Предел факториала: Как решить пределы с факториалами, примеры решений

Содержание

Пределы с факториалами : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
GlazkovD 

 Пределы с факториалами

06. 02.2008, 20:35 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Начал в этом семестре изучать ряды.
Как известно, в теме ряды порой требуется вести поиск различных нестандартных пределов.

Например столкнулся с таким:

Не подскажете, как этот предел взять ?
и заодно где можно почитать про какие небудь свойства факториала, для разруливания подобного рода ситуаций.

(Т.е можете что небудь посоветовать почитать по обычной математике, для подготовки к решению задач на тему ряды).

От препода вышки на установочной слышал про такие свойства


Не подскажете, правильны ли они, и откуда они получаются, или где про них прочитать. Заранее спасибо.


   

                  

AD 

 

06.02.2008, 20:49 

Экс-модератор

17/06/06
5004

Предел считается очень просто — вот мы в соседней теме это уже неплохо разжевали: http://dxdy. ru/viewtopic.php?t=11848&start=0

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

Первые два свойства правильные, нужно лишь сказать, что , и всё станет очевидно. Третье свойство — не понял вас.


   

                  

Brukvalub 

 

06.02.2008, 21:06 

Заслуженный участник

01/03/06
13626
Москва


   

                  

PAV 

 

06. 02.2008, 22:11 

Супермодератор

29/07/05
8248
Москва

По поводу же свойств факториала (особенно для нахождения всякого рода пределов) — посмотрите формулу Стирлинга.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал


   

                  

Алексей К.  

 Re: Подготовка к изучению рядов

06.02.2008, 22:53 

29/09/06
4552

GlazkovD писал(а):

Например столкнулся с таким:

Не подскажете, как этот предел взять ?

Позвольте, но ведь всё сокращается!?:

Или опять чего-то с глазами?


   

                  

GlazkovD 

 

06. 02.2008, 22:54 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Спасибо большое.
Насчет факториала(с примером) разобрался.

тоже разобрался

Осталось разобраться с при n бесконечном. Буду думать

ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО !!!!!! вы меня сдвинули с мертвой точки показав данные примеры. Теперь я знаю в каком направлении идти в таких ситуациях, и как думать в таких ситуациях !


   

                  

V.
V.
 

 

06.02.2008, 23:25 

Заслуженный участник

09/01/06
800

GlazkovD писал(а):

Осталось разобраться с при n бесконечном. Буду думать

Формула Стирлинга.


   

                  

Brukvalub 

 

06. 02.2008, 23:45 

Заслуженный участник

01/03/06
13626
Москва

V.V. писал(а):

Формула Стирлинга.

Можно и без неё.


   

                  

venja 

 

07. 02.2008, 10:30 

08/09/07
125
Екатеринбург

Brukvalub писал(а):

V.V. писал(а):

Формула Стирлинга.

Можно и без неё.

Забавно!


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


последовательность синус от факториала : Анализ-I

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.


 
havik 

 последовательность синус от факториала

24. 05.2013, 14:01 

20/03/13
12

нужно вычислить предел последовательности .

очевидно что последовательность предела не имеет, но ограниченна. В знаменателе предел равен бесконечности.

Таким образом, можно ли, ссылаясь на то, что у нас отношение ограниченной последовательности на бесконечно большую и вследствии этого предел равен 0?


   

                  

iifat 

 Re: последовательность синус от факториала

24. 05.2013, 14:03 

Заслуженный участник

16/02/13
3950
Владивосток

А то ж!


   

                  

mihailm 

 Re: последовательность синус от факториала

24. 05.2013, 14:27 

19/05/10

3940
Россия

Если это надо куда-то сдавать, то этот кусок

havik в сообщении #727756 писал(а):

…очевидно что последовательность предела не имеет…

я бы на всякий случай бы не писал, не совсем это очевидно)


   

                  

Deggial 

 Re: последовательность синус от факториала

24. 05.2013, 21:01 

Супермодератор

20/11/12
5727

   

                  

Shtorm 

 Re: последовательность синус от факториала

25.05.2013, 13:11 

14/02/10
4956

havik в сообщении #727756 писал(а):

очевидно что последовательность предела не имеет

Если Вы внимательно прочтёте ту тему на которую сослался Deggial, то поймёте, что вовсе не очевидно — это раз, а во вторых не факт, что не имеет предела.


   

                  

havik 

 Re: последовательность синус от факториала

27.05.2013, 17:24 

20/03/13
12

Shtorm в сообщении #728190 писал(а):

havik в сообщении #727756 писал(а):

очевидно что последовательность предела не имеет

Если Вы внимательно прочтёте ту тему на которую сослался Deggial, то поймёте, что вовсе не очевидно — это раз, а во вторых не факт, что не имеет предела.

Ох уж эти синусы … Спасибо за информацию. Впредь буду внимательней.


   

                  

xmaister 

 Re: последовательность синус от факториала

28.05.2013, 00:28 

Заслуженный участник

03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

havik в сообщении #727756 писал(а):

очевидно что последовательность предела не имеет

Я, кстати, так и не узнал как доказать не существование этого предела


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Ряд с двойным факториалом : Анализ-I

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.


 
Limit79 

 Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:02 

29/08/11
1759

Исследовать на сходимость:

Обычно, когда факториал, используют признак Даламбера, но тут не получается с ним…

— 08.12.2012, 00:04 —

Хотя, наверное получится по Даламберу, но не могу понять, как разбить факториал, чтобы сократить его.


   

                  

gris 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:07 

Заслуженный участник

13/08/08
13978

Не получается? В двойном факториале добавляется один сомножитель и внизу один. Они же и остаются после сокращения.
Не запамятовали ли вы, что такое двойной факториал? Здесь — произведение всех чётных чисел от и до. Если бы это было два одиночных факториала, числитель бы рос непомерно сильнее знаменателя.


   

                  

Limit79 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:15 

29/08/11
1759

gris

А зачем?

Я вот так делал:

Чтобы найти предел этого выражения, нужно куда-то факториал деть, сократить, как это обычно бывает, но не могу понять, как разбивать на множители двойные факториалы.

Ну а ряд расходится, это сразу видно.

— 08.12.2012, 00:18 —

Я вот что нашел, только желательно бы без формулы Стирлинга, если это возможно.


   

                  

gris 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:21 

Заслуженный участник

13/08/08
13978

Я увидел, что он не расходится.
А куда вы дели в знаменателе 1, 4, 7 и тд?
Напишите нескодько первых членов ряда и поймёте всё.


   

                  

Limit79 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:30 

29/08/11
1759

gris


— не наводит на мысли.

Единственная мысль в том, что в знаменателе тоже получается факториал.


   

                  

mark_sandman 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07. 12.2012, 23:44 

06/05/12
77

Пробовали применить признак Раабе?


   

                  

gris 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07.12.2012, 23:48 

Заслуженный участник

13/08/08
13978

Может быть я чего не вижу

Вот знаменатель пошёл на обгон.


   

                  

Limit79 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07.12.2012, 23:54 

29/08/11
1759

mark_sandman

Там же тоже предел надо вычислять.

gris
Я выписал несколько членов для , и понял, что , а вот для не могу сообразить. ..


   

                  

mark_sandman 

 Re: Ряд с двойным факториалом

07.12.2012, 23:56 

06/05/12
77

Цитата:

используют признак Даламбера, но тут не получается с ним…

Эта фраза меня сбила с толку, всё там получается


   

                  

Limit79 

 Re: Ряд с двойным факториалом

08. 12.2012, 00:01 

29/08/11
1759

mark_sandman
Спасибо. Теперь вопрос в том, к какому виду привести знаменатели.


