Предел 1 в степени n 1: один в степени бесконечность | Математика

2x-1)/x ⇒

Содержание

Получение степенного правила с нуля

Снова в школу

Используя только определения производных и пределов, мы докажем одно из первых правил производных, которое вы узнаете на курсах математического анализа.

Фото: Шубхам Шаран на UnsplashВсе фотографии сделаны мной с помощью LaTex, tikz и GIMP, если не указано иное.

Если вы хотите сделать яблочный пирог с нуля , вам нужно сначала изобрести вселенную. — Карл Саган

Когда большинство учащихся впервые знакомятся со степенным правилом в исчислении, оно обычно предлагается без доказательства или с частичным доказательством. Если этим студентам повезет, доказательство для всех случаев будет дано через несколько глав. Я понимаю, почему существует этот пробел, но студенты узнают гораздо больше из полного доказательства без продвинутых концепций. Даже если доказательство, приведенное в этих учебниках, покажется вам достаточным, еще одно доказательство не помешает. В этом доказательстве я не только докажу степенное правило, но и

доказать правило произведения,
познакомить студентов с доказательством по индукции,
доказать цепное правило,
ввести немного реального анализа (вам не нужно быть профессором математики, чтобы не отставать),
и показать учащимся несколько полезных приемов, которые они могут использовать в своих собственных доказательствах.

Для этого доказательства я не позволю себе использовать ничего, кроме

определения предела,
определения производной,
и все, что вы знаете из стандартного курса алгебры,
, включая правила экспонент и свойства различных алгебраических структур (целые числа, рациональные числа и действительные числа).

Эти ограничения не позволят мне использовать

производную логарифма,
производную показательной функции,
или биномиальную теорему.

Большинство доказательств, которые я видел, используют хотя бы одно из них.

Вместо этого мое доказательство будет иметь следующую структуру:

Докажите правило произведения.
Докажите случай, когда n является целым числом, используя правило произведения с некоторой индукцией.
Докажите цепное правило.
Докажите случай, когда n является рациональным числом, используя цепное правило.
Докажите случай, когда n — иррациональное число, тем самым доказав правило степени для всех действительных чисел.

Помните, что х⁴ = х • х³ . Если мы знаем, как взять производную от x, x³ и произведение двух функций, мы можем взять производную от x⁴ . По этой причине мы докажем правило произведения.

Мы хотим доказать правило произведения из определения производной. Точнее, мы ищем какое-то выражение двух функций или их производных. Во-первых, мы определим функцию z(x) = f(x)g(x) . Затем возьмем производную от 9009.0 z относительно x . Поскольку мы говорим о произвольных функциях, мы должны использовать определение производной.

У вас может ничего не выскочить, в таком случае ищем способ переписать выражение в другой форме. Поскольку в нашем выражении есть f(x + h) и g(x + h) , мы должны попытаться каким-то образом получить либо f(x + h) — f(x) , либо g( x + h) — g(x) в наше выражение. Это позволит нам заменить их производной. В этом случае мы можем использовать классическую технику добавление нуля . Например, мы можем добавить f(x + h) — f(x + h) к числителю, и ничего не изменится. Мы хотим добавить (f(x + h) g(x) — f(x + h) g(x)) к числителю, после чего мы можем произвести алгебраические вычисления, которые выглядят как

. чтобы нам было проще, я собираюсь обрабатывать каждое ограничение отдельно и собирать их вместе. Первый предел равен

, а второй предел равен

. Таким образом, мы доказали правило произведения, которое показано ниже.

Если вы хотите наглядно понять, почему правило продукта принимает такую форму, посмотрите видео 3blue1brown о правиле продукта и правиле цепочки.

У нас есть три случая:

n = 0
n > 0
n < 0

Доказательство случая, когда n = 0

На этом мы закончили.

Доказательство случая, когда n > 0

Если бы мы взяли производную большого количества функций, таких как x , x² , x³ и т. д., используя предельное определение производной, вы могли бы увидеть, что эти производные следуют простой схеме: мощность правило. Поскольку мы рассматриваем только натуральные числа и доказываем случаи, когда n = 0 и n = 1 тривиальны, мы можем попробовать доказать по индукции .

Доказательство по индукции

Чтобы доказать что-то по индукции, вы

доказать базовый случай
и показать, что каждый случай доказывает следующий случай ( слабая индукция ) ИЛИ показать, что все доказанные случаи доказывают следующий случай ( сильная индукция ).

Не позволяйте названиям ввести вас в заблуждение, сильная и слабая индукции эквивалентны, но я не могу вдаваться в подробности в этой статье. Для этого доказательства мы будем использовать слабую индукцию. Показав вам это доказательство, я попытаюсь дать вам интуитивное представление о том, почему оно работает. При этом я немного нарушу традицию. Обычно слабое индукционное доказательство относится к случаям n и n + 1 в шаге 2, но я буду ссылаться на случаи n — 1 и n . Замена n на n + 1 вернет выражение к традиционной форме.

