более честный)

      During the last speech, Kate was more honest than during the previous one. — Во время последнего разговора Кейт была

      более честна, чем во время предыдущего.
      My father’s attitude to life is more modern than his colleagues’. — У моего отца более современных подход к жизни, чем у его коллег.

    • У некоторых двусложных прилагательных есть две формы образования сравнительной степени — с окончанием -(e)r и с помощью слова more:

      polite (вежливый) – politer / more polite (более вежливый)
      friendly (дружелюбный) – friendlier / more friendly (более дружелюбный)
      noble (благородный) – nobler / more noble (более благородный)
      narrow (узкий) – narrower / more narrow (более узкий)
      gentle (нежный) – gentler / more gentle (более нежный)
      cruel (жестокий) – crueler / more cruel (более жестокий)
      quiet (тихий) – quiet

      er / more quiet (более тихий)
      clever (умный) – cleverer / more clever (более умный)
      angry (злой) – angrier / more angry (более злой)

      I wish some nurses were a bit more gentle and polite. — Я бы хотел, чтобы некоторые медсестры были помягче и повежливее.
      The kids became quieter and suddenly nodded off. — Дети стали вести себя спокойнее и внезапно заснули.

  3. Многосложные прилагательные

    Если прилагательное многосложное, тогда сравнительную степень от него образовываем, ставя перед ним слово more:

    interesting (интересный) – more interesting (интереснее)
    beautiful (красивый) – more beautiful (красивее)
    unexpected (неожиданный) –

    more unexpected (неожиданнее)

    It is a more interesting book, believe me. — Это более интересная книга, поверь мне.
    You are more beautiful than she ever was. — Ты красивее, чем она когда-либо была.

    Самая известная ошибка в английской грамматике — фраза, сказанная Алисой Льюиса Кэролла:

    Алиса, презрев правила грамматики, прибавляет к многосложному прилагательному суффикс -(e)r, вместо того чтобы сказать more and more curious.

  4. Исключения

    good (хороший) – better (лучше)
    bad (плохой) – worse (хуже)
    far (далекий) – farther/further (дальше)
    old (старый) – older (старее/старше)

    There is no better option. — Нет лучшего варианта.
    They say I can find a doctor in a farther village. — Они говорят, что я смогу найти врача в

    более отдаленной деревне.

    Обратите внимание, что прилагательное far имеет два варианта сравнительной степени. Выбор нужной формы зависит от смысла слова. Когда речь идет о расстоянии, не имеет значения, какую форму выбрать.

    It was a farther/further school. — Это была более отдаленная школа.

    Если мы хотим употребить это прилагательное в значении «дальнейший», «добавочный», тогда используем исключительно further.

    For further information, turn to the secretary. — За дальнейшей информацией обратитесь к секретарю.

Образование превосходной степени прилагательных в английском языке

Вернемся к примеру с дорогами. Первая — двухполосная, вторая — четырехполосная, а третья — шестиполосная.

The first road is broader than the second one, but the third road is the broadest. — Первая дорога шире второй, но третья дорога самая широкая.

Особенности формирования превосходной степени английских прилагательных:

  1. Односложные прилагательные

    Если прилагательное односложное, его превосходная степень образуется путем прибавления суффикса -(e)st, а перед словом ставится определенный артикль the. Если есть другие слова-определители, например притяжательное местоимение, артикль the опускается:

    cold (холодный) – the coldest (самый холодный)
    warm (теплый) – the warmest (самый теплый)
    cool (прохладный) – the coolest (самый прохладный)
    safe (безопасный) – the safest (самый безопасный)
    cute (забавный) – the cutest (самый забавный)
    wide (широкий) – the widest (самый широкий)

    The kitchen with its stone floor was the coolest place in the house. — Кухня с каменным полом была самым прохладным местом в доме.
    This is my cutest dog Charlie. — Это моя самая милая собака Чарли.

    Если прилагательное оканчивается на сочетание гласная + согласная, конечная согласная удваивается:

    big (большой) – the biggest (самый большой)
    thin (тонкий, худой) – the thinnest (самый тонкий, самый худой)
    fat (толстый, жирный) – the fattest (самый толстый, самый жирный)

    I want to find a recipe of a cake with the fattest layer of chocolate. — Хочу найти рецепт торта с самым толстым слоем шоколада.
    She chose the biggest teddy. — Она выбрала самого большого плюшевого медведя.