   

                  

mark_sandman 

 Re: Ряд с двойным факториалом

08.12.2012, 00:06 

06/05/12
77

Ряд сходится


   

                  

Limit79 

 Re: Ряд с двойным факториалом

08. 12.2012, 00:10 

29/08/11
1759

mark_sandman

А как Вы вывели, что знаменатель для будет ?

— 08.12.2012, 01:11 —

Сорри, туплю, понял.


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

предел последовательности (степени, корни, факториал) : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
студент 

 предел последовательности (степени, корни, факториал)

11. 10.2007, 14:54 

09/10/07
14

Помогите пожалуйста найти предел частного от деления nxn на корень степени n из (2n)! Спасибо!


   

                  

bot 

 

11. 10.2007, 15:52 

Заслуженный участник

21/12/05
5784
Новосибирск

Такой что ли:
?
Формула Стирлинга поможет.


   

                  

студент 

 

11. 10.2007, 16:27 

09/10/07
14

Формулой Стирлинга пользоваться нельзя!


   

                  

bot 

 

11.10.2007, 16:35 

Заслуженный участник

21/12/05
5784
Новосибирск

Упс-с, а каковы границы дозволенного?


   

                  

студент 

 

11. 10.2007, 16:43 

09/10/07
14

Можно пользоваться пределом в неравенствах(теорема о двух милиционерах)


   

                  

kekocaumay 

 

11. 10.2007, 16:50 

18/07/07
37

Теоремой Штольца поможет.
Этот результат = ?


   

                  

bot 

 

11.10.2007, 16:51 

Заслуженный участник

21/12/05
5784
Новосибирск

Я имел в виду, можно ли выходить за рамки понятия последовательности? В частности, можно ли пользоваться рядами или функциями ненатурального аргумента?


   

                  

студент 

 

11. 10.2007, 17:13 

09/10/07
14

Только понятием предела последовательности! Я не могу найти оценки слева и справа.Известно что значение равно четверти ехе(число Эйлера)


   

                  

Brukvalub 

 

11. 10.2007, 17:19 

Заслуженный участник

01/03/06
13626
Москва

А такую теорему: если последовательность и существует , то существует и можно применить? Докажите эту теорему (что совсем нетрудно) и пользуйтесь на здоровье!
А найти этот предел с помощью двух судебных приставов — дело крайне неблагодарное…


   

                  

студент 

 

11. 10.2007, 17:32 

09/10/07
14

Всем спасибо и за теорему Штольца также.Я думал что справлюсь без особых средств.


   

                  

avr 

 

11. 10.2007, 17:47 

14/02/07
41

студент писал(а):

(теорема о двух милиционерах)

Что это такое?


   

                  

Lion 

 

11.10.2007, 20:04 

Заслуженный участник

26/11/06
696
мехмат

Если выполняются неравенства и , то и .


   

                  

нг 

 

11.10.2007, 23:10 

Экс-модератор

30/11/06
1265

 !  студент
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию (; введение, справка).

   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


Признак Д’Аламбера. Вторая часть.

Высшая математика » Числовые ряды » Признак Д’Аламбера » Вторая часть.

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Здесь мы продолжим начатый в первой части разбор примеров, в которых вопрос сходимости числовых рядов решается с помощью признака Д’Аламбера. {\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}=\frac{3}{2}+\frac{3\cdot 5}{2\cdot 5}+\frac{3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 5\cdot 8}+\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 5\cdot 8\cdot 11}+\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}{2\cdot 5\cdot 8\cdot 11\cdot 13}+\ldots $$

Для подобных рядов применение признака Д’Аламбера приводит к быстрому получению ответа. Запишем $u_{n+1}$:

$$ u_{n+1}=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot(2(n+1)+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3(n+1)-1)}= \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot(2n+3)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3n+2)}. $$

Кстати сказать, записать $u_{n+1}$ можно более коротко и красиво:

$$ u_{n+1}=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot(2n+3)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3n+2)}=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}\cdot\frac{2n+3}{3n+2}=u_n\cdot\frac{2n+3}{3n+2}. {\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.

Решение этот примера полностью аналогично решению предыдущего примера №5. Я добавил данный пример сугубо из-за выражения $(2n-1)!!$, которое читателю может быть незнакомо. Знак «!!» читается как «двойной факториал». Выражение $n!!$ обозначает произведение всех натуральных чисел, меньших $n$, чётность которых совпадает с чётностью числа $n$. Например, число 10 – чётное. Значит, запись $10!!$ означает произведение всех чётных натуральных чисел, которые меньше 10:

$$ 10!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10=3840. $$

Другой пример: число 7 является нечётным. Поэтому выражение $7!!$ равно произведению всех нечётных натуральных чисел, которые меньше чем 7:

$$ 7!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105. $$

Каким бы ни был номер $n$, выражение $2n-1$ всегда равно нечётному числу. Таким образом, запись $(2n-1)!!$ означает произведение всех нечётных чисел от 1 до $2n-1$:

$$ (2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1) $$

И общий член ряда запишется так: $u_n=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}$. Cоответственно, $u_{n+1}$ будет таким:

$$ u_{n+1}=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)\cdot(10(n+1)-9)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2(n+1)-1)}=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)\cdot(10n+1)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}=u_n\cdot\frac{10n+1}{2n+1}. $$

Применяем признак Д’Аламбера:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n\cdot\frac{10n+1}{2n+1}}{u_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{10n+1}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{10+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{10}{2}=5. $$

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)

Так как $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=5> 1$, то согласно признаку Д’Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д’Аламбера рассмотрим в третьей части.

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Как решать уравнения с факториалами

Пределы с факториалами

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) \qquad (1) $$

Например, $5! = 4! \cdot 5 $, или $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 $.

Основная суть идеи:

  1. Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
  2. Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
  3. Вычисляем предел подходящим способом

Подставляя $x=\infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! \cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! \cdot (2n+2)\cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Понятно, что предел имеет неопределенность $\frac$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Как найти факториал натурального числа по формуле — примеры решения задач

Факториал — это математическая функция, которая применяется к положительным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от единицы до вычисляемого числа.

Факториал обозначается «n!».

Для представления факториала, приведем простой его пример: \(5!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\;=\;120. \)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для нахождения факториала необходимо просто по очереди перемножить все положительные натуральные числа от единицы до вычисляемого числа включительно.

Факториал математически выглядит следующим образом:

Факториал применяется в различных разделах математики, но активно он используется, когда речь заходит о комбинациях, перестановках, теории чисел, комбинаторике, математическом анализе и так далее.

В комбинаторике факториал числа n обозначает количество перестановок множества из n элементов.

Формула факториала

Из определения факториала следует формула:

\((n\;-\;1)!\;=\;\fracn.\)

Расшифровав формулу, можно сделать вывод, что если мы знаем факториал числа, то можно найти факториал предыдущего числа путем деления значения факториала на само число.

Также из формулы следует, что при n=1 факториал 0!=1.

Примеры задач с решениями

В комнате стоит стол, вокруг которого стоят четыре стула. В комнату заходят четыре человека. Вычислите количество вариантов для рассаживания четырех человек вокруг стола.

Решение: так как количество стульев и людей совпадают, мы можем вычислить количество вариантов с помощью факториала.

Ответ: всего 24 варианта рассаживания четырех человек.

