Предел n 1 n: Mathway | Популярные задачи

Связь электронной структуры трехслойного графена с одно- и двухслойным графеном

Khalaf et al. / Phys. Rev. B, 2019

Схема экспериментальной установки и зависимость энергии электронов от импульса в трехслойном графене при нулевом и включенном электрическом поле: фиолетовым обозначена дисперсия, соответствующая одиночному графену, оранжевым — двухслойному графену

Stanford Physics / Youtube

В новой работе все та же группа ученых продолжила исследование трехслойного магически-повернутого графена и обнаружила у него непредвиденную способность преодолевать предел Паули. Для получения больших сведений о сверхпроводимости образца физики установили два электрода параллельно пластинам графена, и далее, в зависимости от подаваемого напряжения, при фиксированном значении электрической индукции D регулировали параметр заполнения ν, равный числу электронов в муаровой ячейке. Измерение сопротивления образца в зависимости от параллельно приложенного магнитного поля, температуры и параметра заполнения выявило область сверхпроводимости при 10 Тесла, что превышает лимит Паули в 2-3 раза.

Нарушение предела Паули в графене на графике зависимости сопротивления от магнитного поля, параметра заполнения и температуры

Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021

Теоретически эта гипотеза может быть подкреплена следующим рассуждением. В триплетном сверхпроводнике спиновая конфигурация параметра порядка описывается комплексным вектором d, а реакция спин-триплетных состояний на внешнее магнитное поле B зависит от угла между d и B. Состояния с параллельно расположенными B и d полностью подавляются, как в случае спин-синглетной сверхпроводимости, тогда как состояния ESP (equal-spin pairing), когда вектор d лежит перпендикулярно B, совершенно не реагируют на поле. Однако и эти состояния в конечном счете разрушаются — в графеновых системах с магическим углом дополнительная спиновая степень свободы может привести к эффекту разрыва пар из-за орбитальных эффектов. Таким образом, состояние триплета ESP может быть жизнеспособным кандидатом на роль состояния, при котором допустимо большое нарушение предела Паули.

Также ученые измерили зависимость сопротивления от магнитного поля выше 5 Тесла при температурах меньше 2 кельвинов и обнаружили возвратную сверхпроводимость — явление, при котором увеличение магнитного поля приводит к разрушению сверхпроводимости, ее повторному появлению и затем к окончательному разрушению при достаточно больших полях. Более детальное исследование зависимости сопротивления от магнитного поля, электрического поля D и параметра заполнения при фиксированной температуре 0,4 кельвина выявило сложную структуру перехода: между большими областями сверхпроводимости (SC-I и SC-II) наблюдаются островки сверхпроводимости меньших размеров.

Возвратная сверхпроводимость графена на графиках зависимости сопротивления от магнитного поля, температуры и тока при фиксированном значении поля D

Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021

Возвратная сверхпроводимость графена на графиках зависимости сопротивления от магнитного поля, температуры, поля D и параметра заполнения

Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021

Сравнивая трехслойный магически-повернутый графен с другими сверхпроводниками, способными выдерживать большие магнитные поля, а также со сверхтекучим гелием-3 физики пришли к выводу, что переход между низкополевой (SC-I) и возвратной фазой (SC-II) может быть фазовым переходом первого рода, причем фазы, по-видимому, спин-триплетные и имеют разные параметры порядка. Авторы надеются, что будущие исследования дадут полную картину парных процессов в различных сверхпроводящих фазах соединения.

Ранее мы рассказывали о других необычных способностях двухслойного графена: он может превращаться в аномальный магнит, приобретать свойства алмаза и становиться полупроводником.

Елизавета Чистякова

Электронный учебник по математическому анализу

3.1 Предел последовательности

3.n$ не имеет предела.

Определение. Говорят, что последовательность $a_n$ имеет пределом $+\infty$, если для любого $A>0$ существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется неравенство $a_n>A$.

Обозначение. Этот факт обозначают \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty, \]

или

\[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} +\infty. \]

Аналогично определяется ситуация, когда $ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=-\infty$.

Определение. Если предел последовательности равен $0$, последовательность называют бесконечно малой. Если предел последовательности равен $\infty$, последовательность называют бесконечно большой.

Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел. Тогда $a_n$ — ограниченная последовательность.

Доказательство.

Возьмем какое-нибудь $\varepsilon >0$. Согласно определению предела, существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется $|a_n-A|

Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел $A$, \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A. \]

Тогда последовательность $b_n=(a_n-A)$ является бесконечно малой.