    Последняя согласная не удваивается в односложных прилагательных с долгим гласным звуком:

    new (новый) – the newest (самый новый)
    brief (краткий) – the briefest (самый краткий)
    deep (глубокий) – the deepest (самый глубокий)

    This is the briefest love story that I have ever heard. — Это самая короткая история любви, которую я когда-либо слышала.
    Could I express my deepest sympathy? — Могу ли я выразить свою глубочайшую признательность?

  2. Двусложные прилагательные
    • К двусложным прилагательным, которые оканчиваются на звуки /r/, /l/ или безударный гласный звук, присоединяем суффикс -(e)st. Не забываем, что перед прилагательным необходимо поставить определенный артикль the:

      clever (умный) – the cleverest (умнейший)
      noble (благородный) – the noblest (благороднейший)
      narrow (узкий) – the narrowest (самый узкий)

      It was the narrowest street I had ever seen in my life. — Это была самая узкая улица, которую я когда-либо видел в своей жизни.
      Who is the cleverest student in your class? — Кто самый умный ученик в вашем классе?

    • Если прилагательное оканчивается на букву -y, она меняется на -i, к слову добавляется суффикс -(e)st и артикль the:

      friendly (дружелюбный ) – the friendliest (самый дружелюбный)
      trendy (модный) – the trendiest (самый модный)

      Cindy is the friendliest kid in the class. — Синди — самый дружелюбный ребенок в классе.
      They chose the narrowest path because it was the shortest. — Они выбрали самую узкую тропу, потому что она была самой короткой.

    • Прилагательные, которые оканчиваются на -ing, -ed, -ful и -less, образуют превосходную степень с помощью the most:

      thankful (благодарный) – the most thankful (самый благодарный)
      amusing (забавный) – the most amusing (самый забавный)

      He has such unusual facial expressions! Sam is the most amusing kid in the group. — У него такая интересная мимика! Сэм — самый забавный малыш в группе.
      He is the most grateful student I have ever taught. — Он самый благодарный ученик, которого я когда-либо учила.

      Однако некоторые двусложные прилагательные с другими окончаниями также образуют сравнительную степень только при помощи the most:

      modern (современный) – the most modern (самый современный)
      central (центральный) – the most central (самый центральный)
      famous (известный) – the most famous (самый известный)
      human (человеческий) – the most human (самый человечный)
      honest (честный) – the most honest (самый честный)

      This building is the most modern in his district. — Это здание самое современное в районе.
      She is the most honest member of her family. — Она самая честная из всех членов семьи.

    • У некоторых двусложных прилагательных есть две формы сравнительной степени — the перед прилагательным с окончанием -(e)st или the most перед прилагательным:

      polite (вежливый) – the politest / the most polite (самый вежливый)
      common (обычный) – the commonest / the most common (самый обычный)
      simple (простой) – the simplest / the most simple (самый простой)
      stupid (глупый) – the stupidest / the most stupid (самый глупый)
      clever (умный) – the cleverest / the most clever (самый умный)

      The task appeared to be the simplest. — Задача оказалась самой легкой.
      That’s the most stupid thing I’ve ever heard. — Это самая глупая вещь, которую я когда-либо слышал.

  3. Многосложные прилагательные

    Многосложные прилагательные образуют превосходную степень с помощью the most:

    interesting (интересный) – the most interesting (самый интересный)
    beautiful (красивый) – the most beautiful (самый красивый)
    unexpected (неожиданный) – the most unexpected (самый неожиданный)

    For my grandmother, her son is the most darling person in the world. — Для моей бабушки ее сын — самый дорогой человек в мире.
    Monica Bellucci is the most famous and the most beautiful Italian actress. — Моника Белуччи — самая знаменитая и самая красивая итальянская актриса.

  4. Исключения

    good (хороший) – the best (лучший)
    bad (плохой) – the worst (худший)
    far (далекий) – the farthest / the furthest (самый дальний)
    old (старый) – the oldest (самый старый) / the eldest (самый старший)

    Gary is not the worst lawyer in the town, but he is not the best, though. — Гэри не худший юрист в городе, но и не лучший.
    As usual, she found what she needed in the farthest store. — Как обычно, она нашла то, что ей было нужно, в самом дальнем магазине.

Less и the least

Используем less, когда хотим отметить, что предмет/человек обладает каким-то качеством в меньшей степени, чем другие, а the least — в наименьшей степени.

hard (тяжелый) – less hard (менее тяжелый) – the least hard (наименее тяжелый)
famous (известный) – less famous (менее известный) – the least famous (наименее известный)
beautiful (красивый) – less beautiful (менее красивый) – the least beautiful (наименее красивый)

Let’s choose a less expensive hotel. — Давай выберем менее дорогой отель.
She is now a less famous actress than 20 years ago. — Сейчас она менее известная актриса, чем 20 лет назад.

