определение, примеры с решением задач
п.1. Правило суммы
Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда общий набор, множество A ∪ B состоит из n + m элементов.
Выбрать один элемент a ∈ A ИЛИ b ∈ B можно n + m способами.
Например:
На подносе лежит 5 слив и 4 абрикоса.
Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?
Всего фруктов: 5 + 4 = 9. Значит – 9 способов.
п.2. Правило произведения
Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных упорядоченных пар (a, b) = A · B состоит из n · m элементов.
Выбрать упорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно n · m способами.
Например:
Сколько всего двузначных четных чисел?
В двузначном числе на первом месте могут быть цифры {1; 2; … 9}, n = 9
В двузначном четном числе на втором месте могут быть цифры {0; 2; … 8}, m = 5
Всего nm = 9 · 5 = 45 чисел.
п.3. Исключение «двойного учета» для неупорядоченных пар
При составлении пар порядок бывает неважен: (a, b) или (b, a), – главное, составить пару. В таком случае, например, пары (1; 2) и (2; 1) – одно и то же.
Поэтому правило произведения для неупорядоченных пар:
Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных неупорядоченных пар (a, b) ≡ (b, a) состоит из \(\mathrm{\frac{n\cdot m}{2}}\) элементов.
Выбрать неупорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно (n · m)/2 способами.
Например:
В саду поспевает 7 видов фруктов.
Было решено сварить компот из любых двух фруктов. Сколько всего различных компотов можно сварить?
Первый фрукт можно выбрать n = 7 способами.
Второй фрукт можно выбрать m = 6 способами.
В данном случае 2 фрукта образуют неупорядоченную пару – неважно, в каком порядке их бросать в кастрюлю. Поэтому \(\mathrm{N=\frac{7\cdot 6}{2}=21}\).
Ответ: 21 различных компотов.
п.4. Примеры
Пример 1. О 4-значном пин-коде карты известно, что первая и последняя цифры у него одинаковые, вторая и третья – разные, и не равны первой цифре.
Сколько всего вариантов такого пин-кода?
В начале и в конце одновременно используются цифры {0;1;…;9}, n = 10
На второй позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованной на первом месте, m = 9
На третьей позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованных на первом и втором месте, k = 8
По правилу произведения общее количество наборов: N = nmk = 10·9·8 = 720.
Ответ: 720 вариантов.
Пример 2. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры.
а) семёрки; б) нули?
а) Варианты расстановки семёрок:
77x, x ≠ 7 – таких чисел 9
7×7, x ≠ 7 – таких чисел также 9
x77, x ≠ 7 – таких чисел 8 (слева не может стоять 0)
По правилу суммы: 9 + 9 + 8 = 26
б) Вариант расстановки нулей только x00, x ≠ 0 – таких чисел 9
Других вариантов нет.
Ответ: а) 26 чисел; б) 9 чисел.
Пример 3. На экзамене будет 5 задач по 5 разным темам. Каждая задача берется из списка, в котором 8 задач по теме. Вася умеет решать по 3 задачи из каждой темы.
Сколько всего вариантов билетов может быть на экзамене?
Сколько существует вариантов билетов, за которые Вася получит 5 баллов?
Сколько существует вариантов билетов, в которых Вася не решит ни одной задачи?
В экзамене по каждой теме n = 8 вариантов выбора задачи. По правилу произведения всего возможно N = 85 = 32768 вариантов билетов.
Вася готов решать k = 3 задачи по каждой теме. По правилу произведения всего он сможет полностью решить K = 35 = 243 вариантов.
Вася не готов решать m = 8 – 3 = 5 задач по каждой теме. По правилу произведения всего он вообще не сможет решить M = 55 = 3125 вариантов.
Ответ: 32768; 243; 3125.
Пример 4. Каких пятизначных чисел больше: тех, что не делятся на 5, или таких, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки?
Сколько всего пятизначных чисел? На первом месте – 9 вариантов цифр, на четырёх последующих – по 10 вариантов. Итого: N = 9 · 104 = 90000 чисел.