Теорема. Последовательность может иметь только один предел.

Доказательство.

Предположим, что последовательность имеет два предела, \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A, \] \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} B, \]

$A \neq B$. Будем для определенности считать, что числа $A$ и $B$ конечные. Возьмем $\varepsilon = |A-B|/3$.

Согласно определению предела, найдется такое $N_1$, что при $n >N_1$ выполняется $A-\varepsilon

По тем же причинам найдется $N_2$ такое, что при $n>N_2$ выполняется $B-\varepsilon

Тогда при $n>max(N_1,N_2)$ выполняются оба набора неравенств, что невозможно — отрезки $(A-\varepsilon,A+\varepsilon)$, $(B-\varepsilon,B+\varepsilon)$ не пересекаются. ч.т.д.

3.1.2 Арифметика пределов

Здесь приведена серия теорем, описывающая предел суммы, произведения и частного последовательностей, имеющих конечный предел.

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ — конечные числа. Тогда последовательность $(a_n+b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]

Доказательство.

Возьмем произвольное число $\varepsilon >0 $. Согласно определению предела, существует такое $N_1$, что при всех $n>N_1$ выполняется: \begin{equation} |a_n-A|

По тем же причинам существует такое $N_2$, что при всех $n>N_2$ выполняется: \begin{equation} |b_n-B|

Пусть $N=max(N_1,N_2)$. Тогда при всех $n>N$ выполняются неравенства (1) и (2). Используя неравенство треугольника, получаем: при всех $n>N$ выполняется \begin{equation} |(a_n+b_n)-(A+B)| \[ \varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon.(3)\]

ч.т.д.

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ — конечные числа. Тогда последовательность $(a_n\cdot b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B. \]

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ — конечные числа, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n / b_n)=A / B. \]

Теорема. Пусть при всех $n$ выполняется $a_n

Тогда $A \leq M$ (переход в неравенствах к пределу).

Замечание. Разумеется, существуют аналоги этих теорем и в том случае, когда один из пределов (или оба предела) бесконечен.

Контрольный вопрос.

Сформулируйте теорему о пределе суммы, если одна из последовательностей имеет конечный предел, вторая — бесконечный.

3.1.3 Арифметика бесконечно малых

Теорема. Пусть $a_n$, $b_n$ — бесконечно малые при $n \rightarrow +\infty$. Тогда $(a_n+b_n)$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Теорема. Пусть $a_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, $b_n$ — ограниченная последовательность. Тогда $a_n\cdot b_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Теорема. Пусть $a_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \] причем $B$ — конечное число, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Определение. Бесконечно малые $a_n$, $b_n$ называются эквивалентными, если существует предел \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n/b_n=\theta, \] причем $\theta \neq 0$, $\theta \neq \pm \infty$. Этот факт обозначают следующим образом: $a_n \sim b_n$ при $n \rightarrow +\infty$.

3.1.4 Признаки существования пределов

Следующие теоремы указывают условия, при которых последовательность имеет предел.

Теорема. Пусть $a_n$ — монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху. Тогда она имеет конечный предел.

Следствие. Если $a_n$ — монотонно возрастающая последовательность, она имеет пределом либо $=+\infty$, либо конечное число. Соответственно, для монотонно убывающей последовательности.

Теорема. Пусть $a_n$ — монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу. Тогда она имеет конечный предел.

Теорема. Пусть для всех $n$ выполняются неравенства $a_n\leq b_n \leq c_n$, и \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}c_n=A. \] Тогда $b_n$ также имеет предел, причем \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=A. \]

Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность $a_n$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ \varepsilon >0$ существовало такое $N$, что при всех $m,n>N$ выполнялось $|a_n-a_m|

3.1.5 Вычисление пределов

Здесь мы приведем несколько примеров вычисления пределов последовательностей. При этом мы используем приведенные выше теоремы об арифметике пределов.{-1}$. ч.т.д.

Внеклассный урок — Предел последовательности. Виды последовательности.

Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.

Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.

Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.

Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.

   Случай, когда последовательность не имеет предела.

Если |q| > 1, то последовательность y_n = qⁿ расходится и не имеет предела.

Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:

3²; 3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶; 3⁷ и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет.

Виды последовательности.

Теорема.

Пример 1: Найти предел последовательности

d_n = 6/n – 4/n² + 8.