The least tiring journey was to Los Angeles because they took the train. — Наименее выматывающим было путешествие в Лос-Анджелес, потому что они поехали на поезде.
First, I offer to choose the least beautiful dress. — Сначала я предлагаю выбрать наименее красивое платье.

Надеемся, что после нашего подробного объяснения, вы сможете без труда использовать сравнительную и превосходную степени прилагательных в английском языке. Чтобы упорядочить в голове изученный материал, пройдите небольшой тест.

Тест по теме «Степени сравнения прилагательных в английском языке»

© 2022 englex.ru, копирование материалов возможно только при указании прямой активной ссылки на первоисточник.

Над статьей работали:

Степени сравнения прилагательных в английском языке — правило и таблица

На первый взгляд кажется, что для описания объектов и событий в английском языке достаточно знать прилагательные. На самом деле, степени сравнения пригодятся тебе не только для того, чтобы описывать, но и сравнивать предметы или действия между собой. Знание правил по этой теме позволяет лучше и детальнее рассказывать о предметах и действиях в англоязычной среде.

О том, что такое степени сравнения прилагательных, как они образуются и как их использовать в английском языке, — поговорим в этой статье.

Comparative degrees: что это и зачем они нужны

Начнем с того, что разберемся, — что такое прилагательное и его сравнительные формы. Прилагательное («adjective») — это часть речи, обозначающая признак предмета. К такому слову можно задать вопрос «какой?» («what?»). Например, adjectives используются для описания человека: beautiful («красивый»), strong («сильный»), smart («умный»).

Таких слов достаточно для описания объекта или явления в английском языке, например, человека или погоды. Но часто в разговоре требуется сравнить два предмета — в этом тебе помогут сравнительные степени. С помощью них можно сказать «эта книга интереснее» или «в этом магазине цены ниже».

В английском языке 3 степени сравнения («comparative degrees»): положительная («positive degree»), сравнительная («comparative degree») и превосходная («superlative degree»).

  • Positive degree означает, что у предмета есть определенное качество, например, «plates are white and clean» («тарелки белые и чистые»).
  • Comparative degree указывает на большую степень проявления качества у предмета в сравнении с другими: «this film is longer than the previous one» («этот фильм длиннее предыдущего»).
  • Superlative degree нужна для того, чтобы выделить объект на фоне всех остальных и сказать, что только он обладает этим качеством. Например, «pizza at “Tony’s Pizza” is the best pizza in town» («пицца в «Tony’s Pizza» — лучшая пицца в городе»).

Обрати внимание, что не все adjectives могут иметь сравнительную степень. Английские прилагательные делятся на два типа: качественные («qualitative adjectives») и относительные («relative adjectives»). Степени сравнения могут быть только у качественных. Отличить эти два типа adjectives очень просто: qualitative adjectives обозначают признак предмета — его «качество», которое может проявляться сильнее или слабее, а relative adjectives — однозначные характеристики предмета, которые не могут изменяться по степеням «больше»/«меньше». Например, среди relative adjectives есть такие: italian («итальянский»), temporary («временный»), winter («зимний»), wooden («деревянный»).

Чтобы образовать comparative degrees, нужно запомнить некоторые правила: с ними мы познакомимся в следующих разделах.

Как образуется Comparative Degree

Теперь узнаем правила образования сравнительной степени прилагательных в английском языке.

Главное, о чем нужно помнить, — способы построения степеней сравнения отличаются в зависимости от количества слогов в прилагательном. В английском ты можешь столкнуться с односложными (один слог), двусложными (два слога) и многосложными (больше двух слогов) прилагательными: у каждого типа свои правила.

Многосложные прилагательные

Самые простые правила построения формы comparative degree — у многосложных прилагательных. К ним достаточно присоединить слово «more» («более»):

  • expensive (дорогой) → more expensive (более дорогой, дороже)
  • ridiculous (смешной, нелепый) → more ridiculous (более нелепый)

Односложные и двусложные прилагательные

Для adjectives длиной в один или два слога схема немного отличается. К ним при составлении comparative degree нужно прибавить суффикс -r или -er. Прилагательные с окончанием на -e образуют comparative degree при помощи суффикса -r, а если у прилагательного на конце согласная — добавляется тот же суффикс, но с «огласовкой» в виде гласной (e): -er.