В расписании 11 класса на понедельник должно быть 5 предметов: алгебра, русский язык, литература, физика и геометрия. Сколько существует способов для составления расписания на этот день?

Ответ: 120 способов.

Сколько существует способов для составления указанного выше расписания из тех же 5 предметов, если требуется, чтобы урок геометрии был последним?

Ответ: 24 способа.

Сколько существует способов для составления расписания из указанных выше 5 предметов, в котором алгебра и русский язык стояли бы рядом?

Как решать уравнения с факториалами

Элементы комбинаторики

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Теория вероятностей и математическая статистика − разделы математики, наиболее широко используемые в самых различных областях деятельности от маркетинговых исследований до социального прогнозирования. Для успешного овладения навыками решения прикладных задач необходимо освоить основные теоретические и практические аспекты теории вероятностей и математической статистики.

При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комби­нации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 1484; Нарушение авторских прав?;

  1. Установите .
  2. Создать
  3. F = вход? Если да, то является N.
  4. Если нет, то установите , а затем снова начните с # 2.

Вы можете оптимизировать, используя предыдущий результат для вычисления нового ( ).

Это так же быстро, как движение в противоположном направлении, если не быстрее, учитывая, что разделение обычно занимает больше времени, чем умножение. Данный факториал гарантировано, что все целые числа, меньшие, чем качестве факторов в дополнение к А, так что вы потратили бы столько времени на факторинг, как вы просто вычисляли бы факториал.

Ну, если вы знаете, что M действительно является факториалом какого-то целого, то вы можете использовать

Вы можете решить эту проблему (или, действительно, решить ) и найти ближайшее целое число. Он все еще нелинейный, но вы можете легко получить приближенное решение путем итерации (на самом деле, я ожидаю, что коэффициент достаточен).

Вот код clojure:

Пусть n = 120, div = 2. 120/2 = 60, 60/3 = 20, 20/4 = 5, 5/5 = 1, возврат 5

Пусть n = 12, div = 2. 12/2 = 6, 6/3 = 2, 2/4 = .5, return ‘nil’

Если вы не знаете , является ли число или нет, достойным тестом является проверка, если он делится на все мелкие простые числа, пока приближение Стерлинга этого числа больше, чем В качестве альтернативы, если у вас есть таблица факториалов, но она не подходит достаточно высоко, вы можете выбрать самый большой фактор в своей таблице и убедиться, что делится на это.

В C из моего приложения Advanced Trigonometry Calculator v1.6.8

Что вы думаете об этом? Правильно работает для целых чисел факториалов.

Большинство чисел не находятся в диапазоне выходов факториальной функции. Если это то, что вы хотите проверить, легко получить приближение, используя формулу Стирлинга или количество цифр целевого номера, как упомянуто другими, а затем выполнить бинарный поиск, чтобы определить факториалы выше и ниже заданного числа.

Более интересным является построение обратной функции Гамма, которая расширяет факториальную функцию до положительных действительных чисел (и к наиболее сложным числам тоже). Оказывается, что построение обратного является трудной задачей. Тем не менее, он был определен явно для большинства положительных реальных чисел в 2012 году в следующем документе: http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-04/S0002-9939-2011-11023-2/S0002- 9939-2011-11023-2.pdf . Явная формула приведена в следствии 6 в конце статьи.

Обратите внимание, что он включает интеграл в бесконечной области, но при тщательном анализе я считаю, что разумная реализация может быть построена. То, что лучше, чем простая схема последовательных приближений на практике, я не знаю.

Как решать уравнения с факториалами

очень легко оценить. Поэтому продолжайте делиться на 2,3,5,7 … и проверьте экспоненты, сколько раз вы могли бы разделить.

Теперь вопрос в том, что у вас есть n! что представляет собой показатель простого p в нем?

Во-первых, n! может иметь только простые числа вплоть до n, включая n, если он является простым.

Вы добавляете один за каждый раз простой p, или любая его сила находится в пределах n. Сколько раз вы увидите p. Ну, это должен быть самый большой k, для которого

то же самое от премьер-министра

Предположим, что у нас есть 10888869450418352160768000000

Мы можем разделить

не делится на 29

Это означает, что это число от 23 до 29. (Обычно диапазон намного больше, но этот пример по-прежнему полезен).

Теперь мы можем использовать бинарный поиск между 23 и 29, чтобы получить набор, который можно разделить на 2, 23 раза. Обратите внимание, что может быть только два таких числа. Мы пробуем 26 и легко обнаруживаем, что это

Если это не так, мы продолжим сегмент 23-26 или 26-29 в зависимости от результата.

Таким образом, это либо 26, либо 27. Мы делаем то же самое для 3 и остальных, пока не получим совпадение ни с одним из двух возможных чисел. Числа будут иметь разный результат для хотя бы одного из заданных простых чисел.

Поэтому, если вышеперечисленное является факториалом, это факторный показатель 27. Проверка того же, что и выше для 5,7,11,13,17,19 и 23, показывает, что все в порядке и что это действительно 27.

Таблица факториалов

1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5 040
8! 40 320
9! 362 880
10! 3 628 800
11! 39 916 800
12! 479 001 600
13! 6 227 020 800
14! 87 178 291 200
15! 1 307 674 368 000
16! 20 922 789 888 000
17! 355 687 428 096 000
18! 6 402 373 705 728 000
19! 121 645 100 408 832 000
20! 2 432 902 008 176 640 000
21! 51 090 942 171 709 440 000
22! 1 124 000 727 777 607 680 000
23! 25 852 016 738
884 976 640 000
24! 620 448 401 733
239 439 360 000
25! 15 511 210 043
330 985 984 000 000
26! 403 291 461 126
605 635 584 000 000
27! 10 888 869 450 418
352 160 768 000 000
28! 304 888 344 611 713
860 501 504 000 000
29! 8 841 761 993 739 701
954 543 616 000 000
30! 265 252 859 812 191 058
636 308 480 000 000

— версия для печати

Определение (что такое факториал) Факториал числа — результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!». Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1). Пример: 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 Не стоит забывать По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов. Полезный факт Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н.

Примеры решения факториалов

Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2. 28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e)

1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).

Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

5. ФАКТОРИАЛ

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

(3.1)

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Дата добавления: 2015-05-12; просмотров: 1702; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |

Исчисление

— Как вычислить предел функции, имеющей факториал в знаменателе

спросил

Изменено 1 месяц назад

Просмотрено 73 тысячи раз

$\begingroup$

Для $n$, стремящегося к бесконечности, найдите следующий предел 9n}{n!}. {n-2}$$ 9н $$

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Один из способов приблизиться к такого рода пределам — использовать теорему о монотонной сходимости (реальные ограниченные монотонные последовательности сходятся). Итак, для сходимости вам нужно доказать, что 1. ваша последовательность монотонна, 2. она ограничена

. Для вашей последовательности вы можете доказать, что она убывает, используя тест отношения, как в ответе idm. И вы можете ясно видеть, что она ограничена 0. Это означает, что предел существует, пусть $a_n$ будет вашей последовательностью, тогда 9n}{n!}$ и определим вспомогательную функцию $g_n=\ln(f_n)$. Это дает $$ g_n=n\ln(2)-\ln(n!)=n\ln(2)-\color{red}{\bigg(\ln(n)+\ln(n-1)+\dots+ \ln(2)+\ln(1)\bigg)}.$$ С каждым увеличением $n$ член $n\ln(2)$ увеличивается на 0,69, а член красного цвета удаляет $\ln(n)$. {-\infty}=0$.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Репетитор по математике — Последовательности — Решенные задачи

Репетитор по математике — Последовательности — Решенные задачи — Ограничения

Проблема: Оценить следующий предел (если он существует)

Решение: Мы видим, что у нас есть соотношение мощностей, поэтому мы хотели бы использовать интуитивная оценка; Однако, есть небольшая проблема в числителе. Если бы числитель был просто суммой n 2  − ln( n ), мы бы знали, что делать; к сожалению, это выражение переводится в экспоненциальное, что означает, что интуитивное рассуждение больше не применимо. Что мы можем сделать?