Базовый вариант

Этот раздел будет быстрым, так как это просто алгебра.

Шаг индукции

В этой части доказательства мы докажем, что если правило степени выполняется для n = m — 1 , то случай для m тоже верно. Я решил использовать м вместо n для этой части, так как я уже использовал n для степени x . Если бы правило мощности не выполнялось для n = m — 1 , тогда не имело бы значения, верен ли случай для n = m , поэтому мы предположим, что правило мощности действительно верно для n = m — 1 . Тогда доказательство будет выглядеть так:

Интуитивное объяснение индукции

Допустим, вы не уверены в правильности этого доказательства. Если да, то выберите любое натуральное число. Хотя этот аргумент будет работать для любого числа, которое вы выберете, я покажу вам аргумент для 9.0090 n = 3 и вы должны увидеть общую закономерность. Во-первых, вы должны согласиться с тем, что я доказал случай n = 1 , пройдя алгебру в подразделе Базовый случай . Теперь я покажу вам доказательство на шаге индукции для конкретного случая, когда n = 3 .

Все в этом доказательстве должно выглядеть нормально, за исключением того, что я перешел со второй строки на третью. Если вы не уверены в случае n = 2 , то мы можем повторно использовать доказательство на шаге индукции для конкретного случая, когда н = 2 .

Я использовал правило степеней только для случая n = 1 , поэтому вы должны быть уверены, что правило степеней было проверено для случая n = 3 (и n = 2 ).

Если вы занимаетесь информатикой или программистом, вы можете признать это рекурсивным аргументом. Во многих случаях и индукция, и рекурсия могут что-то описать, но они будут идти в противоположных направлениях.

Доказательство случая, когда n

< 0

Теперь мы могли бы использовать правило отношения, чтобы доказать этот случай, но правило произведения легче запомнить и использовать. Вместо этого мы будем использовать следующий факт:

Обратите внимание, что приведенное выше утверждение верно только тогда, когда x ≠ 0 , поскольку 0/0 не определено. Эти функции не имеют четко определенных производных при x = 0 , так что нам все равно. Мы можем взять производные обеих частей, использовать правило произведения и найти производную.

На данный момент мы доказали правило степени для всех целых чисел.

Метод, используемый для доказательства того, что правило произведения работает, поэтому давайте попробуем нечто подобное. Я избавлю нас от некоторых проблем и определю h = c — x . Поскольку нам нужен случай, когда h → 0 , нам понадобится c — x → 0 , что эквивалентно c → x . Кроме того, x + h = c . Подставляя все в определение производной, мы получаем

. Вы можете понять, что, поскольку c приближается к x , g(c) приближается к г(х) . Если вы возьмете несколько примеров производных, которые будут иметь функции функций, вы можете заметить закономерность. (Попробуйте взять производные от (x + c)³ или (x² + c)² , а затем вынести (x + c) или (x² + c) , где c — константа. ) У вас может возникнуть идея взять производную от внешней функции по отношению к внутренней функции, которая будет выглядеть как

. Если вы определите новый h = g(x) — g(c) и обратите внимание, что поскольку c приближается к x, h приближается к 0 , вы можете переписать приведенную выше производную следующим образом:

Поскольку g(c) равно число, это выражение является производной от f(x) при x = g(c) . Мы знаем, как вычислить это выражение, поэтому, если мы вернемся к исходной производной, мы хотим получить g(x) — g(c) внизу. В этом случае мы можем использовать другую классическую технику: умножить на единицу . Как добавление нуля ничего не меняет, так и умножение на единицу ничего не должно менять. Мы можем выбрать много выражений, равных единице, но (g(x) — g(c))/(g(x) — g(c)) даст нам правильный ответ.

Наконец, мы завершаем правило цепочки:

Проблемы с этим доказательством

Абстракции позволяют вам работать с любой системой, которая соответствует вашей абстракции, пока вы следуете ее правилам. Помните, что мы используем и около x , так что g(a) = g(c) , тогда мы фактически не умножали на единицу — мы умножали на 0/0 , что не определено. Для того, что мы делаем, это доказательство цепного правила остается в силе, поскольку g(a) = g(c) только тогда, когда a = c . Вы столкнулись бы с проблемой, если бы попытались взять производную функции вроде sin( 1/x ) при x = 0 , поскольку вы никогда не сможете найти область около x = 0 , для которой функция определена во всем регионе. Чтобы обойти это ограничение, вы затыкаете дыры с помощью аналитического продолжения. Для нас это не имеет значения в этом доказательстве, поэтому я пойду дальше.