Признак делимости на 5: последняя цифра 5 или 0.
Количество чисел с последней цифрой 5: M1 = 9 · 103 · 1 = 9000.
Аналогично, с последним 0: M2 = 9 · 103 · 1 = 9000.
Итого, чисел, которые не делятся на 5:
M = N – (M1 + M2) = 90000 – 2 · 9000 = 72000.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки? На первом месте – 8 вариантов цифр, на втором – 9 вариантов. На остальных – по 10 вариантов.
Итого: K = 8 · 9 · 103 = 72000 чисел.
Получаем: M = K – искомых чисел поровну.
Ответ: их поровну.
Пример 5*. На глобусе проведено 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?
Возьмём неразмеченный глобус. Проведем экватор.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим еще одну параллель. Поверхность разделилась на 3 части.
Мы видим, что n параллелей делит поверхность на N = n + 1 частей.
Соответственно, для 17 параллелей, N = 18 частей.
Опять берём неразмеченный глобус. Проведем меридиан.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим ещё один меридиан. Поверхность разделилась на 4 части.
Мы видим, что m меридианов делит поверхность на M = 2m частей.
Соответственно, для 24 меридианов, M = 48 частей.
Общее количество частей по правилу произведения (с исключением «двойного учета», т.к. нам всё равно: мы сначала проводили параллели, а потом – меридианы, или наоборот): \(\mathrm{\frac{NM}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=432}\).
Ответ: 432 части.
Правила суммы и произведения
1.Правило суммы: если объект А может быть выбран n способами, а объект В – m способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен n+m способами.
Пример. Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой — 40 различных книг (и не таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно 30+40=70 способами.
При
использовании правила сложения нужно
следить, чтобы ни один из способов выбора
объекта А не совпадал с каким-нибудь
способом выбора объекта В, т. е. чтобы
ни одна комбинация не попала сразу в
два класса.
Если такие совпадения
имеются, правило сложения в ранее
сформулированной форме утрачивает
силу, и мы получаем m + n – k способов
выбора, где k — число совпадений.
2.
Пример. Сколько чисел в первой сотне, не делящихся ни на 2, ни на 3?
Решение:
Легче вычислить сначала количество
чисел первой сотни, делящихся на 2 или
на 3. Каждое второе число в натуральном
ряде делится на 2, каждое третье— на 3.
Поэтому в первой сотне есть 50 чисел,
делящихся на 2, и 33 числа (неполное частное
от деления 100 на 3), делящихся на 3. Но
среди первых и вторых имеются числа,
делящиеся и на 2, и на 3, т. е. делящиеся
на 6. На 6 делится каждое шестое число в
натуральном ряде. Если 100 разделить на
6, то неполное частное будет равняться
16, т.
е. 16 чисел в первой сотне делится
на 6. Итак, количество чисел в первой
сотне, делящихся на 2 или на 3, равно 50 +
33 – 16 = 67. Все остальные не делятся ни на
2, ни на 3. Этих чисел 100 – 67 = 33.
3.Правило произведения: если объект а может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект в – m способами, то выбор «а и в» в указанном порядке может быть осуществлен n*m способами.
Пример. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе — мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
Решение: Первое блюдо можно выбрать одно из трех (борщ, солянку или грибной суп), второе блюдо тоже одно из трех (мясо с макаронами, рыбу с картошкой или курицу с рисом), на десерт только два варианта (чай или компот). Используя правило произведения, получаем: 3х3х2=18.
Пример.
В классе 25 человек. Сколькими способами:
а) можно распределить между ними два различных учебника;
б) можно распределить между ними два различных учебника так, чтобы никто не получил оба учебника;
Решение: а) Первый учебник может получить любой из 25 учащихся.Кто бы ни получил первый учебник, второй может достаться снова любому из 25, ведь в условии не сказано, что каждый должен получить не более одного учебника. Всего имеем 25* 25 = 625 способов.