В знаменателе мы знаем, что когда n действительно огромно, то n 3 ничтожно мало по сравнению с факториалом n ! и мы может игнорировать это. Мы также знаем, что ln( n ) ничтожно мало по сравнению с n 2 , но поскольку это происходит в экспоненте, это какой-то хитрый. Мы знаем, что, игнорируя ln( n ), мы получим всего лишь небольшая ошибка для больших n , но тогда мы делаем «2 в степени, равной эта маленькая ошибка», и мы не знаем, что тогда происходит.

Если мы не знаем, что делать, обычно лучше начать с более простую задачу, а затем посмотрим, сможем ли мы использовать полученное понимание в более сложная ситуация. Итак, начнем с расследования

шкала полномочий говорит «факториалы побеждают экспоненты», но это относится только к таким вещам, как 2 n . Мы знаем, что кратные в показателе степени не имеют значения, например, мы могли бы поспорить 2 3 n  = (2 3 ) n  = 8 n и факториал украл бы его, но квадрат — это вообще другое животное. Мы не можем измениться алгебраически 2 n 2 во что-то вроде n .

Итак, мы, к сожалению, делаем вывод, что шкала полномочий не даст нам никакого ответь здесь. Тем не менее, это немного помогает. Когда шкала была установлена, в доказательства использовали спаривание и сравнение. Здесь у нас есть две вещи. Факториал n !, который является произведение n элементов (номера 1, 2,…, n ), и 2 n 2 , который является продуктом n 2 элементы (цифры 2). Можем ли мы как-то грамотно сгруппировать этих двоих? Мы можем попробовать это:

Насколько велико это число? Обратите внимание, что все маленькие дроби не меньше один, начиная с 2 n  >  n . Если мы применим его к все, кроме последнего члена, мы получаем

Последний факт следует из шкалы степеней и может быть доказан с помощью l’Больничное правило. Мы только что доказали с использованием сравнение с упрощенным последовательность, которую мы пробовали, уходит в бесконечность:

Теперь мы проникаем в часть n 3 и утверждаем, что, поскольку факториал преобладает над ним и, следовательно, пренебрежимо мал, у нас все еще есть

Как бы мы это обосновали? Есть две возможности. Традиционный способ из коробочных полиномов и отношений с степенями — это факторизовать доминирующие термины. Мы получаем

Ноль в оценке знаменателя следует из шкалы силы, «факториалы бьют силы». Как бы мы это доказали, если бы нам это было нужно? Это делается путем сравнения (факториал нельзя дифференцировать, поэтому Лопиталь определенно нет, и другого выбора не так много).

Это завершает доказательство того, что действительно

Другой способ проникнуть в n 3 — использовать подход из Обратите внимание на интуитивные расчеты. Идея такова: две последовательности имеют одинаковый предел, если их отношение сходится к 1. Итак, мы просто сравниваем две приведенные выше последовательности, с и без н 3 .

Обратите внимание, что он был очень похож на предыдущий расчет и использовал тот же дополнительный факт о соотношении н 3 / н !.

На самом деле есть гораздо более простой способ. Поскольку мы хотим показать, что эта последовательность стремится к бесконечности, достаточно найти подходящую оценку снизу, используя известный результат. Но это легко, от п ! −  n 3  <  n ! мы получаем

2 n 2 /( n ! −  n 3 ) > 2 n 2 / n !→∞.

Обратите внимание, что если бы в знаменателе был «+», это сравнение не было бы работать больше:

2 N 2 / ( N !+ N 3 ) <2 N 2 / 2 !

Это говорит о том, что последовательность слева имеет предел, не превосходящий бесконечности (если она существует), но это оставляет слишком много свободы — все, что меньше или равно бесконечность, последовательность слева может, например, колебаться (и, таким образом, иметь без ограничений), а может и уйти в бесконечность, только медленнее, чем тот, что справа, что на самом деле и происходит! Как бы мы это доказали? Легко, первые два доказательства который мы использовали, также будет работать со знаком «+» в знаменателе.

Но хватит об этом среднем шаге. Теперь мы хотели бы проникнуть внутрь пер( н ) как-то. К сожалению, наше подозрение выше, что все не так просто оказывается быть правильным, когда мы попробуем это. А именно, может ли быть правдой, что 2 н 2 и 2 n 2  − ln( n ) примерно одинаковы около бесконечности? Смотрим на предел их отношения и находим, что он не правда:

Это показывает, что 2 n 2 несравненно больше около бесконечности, чем 2 n 2  − ln( n ) . Как мы тогда перейти от последнего доказанного результата к пределу, который мы действительно ищем? Мы не можем использовать то, что мы сделали до сих пор, в качестве строительного блока:

Мы получили неопределенное соотношение и мы не можем применить правило Лопиталя, так как мы не можем взять производную от факториала. Таким образом, алгебраически мы не можем пройти от известного к данному.

Как насчет сравнения? У нас есть n 2  − ln( n ) <  n 2 , поэтому мы можем попробовать следующее:

К сожалению, из такого сравнения мы не можем сделать никаких выводов. Если данная последовательность имеет предел, он должен быть меньше или равен бесконечности (приходится переходить к «меньше или равно», сравнение не работает для резких неравенства), а значит, речь может идти о чем угодно, в том числе и о вероятность того, что она вообще не имеет предела.

Итак, мы видим, что мы не можем перейти от известного результата к заданной последовательности напрямую, мы должны сделать это независимо от последнего известного результата. Все еще, поскольку проблемы очень похожи, возможно, мы можем получить некоторое вдохновение от работу, которую мы уже сделали.

Одна из возможностей состоит в том, чтобы использовать тот факт, что n в конечном итоге намного больше. чем ln( n ). Заметим, что в предпоследнем расчете мы имели 2 n 2 сверху и 2 лн( п ) в знаменатель, и мы знаем из шкалы полномочий, что прежний преобладает над последним. К сожалению, мы уже израсходовали 2 n 2 , чтобы «перебить» факториал в знаменателе. Однако, если вы посмотрите на соответствующее сравнение выше, вы увидите, что неравенство там было очень щедрым, мы довольно много потеряли в этом оценивать. Возможно, нам не нужно все 2 п 2 до убить факториал. Можно было бы «одолжить» кусок 2 n 2 , чтобы также побить логарифмическую часть? Пробуем:

В последнем неравенстве мы использовали тот факт, что 2 n /2 > 1,2 n /3 > 1,…,2 n / n  > 1. Вывод о пределе то следовало из того, что n 2  − ln( n ) стремится к бесконечности (см. Например, раздел об интуитивном оценка) и 2  = ∞. Теперь сравнение в правильном направлении, и следует, что

Как и прежде, в n 3 проникнуть не составит труда. часть и подтвердить, например, факторингом, что


Следующая проблема
Назад к Решенным проблемам — Ограничения

Исчисление II — Проверка соотношения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-10: Проверка соотношения

В этом разделе мы рассмотрим тест, который мы можем использовать, чтобы увидеть, является ли ряд абсолютно сходящимся или нет. Напомним, что если ряд абсолютно сходится, то мы также будем знать, что он сходится, и поэтому мы будем часто использовать его, чтобы просто определить сходимость ряда.

Прежде чем приступить к тесту, давайте быстро напомним о факториалах. Этот тест будет особенно полезен для рядов, содержащих факториалы (и мы увидим некоторые из них в приложениях), поэтому давайте убедимся, что можем с ними справиться, прежде чем столкнемся с ними в примере.

Если \(n\) является целым числом таким, что \(n \ge 0\), то \(n\) факториал определяется как

\[\begin{выравнивание*}n! & = n\left( {n — 1} \right)\left( {n — 2} \right) \cdots \left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right) & \ hspace{0. 15in} & {\mbox{if}}n \ge 1\\ 0! & = 1 & \hspace{0,15 дюйма} & {\mbox{по определению}}\end{align*}\]

Давайте быстро посчитаем пару.

\[\begin{выравнивание*}& 1! = 1\\ & 2! = 2\влево( 1\вправо) = 2\\ & 3! = 3\влево(2\вправо)\влево(1\вправо) = 6\\ & 4! = 4\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\влево(1\вправо) = 24\\ & 5! = 5\влево(4\вправо)\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\влево(1\вправо) = 120\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что в последнем вычислении выше мы можем переписать факториал несколькими способами. Например,

\[\begin{выравнивание*}5! & = 5 \ подкос {\ влево ( 4 \ вправо) \ влево ( 3 \ вправо) \ влево ( 2 \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо)} _ {4!} = 5 \ cdot 4! \\ 5! & = 5 \ влево ( 4 \ вправо) \ подкос {\ влево ( 3 \ вправо) \ влево ( 2 \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо)} _ {3!} = 5 \ влево ( 4 \ вправо) \ cdot 3!\end{выравнивание*}\]

В общем случае мы всегда можем «вырезать» члены из факториала следующим образом.

\[\begin{выравнивание*}n! & = n\left( {n — 1} \right)\left( {n — 2} \right) \cdots \left( {n — k} \right)\left( {n — \left( {k + 1} \right)} \right) \cdots \left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right)\\ & = n\left( {n — 1} \right)\left ( {n — 2} \right) \cdots \left( {n — k} \right) \cdot \left( {n — \left( {k + 1} \right)} \right)!\\ & = n\left( {n — 1} \right)\left( {n — 2} \right) \cdots \left( {n — k} \right) \cdot \left( {n — k — 1} \right )!\конец{выравнивание*}\]

Нам нужно будет делать это время от времени, так что не забывайте об этом.

Кроме того, при работе с факториалами нужно быть очень осторожным со скобками. Например, \(\left( {2n} \right)! \ne 2\,\,n!\), как мы увидим, выписав каждый из следующих факториалов.

\[\begin{align*}\left( {2n} \right)! & = \left( {2n} \right)\left( {2n — 1} \right)\left( {2n — 2} \right) \cdots \left( 3 \right)\left( 2 \right)\ влево( 1 \вправо)\\ 2\,\,n! & знак равно 2 \ влево [ {\ влево ( п \ вправо) \ влево ( {п — 1} \ вправо) \ влево ( {п — 2} \ вправо) \ cdots \ влево ( 3 \ вправо) \ влево ( 2 \ вправо)\влево( 1 \вправо)} \вправо]\конец{выравнивание*}\]

Опять же, мы столкнемся с факториалами со скобками, так что не опускайте их. Часто это одна из самых распространенных ошибок, которую допускают учащиеся, когда впервые сталкиваются с факториалами.

Итак, мы готовы к тесту.

Проверка соотношения

Предположим, у нас есть ряд \(\displaystyle \sum {{a_n}} \). Определить,

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| {\ frac {{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]

Тогда

  1. , если \(L < 1\), ряд абсолютно сходится (и, следовательно, сходится).
  2. , если \(L > 1\) ряд расходится.
  3. , если \(L = 1\) ряд может быть расходящимся, условно сходящимся или абсолютно сходящимся.

Доказательство этого теста находится в конце раздела.

Обратите внимание, что в случае \(L = 1\) критерий соотношения практически бесполезен, и нам пришлось бы прибегнуть к другому критерию, чтобы определить сходимость ряда. 9{2n + 3}}\влево( {n + 2} \вправо)}}\]

Теперь для определения \(L\) мы будем использовать

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| {{a_{n + 1}} \cdot \frac{1}{{{a_n}}}} \right|\]

, так как это будет немного проще при работе с дробями, как здесь. 2} \ left ( {n + 2} \ right)}}} \ right | \\ & = \ frac {{10}}{{16}}\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\\ & = \frac{{10 }}{{16}} < 1\end{align*}\] 9n}}}{{n!}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{\left({n + 1} \right)!}}{{5\,\,n!}}\]

Чтобы выполнить этот предел, нам нужно исключить факториалы. Мы просто не можем сделать предел с факториалами в нем. Чтобы исключить факториалы, мы вспомним из нашего обсуждения факториалов выше, что мы всегда можем «вырезать» термины из факториала. Если мы проделаем это с числителем (в данном случае потому, что он больший из двух), мы получим

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \frac{{\left({n + 1} \right)\,\,n!}}{{5\,\,n !}}\]

после чего мы можем отменить \(n\)! для числителя знаменатель получить,

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \frac{{\left({n + 1} \right)}}{5} = \infty > 1\]

Итак, по тесту отношений этот ряд расходится. 2}}}{{\left({2n — 1} \right)!}}} \] 9n}}}} \right|\\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left| {\ frac {{9 \, n}} {{\ left ({ — 2} \ right) \, \ left ( {n + 1} \ right)}}} \ right | \\ & = \ frac {9 {2}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{n}{{n + 1}}\\ & = \frac{9}{2} > 1\end{align* }\]

Следовательно, по тесту отношений этот ряд расходится.

В предыдущем примере для получения правильного ответа требовались полосы абсолютного значения. Если бы мы их не использовали, то получили бы \(L = — \frac{9{2} < 1\), что подразумевало бы сходящийся ряд!

Теперь давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, что происходит, когда мы получаем \(L = 1\). Напомним, что тест отношения ничего не скажет нам о сходимости этих рядов. В обоих этих примерах мы сначала проверим, что получаем \(L = 1\), а затем используем другие тесты для определения сходимости.

Пример 5 Определите, является ли следующий ряд сходящимся или расходящимся. 2} + 1}}} \ ] 9\ infty {\ гидроразрыва {{n + 2}} {{2n + 7}}} \]

Показать решение

Вот предел.

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| {\ frac {{n + 3}} {{2 \ left ( {n + 1} \ right) + 7}} \, \, \ frac {{2n + 7}} {{n + 2}}} \ правильно| знак равно \ mathop {\ lim} \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {{\ left ({n + 3} \ right) \ left ({2n + 7} \ right)}} {{\ left ({ 2n + 9} \right)\left( {n + 2} \right)}} = 1\]

Опять же, тест отношения ничего нам не говорит. Однако мы можем быстро использовать для этого тест на дивергенцию. На самом деле, это, вероятно, должно было быть нашим первым выбором в любом случае.

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{n + 2}}{{2n + 7}} = \frac{1}{2} \ne 0\]

По критерию расходимости этот ряд расходится.

Итак, как мы видели в предыдущих двух примерах, если мы получаем \(L = 1\) из проверки отношений, ряд может быть либо сходящимся, либо расходящимся.

Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, мы должны отметить еще одну вещь, связанную с тестом соотношения. Последняя серия представляла собой полином, деленный на полином, и мы увидели, что получили \(L = 1\) из теста отношения. Это всегда будет происходить с рациональным выражением, включающим только полиномы или полиномы под радикалами. Таким образом, в будущем не стоит даже пробовать тест отношения для таких задач, поскольку теперь мы знаем, что получим \(L = 1\).

Кроме того, в предпоследнем примере мы видели пример знакопеременного ряда, в котором положительный член был рациональным выражением, включающим многочлены, и снова мы всегда будем получать \(L = 1\) в этих случаях.

Давайте закончим этот раздел доказательством теста соотношения.

Доказательство соотношения

Во-первых, обратите внимание, что мы можем предположить без ограничения общности, что ряд будет начинаться с \(n = 1\), как мы делали для всех наших тестовых доказательств.

Давайте начнем доказательство здесь, предположив, что \(L < 1\), и нам нужно показать, что \(\sum {{a_n}} \) абсолютно сходится. Для этого сначала заметим, что, поскольку \(L < 1\), существует некоторое число \(r\) такое, что \(L < r < 1\).

Вспомните,

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| {\ frac {{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]

и поскольку мы также выбрали \(r\) так, что \(L < r\) существует некоторое \(N\) такое, что если \(n \ge N\) мы будем иметь,

\[\слева| {\ frac {{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| < r\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5 дюйма}\left| {{a_{n + 1}}} \right| < г \ влево | {{a_n}} \право|\] 9\infty {{a_n}} \) абсолютно сходится.

Далее нам нужно предположить, что \(L > 1\) и показать, что \(\sum {{a_n}} \) расходится. Напоминая,

\[L = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| {\ frac {{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]

и поскольку \(L > 1\) мы знаем, что должно быть некоторое \(N\) такое, что если \(n \ge N\) мы будем иметь,

\[\слева| {\ frac {{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| > 1\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5 дюйма}\left| {{a_{n + 1}}} \right| > \влево| {{a_n}} \право|\]

Однако если \(\left| {{a_{n + 1}}} \right| > \left| {{a_n}} \right|\) для всех \(n \ge N\), то мы знаем то,

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left| {{a_n}} \право| \ne 0\]

, потому что члены становятся больше и гарантированно не будут отрицательными. Это, в свою очередь, означает, что

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} \ne 0\]

Следовательно, по критерию расходимости \(\sum {{a_n}} \) расходится. 9\ infty {\ frac {1} {n}} & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {расходящийся}} \ end {align *} \]

Изменение правил генерации в дробном факторном плане

Этот пример адаптирован из Meyer, et al. (1996), показывает, как использовать платформу Screening Design, когда у вас много факторов. В этом примере инженер-химик исследует влияние пяти факторов на процент реакции химического процесса. Факторы:

• Скорость подачи — количество сырья, добавляемого в реакционную камеру, в литрах в минуту

• Катализатор (в процентах)

• Скорость перемешивания — число оборотов пропеллера в камере

• Температура (в градусах Цельсия)

• Концентрация реагента

Производственные ограничения сводят размер эксперимента к нулю более двенадцати ходов. Вы решаете рассмотреть дробный факторный план с 8 сериями и план Плакетта-Бермана с 12 сериями. Кроме того, вы подозреваете, что следующие утверждения верны:

• Взаимодействие Температура*Концентрация активно, поэтому вам нужен дизайн, который не связывает это взаимодействие с основным эффектом.

• Взаимодействие Catalyst*Temperature* вряд ли будет активным.

• Взаимодействие Скорость перемешивания*Концентрация вряд ли будет активным.

Используйте эту информацию при разработке дизайна.

Создание стандартного дробно-факторного плана

Чтобы создать стандартный дробно-факторный план, выполните следующие действия:

• Укажите ответ

• Укажите факторы или укажите факторы вручную

• Выберите план

Укажите ответ

1. Выберите DOE > Классический > Двухуровневый скрининг > Дизайн скрининга.

2. Дважды щелкните Y в поле Имя ответа и введите Процент отреагировавших.

Обратите внимание, что целью по умолчанию является Максимизация. Цель состоит в том, чтобы максимизировать ответ, но минимально допустимый процент реакции составляет 90 (нижний предел), а верхний предел составляет 100 (верхний предел).

3. Щелкните нижний предел и введите 90.

4. Щелкните верхний предел и введите 100.

5. Оставьте поле Важность пустым.

Поскольку имеется только один ответ, этому ответу по умолчанию присваивается Важность 1.

См. рис. 9.19, где представлена ​​схема заполненных ответов. Теперь укажите факторы.

Укажите коэффициенты

Коэффициенты можно ввести вручную или автоматически:

• Для автоматического ввода коэффициентов используйте таблицу данных Reactor Factors.jmp:

1. Выберите «Справка» > «Библиотека образцов данных» и откройте Design Experiment/Reactor. Факторы.jmp.

2. Щелкните красный треугольник «Проект экранирования» и выберите «Коэффициенты нагрузки». Перейдите к выбору дизайна.

• Чтобы ввести коэффициенты вручную, выполните следующие действия.

Укажите коэффициенты вручную

1. Добавьте пять непрерывных коэффициентов, введя 5 в поле Добавить N коэффициентов и нажав Непрерывный.

2. Измените имена факторов по умолчанию (X1-X5) на «Скорость подачи», «Катализатор», «Скорость перемешивания», «Температура» и «Концентрация».

3. Введите минимальное и максимальное значения для каждого фактора:

– Скорость подачи: 10, 15

– Катализатор: 1, 2

– Скорость перемешивания: 100, 120

– Температура: 140, 180

– Концентрация: 3, 6

5 90s.

Выберите дизайн

1. Нажмите «Продолжить».

2. На панели «Выбор типа экранирования» примите значение по умолчанию «Выбрать из списка дробных факторных планов» и нажмите «Продолжить».

Дизайны для указанных вами коэффициентов и уровней перечислены в Списке дизайнов (рис. 9)..20).

Рисунок 9.20 Дробные факторные планы для пяти непрерывных факторов

3. Нужный вам план находится первым в списке и выбран по умолчанию (рис. 9.20). Примите этот выбор и нажмите «Продолжить».

Поскольку вы ограничены восемью прогонами и не имеете блокирующего фактора, лучшим вариантом плана является дробно-факторный план с 8 прогонами без блоков. Этот план представляет собой дробный факторный план 25-2. Это четверть полного факторного плана для пяти факторов.

Измените правила генерации, чтобы получить другую дробь

В этом примере вы хотите узнать, смешивается ли взаимодействие Температура*Концентрация с основным эффектом. Используйте схему «Отображение и изменение проекта», чтобы просмотреть структуру псевдонимов для выбранного проекта и при необходимости изменить ее.

1. Откройте схему псевдонимов эффектов.

Рисунок 9.21 Наложение эффектов Схема 

Взаимодействие Температура*Концентрация, которое, как вы подозреваете, является активным, смешивается со скоростью подачи, основным эффектом. Вы хотите изменить правила генерации, чтобы создать схему, в которой скорость подачи совмещена с эффектами, которые, как вы подозреваете, неактивны, и где взаимодействие Температура*Концентрация не совмещено с основным эффектом.

2. Откройте схему правил генерации изменений.

Правила генерации по умолчанию дают вам стандартную (или основную) долю одной четверти полного факторного плана. Вспомните, что вы подозреваете, что взаимодействия Катализатор*Температура и Скорость перемешивания*Концентрация вряд ли будут активными. Переопределите правила создания так, чтобы эти два взаимодействия смешивались со скоростью подачи. Переопределенные правила генерирования дают вам другую долю одной четверти полного факторного плана.

3. Выполните следующие действия:

– снимите флажок «Скорость перемешивания» в столбце «Температура».

– Снимите флажок «Катализатор» в столбце «Концентрация».

– Выберите «Скорость подачи» в столбце «Концентрация».

Рисунок 9.22. Создание новых правил 

4. Нажмите «Применить».

Рисунок 9.23 Схема наложения эффектов для измененных правил генерации

В заданном вами дизайне скорость подачи смешивается с катализатором*температурой и скоростью перемешивания*концентрацией. Кроме того, взаимодействие Температура*Концентрация теперь смешивается с двусторонним взаимодействием Катализатор*Скорость перемешивания.

5. В схеме «Параметры вывода» примите параметр «Порядок выполнения» по умолчанию «Случайный порядок» и нажмите «Создать таблицу».

Рисунок 9.24. Таблица расчетов дробного факториала на восемь прогонов Обратите внимание, что таблица содержит столбец для ответа, который вы определили в окне «Скрининг», «Процент отреагировавших», где вы можете записывать результаты эксперимента.

Также включены сценарии Screening, Model и DOE Dialog. Дополнительные сведения об этих сценариях см. в разделе Создание таблицы.

Анализ результатов

Затем вы проводите эксперимент, записываете свои данные и приступаете к анализу результатов.

1. Выберите Help > Sample Data Library и откройте Design Experiment/Reactor 8 Runs.jmp.

Вы можете оценить семь эффектов за восемь прогонов. Из них вы ожидаете, что лишь немногие будут активны. Поскольку вы хотите оценить семь эффектов, у вас нет степеней свободы для ошибки. По этим причинам вы используете платформу Screening для анализа результатов.

2. Запустите сценарий скрининга в таблице данных.

Сценарий скрининга запускает платформу скрининга (DOE > Classical > Two Level Screening > Fit Two Level Screening) для вашего ответа и факторов.

Рисунок 9.25. Пример отчета о проверке

В отчете показаны как индивидуальные, так и одновременные p-значения, основанные на t-коэффициентах Lenth. Ни один из эффектов не является значительным, даже в отношении отдельных p-значений. Полунормальный график предполагает, что эффекты отражают только случайный шум.

Дополнительные сведения об отчете о проверке см. в разделе Отчет о проверке.

Превышена максимальная глубина рекурсии. Почему?

Возможно, вы столкнулись с ошибкой рекурсии Python при выполнении кода Python. Почему это происходит? Есть ли способ исправить эту ошибку?

Исключение Python RecursionError возникает, когда выполнение вашей программы превышает предел рекурсии интерпретатора Python. Два способа устранить это исключение — увеличить лимит рекурсии Python или рефакторинг вашего кода с использованием итерации вместо рекурсии.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы вы могли понять, как это работает.

Рекурсия начинается!

Содержание

RecursionError: превышена максимальная глубина рекурсии при сравнении

Давайте создадим программу для вычисления факториала числа по следующей формуле:

 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 

Напишите функцию с именем factorial, а затем используйте операторы print для вывода значения факториала для нескольких чисел.

 факториал по умолчанию (n):
    если п == 0:
        вернуть 1
 еще:
 return n*factorial(n-1) 

Это рекурсивная функция…

Рекурсивная функция — это функция, которая вызывает сама себя. Рекурсия не специфична для Python, это концепция, общая для большинства языков программирования.

Вы можете видеть, что в операторе else оператора if else мы вызываем факториальную функцию, передавая n-1 в качестве параметра.

Выполнение функции продолжается до тех пор, пока n не станет равным 0.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы вычислим факториал для двух маленьких чисел:

, если __name__ == '__main__':
    print("Факториал 4: {}".format(factorial(4)))
    print("Факториал числа 5: {}".format(factorial(5)))
[выход]
Факториал 4: 24
Факториал числа 5: 120 

После проверки того, что __name__ равно ‘__main__’, мы печатаем факториал для двух чисел.

Все хорошо.

Но вот что произойдет, если мы вычислим факториал 1000…

 print("Факториал 1000: {}".format(factorial(1000)))
[выход]
Traceback (последний последний вызов):
Файл "recursion_error.py", строка 9, в 
print("Факториал 1000: {}".format(factorial(1000)))
Файл "recursion_error.py", строка 5, в факториале
вернуть n * факториал (n-1)
Файл "recursion_error.py", строка 5, в факториале
вернуть n * факториал (n-1)
Файл "recursion_error.py", строка 5, в факториале
вернуть n * факториал (n-1)
[Предыдущая строка повторяется 99еще 5 раз]
Файл "recursion_error. py", строка 2, в факториале
если п <= 1:
RecursionError: превышена максимальная глубина рекурсии в сравнении 

Ошибка RecursionError возникает из-за того, что интерпретатор Python превысил разрешенный предел рекурсии.

Причина, по которой интерпретатор Python ограничивает количество раз, которое может выполняться рекурсия, заключается в том, чтобы избежать бесконечной рекурсии и, следовательно, избежать переполнения стека.

Давайте посмотрим, как узнать, что такое предел рекурсии в Python и как его обновить.

Что такое предел рекурсии в Python?

Откройте оболочку Python и используйте следующий код, чтобы увидеть значение ограничения рекурсии для интерпретатора Python:

 >>> import sys
>>> печать (sys.getrecursionlimit())
1000 

Интересно… предел 1000.

Чтобы увеличить предел рекурсии до 1500, мы можем добавить следующие строки в начале нашей программы:

 import sys
sys. setrecursionlimit(1500) 

Если вы сделаете это и попытаетесь снова вычислить факториал 1000, вы получите длинное число (ошибок больше не будет).

 Факториал 1000:
.......835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 

Это хорошо! Но…

…это решение могло бы сработать, если, как в этом случае, мы очень близки к пределу рекурсии и мы вполне уверены, что наша программа не будет использовать слишком много памяти в нашей системе.

Как перехватить ошибку рекурсии Python

Одним из возможных вариантов обработки исключения RecursionError является использование try exclude.

Позволяет предоставлять чистое сообщение при выполнении вашего приложения вместо отображения неясного и подробного исключения.

Измените «main» вашей программы следующим образом:

 if __name__ == '__main__':
    пытаться:
 print("Факториал 1000: {}". format(factorial(1000)))
 кроме RecursionError как re:
 print("Невозможно вычислить факториал. Число слишком большое") 

Примечание : перед выполнением программы не забудьте прокомментировать строку, которую мы добавили в предыдущем разделе, что увеличивает предел рекурсии для интерпретатора Python.

Теперь выполните код…

Вы получите следующее при вычислении факториала для 1000.

 $ python recursion_error.py
Невозможно вычислить факториал. Номер слишком большой. 

Определенно намного чище, чем длинная трассировка исключений.

Интересно, что если мы запустим нашу программу с Python 2.7, вывод будет другим:

 $ python2 recursion_error.py
Traceback (последний последний вызов):
 Файл "recursion_error.py", строка 13, в 
 кроме RecursionError как re:
NameError: имя «RecursionError» не определено 

Мы получаем исключение NameError, поскольку исключение типа RecursionError не определено.

Глядя на документацию Python, я вижу, что ошибка вызвана тем фактом, что исключение RecursionError было введено только в Python 3.5:

Итак, если вы используете версию Python старше 3.5, замените RecursionError на RuntimeError. .

 если __name__ == '__main__':
пытаться:
print("Факториал 1000: {}".format(factorial(1000)))
кроме RuntimeError как re:
print("Невозможно вычислить факториал. Слишком большое число.") 

Таким образом, наше приложение Python отлично работает с Python2:

 $ python2 recursion_error.py
Невозможно вычислить факториал. Номер слишком большой. 

Как остановить бесконечную рекурсию в Python?

Как мы уже видели, использование рекурсии в Python может привести к ошибке рекурсии.

Как предотвратить бесконечную рекурсию? Это вообще то, о чем мы должны беспокоиться в Python?

Во-первых, как вы думаете, может ли код, который мы написали для вычисления факториала, вызвать бесконечную рекурсию?

Давайте еще раз посмотрим на функцию. ..

 def factorial(n):
    если п == 0:
        вернуть 1
 еще:
 return n*factorial(n-1) 

Эта функция не может вызвать бесконечную рекурсию, поскольку ветвь if не выполняет рекурсивный вызов . Это означает, что выполнение нашей функции в конечном итоге останавливается.

Мы создадим очень простую рекурсивную функцию, у которой нет ветви, нарушающей рекурсию…

 def recursive_func():
    рекурсивная_функция()
рекурсивная_функция() 

Когда вы запускаете эту программу, вы получаете сообщение «RecursionError: превышена максимальная глубина рекурсии».

 $ Python recursion_error2.py
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "recursion_error2.py", строка 4, в 
  рекурсивная_функция()
  Файл "recursion_error2.py", строка 2, в recursive_func
  рекурсивная_функция()
  Файл "recursion_error2.py", строка 2, в recursive_func
  рекурсивная_функция()
  Файл "recursion_error2.py", строка 2, в recursive_func
  рекурсивная_функция()
  [Предыдущая строка повторяется 9еще 96 раз]
RecursionError: превышена максимальная глубина рекурсии 

Итак, теоретически эта программа могла вызвать бесконечную рекурсию, на практике этого не произошло, потому что ограничение глубины рекурсии , установленное интерпретатором Python, предотвращает возникновение бесконечной рекурсии .

Как преобразовать рекурсию Python в итеративный подход

Использование рекурсии — не единственный возможный вариант. Альтернативой для решения RecursionError является использование цикла Python while.

По сути, мы переходим от рекурсии к итерации.

 факториал по умолчанию (n):
    факториал = 1
 при n > 0:
 факториал = факториал*n
 п = п - 1
 return factorial 

Сначала мы устанавливаем значение факториала равным 1, а затем на каждой итерации цикла while мы:

  • Умножаем последнее значение факториала на n
  • Уменьшаем n на 1

Выполнение цикла while цикл продолжается до тех пор, пока n больше 0,

Я хочу убедиться, что эта реализация факториала возвращает те же результаты, что и реализация, использующая рекурсию.

Итак, давайте определим список Python, содержащий несколько чисел. Затем мы вычислим факториал каждого числа, используя обе функции, и сравним результаты.

Мы используем цикл for Python для просмотра каждого числа в списке.

Наша программа завершается, как только факториалы, вычисленные двумя функциями для заданного числа, не совпадают.

 факториал по умолчанию (n):
 факториал = 1
 при n > 0:
 факториал = факториал*n
 п = п - 1
 вернуть факториал
определение рекурсивного_факториала (n):
 если п == 0:
 вернуть 1
 еще:
 вернуть n * факториал (n-1)
числа = [4, 9, 18, 23, 34, 56, 78, 88, 91, 1000]
для числа в цифрах:
 если факториал(число) != рекурсивный_факториал(число):
 print("ОШИБКА: факториалы, вычисленные двумя функциями для числа {}, не совпадают.".format(number))
print("УСПЕХ: факториалы, вычисленные двумя функциями, совпадают") 

Давайте запустим нашу программу и посмотрим, что мы получим:

 $ python factorial.py
УСПЕХ: Факториалы, вычисленные двумя функциями, совпадают с 

Отлично!

Наша реализация факториала с использованием итеративного подхода работает хорошо.

Заключение

В этом руководстве мы рассмотрели, почему в Python возникает ошибка RecursionError и как ее можно исправить.

У вас есть два варианта:

  • Увеличьте значение ограничения рекурсии для интерпретатора Python.
  • Использовать итерацию вместо рекурсии.

Какой из них вы собираетесь использовать?

Похожие сообщения:

Клаудио Сабато

Я технический руководитель, инженер-программист и тренер по программированию. Я хочу помочь вам стать суперразработчиком!

Высшая степень числа в факториале

В этом посте мы рассмотрим советы и методы вычисления высшей степени числа в факториале. Мы начнем с понимания важной концепции, называемой функцией наибольшего целого числа, которая требуется для вычисления максимальной мощности в факториале. После этого мы рассмотрим технику вычисления наибольшей степени числа N в факториале в зависимости от того, является ли число N простым или составным.

В конце этого поста у нас есть викторина на эту тему. Пройдите этот тест, чтобы проверить свое понимание.

Кроме того, после того, как вы закончите этот пост, пожалуйста, сообщите нам, если вы нашли этот пост полезным с вашим комментарием. Заранее спасибо.

Видео:
Что такое факториал?

Факториал числа n равен

$n! = n$ x $(n-1)$ x $(n-2)$ x $(n-3)…2$ x $1$.

Например, факториал 4 равен 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24

Теперь, учитывая число x, как нам найти наибольшую степень x в n! ? Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала понять концепцию наибольшей целочисленной функции.

Функция наибольшего целого числа:

Если x является целым числом, то функцией наибольшего целого числа от x является наибольшее целое число, меньшее или равное x. Он представлен как [x]

Пример :

1. Наибольшее целое число меньше или равно 2,1 => [2,1] = 2

2. [1,9] = 1 94}] + …$

=> $[\frac{50}{3}] + [\frac{50}{9}] + [\frac{50}{27}] +[\frac{50} {81}] + …$

=> 16 + 5 + 1 + 0

=> 22

Наибольшая степень составного числа в факториале

Чтобы вычислить наибольшую степень составного числа в факториале, мы сначала представить составное число в виде произведения простых чисел. Среди этих простых множителей наибольшая степень наибольшего простого множителя будет равна наибольшей степени этого составного числа. Давайте посмотрим на это с помощью следующих примеров.

Пример 4: Высшая степень 15 из 24!

Шаг 1: Выразите 15 через его простые множители

15 = 3 x 5

Шаг 2: Среди двух простых множителей максимум большего простого числа всегда будет меньше максимума меньшего простого множителя . Соответственно, среди простых множителей 3 и 5 наивысшая степень 5 из 24! будет меньше высшей степени 3 в 24!.

Отсюда высшая степень 15 в 24! будет равно наибольшей степени числа 5 в 24! 92}$]

= 4 + 0 = 4

Отсюда самая высокая степень 15 в 24! = 4

Пример 5: Найдите максимальную степень числа 6, на которую можно разделить 120! без остатка!

Шаг 1: Выразите 6 через его простые множители

6 = 2 x 3

Шаг 2: Среди простых множителей 2 и 3 наибольшая степень числа 3 из 120! будет меньше высшей степени 2 в 120!.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.