Вот примеры comparative degrees, образованных от таких прилагательных:

  • hard (жесткий) → harder (жестче)
  • strong (сильный) → stronger (сильнее)
  • cute (милый) → cuter (милее)

Для прилагательных, оканчивающихся на -y, правило немного изменяется: нужно присоединить окончание -er и вместо -y подставить -i. Вот что получится:

  • wealthy (богатый) → wealthier (богаче)
  • busy (занятый) → busier (более занятый)

Обрати внимание на односложные прилагательные, которые заканчиваются на гласную + согласную — в таких случаях согласная дублируется перед суффиксом -er:

  • big (большой) → bigger (больше)
  • hot (горячий) → hotter (горячее)

Слова-исключения

Описанные выше правила справедливы не для всех английских прилагательных. Запомни следующие слова-исключения — у них собственные сравнительные формы:

  • good (хороший) → better (лучше)
  • bad (плохой) → worse (хуже)
  • far (далекий) → farther («более далекий», если речь о расстоянии) или further (в значении «дальнейший»)
  • old (старый) — older («старее», о людях или предметах) или elder («старший», только о людях)

В английском есть также особая группа adjectives, от которых можно образовать comparative degree и с помощью суффиксов, и с помощью слова «more». К ней относятся следующие слова:

  • Able — способный
  • Clever — умный
  • Friendly — дружелюбный
  • Handsome — привлекательный
  • Narrow — узкий
  • Pleasant — приятный
  • Quiet — тихий
  • Serious — серьезный
  • Simple — простой

Запомни, что при образовании сравнительной степени используется неопределенный артикль — «a» или «an».

Как образуется Superlative Degree

Чтобы отметить предмет как лучший среди всех остальных, потребуется превосходная степень, или superlative degree. Правила ее образования тоже зависят от того, сколько в прилагательном слогов, и похожи на правила построения сравнительных форм. Однако есть одна особенность, присущая только superlative degree: перед ней всегда нужно ставить определенный артикль «the».

Односложные и двусложные прилагательные

Для составления superlative degree к односложным и двусложным прилагательным нужно добавить суффикс -st или -est. Если adjective заканчивается на -e, то присоединяется суффикс -st. К прилагательным с окончанием на согласную добавляется суффикс -est:

  • hard →the hardest
  • cute →the cutest

У прилагательных на согласную + y есть особенности: для создания superlative degree нужно вместо -y поставить -i:

  • wealthy → the wealthiest
  • busy → the busiest

Многосложные прилагательные

С многосложными в этот раз все тоже оказалось проще: к таким прилагательным нужно просто добавить слово «most» («самый»):

  • expensive → the most expensive
  • ridiculous → the most ridiculous

Слова-исключения

Формы superlative degree для прилагательных-исключений выглядят так:

  • good → best
  • bad → worst
  • far → furthest
  • old → oldest

Отрицательное сравнение: LESS и THE LEAST

В этом разделе узнаем, что такое отрицательное сравнение и как его использовать в английском языке.

Отрицательное сравнение относительно superlative и comparative degree имеет противоположный смысл. С помощью него можно сказать о предметах, у которых указанный признак проявляется меньше, чем у других, или даже меньше, чем у всех. Сделать это можно с помощью слов «less» («менее») и «least» («менее всего»).

В случае с отрицательным сравнением окончание и длина прилагательных не влияют на построение формы. Чтобы сказать, что качество объекта проявляется в меньшей степени, надо поставить перед прилагательным «less»:

  • expensive (дорогой) → less expensive (менее дорогой)
  • busy (занятый) → less busy (менее занятый)

Такой подход можно применять ко всем adjectives, однако с односложными это может звучать не совсем корректно и выдавать твой акцент. Например, «less thick» («менее толстый, плотный») американец или англичанин заменит на «thinner» («тоньше»). Несмотря на то, что эти слова совпадают по значению и могут с легкостью заменить друг друга в английской речи, вариант с «less» в данном случае не используется носителями.

Обозначить наименьшую выраженность признака можно словом «least» — его достаточно поставить перед прилагательным:

  • busy (занятый) → the least busy (наименее занятый)
  • hard (сложный) → the least hard (наименее сложный)

Обрати внимание, что перед «least» нужно ставить определенный артикль «the».

Степени сравнения у составных прилагательных

В английском есть два вида прилагательных, которые отличаются способом образования: простые («simple adjectives») и составные («compound adjectives»). Особенность составных прилагательных в том, что они образованы путем присоединения двух слов, например, well + known → well-known («хорошо известный»).

При образовании степеней сравнения для составных прилагательных нужно использовать слова «more» и «most», чтобы показать более высокую степень проявления качества, и «less» или «least» — для отрицательного сравнения.

