Решение задач по математической статистике и теории вероятности: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике — Образовательная платформа «Юрайт». Для вузов и ссузов.

  • Скопировать в буфер библиографическое описание

    Гмурман, В. Е.  Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. — 11-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 406 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08389-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/449645 (дата обращения: 20.09.2022).

  • Добавить в избранное

11-е изд.

, пер. и доп. Учебное пособие для вузов

  • Нравится
  • 12 Посмотреть кому понравилось
  • Поделиться
    • Описание
    • Программа курса
    • Видео: 1
    • Выбор редакции
    • Нет в мобильном приложении
    Ознакомиться
    • Аннотация
    • Программа курса
    • Медиаматериалы 1
    • Комплекты 1

    Пособие является органичным дополнением к соответствующему учебнику по теории вероятностей и математической статистике и содержит весь основной материал программы.

    В начале каждого параграфа приведены необходимые теоретические сведения и формулы. Большое внимание уделено методам статистической обработки экспериментальных данных. Задачи для самостоятельного контроля расположены в порядке постепенного возрастания трудности их решения. Ко всем задачам имеются ответы, а к части задач указания.

    Решение задач по Теории вероятностей

    Хочешь заказать решение задач? Выбери тему по теории вероятностей и оформи заказ.

    Темы заданийСрок, отЦена, отЗаказ
    Теория вероятности (вуз НГТУ)5 дн.715 р.Заказать
    Теория вероятности (вуз НГТУ)6 дн.770 р.Заказать
    Решение задач тер вер нгту6 дн.798 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Решение задач тер вер нгту2 дн.550 р. Заказать
    ТВ №23 дн.578 р.Купить
    ТВ №1 по теории вероятностей3 дн.605 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: ТВ и МС4 дн.633 р.Под заказ
    Теория вероятностей: Теория вероятностей и мат. статистика4 дн.660 р.Заказать
    Гмурман. Задача № 1. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике4 дн.688 р.Купить
    Решение задач по теории вероятностей: Гмурман. Задача № 3. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике5 дн.715 р.Заказать
    Гмурман. Задача № 2. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике по теории вероятностей5 дн.743 р.Заказать
    Гмурман. Задача № 5. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике6 дн.770 р.Заказ
    Решение задач по теории вероятностей: Гмурман. Задача № 4. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике6 дн.798 р.Под заказ
    Гмурман. Задача № 6. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике62 дн.550 р.Заказать
    Теория вероятностей: Гмурман. Задача № 10. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике3 дн.578 р.Заказать
    Гмурман. Задача № 8. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике по теории вероятностей3 дн.605 р.Заказать
    Гмурман. Задача № 7. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике4 дн.633 р. Купить
    Гмурман. Задача № 9. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике4 дн.660 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Задача Из бригады в 14 врачей человек ежедневно в течении 7 дн4 дн.688 р.Под заказ
    Задача Найти вероятность того, что в 6-значном5 дн.715 р.Заказать
    Теория вероятности и математическая статистика. Сборник полностью готовых решений. Все курсы. по теории вероятностей5 дн.743 р.Купить
    Теория вероятностей: Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут только 3 семени?6 дн.770 р.Заказать
    Компьютерный курс МАИ ТВИМС6 дн.798 р.Заказ
    Задача В лифт на цокольном этаже входят 5 человек. 2 дн.550 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Задача Сколько раз надо двукратно подбросить монету,3 дн.578 р.Под заказ
    Экзаменационная работа, СибГУТИ, 11 вариант по теории вероятностей3 дн.605 р.Заказать
    Контрольная работа по теории вероятностей4 дн.633 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: вариант 64 дн.660 р.Заказать
    Теория вероятностей: расчет по ТВИМС для задачи с подбрасыванием 12 монет4 дн.688 р.Купить
    Задачи по теории вероятнсти5 дн.715 р.Заказать
    Типовой расчет по теории вероятности по теории вероятностей5 дн.743 р.Под заказ
    Готовое решение задания по теории игр6 дн.770 р.Заказать
    Готовое решение задания по теории игр6 дн. 798 р.Купить
    Решение задач по теории вероятностей: Найти корреляционную функцию случайного процесса e(t)=sin(wt q)2 дн.550 р.Заказ
    твимс3 дн.578 р.Заказать
    Теория вероятностей: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» вариант №8 для студентов НИМБ3 дн.605 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Из коробки содержащий 3 различных белых и 7 различных красных шаров,4 дн.633 р.Под заказ
    Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей для трех событий4 дн.660 р.Заказать
    В первой урне 3 белых и 8 черных шаров, а во второй урне 7 белых и 5 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй –3 ша4 дн.688 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Из последовательности 2,2,3,4,5,6,7,7 наугад берут одну цифру:5 дн. 715 р.Заказать
    Пять студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9 незнание с вероятностью 0 по теории вероятностей5 дн.743 р.Купить
    Стрелок имеет три патрона и стреляет до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Какова вероятность, что число произведенных6 дн.770 р.Заказать
    Теория вероятностей: Имеются две урны с шарами. В 1-й находиться 3 белых и 4 черных шара, во второй — 2 белых и 3 черных. Из первой урны был утерян один шар, неизвестно ка6 дн.798 р.Под заказ
    в урне содержиться 5 белых и 6 черных шаров. Наудачу отобрали шара. Рассматриваются события: a={появится хотя бы один белый шар }, b={появились шары р2 дн.550 р.Заказать
    Левши составляют в среднем 1% населения. Какова вероятность того, что среди 200 человек не более 3 левшей?3 дн. 578 р.Заказ
    Производиться два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равно p1=0,6, при втором выстреле p2=0,4. Рассматривается по теории вероятностей3 дн.605 р.Заказать
    Каждый из десяти аспирантов группы случайным образом и независимо от остальных выбирает один из четырех дней наступающей недели (понедельник, вторник,4 дн.633 р.Заказать
    Случайная величина x — число выпадений герба, а случайная величина y — число выпадений цифры при трех подбрасываниях симметричной монеты, построить та4 дн.660 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Какова вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изделий окажется не более 5 некачественных, если некачественные изделия составляют 2% всей проду4 дн.688 р.Под заказ
    Теория вероятностей: Теоретические вопросы из билета 22 МТУСИ экзамен5 дн. 715 р.Заказать
    Известны законы распределения величин x,y и задана плотность распределения системы двух случайных величин по теории вероятностей5 дн.743 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: Случайные величины Х и У независимы. Найти дисперсию, мат.ожидание и законы распределения6 дн.770 р.Заказать
    Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрми а и б.6 дн.798 р.Купить
    Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x) с модулем2 дн.550 р.Заказать
    Решение задач по теории вероятностей: решенная задача по теории вероятности3 дн.578 р.Под заказ
    Решение задач на другую темуЗаказать