б) В отличие от предыдущего задания, никто не должен получить оба учебника. Поэтому для каждого из 25 вариантов выбора обладателя первого учебника есть 24 способа выбора обладателя второго учебника. Всего имеем 25*24 = 600 способов.
Рассмотрим примеры, использующие правила суммы и произведения.
Пример.
Сколькими способами из 28 костей домино
можно выбрать две кости так, чтобы их
можно было приложить друг к другу (т.
Решение. Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется «дублем», т.е. костью вида 00, 11, 22, 33,44 , 55 ,66, а в 21 случае — костью с различными числами очков (например, 05, 13 и т.д.).В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16).Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора. Значит по правилу суммы получаем
Пример. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
Решение. Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор k-й цифры числа может быть сделан nк=5 способами (к=1, 2, 3, 4), а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5*5*5*5=625. Чтобы ответить на второй вопрос, проще не определять последовательно, сколько существует чисел, в записи которых ровно одна четная цифра, две цифры, три цифры, четыре цифры, а воспользоваться полученным ответом на первый вопрос. Все четырехзначные числа, а их 9999-999=9000, делятся на две группы: те, в записи которых все цифры нечетные, и те, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра. Следовательно, количество чисел второго типа равно 9000-625=8375.
Пример.
Из города А в город В ведут пять дорог,
а из города В в город С — три дороги.
Пусть, кроме того, из города А в город D
можно попасть двумя путями, из D в C —
четырьмя (рис.1). Сколькими способами
можно добраться из А в С?
Рис. 1. Варианты перемещения между городами
Решение: Возможны два случая: путь из А в С проходит через город В или через город D. В каждом из этих случаев число возможных маршрутов легко подсчитать, воспользовавшись правилом произведения. В первом случае имеется 5*3 = 15 маршрутов; во втором — 2*4 = 8. Складывая, получаем общее число маршрутов: 15 + 8 = 23.
Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов соединений, которые встречаются наиболее часто.
Как объяснить правила суммы и произведения вероятности
••• diego_cervo/iStock/GettyImages
Питер Флом
Правила суммы и произведения вероятности относятся к методам определения вероятности двух событий, учитывая вероятности каждого события.
Правило сумм предназначено для нахождения вероятности любого из двух событий, которые не могут произойти одновременно. Правило произведения предназначено для нахождения вероятности обоих двух независимых событий.
Объяснение правила сумм
Напишите правило сумм и объясните его словами. Правило сумм определяется формулой P(A + B) = P(A) + P(B). Объясните, что А и В — это события, которые могут произойти, но не могут произойти одновременно.
Приведите примеры событий, которые не могут происходить одновременно, и покажите, как работает правило. Один пример: вероятность того, что следующим человеком, вошедшим в класс, будет ученик, и вероятность того, что следующим человеком будет учитель. Если вероятность того, что человек является учеником, равна 0,8, а вероятность того, что человек является учителем, равна 0,1, то вероятность того, что человек является учителем или учеником, равна 0,8 + 0,1 = 0,9..
Приведите примеры событий, которые могут произойти одновременно, и покажите, как правило не работает.
Один пример: вероятность того, что при следующем подбрасывании монеты выпадет орел или что следующий человек, вошедший в класс, будет учеником. Если вероятность выпадения орла равна 0,5, а вероятность того, что следующим будет студент, равна 0,8, то сумма равна 0,5 + 0,8 = 1,3; но все вероятности должны быть между 0 и 1.
Правило продукта
Напишите правило и объясните его значение. Правило произведения: P( E F) = P(E) P(F), где E и F — независимые события. Объясните, что независимость означает, что появление одного события не влияет на вероятность появления другого события.
Приведите примеры работы правила, когда события независимы. Один пример: при выборе карт из колоды из 52 карт вероятность получения туза составляет 4/52 = 1/13, потому что среди 52 карт есть 4 туза (это нужно было объяснить в предыдущем уроке). Вероятность того, что выпадет сердце, равна 13/52 = 1/4. Вероятность выпадения туза червей равна 1/4*1/13=1/52.