Вот примеры сравнительных степеней от составных прилагательных:

  • open-minded → more open-minded
  • open-minded → less open-minded
  • well-prepared → more well-prepared
  • well-prepared → less well-prepared

Правила образования форм немного меняются, если в составе прилагательного есть слово-исключение, например, «good», «bad» или «little». При образовании степени сравнения слово-исключение меняет свою форму, остальная часть составного прилагательного остается без изменений, а дополнительные слова не присоединяются:

  • little-known → less-known
  • good-looking → better-looking

Английский для детей

Групповые и индивидуальные онлайн-уроки английского для детей с носителем языка. Попробуйте бесплатно!

попробовать

Степени сравнения у производных наречий

Теперь поговорим про особенности образования сравнительных степеней у производных наречий.

Наречие («adverb») — это часть речи, характеризующая образ действия и отвечающая на вопрос «как?» («how?»). Производное наречие («derived adverb») называется так, потому что оно образовано от прилагательного. Эти слова могут очень сильно напоминать прилагательные, но их легко отличить по особому суффиксу. При образовании derived adverb к прилагательному присоединяется суффикс -ly, вот некоторые примеры таких наречий:

  • slow (медленный) → slowly (медленно)
  • deep (глубокий) → deeply (глубоко)
  • correct (правильный) → correctly (правильно)

У производного наречия, как и у прилагательного, могут быть степени сравнения. Они образуются при помощи присоединения слов «more», «most», «less» и «least» к наречию:

  • slowly → more slowly
  • slowly → less slowly
  • deeply → more deeply
  • deeply → less deeply

Однако есть особенности: наречия на -ly, которые образованы от прилагательных-исключений, иначе производят степени сравнения. Например, «badly» имеет собственную форму сравнительной степени — «worse» (хуже). А сравнительную степень наречий «loudly» и «early» можно образовать только при помощи суффикса -er: early → earlier, loudly → louder.

Как использовать THAN для сравнения

В составлении сравнительных конструкций на английском языке тебе поможет союз «than» («чем»). Он нужен для того, чтобы противопоставить один объект другому. В разговорной речи он может опускаться, если собеседник знает об объекте, с которым ты хочешь что-либо сравнить. Например, можно сказать «this cheese is tastier» («этот сыр вкуснее»), не называя тот, который оказался менее вкусным.

Однако это возможно не во всех ситуациях, часто нужно обозначить оба сравниваемых предмета. В этом случае используется союз «than» — его нужно ставить сразу после прилагательного в сравнительной степени:

  • This cheese is tastier than the one you bought last week. — Этот сыр вкуснее, чем тот, который ты купил на прошлой неделе

Такая конструкция нужна, чтобы сравнить два предмета, которые различаются по качеству. То есть один из них — лучше другого.

Сравнение похожих предметов с помощью AS … AS

Мы выяснили, как сравнивать отличающиеся предметы, теперь разберемся, как сказать о похожих друг на друга объектах.

Для этого в английском языке есть специальная конструкция, состоящая из союза «as» и прилагательного. Последовательность слов в ней выглядит следующим образом:

объект 1 + глагол + AS + прилагательное + AS + объект 2

На русский фраза с использованием «as … as» переводится следующим образом: «такой же … , как».

Попробуем составить по этой схеме предложения:

  • My hometown is as big as Moscow. — Мой родной город такой же большой, как Москва
  • Robert is as athletic as his brother. — Роберт такой же спортивный, как и его брат

Сравнение с помощью THE … THE

В английском языке есть еще одна конструкция, которая позволяет сравнивать предметы. Она строится по следующему принципу:

the + степень сравнения + условие, the + степень сравнения + условие

У этой конструкции есть также краткая форма, которая очень распространена в разговорной речи. Она отличается тем, что из последовательности исключается условие и фраза сводится к следующему:

the + степень сравнения, the + степень сравнения

Вот примеры сравнений, построенных при помощи конструкции «the … the»:

  • The more I talk to him, the more I like him.  — Чем больше я общаюсь с ним, тем больше он мне нравится (полная форма).
  • The sooner, the better. — Чем раньше, тем лучше (краткая форма).

В конструкции можно сравнивать не только похожие объекты, но и наоборот, — противоположные по качеству. Например, вот так можно переделать первое предложение: «The more I talk to him, the less I like him» («чем больше я с ним общаюсь, тем меньше он мне нравится»).

Обрати внимание, чтобы противопоставить два предмета в такой конструкции, нужно использовать «less», а для сравнения похожих объектов — «more».

Закрепляем пройденный материал

Чтобы лучше запомнить степени сравнения и их особенности, вспомним, о чем мы говорили в предыдущих разделах, с помощью таблицы:

Для описания объектов и действий в английском языке нужно знать, как образуются степени сравнения. Эти знания помогут тебе строить предложения с помощью новых конструкций, а также свободнее рассказывать о предметах на английском языке.