    Решение задач по теории вероятностей на заказ у экспертов с официальным договором и гарантией высокой оценки.

    * Указана ориентировочная стоимость. Для расчета точной цены заполните заявку.

    1 2 Страница 1 из 2

    Другие заказы

    Заказать самостоятельную работу (6)

    Дополнительные предметы

    Решение задач по логистике (29)
    Решение задач по инвестициям (49)

    Решение задач по математике


    Теория вероятностей и математическая статистика.

    Год издания: 1979 Количество страниц: 496 Размер файла: 3.6 Мб Формат книги: djvu

    Пугачёв Владимир Семенович

    В книге изложены основы теории вероятностей и математической статистики. В первых пяти главах дается достаточно строгое изложение основ теории вероятностей в рамках конечномерных случайных величин на основе традиционных курсов математического анализа и линейной алгебры.

    В последующих пяти главах изложены основы математической статистики: точечное и интервальное оценивание параметров распределений, плотностей и функций распределения, общая теория оценок, метод стохастических аппроксимаций, методы построения статистических моделей.

    Книга предназначена для студентов и аспирантов факультетов прикладной математики вузов и для инженеров.


    Теория вероятностей.

    Год издания: 1986 Количество страниц: 432 Размер файла: 23.8 Мб Формат книги: djvu

    А. Л. Боровков

    В основу положен курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на математическом факультете Новосибирского университета (шестой семестр).

    Первое издание вышло в 1076 г. Второе издание значительно переработано и дополнено. Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и кончая элементами теории случайных процессов.

    Для студентов и аспирантов университетов и вузов, а также для специалистов, желающих изучать теорию вероятностей самостоятельно.


    Теория вероятностей.

    Год издания: 1927 Количество страниц: 367 Размер файла: 4.5 Мб Формат книги: djvu

    С.Н.Бернштейн

    «Курс теории вероятностей» Бернштейна по отзывам весьма многих специалистов является выдающимся произведением мировой теоретико-вероятностной литературы. Этот курс написан Сергеем Натановичем Бернштейном на основе его собственной аксиоматики (первое аксиоматическое построение теории вероятностей было выполнено Бернштейном еще в 1917 г.). Курс Бернштейна содержит целый ряд оригинальных исследований автора, большое число весьма интересных задач, и думается, что он до сих пор не утратил своего значения и может быть полезен всем, кто интересуется теорией вероятностей.

    Теория вероятностей и математическая статистика.

    Год издания:2004 Количество страниц: 461 Размер файла: 6.5 Мб Формат книги: djvu

    А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз

    Перед вами — расширенный учебник по теории вероятностен и математической статистике. Традиционный материал пополнен такими вопросами, как вероятности комбинаций случайных событий, случайные блуждания, линейные преобразования случайных векторов, численное нахождение нестационарных вероятностей состояний дискретных марковских процессов, применение методов оптимизации для решения задач математической статистики, регрессионные модели. Главное отличие предлагаемой книги от известных учебников и монографий по теории вероятностен и математической статистике заключается в ее ориентации на постоянное использование персонального компьютера при изучении материала. Изложение сопровождается многочисленными примерами решения рассматриваемых задач в среде пакетов Mathcad и STATISTICA. Книга написана на основе более чем тридцатилетнего опыта авторов в преподавании дисциплин теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов для студентов различных специальностей высших учебных заведении.

    Представляет практический интерес как для студентов и преподавателей вузов, так н для всех, кто интересуется применением современных вероятностно-статистических методов.


    Теория вероятностей. Детализированный конспект.

    Год издания: 2002 Количество страниц: 98 Размер файла: 4.2 Мб Формат книги: djvu

    Ю.Д. Максимов

    Справочник по одномерным непрерывным распределениям

    Пособие соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам дисциплины «Математика» бакалаврской подготовки всех общетехнических и экономических направлений.

    Представляет собой детализированный конспект лекции по теории вероятностей. в основном соответствующий опорному конспекту (выпуск 7 серии опорных конспектов по математике, выпущенных издательством СПбГТУ). В отличие от опорного конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте, и дан справочник по одномерным непрерывным распределениям.

    Пособие предназначено для студентов второго курса общетехнических факультетов и экономических специальностей. Может быть использовано также для направления «Техническая физика».


    Лекции по математике: Вероятность, информация, статистика.

    Год издания: 2005 Количество страниц: 216 Размер файла: 3.2 Мб Формат книги: djvu

    Босс В.

    Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения. Объяснения лаются «человеческим языком» — лаконично и доходчиво. Значительное внимание уделяется мотивации результатов. Помимо классических разделов теории вероятностей освещается ряд новых направлений: нелинейный закон больших чисел, асимптотическое агрегирование. Изложение сопровождается большим количеством примеров и парадоксов, способствующих рельефному восприятию материала. Затрагиваются многие прикладные области: управление запасами, биржевые игры, массовое обслуживание, страховое дело, стохастическая аппроксимация, обработка статистики. Несмотря на краткость, достаточно полно излагается теория информации с ответвлениями «энтропийно-термодинамического» характера. Охват тематики достаточно широкий, но изложение построено так, что можно ограничиться любым желаемым срезом содержания. Книга легко читается.

    Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.

    Cтраницы:   ← предыдущая  1 2 3 4   следующая →

    Проблемы в теории вероятности, математической статистике и теории случайных функций с A.

    A. Sveshnikov — Ebook

    Проблемы в

    Теория вероятности,

    Математическая статистика

    и теория

    Случайные функции

    Проблемы в

    .

    Математическая статистика

    и теория

    Случайные функции

    Под редакцией А. А. СВЕШНИКОВА

    Перевод Scripta Technica, Inc.

    Под редакцией Бернарда Р. Гелбаума

    DOVER PUBLICATIONS, INC.

    Все права защищены Панамериканской и Международной конвенциями об авторском праве.

    Это дуврское издание, впервые опубликованное в 1978 г., представляет собой несокращенное и неизмененное переиздание английского перевода, первоначально опубликованного компанией W. B. Saunders Company в 1968 г.65 под названием Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.

    Международный стандартный номер книги: 0-486-63717-4

    Номер карточки каталога Библиотеки Конгресса: 78-57171

    Изготовлено в Соединенных Штатах Америки

    East Publications, Inc. , Dover 2nd Street, Mineola, NY 11501

    Предисловие

    Студенты всех уровней изучения теории вероятностей и теории статистики найдут в этой книге широкий и глубокий анализ проблем (и их решения), начиная от простейших комбинаторных вероятностных задач в конечных выборочных пространствах и заканчивая теорией информации, предельными теоремами и использованием моментов.

    Введение к разделам каждой главы устанавливает основные формулы и обозначения и дает общий набросок той части теории, которая должна быть охвачена последующими проблемами. Каждой группе задач предшествуют типичные примеры и их решения, выполненные очень подробно. Каждый из них связан с самими проблемами, так что учащийся, ищущий руководства в решении проблемы, может, проверив примеры, обнаружить подходящую технику, необходимую для решения.

    Бернард Р. Гелбаум

    Содержание

    I. Случайные события

    1. Отношения между случайными событиями

    2. Прямой метод оценивания. Проблема

    777777777. 2. Непосредственный метод для оценки вероятности

    7777777777777777777777777777777777777777777777777777777 гг.

    4. Условная вероятность. Теорема умножения для вероятностей

    5. Теорема сложения для вероятностей

    6. Формула полной вероятности

    7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)

    8. Оценка вероятностей появления события в повторных независимых испытаниях

    , Полиномиальное распределение. Формулы рекурсии. Генерирующие функции

    II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

    10. Ряд распределения вероятностей, полигон распределения и функция распределения дискретной случайной величины

    11. Функция распределения и функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

    12. Численные характеристики дискретных случайных величин

    13. Численные характеристики непрерывных случайных величин 9007’s 4.1

    3 900 закон

    15. Закон нормального распределения

    16. Характеристические функции

    17. Вычисление полной вероятности и плотности вероятности через условную вероятность

    III. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

    18. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин

    19. Нормальный закон распределения на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение

    20. Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределения

    IV. ЧИСЛЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

    21. Численные характеристики функций случайных величин

    22. Законы распределения функций случайных величин

    23. Характеристические функции систем и функции случайных величин

    законов распределения

    25. Линеаризация функций случайных величин

    26. Свертка двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векторов отклонений

    V. ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ

    27. Энтропия случайных событий и величин

    28. Количество информации

    VI. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

    29. Закон больших чисел

    30. Теоремы де Муавра-Лапласа и Ляпунова

    VII. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

    31. Общие свойства корреляционных функций и законы распределения случайных функций

    32. Линейные операции со случайными функциями.

    . системы

    36. Оптимальные динамические системы

    37. Метод огибающих

    VIII. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

    38. Марковские цепи

    39. Марковские процессы с дискретным числом состояний

    40. Непрерывные марковские процессы

    IX

    . МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

    41. Определение моментов случайных величин по экспериментальным данным

    42. Доверительные интервалы и доверительные интервалы

    43. Критерии согласия 3 9007 0002 44. Обработка данных с помощью метода наименьших квадратов

    45. Статистические методы контроля качества

    46. Определение характеристик вероятности случайных функций из экспериментальных данных

    Ответы и Солиции

    7777

    Ответы и Солиции 9000 3 777777777

    . ИСТОЧНИКИ ТАБЛИЦ, ССЫЛАЕМЫЕ В ТЕКСТЕ

    БИБЛИОГРАФИЯ

    УКАЗАТЕЛЬ

    I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

    1. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ0315

    Основные формулы

    Случайные события обычно обозначаются буквами A, B , C , …, U , V , где V 9002 обозначает событие, которое произойдет, а U невозможное событие. Равенство А = В означает, что наступление одного из событий неизбежно влечет за собой наступление другого. Пересечение двух событий A и B определяется как событие C = AB , что происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B . Объединение двух событий A и B является событием C = A B , которое, как говорят, происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A и B . Разность двух событий A и B , которая, как говорят, происходит тогда и только тогда, когда происходит A и B и A , что означает, что Ошибка не возникает. Два события называются взаимоисключающими, если AB = V . События AK ( K = 1, 2,…, N .

    Решение для типичных примеров

    Пример 1. 1 , какие события A и B будут удовлетворены равными A и B . A B = A ?

    РЕШЕНИЕ.Союз A B означает наступление хотя бы одного из событий А и В . Тогда для A B = A событие A должно включать событие B . Например, если A означает попадание в область SA , а B попадание в область SB , то SB лежит в пределах SA .

    Решение задач с 1.1 по 1.3 и 1.8 аналогично.

    Пример 1.2 Два случайных числа выбираются из таблицы случайных чисел. Если событие A означает, что по крайней мере одно из этих чисел является простым, а событие B — что хотя бы одно из них является четным числом, что означают события AB и A B ?

    РАСТВОР. Событие AB означает, что происходят оба события A и B . Событие A ∪ B означает, что произошло хотя бы одно из двух событий; то есть из двух выбранных чисел хотя бы одно число простое или одно четное, или одно число простое, а другое четное.

    Аналогично можно решить Задачи 1.4-1.7.

    Пример 1.3 .

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если C и D . Следовательно, достаточно доказать справедливость первого равенства.

    означает, что оба события A и B означают, что происходит хотя бы одно из этих событий: объединение A B . Доказательство этого равенства можно провести и геометрически, событие означает попадание точки в некоторую область.

    Аналогично можно решить Задачу 1.9. Равенства, доказанные в примере 1.3, используются при решении задач 1.10—1.14.

    Пример 1.4 Схема электрической цепи между точками М и N представлена ​​на Рис. события Bk ( k = 1, 2, 3) быть в том, что элемент bk вышел из строя. Напишите выражения для C где событие C означает разрыв цепи между M и N .

    РАСТВОР. Цепь разрывается между M и N , если элемент a или три элемента bk ( k = 1, 2, 3) вышли из строя. Соответствующие события: A и B 1 B 2 B 3. Следовательно, C = A B 1 B 20025 B 3.

    Используя равенства Примера 1.3, находим, что

    Аналогично можно решить Задачи 1.16–1.18.

    ПРОБЛЕМЫ

    1.1 Какое значение можно придать событиям А А и А А ?

    1.2 Когда выполняется равенство АВ = А ?

    1.3 Мишень состоит из 10 концентрических окружностей радиусом рк ( к = 1, 2, 3, …, 10). Событие Ак означает попадание внутрь окружности радиусом rk ( k = 1, 2, …, 10). Что означают следующие события:

    1.4 Рассмотрим следующие события: A , по крайней мере, одно из трех проверенных устройств неисправно, и B , что все устройства исправны. В чем смысл событий (а) А В (б) АВ ?

    РИСУНОК 1

    1.5 События A, B и C означают выбор хотя бы одной книги из трех разных собраний полных сочинений; каждый сборник состоит как минимум из трех томов. События As и Bk означают, что s томов взяты из первого сборника и k томов из второго сборника. Найдите смысл событий (а) А В С (б) ABC , (C) A 1 ∪ B 3, (D) A 2 B 2, (E) ( A 1 B 3 ∪ B 1 A 3 3 3 ∪ B 1 A 36 3 3 ∪ B 1 A 9002 ) С .

    1.6 Число выбирается случайным образом из таблицы случайных чисел. Пусть событие A состоит в том, что выбранное число делится на 5, и пусть событие B .

    1.7 Пусть событие A состоит в том, что хотя бы одно из четырех изделий неисправно, и пусть событие Б .

    1.8 Упростите выражение

    .

    1.9 Когда выполняются равенства: (а) А В , (б) АВ , (в) А В =

    2 АВ ?

    1.10 Из следующего равенства найти случайное событие X:

    1.12 Докажите, что следующие два равенства эквивалентны:

    1.13 Могут ли события A быть одновременными?

    1.14 Докажите, что A B образуют полный набор событий.

    1.15 Два шахматиста играют в одну партию. Пусть событие A означает, что выигрывает первый игрок, а событие B означает, что выигрывает второй игрок. Какое событие нужно добавить к этим событиям, чтобы получить полный набор?

    1. 16 Установка состоит из двух котлов и одного двигателя. Пусть событие А пусть двигатель исправен, пусть Бк ( к = 1, 2) пусть к -й котел исправен, и пусть С будет что установка может работать, если двигатель и как минимум один из котлов исправны. Выразите события C через A и Bk .

    1.17 Судно имеет рулевой привод, четыре котла и две турбины. Пусть событием А будет то, что рулевой механизм исправен, пусть Bk ( k = 1, 2, 3, 4) пусть котел с маркировкой k в хорошем состоянии, пусть Cj ( j = 1, 2) будь то турбина с маркировкой j находится в хорошем состоянии, и пусть D будет означать, что судно может выйти в море, если двигатель, хотя бы один из котлов и хотя бы одна из турбин исправны. Экспресс Д через А и Бк .

    1.18 Устройство состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Пусть Ак ( к = 1, 2) пусть к -й агрегат первого типа в хорошем состоянии, пусть Бж ( j = 1, 2, 3) пусть j й блок второго типа исправен, и пусть C означает, что устройство может работать, если хотя бы один блок первого типа и хотя бы два блока второго типа исправны. Выразите событие C через Ak и Bj .

    2. ПРЯМОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

    Основные формулы

    Если результаты эксперимента образуют конечное множество из n элементов, мы будем говорить, что исходы равновероятны, если вероятность каждого исхода составляет 1/ n . Таким образом, если событие состоит из m исходов, вероятность события равна p = m/n .