Приведите примеры, когда правило не выполняется из-за того, что события не являются независимыми. Один пример: вероятность того, что выпадет туз, равна 1/13, вероятность того, что выпадет двойка, также равна 1/13. Но вероятность того, что на одной карте выпадут туз и двойка, равна не 1/13*1/13, а 0, потому что события не являются независимыми.
Статьи по теме
Ссылки
- Университет Британской Колумбии: Вероятность
Об авторе
Питер Флом — статистик и взрослый с ограниченными возможностями обучения. Он пишет много лет и публикуется во многих академических журналах в таких областях, как психология, наркомания, эпидемиология и другие. Он имеет докторскую степень. в психометрии из Фордхэмского университета.
Правило суммы и правило произведения Решение задач
Содержание
- Вступление
- Примеры
- Решение проблем
- Смотрите также
Правило суммы (принцип сложения) и правило произведения (принцип умножения) изложены ниже.
Правило суммы — Заявление:
Если есть n nn вариантов для одного действия и m мм вариантов для другого действия, и два действия не могут быть выполнены одновременно, то существует n+m n+mn+m способов выбрать одно из этих действий.
Правила продукта — заявление:
Если есть n nn способов сделать что-то, а затем m mm способов сделать еще что-то, то есть n×m n\times mn×m способов выполнить оба этих действия.
Вот пример, основанный на вышеуказанных правилах.
Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из 333 автобусных маршрутов или 222 поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки. Сколько способов есть у Кальвина, чтобы добраться до Милуоки?
У него есть 3+2=5 3 + 2=53+2=5 способов добраться до центра Чикаго.
(Правило суммы)
Отсюда у него есть 2+3=5 2+3=52+3=5 способов добраться до Милуоки. (Правило суммы)
Следовательно, всего у него есть 5×5=25 5\times 5=255×5=25 способов добраться до Милуоки. (Правило произведения) □_\квадрат□
(Правило суммы) Попробуйте решить следующие проблемы.
3 8 2 6
Есть 3 рейса из Калифорнии во Францию и 2 рейса из Франции в Индию. Санджит хочет полететь из Калифорнии во Францию, а затем в Индию.
Сколько вариантов его плана полета?
Ресторан предлагает 5 вариантов закусок, 10 вариантов основного блюда и 4 варианта десерта. Клиент может выбрать одно блюдо, два разных блюда или все три блюда. Предполагая, что все варианты еды доступны, сколько различных возможных блюд предлагает ресторан?
Примечание. Когда вы едите курс, вы выбираете только один из вариантов.
Этот раздел включает основные примеры и задачи, которые помогут вам подготовиться к следующему разделу решения задач.
Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из 333 автобусных маршрутов или 222 поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.
На этот раз он должен купить проездной билет на автобус (что позволит ему ездить только на автобусах) или билет на поезд (что позволит ему ездить только на поезде). Если у него есть деньги только на 111 таких концессий, сколько у него есть способов добраться до Милуоки?
Если Кальвин покупает автобус, у него есть 3×2=6 3 х 2=63×2=6 способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Если Кальвин покупает концессию на поезд, у него есть 2×3=6 2\×3=62×3=6 способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)Следовательно, всего у него есть 6+6=12 6+6=126+6=12 способов добраться до Милуоки.
(Правило суммы) □_\квадрат□Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?
На первое место у нас есть выбор любого из 6 друзей. После посадки первого человека на второе место у нас есть выбор любого из оставшихся 5 друзей. После посадки второго человека на третье место у нас есть выбор любого из оставшихся 4 друзей. После посадки третьего человека на четвертое место у нас есть выбор любого из оставшихся 3 друзей. После посадки четвертого человека на пятое место у нас есть выбор любого из оставшихся 2 друзей. После посадки пятого человека, на шестое место у нас есть выбор только из 1 оставшегося друга. Следовательно, по правилу произведения 6×5×4×3×2×1=720 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 7206 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1=720 способов рассадить этих 6 человек. □_\квадрат□ 9b2a5b, где a aa и b bb — целые числа, удовлетворяющие условиям 0≤a≤4,0≤b≤3 0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 30≤a≤4,0≤b≤3.
Существует 5 возможностей для a aa и 4 возможности для b bb, следовательно, всего имеется 5×4=20 5 х 4 = 205×4=20 (правило произведения) положительных делителей числа 2000. □_\квадрат□Следующие задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.
60 10 20 36
Сколько параллелограммов получится, если набор из 5 параллельных прямых пересечет набор из 4 параллельных прямых?
Детали и предположения
- Все параллельные линии бесконечно удлиняются.
Если вы подсчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что существует 4 способа подъема на 3 ступени. Представьте, что ноги человека настолько длинны, что он может подняться по 11 ступеням за раз. лезть вверх.
Тогда найдите количество способов, которыми вы можете подняться на 11 ступенек?
Бонус : Обобщите это для nnn шагов.
Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, хотят поступить в школу. Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен в присутствии его опекуна. Сколькими способами это можно сделать?
Этот раздел содержит задачи от простых до сложных. Попробуйте перечисленные задачи и улучшите свое понимание решения проблем.
Наэма идет в магазин, чтобы купить сок для своего дня рождения. В магазине продаются кувшины с апельсиновым соком, яблочным соком и клюквенным соком. В магазине также продаются замороженные банки с виноградным соком, персиковым соком, соком манго и грушевым соком. Если Наэма хочет только одну банку или кувшин сока, сколько у нее есть вариантов?
Если кто-то покрасил внешнюю сторону куба 5×5×5 5 \times 5 \times 5 5×5×5, состоящего из единичных кубиков 1×1×1 1 \times 1 \times 1 1×1×1, сколько единичных кубов будет окрашено ровно с двух сторон?
По дороге в школу из дома 5 почтовых ящиков.
Моя мама дала мне 13 (разных) писем для отправки. Если я могу отправить каждое письмо в любой почтовый ящик, каким захочу, сколькими способами я могу отправить письма?
В игре-побеге вы нашли замок с номерами от 1 до 60. Ранее вы нашли лист бумаги внутри прозрачной бутылки. На листе бумаги изображен замок и четыре подсказки:
1) Четыре числа завершают последовательность.
2) Нет двух одинаковых чисел.
3) Второе число вдвое больше третьего.
4) Третье число простое.
Сколько возможных комбинаций существует для замка?
Определите количество трехзначных положительных целых чисел, произведение цифр которых равно 144?
Даниэль хочет получить 100-дневную серию на Brilliant.org. Он планирует сделать это следующим образом:
В первый день он решает 111 задач. Во второй день он решает 222 задачи. На третий день он решает 333 задачи. Эта закономерность продолжается до 101010-го дня. На 101010-й день он решает 1+0=11+0=11+0=1 задачу.
В 111111-й день он решает 1+1=21+1=21+1=2 задачи. Как правило, в день ab‾\overline{ab}ab он решает задачи a+ba+ba+b. Наконец, на 100100100-й день он решает 1+0+0=11+0+0=11+0+0=1 задачу, завершая свою серию.
Сколько всего задач он решил?
A Kaboobly Dooists — человек, который много занимается Kaboobly Doo.
Однажды зимним вечером к вам приходят четыре Kaboobly Dooists, Алиса, Боб, Чарльз и Дик. К сожалению, у вас не было для них ничего, кроме 5 яблок, 4 апельсинов и 3 манго. И вы не хотите тратить на них все 12 фруктов, так как хотите оставить 8 для себя. Итак, вы даете в общей сложности 4 фрукта, по одному фрукту каждому из них.
Сколькими способами это можно сделать?
Число 2014 состоит из 4 различных цифр; 1 цифра нечетная, а 3 цифры четные, из них одна цифра ноль.
Сколько четырехзначных чисел (первое не может быть 0) обладают этими свойствами?
Пусть nnn будет количеством целых чисел от 111 до 975319753197531 (включительно), которые не содержат цифры 2,4,6,82,4,6,82,4,6,8.