 

 

3}x31​. kf(x)=xk. (Иногда это уже было сделано за вас.) Прежде чем вычислять, убедитесь, что вы знаете, что такое kkk! 92 — 10x + 16×2−10x+1

Исключение Преподаватель Тим Шартье объясняет правило мощности

Другие примеры правила мощности

Наконец, полезно посмотреть, как правило мощности работает на последовательности похожих функций. В следующей таблице мы использовали правило степени для различения первых нескольких (целых) степеней xxx:

Вот аналогичная таблица для отрицательных целых степеней xxx.

Вам не нужно запоминать эти таблицы, чтобы успешно считать; более важно усвоить процесс применения правила силы. Но, с другой стороны, изучение закономерностей в производных этих функций может помочь вам лучше понять, как работает правило силы.

Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа .

Ознакомьтесь с этими родственными курсами:

Исчисление I

Изучите курс

Исчисление I

Математика изменений.

Обзорный курс

Precalculus

Знакомство с курсом

Precalculus

Овладейте строительными блоками исчисления.

Изучите курс

Степенное правило — формула, доказательство, приложения

Степенное правило в исчислении — это метод дифференцирования, который используется, когда необходимо дифференцировать алгебраическое выражение со степенью. Проще говоря, можно сказать, что правило степени используется для дифференцирования алгебраических выражений вида x n , где n — действительное число. Чтобы дифференцировать х n , мы просто умножаем степень n на выражение и уменьшаем мощность на 1. Таким образом, общая формула производной по степенному правилу задается как d(x n )/dx = nx n-1 .

Далее в этой статье мы рассмотрим понятие производных степенного правила и его формулу. Мы также докажем общую формулу степенного правила и поймем ее применение с помощью различных решенных примеров для лучшего понимания. Кроме того, мы обсудим некоторые другие степенные правила исчисления, используемые при интегрировании, показателях степени и логарифмических функциях.

1. Что такое степенное правило для производных?
2. Формула правила силы
3. Доказательство правила силы
4. Применение силы Правило
5. Некоторые другие степенные правила в исчислении
6. Часто задаваемые вопросы о Power Rule

Что такое силовое правило?

Степенное правило для дифференцирования используется для дифференциации алгебраических выражений со степенью, то есть, если алгебраическое выражение имеет вид x n , где n — действительное число, то мы используем степенное правило для его дифференцирования. Используя это правило, производная x n записывается как степень, умноженная на выражение, и мы уменьшаем степень на 1. Итак, производная x n записывается как nx n-1 . Это означает, что производная по степенному правилу также используется для дробных степеней и отрицательных степеней наряду с положительными степенями.

Правило степени можно использовать для дифференцирования многочленов. Степенное правило в исчислении используется для различных типов функций и для разных целей, которые мы обсудим позже в этой статье.

Формула правила силы

Формулу общего степенного правила можно записать в виде производной от x в степени n, равной n, умноженному на x в степени n минус 1. Математически общая формула для дифференцирования алгебраических выражений с использованием степенного правила выглядит так: определяется как d(x n )/dx ИЛИ (x n )’ = nx n-1 , где n — действительное число.

Доказательство правила силы

Теперь, когда мы знаем формулу производной по степенному правилу, давайте теперь докажем формулу, используя различные методы. Мы докажем общую формулу степенного правила, используя принцип математической индукции и биномиальную теорему.

Доказательство степенного правила с использованием математической индукции

Используя принцип математической индукции, мы докажем формулу d(x n )/dx = nx n-1 для положительных целых значений n. Здесь наше утверждение P(n): d(x n )/dx = nx n-1 . Сначала мы докажем это для n = 1. Затем, предположив, что P(n) верно для n = k, мы докажем это для n = k+1.

Шаг 1: Предположим, что n = 1, тогда мы имеем LHS = dx/dx = 1 (поскольку производная x равна 1). Кроме того, RHS = 1.x 1-1 = 1.x 0 = 1. Следовательно, мы имеем LHS = RHS. Следовательно, P(1) верно. — (1)

Шаг 2: Предположим, что P(k) верно, то есть d(x k )/dx = kx k-1 — (2)

Шаг 3: Теперь мы доказать, что P(n) верно для n = k + 1, то есть нам нужно доказать, что d(x k+1 )/dx = (k+1)x k

Рассмотрим LHS = d(x k+1 )/dx

= d(x k . x)/dx — [Использование правил экспоненты]

= d(x k )/dx × x + dx/dx × x k  — [Использование правила произведения]

= kx k-1 × x + 1 × x k [Из (1) и (2)]

= kx k-1+1 + x k

= kx k + x6 k7 = (k+1) x k

= RHS

Следовательно, P(k+1) верно.