    РЕШЕНИЕ ДЛЯ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

    Пример 2.1 Кубик с окрашенными гранями разбит на 1000 маленьких кубиков одинакового размера. Полученные таким образом кубики тщательно перемешивают. Найти вероятность того, что у случайно взятого кубика две цветные грани.

    РЕШЕНИЕ. Общее количество маленьких кубиков равно n = 1000. У куба 12 ребер, так что на каждом ребре восемь маленьких кубиков с двумя цветными гранями. Отсюда м = 12·8 = 96, р = м/п = 0,096.

    Аналогично можно решить Задачи 2.1-2.7.

    Пример 2.2 Найдите вероятность того, что две последние цифры куба случайного целого числа будут равны 1. ¹

    РЕШЕНИЕ. Представлять N в виде N = a + 10 b + ··· , где a , b , … — произвольные числа от 0 до 9. Тогда N 0 ³5 = a ³ + 30 a ² b + ···. Отсюда мы видим, что на две последние цифры N ³ влияют только значения a и b . Следовательно, число возможных значений равно n = 100. Поскольку последняя цифра N ³ равна 1, существует одно благоприятное значение a = 1. При этом последняя цифра ( N ³ – 1)/10 должна быть 1; т. е. произведение 3b должно оканчиваться на 1. Это происходит только в том случае, если b = 7. Таким образом, благоприятное значение ( a = 1, b = 7) единственно и, следовательно, p = 0,01.

    Аналогично можно решить Задачи 2.8-2.11.

    Пример 2.3 Из партии n изделий тыс. бракованных. Найти вероятность того, что / единиц из случайной выборки размером m выбранных для проверки дефектны.

    РАСТВОР. Количество возможных способов выбрать m предметов из n . Благоприятными считаются те случаи, в которых (1) бракованных изделий среди (к) способов), а остальные (т — 1 () изделий являются исправными, т.

    Аналогично можно решить Задачи 2. 12-2.20.

    Пример 2.4 Из полного набора костяшек вынимают пять фишек. Найти вероятность того, что хотя бы на одном из них будет отмечено шесть точек.

    РАСТВОР. Найдите вероятность q дополнительного события. Тогда p = 1 – q . Вероятность того, что на всех пяти фигурах не будет шестерки (см. и, следовательно,

    Аналогичным переходом к дополнительному событию можно решить Задачи 2.21 и 2.22.

    ЗАДАЧИ

    2.1 Продаются лотерейные билеты на общую сумму n долларов. Стоимость одного билета составляет р долларов, а м всех билетов несут ценные призы. Найти вероятность того, что один билет выиграет ценный приз.

    2.2 Случайно выбранная костяшка домино не является двойной. Найти вероятность того, что вторая часть, также выбранная наугад, совпадет с первой.

    2.3 В колоде из 36 карт четыре масти. Из колоды вытягивается одна карта и возвращается в нее. Затем колода тщательно перемешивается и вытягивается еще одна карта. Найдите вероятность того, что обе вытянутые карты принадлежат одной масти.

    2.4 Буквенный кодовый замок содержит пять дисков на общей оси. Каждый диск разделен на шесть секторов с разными буквами в каждом секторе. Замок может открыться только в том случае, если каждый из дисков занимает определенное положение по отношению к корпусу замка. Найти вероятность того, что замок откроется при произвольном сочетании букв.

    2.5 Черный и белый короли находятся соответственно в первом и третьем рядах шахматной доски. Ферзь ставится случайным образом на одну из свободных клеток первого или второго ряда. Найти вероятность того, что позиция черного короля станет матовой, если положения королей равновероятны на любых полях указанных рядов.

    2.6 В кошельке три четвертака и семь десятицентовиков. Из кошелька вынимается одна монета, а затем вторая монета, которая оказывается четвертью. Найти вероятность того, что первой вытащенной монетой будет четвертак.

    2.7 Из партии, содержащей м бракованных изделий и n исправных, для проверки качества наугад выбирают х изделий. В результате этой проверки выясняется, что первые k из s изделий исправны. Определить вероятность того, что следующий товар будет хорошим.

    2.8 Определить вероятность того, что случайно выбранное целое число N даст в результате (а) возведения в квадрат, (б) возведения в четвертую степень, (в) умножения на произвольное целое число, оканчивающееся на 1

    2.9 На 10 одинаковых карточках написаны разные числа от 0 до 9. Определить вероятность того, что (а) двузначное число, составленное наугад с данными карточками, будет делиться на 18, (б) случайная тройка — цифровое число будет делиться на 36.

    2.10 Найти вероятность того, что порядковый номер случайно выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если порядковый номер может быть любым пятизначным числом, начинающимся с 00001. . Найти вероятность того, что три заданные книги окажутся рядом друг с другом.

    2.12 Числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13 написаны соответственно на восьми неразличимых карточках. Две карты выбираются наугад из восьми. Найти вероятность того, что дробь, составленная из этих двух случайных чисел, является сократимой.

    2.13 Даны пять отрезков длиной 1, 3, 5, 7 и 9 единиц, найти вероятность того, что три случайно выбранных отрезка из пяти будут сторонами треугольника.

    2.14 Два из 10 билетов призовые. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых билетов: а) один призовой, б) два призовых, в) хотя бы один призовой.

    2.15 Это обобщение задачи 2.14. Есть n + m билетов, из которых n призовые. Кто-то одновременно покупает тыс. билетов. Найти вероятность того, что из из этих билетов будут выигрышными.

    2.16 В лотерее 90 номеров, пять из которых выигрышные. По договоренности можно поставить любую сумму на любой из 90 номеров или на любой набор из двух, трех, четырех или пяти номеров. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных случаев?

    2.17 Чтобы уменьшить общее количество игр, 2 9Команды 0025 n были разделены на две подгруппы. Найти вероятность того, что две сильнейшие команды окажутся: а) в разных подгруппах, б) в одной подгруппе.

    2.18 n человек сидят в зале, который может вместить n + k человек. Найти вероятность того, что m n заданных мест будут заняты.

    2.19 Из колоды в 52 карты случайным образом берутся три карты. Найдите вероятность того, что эти три карты — тройка, семерка и туз.

    2.20 Из колоды в 36 карт случайным образом берутся три карты. Найдите вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет считается за два очка, дама за три очка, король за четыре очка, туз за одиннадцать очков, а остальные за шесть, семерку, восемь, девять и десять баллов.

    2.21 Три билета выбираются случайным образом из пяти билетов по одному доллару каждый, трех билетов по три доллара каждый и двух билетов по пять долларов каждый. Найдите вероятность того, что (а) по крайней мере два из них имеют одинаковую цену, (б) все три стоят семь долларов.

    2.22 2 n детей стоят в очереди возле кассы, где продаются билеты по 5 центов каждый. Какова вероятность того, что никому не придется ждать сдачи, если до продажи билета первому покупателю у кассира было пятаков и равновероятно, что оплата за каждый билет производится пятаком или десять центов

    3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

    Основные формулы

    Геометрическое определение вероятности можно использовать только в том случае, если вероятность попадания в любую часть некоторой области пропорциональна размерам этой области (длине, площади, объему, и так далее) и не зависит от его положения и формы.

    Если геометрический размер всей области равен S , геометрический размер ее части равен SB , а благоприятным событием является попадание в SB , то вероятность этого события определяется как

    Домены могут иметь любое количество измерений.

    РЕШЕНИЕ ДЛЯ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

    Пример 3.1 Оси неразличимых вертикальных цилиндров радиуса r проходят через интервал l прямой линии AB , лежащей в горизонтальной плоскости. Мяч радиусом R брошен под углом q к этой прямой. Найти вероятность того, что этот шарик попадет в один цилиндр, если любая точка пересечения пути, описываемого центром шарика, с линией АВ равновероятна. ²

    РЕШЕНИЕ. Пусть x будет расстоянием от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению смещения центра шара. Возможные значения x определяются условиями ( Рисунок 2)

    Столкновение шара с цилиндром может произойти только при 0 ≤ x R + r .

    Искомая вероятность равна отношению между длиной отрезка, на котором лежат благоприятные значения x , и длиной отрезка, на котором лежат все значения x . Следовательно,

    Аналогично можно решить Задачи 3.1—3.4 и 3.24.

    Пример 3.2 На одной дорожке магнитной ленты 200 м. long записывается некоторая информация на интервале длиной 20 м., а на второй дорожке записывается аналогичная информация. Оцените вероятность того, что от 60 до 85 м. на ленте нет интервала без записи, если начала обеих записей расположены с равной вероятностью в любой точке от 0 до 180 м.

    РАСТВОР. Пусть x и y будут координатами начала записи, где х ≥ у . Поскольку 0 ≤ x ≤ 180, 0 ≤ y ≤ 180 и x y , область определения всех возможных значений x и y представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой180 м. Площадь этого треугольника S = 1/2·180² кв.м. Найдите область значений x и y , благоприятную для данного события. Для получения непрерывной записи необходимо, чтобы неравенство х у ≤ 20 м. придерживаться верного. Чтобы получить интервал записи больше или равный 25 м., мы должны иметь х – у ≥ 5 м. При этом для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 м. необходимо иметь х и у входят в треугольник, площадь которого SB = 1/2 · 15² кв.м. ( Рисунок 3). Искомая вероятность равна отношению площади SB , благоприятной для данного события, к площади области S , содержащий все возможные значения x и y , а именно

    Аналогично можно решить Задачи 3.5-3.15.

    Пример 3.3 Равновероятно, что два сигнала достигнут приемника в любой момент времени T . Приемник будет заглушен, если разница во времени приема двух сигналов меньше τ. Найти вероятность того, что приемник будет заглушен.

    РАСТВОР. Пусть x и y — это моменты, когда были получены два сигнала.

    РИСУНОК 4

    РИСУНОК 5

    Область определения всех возможных значений x, y представляет собой квадрат площадью T ² ( рис. 4). Приемник будет заглушен, если |x – y| ≤ τ. Данная область лежит между прямыми x – y = τ и x y = – τ . Его площадь равна

    и, следовательно,

    Аналогично можно решить Задачи 3.16-3.19.

    Пример 3.4 Найти вероятность того, что сумма двух случайных положительных чисел, каждое из которых не превосходит единицы, не превосходит единицы, а их произведение не превосходит 2/9.

    РАСТВОР. Пусть x и y будут выбранными числами. Возможные их значения: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, определяющие на плоскости квадрат площади S = 1. Благоприятные значения удовлетворяют условиям x + y ≤ 1 и xy ≤ 2/9. Граница x + y = 1 делит квадрат пополам, так что область x + y ≤ 1 представляет нижний треугольник ( рис. 5). Вторая граница xy = 2/9 является гиперболой. X точек пересечения этих границ: x 1 = 1/3 и x2 = 2/3. Площадь благоприятного домена

    Желаемая вероятность р = сб/с = 0,487.

    Аналогичным образом можно решить Задачи 3.20–3.23.

    ПРОБЛЕМЫ

    3.1 Обрыв в произвольной точке на телефонной линии AB длиной L . Найти вероятность того, что точка C находится на расстоянии не менее l от точки A .

    3.2 На плоскости проводят параллельные линии, чередующиеся на расстоянии 1,5 и 8 см. Оцените вероятность того, что круг радиусом 2,5 см. брошенные наугад на этой плоскости, не пересекаются ни с одной линией.

    3.3 По окружности радиусом R хорд проводят параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина случайно выбранной хорды не превысит R , если равновероятны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным заданному направлению?

    3.4 Перед диском, вращающимся с постоянной скоростью, поместим в плоскости диска отрезок длиной 2 h так, чтобы прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска, была перпендикулярна этот сегмент. В произвольный момент времени с диска вылетает частица. Оцените вероятность того, что частица попадет в сегмент, если расстояние между сегментом и центром диска равно л .

    3.5 Прямоугольная сетка изготовлена ​​из цилиндрических прутьев радиусом r . Расстояния между осями ветвей равны а и b соответственно. Найти вероятность того, что мяч диаметром d , брошенный без прицеливания, попадет в сетку за одну попытку, если траектория полета мяча перпендикулярна плоскости сетки.

    3,6 Прямоугольник 3 см. × 5 см. вписан в эллипс с полуосями а = 100 см. и б = 10 см. так что его большая сторона параллельна a . Кроме того, строят четыре круга диаметром 4,3 см. которые не пересекают эллипс, прямоугольник и друг друга.

    Определите вероятность того, что (а) случайная точка, положение которой равновероятно внутри эллипса, окажется внутри одной из окружностей, (б) окружности радиусом 5 см. построенный с центром в этой точке, будет пересекать хотя бы одну сторону прямоугольника.

    3.7 Начертите пять концентрических окружностей радиусом kr , где k = 1, 2, 3, 4, 5 соответственно. Закрасьте окружность радиусом r и два кольца с соответствующими внешними радиусами 3 r и 5 r . Затем случайным образом выберите точку в окружности радиусом 5 r . Найти вероятность того, что эта точка окажется в (а) окружности радиуса 2r, (б) в заштрихованной области.

    3.8 Лодка, перевозящая груз с одного берега бухты на другой, пересекает бухту за один час. Какова вероятность того, что судно, движущееся вдоль бухты, будет замечено, если судно видно с катера не менее чем за 20 мин до пересечения корабля с направлением движения катера и не более чем за 20 мин после пересечения корабля с направлением движения катера ? Все времена и места пересечения равновероятны.

    3.9 На отрезке длины l случайным образом выбираются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между точками меньше kl , если 0 < k < l .

    3.10 Две точки L и M расположены случайным образом на отрезке AB длиной l . Найти вероятность того, что точка L окажется ближе к M , чем к A .

    3.11 На отрезке длиной l случайным образом расположены две точки так, что отрезок делится на три части. Найти вероятность того, что эти три части отрезка являются сторонами треугольника.

    3.12 Три точки A , B , C расположены случайным образом на окружности радиусом R . Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?

    3.13 Три отрезка, каждый длиной не более l выбираются случайным образом. Какова вероятность того, что из них можно составить стороны треугольника?

    3.14 Две точки M и N расположены на отрезке AB длиной l . Найти вероятность того, что длина каждого из трех полученных отрезков не превышает заданного значения a ( l a ≥ 1/3).

    3.15 Автобус линии А прибывает на станцию ​​каждые четыре минуты и автобус линии B каждые шесть минут. Продолжительность интервала между прибытием автобуса линии A и автобуса линии B может составлять любое количество минут от нуля до четырех с равной вероятностью.

    Найти вероятность того, что (а) первый прибывший автобус принадлежит маршруту А, ( б) автобус любого маршрута прибывает в течение двух минут.

    3.16 Два корабля должны прибыть к одним и тем же причалам. Моменты прихода обоих судов независимы и равновероятны в течение заданного 24-часового периода. Оцените вероятность того, что одному из кораблей придется ждать освобождения причалов, если время стоянки первого корабля составляет один час, а второго – два часа.

    3. 17 Два человека имеют одинаковую вероятность прибыть в определенное место в любой момент интервала T . Найти вероятность того, что время, в течение которого один человек будет ждать другого, не превосходит t .

    3.18 Два корабля плывут в тумане, один по бухте шириной L , а другой по той же бухте. Их скорости v 1 и v 2. Второй корабль издает звуки, слышимые на расстоянии д < л . Найти вероятность того, что звуки будут услышаны на первом корабле, если траектории двух кораблей с равной вероятностью могут пересечься в любой точке.

    3.19 Брусок длиной л = 200 мм. случайным образом разбивается на части. Найти вероятность того, что хотя бы один кусок между двумя точками излома имеет длину не более 10 мм. если количество точек останова равно (а) двум, (б) трем, и с равной вероятностью может произойти прорыв в любой точке бара.

    3.20 На поверхности сферы радиусом R выбраны две произвольные точки. Какова вероятность того, что дуга большого круга, проходящая через эти точки, составит угол меньше α , где α < π ?

    3.21 Спутник движется по орбите между 60 градусами северной широты и 60 градусами южной широты. Считая, что спутник может с равной вероятностью приводниться в любой точке земной поверхности между упомянутыми ранее параллелями, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30 градусов северной широты.

    3.22 Плоскость заштрихована параллельными линиями на расстоянии L между соседними линиями. Найти вероятность того, что брошенная наугад иголка длиной l , где l < L , пересечет некоторую прямую (задача Бюффона).

    3.23 Оцените вероятность того, что корни (а) квадратного уравнения х ² + 2 ах + b = 0, (б) кубического уравнения х ³ + 3 х ах0026 + 2 b = 0 действительны, если известно, что коэффициенты равновероятны в прямоугольнике | и | ≤ n , | б | ≤ м . Найти вероятность того, что при данных условиях корни квадратного уравнения окажутся положительными.

    3.24 Точка A и центр B окружности радиусом R независимо движутся в плоскости. Скорости этих точек постоянны и равны и и и . В данный момент расстояние AB равно r ( r > R ), а угол между линией AB и вектором v равен β . Предполагая, что все направления для точки A равновероятны, оцените вероятность того, что точка A окажется внутри круга.

    4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

    Основные формулы

    Условная вероятность P ( A | B ) события A есть вероятность A B 90. (Предполагается, что вероятность B положительна.) События A и B независимы, если P ( A | B ) = P ( A ). Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

    , которое, обобщенно для произведения n событий, равно

    События A 1 A 2, …, An называются независимыми, если для любых m , где 6 m = 6 m 2, 3, …, n , и любые kj ( j = 1, 2, …, n ), 1 ≤ k 1 < k 2 < ··· < км ≤ n ,

    РЕШЕНИЕ ДЛЯ ТИПИЧНЫХ ПРИМЕРОВ

    Пример 4.1 Разрыв в электрической цепи происходит при выходе из строя хотя бы одного из трех последовательно соединенных элементов. Вычислить вероятность того, что разрыв в цепи не произойдет, если элементы могут выйти из строя с соответствующими вероятностями 0,3, 0,4 и 0,6. Как изменится вероятность, если первый элемент никогда не выходит из строя?

    РАСТВОР. Требуемая вероятность равна вероятности того, что все три элемента работают. Пусть Ак ( k = 1, 2, 3) обозначают событие функционирования k -го элемента. Тогда p = P ( A 1 A 2 A 3). Поскольку события можно считать независимыми,

    Если первый элемент не вышел из строя, то

    Аналогично можно решить Задачи 4.1–4.10.

    Пример 4.2 Вычислите вероятность того, что случайно выбранный товар имеет первый сорт, если известно, что 4 % всей продукции являются бракованными, а 75 % исправных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

    Дано, что P ( A ) = 1 – 0,04 = 0,96, P ( B | A ) = 0,75.

    Требуемая вероятность p = P ( AB ) = (0,96)(0,75) = 0,72.

    Аналогично можно решить Задачи с 4.11 по 4.19.

    Пример 4.3 Партия из 100 наименований подвергается выборочной проверке. Вся партия бракуется, если из пяти проверенных изделий имеется хотя бы один бракованный. Какова вероятность того, что данная партия будет забракована, если она содержит 5 % бракованных изделий?

    РЕШЕНИЕ. Найти вероятность q дополнительного события A , состоящего в том, что лот будет принят. Данное событие является пересечением пяти событий A = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, где Ak ( k = 1, 2, 5 3, ) означает, что k -й проверенный элемент исправен.

    Вероятность события A 1 равна P ( A 1) = 95/100, так как предметов всего 100, из них 95 хороших.

    После наступления события А 1 осталось 99 предметов, из них 94 хороших и, следовательно, Р ( А 2 | А 1) = 94/99. Аналогично, P ( A 3 | A 1 A 2) = 93/98, P ( A 4 | A 1 A 2 A 3) = 1 A 2 A 3) = 92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/92/ A 2 A 3) = . 97 и P ( А 5 | А 1 А 2 А 3 А 4) = 91/96. По общей формуле находим, что

    Искомая вероятность p = 1 – q = 0,23.

    Аналогично можно решить Задачи с 4.20 по 4.35.

    ЗАДАЧИ

    4.1 Два стрелка, вероятность попадания в цель которых равна 0,7 и 0,8 соответственно, делают по одному выстрелу. Найти вероятность того, что хотя бы один из них попадет в цель.

    4.2 Вероятность того, что k -я единица компьютера равна

    Примеры и задачи по математической статистике — Цифровая библиотека Иллинойса

    Примеры и задачи по математической статистике — Цифровая библиотека Иллинойса — OverDrive

    Ошибка загрузки страницы.
    Попробуйте обновить страницу. Если это не сработает, возможно, возникла проблема с сетью, и вы можете использовать нашу страницу самопроверки, чтобы узнать, что мешает загрузке страницы.
    : Узнайте больше о возможных проблемах с сетью или обратитесь в службу поддержки за дополнительной помощью.


    Поиск Расширенный

    Обеспечивает необходимые навыки для решения задач по математической статистике с помощью теории, конкретных примеров и упражнений

    С четким и подробным подходом к основам статистической теории, Примеры и задачи по математической статистике однозначно устраняет разрыв между теорией и приложением и представляет многочисленные примеры решения задач, которые иллюстрируют соответствующие обозначения и проверенные результаты.

    Написанная признанным авторитетом в области вероятностной и математической статистики, каждая глава начинается с теоретического представления, чтобы представить как тему, так и важные результаты, чтобы помочь в общем понимании. Затем приводятся примеры, за которыми следуют проблемы и, наконец, решения некоторых из предыдущих проблем. Кроме того, примеров и задач по математической статистике Особенности:

  • Более 160 практических и интересных реальных примеров из различных областей, включая инженерию, математику и статистику, которые помогут читателям освоить решение теоретических задач
  • Более 430 уникальных упражнений с выбор решений
  • Ключевые темы статистического вывода, такие как теория вероятностей, статистические распределения, достаточная статистика, информация в выборках, проверка статистических гипотез, статистическая оценка, доверительные интервалы и интервалы допуска, теория больших выборок и байесовский анализ

    Рекомендуется для курсов выпускников по вероятностям и статистическим выводам, Примеры и задачи по математической статистике также является идеальным справочником для прикладных статистиков и исследователей.


  • Математика Документальная литература
    • Детали