Правило треугольника векторы сложение: Какие правила сложения векторов вы знаете?

Содержание

Векторы — что это, определение и ответ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Вектор – отрезок, у которого есть начало и конец, то есть указано его направление.

Вектор обозначается через точки начала и конца вектора, например $\overrightarrow{АВ}$ (первая буква – начало вектора, вторая – конец) или, если мы хотим обозначить вектор без указания точек, пишем просто $\overrightarrow{a}$.

Точка тоже может быть вектором, в таком случае вектор называют нулевым, т.к. его началом и концом является одна и та же точка. Обозначаем нулевой вектор как, например, $\overrightarrow{\text{MM}}$ или $\overrightarrow{0}$.

Длина или модуль вектора – это длина отрезка (как если бы у него не было направления).

Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ обозначается как $\left| \overrightarrow{АВ} \right|$, длина вектора $\overrightarrow{a}\ $как $\left| \overrightarrow{a} \right|$, а длина нулевого вектора всегда равна нулю:

$\left| \overrightarrow{АВ} \right| = 7$

$\left| \overrightarrow{a} \right| = 3$

$\left| \overrightarrow{\text{MM}} \right| = \left| \overrightarrow{0} \right| = 0$

РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Коллинеарные векторы – это векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.

Обозначается как $\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$ (вектор $\overrightarrow{a}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{b}$)

Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.

Обозначаются как $\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$ (вектор $\overrightarrow{a}$ противоположно напрвлен вектору $\overrightarrow{b}$)

Равные векторы – это сонаправленные векторы, у которых равны длины, т.е. у них одинаковые и направление, и длина.

Например:

$\overrightarrow{АВ}$ и $\overrightarrow{a}$ – коллинеарны, при этом противоположно направлены, т.к. лежат параллельных прямых и направлены в разные стороны:

$\overrightarrow{АВ} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{\text{CD}}$ и $\overrightarrow{b}$ – коллинеарны, при этом сонаправлены, т. к. лежат параллельных прямых и направлены в одну сторону:

$\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{\text{CD}}$ и $\overrightarrow{b}$ – равны, т.к. сонаправлены (из п.2) и равны по модулю:

$\left. \ \frac{\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{\left| \text{CD} \right|} = 5 = \left| \overrightarrow{b} \right|} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{М}$ коллинеарен всем векторам, и может являться им как сонаправленным, так и противоположно направленным, т.к. $\overrightarrow{М} = \overrightarrow{0}$.

СВОЙСТВА НЕНУЛЕВЫХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ:

$\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \upuparrows c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}$

Если $\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{b} \upuparrows c$, то $\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}$

$\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}$

Если $\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c$, то $\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}$

$\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$

Если $\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$, то $\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$

ОТКЛАДЫВАЕНИЕ ВЕКТОРА ОТ ТОЧКИ:

Говорят, что вектор отложен от точки, если она является его началом. Например, $\overrightarrow{АВ}$ отложен от точки А, $\left| \text{CD} \right|$ отложен от точки С и так далее. Можно откладывать абсолютно любые векторы абсолютно из любых точек. Это описывается следующим правилом:

От любой точки можно отложить вектор, равный данному и при том только один.

Например, возьмем точку М и два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Мы можем отложить от точки М вектора, равные $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ всего один раз. Делается это параллельным переносом:

Таким образом $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a’}$, и $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b’}$, при этом $\overrightarrow{a’}\ и\ \overrightarrow{b’}$ отложены от точки М.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

При сложении векторов нужно учитывать их направления, поэтому проще всего складывать вектора визуально. Существуют два самых простых способа сложить два вектора – это правило треугольника и правило параллелограмма.

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу треугольника нужно:

Параллельным переносом перенести начало одного вектора в конец другого.
Пусть эти векторы будут сторонами треугольника, тогда третья его сторона – их сумма.
Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала первого вектора в конец второго (стрелка к стрелке).