Таким образом, используя принцип математической индукции, мы доказали, что P(n): d(x n )/dx = nx n-1 верно для всех натуральных чисел, и, следовательно, мы доказали Формула степенного правила дифференцирования.

Доказательство степенного правила с использованием биномиальной теоремы

В этом разделе мы докажем общую степенную формулу дифференцирования с использованием формулы биномиальной теоремы. Формула биномиальной теоремы имеет вид 2 x n-2 y 2 + n C 3 x n-3 y 3 + n C 4 x n-4 y 4 + . .. + n C n y n . Мы будем использовать первый принцип дифференцирования, чтобы доказать формулу и, следовательно, использовать биномиальную формулу, чтобы получить результат. Согласно первому принципу производная от f(x) = x n определяется выражением

f'(x) = lim h→0 [(x + h) n — x n ] / ч

= lim ч→0 [( n C 0 x n + n C 1 x n-1 h + n C 2 x n-2 h 2 + n C 3 x n-3 H 3 + N C 4 x N -4 H 4 + … + N C N H N ) — x

H

7 . = lim h→0 [ n C 1 x n-1 h + n C 2 x n-2 h 2 + n C 3 x n-3 h 3 + n C 4 x n-4 h 4 + . .. + n C N H N ] / H

= LIM H → 0 [ N C 1 x N-1 H + N C 2 9077 x 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N N C 2 N N C 2 H + N C 2 H + N 2 + n C 3 x n-3 h 3 + n C 4 x n-4 h 4 + … + n C n h n ] / h

= lim h→0 [ n C 1 x n-1 + n C 2 x N-2 H + N C 3 x N-3 H 2 + N C 4

x

N-40127 N C 4

3

6 N-4 H . .. + n C n h n-1 ] / h

= nx n-1

Таким образом, мы доказали формулу степенного правила для дифференцирования натуральных чисел n.

Доказательство формулы степенного правила для отрицательных целых чисел

Далее мы обобщим формулу степенного правила для отрицательных целых чисел. Предположим, что n = -m, где m — натуральное число. Тогда n — отрицательное целое число. Таким образом, производная x n определяется выражением

d(x n )/dx = d(x -m )/dx

= d(1/x m )/dx — — [Использование правил экспоненты]

= [d(1)/dx × x m — d(x m )/dx] / (x m ) 2 — [Использование правила отношения производных]

= [0 — m x m-1 ] / (x m ) 2

= — m x m-1 / x 2m — ) n = a mn ]

= -mx m-1-2m

= -mx -m-1

= nx 90 -usen 9012 -m]

Следовательно, для всех отрицательных целых чисел справедлива формула степенного правила d(x n )/dx = nx n-1 . Точно так же мы можем использовать метод неявного дифференцирования, чтобы доказать формулу для рациональных показателей. Отсюда можно сделать вывод, что формула d(x n )/dx = nx n-1 верно для всех действительных чисел n.

Применение силового правила

Теперь в этом разделе мы понимаем, как применять правило степени для дифференцирования алгебраических выражений (или многочленов), включая члены формы x n . Давайте рассмотрим пример для того же. Рассмотрим f(x) = 3x 4 — 2x -2 + x — 8. Найдем производную от f(x) = 3x 4 — 2x -2 + x — 8 с использованием формулы правила степени, и в этом выражении степень x является как положительной, так и отрицательной. Чтобы найти производную f(x) = 3x 4 — 2x -2 + x — 8, мы сначала воспользуемся тем фактом, что производная суммы функций равна сумме производных функций, то есть (u + v)’ = u’ + v’. Следовательно, мы имеем

f'(x) = d(3x 4 — 2x -2 + x — 8)/dx

= d(3x 4 )/dx — d(2x -2 )/дх + дх/дх — д(8)/дх

= 3d(x 4 )/dx — 2d(x -2 )/dx + dx/dx — d(8x 0 )/dx — [Потому что d(af(x))/ дх = ад(ф(х))/дх; мы можем записать 1 как x 0 ]

= 3 × 4x 4-1 — 2 × (-2)x -2-1 + 1x 1-1 — 0x 0-1 — -[Применение формулы производной правил мощности]