Мы собираемся использовать трюк, аналогичный тому, где n < 0 . Например, мы знаем, что если мы можем взять корень числа qth и возвести его в степень qth , мы должны получить число, с которого начали. В математике это выражение будет выглядеть так:

Никто не будет пытаться найти производную функции там, где ее нет, поэтому нас будет интересовать производная только там, где функция существует. Мы будем следовать тому же процессу в случае, когда n — отрицательное целое число. Мы возьмем производные обеих сторон, воспользуемся цепным правилом и найдем производную. r] как предел последовательности рациональных силы, которые приближаются к иррациональной силе всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой силой, или как наименьшая верхняя граница множества рациональных сил, меньших данной силы, этот тип определения не поддается дифференциации.

Мы собираемся определить значение как предел последовательности рациональных степеней, которые приближаются к иррациональным степеням. В этой части доказательства могут быть некоторые ошибки, поскольку я никогда не видел, чтобы кто-то доказывал это таким образом, поэтому дайте мне знать в комментариях, если я допустил ошибку.

Каждое иррациональное число можно представить как предел последовательности рациональных чисел. Итак, теперь давайте установим некоторые определения:

Если r = π , то R4 = 3,1415 . Если r = sqrt(200) , тогда R3 = 14,142 . Другими словами, Rk дает вам k цифр после запятой. Легко видеть, что предел этой последовательности рациональных чисел равен r , что можно доказать, поскольку разница между r и r стремится к нулю. Итак, теперь у нас есть два предела, которые мы хотим взять: k → ∞ и h → 0 . Если мы сначала возьмем предел ч , мы получим

. Если мы возьмем k limit сначала, мы получаем

Вы можете подумать, что порядок ограничений не имеет значения (в данном случае это не так), но в общем случае это не гарантируется. Мы можем гарантировать, что взятие пределов в любом порядке даст нам один и тот же результат, если мы сможем доказать, что оба предела имеют поточечную сходимость и по крайней мере один предел имеет равномерную сходимость . Этот факт известен как теорема Мура-Осгуда.

Поточечная сходимость

Поточечная сходимость означает

Независимо от того, какое разрешение x вы выберете в домене, последовательность функций будет сходиться к значению функции x .

Мы доказали, что предел ч сходится поточечно, поскольку это либо производная от x , возведенная в некоторую рациональную степень (которая, как мы доказали, сходится на протяжении всей этой статьи), либо производная от x , возведенная в некоторая иррациональная мощность, и производная будет непрерывной. Другой предел также сходится поточечно, так как разница между 9Rk становится равным нулю по мере увеличения k .

Равномерная сходимость

Равномерная сходимость — гораздо более сильное утверждение, чем поточечная сходимость.

Для всех x в области и произвольного ϵ > 0 мы должны выбрать некоторое натуральное число N такое, что для любых k после N разность между fk(x) и f(x) меньше, чем ϵ .

Например, предположим, что наш домен (4, 5), наш 9r , так как сумма или разность двух функций, равномерно сходящихся в одной и той же области, также сходится в той же области.

Сначала выберите x , где вы хотите взять производную. Мы назовем это c .

Выберите маленькое h такое, чтобы 0 не было в (c — 2h, c + 2h) . При 0 для иррациональных способностей может не существовать предела, так что нам все равно.

Пусть ваш домен будет (c — 2h, c + 2h) .

9Rk в двух точках области, разделенной ненулевой константой, предел k также сходится равномерно.

Все иррациональные числа

Теперь, если мы воспользуемся теоремой Мура-Осгуда, мы закончим.

К.Э.Д.

А как насчет теоремы Мура-Осгуда?

С одной стороны, цитирование теоремы без доказательства противоречит части названия «с нуля». С другой стороны, эта статья предназначена для студентов, изучающих математику в старших классах и начинающих колледж, и реальный анализ может быть довольно интенсивным. В качестве компромисса я оставлю эту статью как есть, но я дам ссылку на статью, которую я написал, доказывающую теорему Мура-Осгуда, и на две статьи, которые я написал, объясняя предысторию, необходимую для прочтения доказательства.

Что такое предел на самом деле? , который устанавливает, что такое предел формально и как вы можете использовать сети для обобщения пределов.
Равномерная и поточечная сходимость , в которой объясняется разница между ними и как их доказать.
Когда можно переключать пределы в исчислении? , где показано мое доказательство теоремы Мура-Осгуда.

Разделив материал на несколько статей, студенты не будут перегружены часовой статьей, которая углубляется в глубины реального анализа, и я могу сохранить часть названия «с нуля». 9x , ln x и цепное правило. В любом случае, мы закончим тем, что докажем правило мощности с нуля. Я предпочитаю доказательство, представленное в этой статье, по нескольким причинам:

Ученики не узнают о производных экспоненциальных или логарифмических функций до второй половины урока.
Мы также доказываем правило степеней и используем его в основном доказательстве.
Это доказательство представляет собой пример доказательства по индукции.
Он также знакомит с методами проверки сложения нуля и умножения на единицу.
No related posts.