Пример №1:

Найдите сумму векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ по правилу треугольника:

Перенесем вектор $\overrightarrow{b}$ так, чтобы он начинался там, где заканчивается вектор $\overrightarrow{a}$.

Соединим эти векторы в треугольник, третьей стороной которой будет вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Направление вектора $\overrightarrow{c}$ будет идти от начала $\overrightarrow{a}$ до конца $\overrightarrow{b}$ (стрелка к стрелке)

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу параллелограмма нужно:

Параллельным переносом перенести начала этих векторов в одну точку.
Пусть эти векторы будут сторонами параллелограмма, тогда диагональ этого параллелограмма – их сумма.
Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала векторов в противоположный конец параллелограмма (по диагонали).

Пример №2:

Найдите сумму векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ по правилу параллелограмма:

Перенесем оба вектора параллельным переносом так, чтобы они начинались из одной точки.

Представим, что они являются сторонами параллелограмма.

Диагональ этого параллелограмма, которая начинается в точке начала векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ – это вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ:

Переместительное свойство:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Сочетательное свойство:

$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$

СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ:

Чтобы сложить несколько векторов, нужно ставить их друг за другом, сохраняя их направление (используя параллельный перенос), тогда их суммой будет являться вектор, начала которого – это начало первого вектора, а конец – конец последнего вектора (как в правиле треугольника).

Пример №3:

Найдите сумму векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ и $\overrightarrow{e}$:

Поставим эти векторы как бы по порядку сохраняя их длину и направление. По переместительному свойству неважно, в каком порядке мы будем располагать вектора. Соединим их, например, в таком порядке — $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{e}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}$.
Проведем вектор их суммы от начала первого вектора в конец второго:

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ:

Вычесть вектор – это то же самое, что прибавить отрицательный вектор:

$\overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (–\overrightarrow{b})$

То есть и при вычитании можно использовать правила сложения. Главное – найти противоположный вектор.

Само словосочетание «противоположный вектор» говорит о том, что такие вектора направлены в разные стороны.

Значит вычесть вектор – значит прибавить вектор с противоположным ему направлением.

Мы можем проверить это свойство алгебраически. Мы знаем, что противоположные числа в сумме дают 0:

$a + (–a) = a\ –\ a = 0$

Тогда и сумма противоположных векторов дадут 0 (т.е. если мы «пойдем» от начала до конца $\overrightarrow{a}$ и обратно по –$\overrightarrow{a}$, то мы вернемся снова в начало $\overrightarrow{a}$):

Значит и для векторов справедливо это свойство:

$\overrightarrow{a}\ + (–\ \overrightarrow{a}) = 0$

Пример №4:

Найдите $\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\ –\ \overrightarrow{d}\ –\ \overrightarrow{e}$, если

Можем использовать сложение векторов, если мы найдем отрицательные векторы. В данном случае отрицательны векторы $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ и $\overrightarrow{e}$. Тогда $\overrightarrow{–b}$, $–\overrightarrow{d}$ и $–\overrightarrow{e}$ следующие:

Теперь сложим все векторы, учитывая отрицательные:

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

Произведением ненулевого вектора и числа является вектор, коллинеарный данному, длина которого равна произведению длины данного вектора и числа:

$k \bullet \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{ka}}$

где k – это число, при этом:

$\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{\text{ka}}$ при $k > 0$

$\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{\text{ka}}$ при $k < 0$

Произведением любого вектора на ноль является нулевой вектор.

Пример №5:

Найдите 5$\overrightarrow{a}$ и –2$\overrightarrow{a}$ , если:

1. Также можно представить произведение вектора и числа как сложение этого вектора несколько раз:

$5\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}$:

$5\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}$, т.к 5 > 0

2. Аналогично поступим и с отрицательным числом, только теперь уже складываем противоположные векторы:

$–2\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}$, т.к –2 < 0

СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

Сочетательное свойство:

$kl \bullet \overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a}) $

Распределительный закон:

$\overrightarrow{a}(k + l) = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$

$k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ:

Используя векторы и связанные с ними свойства можно решать различные геометрические задачи.