= 12x 3 + 4x -3 + 1x 0 -0

= 12x 3 + 4x -3 + 1

9

9 определили производную многочлена, включая члены вида x n с использованием правила мощности. Теперь рассмотрим алгебраическое выражение с рациональными показателями и применим формулу для нахождения его производной. Рассмотрим многочлен g(x) = x -4 + x 3/4 -7x 1/9 + 3. Теперь найдем производную от g(x), используя степенное правило.

g'(x) = d(x -4 + x 3/4 -7x 1/9 + 3)/dx

= d(x -4 )/dx + d( х 3/4 )/dx — 7d(x 1/9 )/dx + d(3x 0 )/dx

= -4x -4-1 + (3/4) x 3/4 — 1 — 7 × (1/9) x 1/9-1 + 3 × 0x 0-1

= -4x -5 + (3/4) x -1/4 — (7/9) x -8/9 + 0

= -4x — 5 + (3/4) x -1/4 — (7/9) x -8/9

Следовательно, производная g(x) = x -4 + x 3/ 4 — 7x 1/9 + 3 с использованием правила степени -4x -5 + (3/4) x -1/4 — (7/9) х -8/9 .

Некоторые другие степенные правила в исчислении

Мы изучаем различные степенные правила исчисления, которые используются при дифференцировании, интегрировании, для упрощения показателей степени и логарифмических функций. Давайте кратко обсудим их ниже, чтобы понять их формулу и применение в исчислении.

Интегрирование степенного правила

Степенное правило в интегрировании используется для нахождения интеграла выражений вида x n , где n — действительное число и n ≠ -1. Формула для правила степени интегрирования имеет вид Давайте рассмотрим несколько примеров этой формулы, чтобы лучше понять это правило.

  • ∫x 7 dx = x 7+1 /(7+1) + C = x 8 /8 + C
    • ∫x -2 dx = x -2+1 /(-2+1) + C = -x -1 + C = -1/x + C

Степенное правило для экспонент

Правило степени для показателей степени используется, когда показатель степени возводится в степень. Для положительного целого числа x и целых чисел m и n у нас есть формула (x m ) n = x mn . В этой формуле у нас есть две степени m и n, которые умножаются на упрощение выражения. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять это:

  • (x 2 ) 3 = x 2×3 = x 6
  • (2 -2 ) -1 = 2 -2×-1 = 2 2 = 4

Правило степени для логарифмов

Правило степени для логарифмов используется для упрощения логарифмических выражений со степенями. Когда в аргументе логарифма есть показатель степени, этот показатель можно поставить перед логарифмом. Математически мы можем записать формулу для правила степени для логарифмов как log m (a b ) = b log m (a). Например, мы можем написать:

  • журнал 3 x 2 = 2 журнал 3 x
  • журнал 2 5 3 = 3 журнал 2 5

Важные замечания по степенному правилу:

  • Общая формула для производной степенного правила: d(x n )/dx = nx n-1
  • Правило степени используется для дифференциации алгебраических выражений для формы x n и, следовательно, используется для дифференциации многочленов.
  • n может быть любым действительным числом всякий раз, когда применяется формула степенного правила для нахождения производной выражений вида x n .
  • Используя производные степенного правила, мы можем получить следующие данные:
    Производная x равна 1.
    Производная любой константы равна 0,
    • .

☛ Похожие темы:

  • Дифференциация и интеграция
  • Производные правила
  • Калькулятор производных

Часто задаваемые вопросы о Power Rule

Что такое степенные производные?

Степенное правило производных  – это метод дифференцирования, который используется, когда необходимо дифференцировать математическое выражение с показателем степени. Он используется, когда нам дано выражение вида x n и его производная должна быть определена. Он говорит: d/dx(x n ) = nx n-1 .

Какова общая формула производной по степенному правилу?

Формула для производной по степенному правилу: d(x n )/dx = nx n-1 , где n — действительное число. Эта формула помогает найти производную от выражений вида x n и, следовательно, может быть использована для нахождения производных многочленов, содержащих такие члены.

Как вывести правило мощности?

Мы можем вывести правило степени для производных, используя принцип математической индукции и биномиальную теорему вместе с первым принципом производных. Мы также можем обобщить формулу правила степени для рациональных показателей и отрицательных целых чисел, используя формулу для положительных целых чисел.

Как использовать степенное правило для производных?

Мы можем использовать правило степени для производных, применяя формулу d(x n )/dx = nx n-1 к алгебраическим выражениям вида x n . Поскольку дифференцирование является линейной операцией, мы можем использовать эту формулу и для нахождения производной многочлена.

Как найти производную дроби с помощью степенной формулы?

Чтобы найти производную дроби, используя правило степени, мы можем упростить или рационализировать дробь и выразить через x n , чтобы найти его производную по степенному правилу.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *