Предел функции в точке и на бесконечности
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Тема: Предел функции в
точке и на бесконечности
Цели обучения:
10.4.1.8 – знать определение предела функции в точке и уметь вычислять его
10.4.1.9– знать определение предела функции на бесконечности и уметь вычислять его
Классическое определение предела
функции на языке «Эпсилон-Дельта»
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x x0 ),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство: f ( x) A
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x) A
x x0
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
Формулировка теорем, когда x x0 или x аналогичны, поэтому
будем пользоваться обозначением: lim f ( x ) .
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1 ( x) f 2 ( x) lim f1 ( x) lim f 2 ( x)
Предел произведения двух функций равен произведению пределов:
lim f1 ( x) f 2 ( x) lim f1 ( x) lim f 2 ( x)
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f ( x) C lim f ( x)
Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f1 ( x) lim f1 ( x)
lim
f 2 ( x) lim f 2 ( x)
lim
f 2 ( x) 0
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени
предела:
lim f ( x) lim f ( x)
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x)
g ( x)
lim f ( x)
lim g ( x )
Способы вычисления пределов
• Непосредственной подстановкой.
• Разложение числителя и знаменателя на множители и
сокращение дроби.
• Умножение на сопряженные выражения, с целью
избавления от иррациональности.
• Деление на старшую степень.
Вычисление пределов
Вычисление предела:
lim
f
(
x
)
A
x x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановке предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0
Вычисление пределов
Часто при подстановке получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются
неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется
раскрытие неопределенности.
English Русский Правила
Методические рекомендации к самостоятельной работе.
Тренажер по теме: «Предел функции». | Методическая разработка по теме:Самостоятельная работа
Тренажер по теме: «Предел функции».
Цель работы: овладение методами раскрытия различных видов неопределенностей.
Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять пределы функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета
Рекомендации по выполнению.
1.Разобрать решение примеров.
2.Выполнить задания тренажера, используя указания.
3.Оформить решение задач тренажера в тетради.
Разберите решение примеров и выполните задания тренажера, используя указания:
1. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель ,который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
2. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида .
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной и, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
Или
3. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
4. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
5. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности
воспользуемся вторым замечательным пределом:
6. Найти предел функции
Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
, тогда
7. Найти предел функции
Решение: Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
и применим в числителе формулу :
Тренажер
Вычислить:
- — первый замечательный предел
- (k — постоянная величина)
Произведем подстановку ; . Отсюда следует, что при . Тогда получим
= = = = , так как
- второй замечательный предел
- = =
- = = = =
3.Оформить решение примеров в тетради.
4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.
Шкала оценки образовательных достижений
Процент результативности (правильных ответов) | Оценка уровня подготовки | |
Балл (оценка) | Вербальный аналог | |
90-100 | 5 | отлично |
80-89 | 4 | хорошо |
70-79 | 3 | удовлетворительно |
менее 70 | 2 | неудовлетворительно |
Точное определение предела — Криста Кинг Математика
Каково точное определение предела?
Точное определение предела — это то, что мы используем в качестве доказательства существования предела.
Начнем с того, что ???f(x)??? функция на открытом интервале, содержащая ???x=a??? но что функция не обязательно существует в ???x=a???. Мы можем сказать, что
???\lim_{x \to a} f(x)=L???
если для каждого числа ???\epsilon>0??? есть какое-то число ???\delta>0??? такое, что
???\left|f(x)-L\right|<\epsilon??? всякий раз, когда ???0<\left|x-a\right|<\delta???
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Как понять точное определение предела
Что все это значит? Поскольку открытый интервал включает ???a??? но не обязательно существует при ???a???, нам нужно посмотреть, как ведет себя функция при приближении к ???a???. ???Л??? просто представляет значение лимита.
Когда мы оцениваем предел, мы смотрим на функцию, когда она приближается к определенной точке. На графике ниже это точка ???(a,L)???. Точное определение предела доказывает, что предел существует и равен ???L???, если любое число мы выбираем между ???a-\delta??? и ???а+\дельта??? всегда будет возвращать значение между ???L-\epsilon??? и ???L+\эпсилон???.
Если это так, то мы знаем, что если мы выбираем значение, которое все ближе и ближе к ???a???, возвращаемое значение будет все ближе и ближе к ???L???. И это определение предела, верно? Что по мере того, как мы приближаемся к определенному значению ???x???, сама функция становится все ближе и ближе к определенному значению.
Это пошаговое видео, подтверждающее значение предела с использованием точного определения
.Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Как доказать значение предела с точным определением
Пример
Используя точное определение предела, докажите следующий предел.
???\lim_{x \to 4} 2x-3=5???
Замена ???2x-3??? для ???f(x)???, ???5??? для ???L???, и ???4??? для??? в определение мы получаем
???\left|(2x-3)-5\right|<\epsilon??? всякий раз, когда ???0<\left|x-4\right|<\delta???
Точное определение предела — это то, что мы используем в качестве доказательства существования предела.
Если упростить ???\влево|(2x-3)-5\вправо|<\эпсилон???, мы получим
???\влево|2x-8\вправо|<\эпсилон???
???2\влево|x-4\вправо|<\эпсилон???
???\влево|x-4\вправо|<\frac{\epsilon}{2}???
Теперь обратите внимание, что левая часть этого неравенства выглядит точно так же, как средняя часть предыдущего неравенства, содержащая ???\delta???. Когда это происходит, мы устанавливаем ???\delta???равным правой части последнего неравенства, и мы получаем
???\delta=\frac{\epsilon}{2}???
???0<\left|x-4\right|<\delta=\frac{\epsilon}{2}???
Возвращаясь к началу,
???\влево|(2x-3)-5\вправо|=\влево|2x-8\вправо|???
???\влево|(2x-3)-5\вправо|=2\влево|x-4\вправо|???
и используя предположение, что ???\delta=\frac{\epsilon}{2}??? и что ???0<\left|x-4\right|<\delta???, подстановкой получаем
???\left|(2x-3)-5\right|=2\left |\frac{\epsilon}{2}\right|???
???\влево|(2x-3)-5\вправо|=\эпсилон???
Поскольку мы начали с ???\left|(2x-3)-5\right|<\epsilon??? и заканчивался на ???\эпсилон??? мы показали, что ???\epsilon=\epsilon??? и что
???\влево|(2x-3)-5\вправо|<\эпсилон??? всякий раз, когда ???0<\left|x-4\right|<\frac{\epsilon}{2}???
Следовательно,
???\lim_{x \to 4} 2x-3=5???
Получите доступ к полному курсу исчисления 1
Начать
Изучайте математикуКриста Кинг точное определение предела
0 лайковКаковы различные методы упрощения пределов?
Современные технологии и интернет-приложения, такие как калькулятор лимитов, полностью изменили отношение людей к математическим идеям. Технологии используются студентами и учащимися для понимания сложных идей. Хотя такие темы, как производные, интегрирования и ограничения, сложны для понимания, учащиеся могут легко понять их при использовании калькулятора пределов.
Есть два вида ограничений, которые дети могут легко понять. Два предела безграничны и конечны. Для решения проблем ограничения используются четыре подхода: замена, факторинг, рационализация и наименьший общий знаменатель.
Идеальный подход к решению задачи может быть слишком сложным для детей. Для школьников понятие лимита чрезмерно упрощено калькулятором лимитов с шагами от calculate-online.net. Инструмент выбирает подход, который лучше всего подходит для ответа на вопрос о пределе и как применить его к проблеме.
Решатель пределов может самостоятельно выбрать подход, который даст наиболее точные результаты.
Существует четыре основных способа использования калькулятора для расчета лимита:
• Метод подстановки лимита
• Метод факторинга лимита
• Метод рационализации лимита
• ЖК-метод ограничения
Различные методы определения пределов:
Используя передовые технологии, такие как калькулятор пределов, мы выделяем и обучаем идеям ограничений в математике. Чтобы понять идею предела, мы решаем алгебраическую функцию:
f(x)=x5x2-25x-5
Чтобы решить предел, мы будем использовать решатель предела. Предел решается с помощью решателя пределов. Существуют две категории методов:
Первый подход к предельному решению:
Используя калькулятор, мы решаем следующую функцию.
f(x)=x5x2-25x-5
Введите приближающийся предел в инструменте для определения предела. В данном случае число, которое мы вводим на экране лимитного калькулятора с шагом, равно 4,9.
999, что ближе всего к цифре «5». Чтобы ввести предельное значение в инструмент, просто нажмите клавишу Sto (Сохранить). Затем, чтобы сохранить значения приближающегося предела 4,9999 в «х», необходимо нажать клавишу Enter. Предел выводится после обработки данных 4.9999 вычислителями. Он вычисляет предел функции.
На втором этапе вы вводите значения предоставленной функции в калькулятор лимитов. Чтобы получить выходные значения, мы действительно вводим предельное значение на втором этапе.
f(x)=x5x2-25x-5
Чтобы получить на выходе результат, являющийся ответом калькулятора на наш вопрос, нажмите клавишу Enter. Наш онлайн-инструмент представляет результат как 9,9999. Округленным эквивалентом числа 9,9999 будет «10». Калькулятор также разрешает предел 4,9998, давая нам итоговую цифру 9,9998. Калькулятор лимита будет отображать сообщение об ошибке, когда мы вводим «5», так как это делает предел невозможным.
Второй подход к предельному решению:
Для решения лимита по второй методике и расчета лимита создаем таблицу.
В этом методе мы покажем вам, как найти предел алгебраически, используя графическую технику:
f(x)=x5x2-25x-5
Нам нужно ввести инкрементное значение «T» 0,001 в больнице l калькулятор правил, чтобы решить предел. Значения приращения к пределу отображаются в калькуляторе пределов с шагом. Эти числа представляют собой таблицу входных и выходных значений предела. Собственно, так решается предел.
Максимальное входное значение инструмента составляет 4,9998, а максимальное выходное значение — 9,998. Мы получаем выходной результат 9,999, когда вводим значение 4,9999. Когда мы вводим число 5, появляется предупреждение об ошибке, указывающее, что предел еще не решен.
При вводе значения 5,001 инструмент возвращает выходное значение 10,001 для нашего предела. При вводе значений 5,002 программа возвращает выходное значение 10,002. Мы можем получить значение 10,003, введя значения 5,003 и 5,003.
Подведение итогов:
Интернет-приложения, такие как калькулятор, часто используют технологии для определения пределов.