Пример №6:

Точка С – середина отрезка АВ, О – произвольная точка на плоскости. Докажите, что

$ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)$

По правилу треугольника:

$\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АС}$

$\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС}$

Сложим два этих выражения, получим:

$2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}$

При этом $\overrightarrow{АС}$ и $\overrightarrow{ВС}$ – противоположные векторы, т.к. равны по модулю (точка С середина АВ), и имеют противоположное направление, значит:

$2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}$

$2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + 0$

$ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)$

Что и требовалось доказать.

Пример №7:

ABCD – трапеция. Точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Точка О – точка пересечения прямых AB и CD. Докажите, что О, M и N лежат на одной прямой.

Треугольники OAD и OBC подобны по двум углам:

$\left. \ \frac{\angle\text{OBC} = \angle OAD\ как\ соответствующие\ углы}{\angle O\ — \ общий} \right\}\Delta\text{OAD}\sim\text{ΔOBC}$

$\frac{\text{OA}}{\text{OB}} = \frac{\text{OD}}{\text{OC}} = k$

При этом соответствующие стороны коллинеарны, значит можем выразить их как произведение числа и вектора:

$\overrightarrow{\text{OA}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OB}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OA}} = k\overrightarrow{\text{OB}}$

$\overrightarrow{\text{OD}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OC}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OD}} = k\overrightarrow{\text{OC}}$

В данной задаче можем выразить $\overrightarrow{\text{OM}}$ и $\overrightarrow{ON}$ как

$\overrightarrow{\text{OM}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)$

$\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}})$

т. к. М – середина BC, а N – середина AD (аналогично вектору $\overrightarrow{\text{OC}}$ из Примера №6).

Соединим выразим вектор $\overrightarrow{\text{ON}}$ через $\overrightarrow{\text{OA}}$ и $\overrightarrow{\text{OD}}$ из пункта 3:

$\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}} \right)$

$\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( k\overrightarrow{\text{OB}} + k\overrightarrow{\text{OC}} \right)$

$\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}k\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)$

$\overrightarrow{\text{ON}} = k(\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)) = k\overrightarrow{\text{OM}}$

Если вектор $\overrightarrow{\text{ON}}$ можно представить как произведение числа k с вектором $\overrightarrow{\text{OM}}$, значит $\overrightarrow{\text{ON}}$ и $\overrightarrow{\text{OM}}$ коллинеарны, а значит лежат на одной прямой (они не могут быть параллельны, т. к. уже пересекаются в точке О).

Что и требовалось доказать.

8 класс. Геометрия. Векторы. Сложение и вычитание векторов. — Сложение и вычитание векторов.

Комментарии преподавателя

Сложение и вычитание векторов

На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

Теперь пусть задано два вектора – вектора и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: (см. Рис. 1).

Рис. 1

Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила – он переместился из точки А в точку В, после этого подействовала сила – груз переместился из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился из точки А в точку С.

Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.

Правило треугольника

Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.

Законы сложения векторов

Для любых векторов , и справедливы следующие равенства:

– переместительный закон.

Доказательство: отложим из точки сначала вектор , получаем точку В, из нее откладываем вектор , получаем точку С и вектор .

Теперь отложим из точки А сначала вектор получим точку В, из нее отложим вектор, получим точку С и вектор .

Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).

Рис. 2

Откладываем из точки А вектор и вектор . Из точки В откладываем вектор , вектора и равны, а значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. , таким образом, мы доказали переместительный

Рис. 3

закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).

Правило параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

– сочетательный закон;

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат (см. Рис. 4).

Рис. 4

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору и получили результат: (см. Рис. 5).

Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.

Рис. 5

Правило многоугольника

Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

Рис. 6

По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

Пусть задано два вектора – векторы и . Найдем разность этих двух векторов .

Определение

Разностью двух векторов и называют такой третий вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , который будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов всегда есть нулевой вектор: . Таким образом, .

Отложим из произвольной точки вектор , из его конца отложим вектор , получим в результате вектор (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме. Из точки А отложим векторы и . Из точек В и D отложим векторв и соответственно. Диагональ АС – это сумма векторов и : . Но в параллелограмме есть еще вторая диагональ – BD. Прибавим к вектору вектор , получим вектор (см. Рис. 8).

Рис. 8

Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.

ИСТЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov

http://www.youtube.com/watch?v=r8icqcsv5AQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/4-test-po-geometrii-9-klass-tema-slozhenie-i-vychitanie-vektorov-variant-1.html

http://gdz-matem.ru/8class/25-9.2-slozhenie-i-vychitanie-vektorov.html

http://www.lenbaza.ru/baza/pict/111.jpg

Треугольник, параллелограмм и многоугольник Закон векторов

В этой статье мы обсудим сложение векторов как концепцию. Сложение векторов преподается с использованием закона треугольника и закона параллелограмма в дополнение к коммутативным и ассоциативным особенностям сложения векторов.

Треугольный закон сложения векторов

Треугольный закон сложения векторов — это математическая формула, описывающая, как векторы складываются в треугольник.

Перемещение из точки A в точку B представлено вектором AB, который может быть записан в следующем виде: мальчик путешествует из точки A в точку B и затем из точки B в точку C. Какова общая сумма вызванного им смещения из точки А в точку С?

Это смещение обеспечивается вектором AC, где AC — вектор ускорения.

АС = АВ + ВС.

В сложении векторов это известно как закон сложения векторов треугольника.

Если у вас есть два вектора a и b, вы должны разместить их таким образом, чтобы начальная точка одного вектора совпадала с конечной точкой другого вектора, чтобы сложить их вместе. Это показано на рис. 2 (i) и (ii) ниже, соответственно:

На рис. 2 (ii) показано, что вектор b был перемещен без изменения его величины или направления, так что его начальная точка совпадает с конечной точкой вектора a. Это помогает в формировании треугольника ABC, а третья сторона AC дает нам сумму двух векторов a и b соответственно. В результате на основании рис. 2 (ii) мы можем записать

AB + BC = AC

Ведь теперь мы знаем, что AC = – CA. В результате приведенного выше уравнения мы имеем

AB + BC = -CA

Альтернативно, AB + BC + CA = 0,

Альтернативно, AA = 0,

Кроме того, это нулевой вектор, поскольку начальная и конечная точки совпадают, как показано на рис. следующую диаграмму:

Теперь, как показано на рис. 4 ниже, давайте построим вектор BC ‘, величина которого такая же, как у вектора BC, но чье направление противоположно направлению вектора ДО Н. Э. Или

до н.э. =– до н.э.

Поэтому, когда мы используем закон сложения векторов треугольника, мы получаем

AC′ = AB + BC′ = AB + (– BC′) = a – b.

Разница между векторами a и b представлена вектором AC′.

Закон сложения векторов параллелограмма

Закон сложения векторов параллелограмма гласит, что если два вектора представлены двумя смежными сторонами параллелограмма по направлению и величине, то равнодействующая этих векторов представлена (по величине и направлению) Диагональ параллелограмма начинается в той же точке, что и два исходных вектора.

Закон сложения векторов в виде параллелограмма — это математическая формула, описывающая, как векторы складываются в параллелограмм.

Теперь давайте рассмотрим немного более сложную проблему. Рассмотрим сценарий лодки, плывущей по реке с одного берега на другой в направлении, перпендикулярном течению реки. На эту лодку действуют два вектора скорости:

Скорость лодки определяется мощностью двигателя.

Скорость течения реки измеряется в метрах в секунду.

Когда эти две скорости воздействуют на лодку одновременно, лодка начинает двигаться с другой скоростью. Изучите, как мы можем вычислить результирующую скорость лодки, и посмотрите, что у нас получится.

Чтобы найти решение, рассмотрим два приведенных ниже вектора a и b, которые являются двумя соседними сторонами параллелограмма с точки зрения их размера и направления, как показано на диаграмме ниже.

Они представлены по размеру и направлению диагональю параллелограмма, проходящей через их общую точку, которая представляет их сумму, a + b. В векторном сложении это известно как параллелограммный закон сложения векторов.

Пожалуйста, имейте в виду, что закон треугольника позволяет нам вывести из рис. 5 следующее:

OA +AC = OC.

В качестве альтернативы, OA + OB OC… из-за того, что AC=OB

В результате можно сделать вывод, что правила сложения векторов треугольника и параллелограмма аналогичны друг другу по функциональности.

Изображение, показывающее закон сложения векторов полигонов тогда их равнодействующая может быть представлена по величине и направлению замыкающей стороной многоугольника, взятого в обратном порядке.

Заключение

Если два вектора представлены двумя сторонами треугольника по величине и направлению, взятыми в одном порядке, то третья сторона этого треугольника представляет (по величине и направлению) равнодействующую векторов. Треугольный закон сложения векторов — это математическая формула, описывающая, как векторы складываются в треугольник. Закон сложения векторов параллелограмма гласит, что если два вектора представлены двумя соседними сторонами параллелограмма по направлению и величине, то равнодействующая этих векторов представлена (по величине и направлению) диагональю параллелограмма, начинающейся в той же точке. как два исходных вектора. Перемещение из точки А в точку В изображается вектором АВ. Закон сложения векторов параллелограмма — это математическая формула, описывающая, как векторы складываются в параллелограмм. Утверждается, что если множество векторов можно представить по величине и направлению сторонами многоугольника, взятыми в том же порядке, то их равнодействующая может быть представлена по величине и направлению замыкающей стороной многоугольника, взятого в обратном порядке. .

сил — Как и почему работает закон сложения векторов?

Задать вопрос

спросил 2 года 9 месяцев назад

Изменено 2 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 355 раз

$\begingroup$

Наш учитель объяснил нам сложение векторов. Он объяснил нам треугольный закон векторного сложения.

У меня два вопроса:

Он сказал, что вектор $\vec{R}$ является результирующим вектором, что означает, что вместо того, чтобы проходить через $\vec{A}$ и $\vec{B}$, мы мог бы напрямую пройти через $\vec{R}$. Я не очень понимаю это, и, очевидно, это легко понять интуитивно, когда речь идет о смещении. Но включение сил и других векторных величин в это изображение действительно трудно понять. Так как же работает закон треугольника для сложения сил?
Правило объединения «голова-конец» сбивает с толку и выглядит как уловка для запоминания. Итак, если существует треугольный закон сложения векторов, то зачем нужен параллелограммный закон сложения векторов, когда оба говорят о сложении сущностей с направлениями и величинами?

Кроме того, как можно понять сложение векторов силы, используя закон параллелограмма (я полагаю, что ответ на этот вопрос будет получен, когда будет дан ответ на первый вопрос)?

Редактировать: я здесь новичок, поэтому не знаю, как добавлять изображения к вопросу. Также, пожалуйста, не отвечайте на этот вопрос математически, пожалуйста, отвечайте таким образом, чтобы сложения векторов имели смысл интуитивно и их было легко представить.

силы
векторы
геометрия
линейная алгебра
перемещение

$\endgroup$

$\begingroup$

Как вы сказали, это легко понять, когда речь идет о смещении.

Тогда вам нужно только признать, что вектор смещения является одним и тем же вектором, где бы он ни появлялся на плоскости.

(это также показывает закон параллелограмма. Он не отличается от закона треугольника, просто другой способ его осмысления).

Итак, чтобы применить это к силам и другим векторным величинам, вам нужно только признать, что не имеет значения, где вы поместите векторы на диаграмме.