Решение:

 lim  6/n – lim  4/n² + lim  8 = 0 – 0 + 8 = 8.
^{n→∞      n→∞         n→∞}

Пример решен.

Пример 2: Найти предел последовательности

           2n² + 3
  lim    ————
^n→∞    n² + 4

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на n², произведем сокращения и получим ответ:

           2n²/n²  +  3/n²                    2  +  3/n²           2  +  0
  lim   ———————   =   lim   —————  =  ————  = 2.
^n→∞   n²/n²  +  4/n^{2          n→∞}   1  +  4/n²          1  +  0

Пример решен.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2),

Если предел последовательности равен 0, сходится ли ряд?

Это часть серии о распространенных заблуждениях.

Какое распространенное заблуждение?

Если члены последовательности становятся все меньше и меньше, гарантировано ли, что сумма всей последовательности будет некоторым конечным числом? Например, этот простой ряд, который приближается к 000, имеет сумму, сходящуюся к 2:

1 + 12 + 14 + 18 + 116 + ⋯ + 12n = ∑n = 0∞12n = 2.{\ infty} a_n <\ infty n → ∞lim an = 0⟹n = 1∑∞ an <∞

Почему некоторые люди говорят, что это правда: Когда члены складываемой последовательности становятся все ближе и ближе к 0, сумма сходится к некоторому определенному конечному значению. Следовательно, пока условия становятся достаточно маленькими, сумма не может расходиться.

Почему некоторые говорят, что это ложь: Сумма не сходится только потому, что ее члены очень малы.

Утверждение, что lim⁡n → ∞an = 0 ⟹ ∑n = 1∞an <∞ \ lim \ limits_ {n \ rightarrow \ infty} a_n = 0 \, подразумевает \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty } a_n <\ infty n → ∞lim an = 0⟹n = 1∑∞ an <∞ является ложным \ color {# D61F06} {\ textbf {false}} ложным.{N} \ frac {1} {n} n = 1∑N n1 расходится при N → ∞.N \ rightarrow \ infty.N → ∞. (См. Доказательство здесь.)

Контрпример 2:
Мы также можем целенаправленно построить ряд, который совершенно очевидно не будет сходиться к конечной сумме, хотя расширенные члены ряда произвольно близки к 0. Рассмотрим этот ряд:

1 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 14 + 15 + ⋯ .1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ cdots.1 + 21 +21 +31 +31 +31 +41 +41 +41 +41 +51 + ⋯.

Просто сгруппировав наборы одинаковых терминов, мы можем сказать, что эта сумма не сходится:

1+ (12 + 12) + (13 + 13 + 13) + (14 + 14 + 14 + 14) + (15 + ⋯) + ⋯ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ∞. 1 + \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {3} + \ frac {1 } {3} \ right) + \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right) + \ left (\ frac {1} {5} + \ cdots \ right) + \ cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots = \ infty.1 + (21 +21) + (31 +31 +31) + (41 +41 +41 +41) + (51 + ⋯) + ⋯ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ∞.{N} a_n \ text {расходится как} N \ rightarrow \ infty .n → ∞lim an  = 0⟹n = 1∑N an расходится при N → ∞. Следовательно, если предел ana_nan равен 0, тогда сумма должна сходиться.

Ответ:
Да, одна из первых вещей, которые вы узнаете о бесконечных рядах, это то, что если члены ряда не приближаются к нулю, то ряды не могут сходиться. Это правда. Однако противоположное утверждение неверно: как доказано выше, даже если члены ряда приближаются к нулю, это не гарантирует, что сумма сходится.

Существует также правильный способ «перевернуть» утверждение в вашем заявлении, но это синтаксическое обращение, создание второго утверждения, которое логически эквивалентно первому. Утверждение «если члены ряда не приближаются к нулю, тогда ряд, возможно, не может сходиться» логически эквивалентно утверждению о том, что «если ряд сходится, то гарантируется, что члены ряда приближаются к нулю». Более формально,

∑n = 1Nan сходится при N → ∞ ⟹ lim⁡n → ∞an = 0.{N} a_ {n} \ text {сходится как} N \ rightarrow \ infty \ подразумевает \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0.n = 1∑N an сходится как N → ∞⟹n → ∞lim an = 0.

Если ваш учитель сказал, что «обратное» исходное утверждение также верно, то, вероятно, он имел в виду именно такой поворот.

111 222 2π2 \ pi2π Не сходится

Обратите внимание, что 1n → 0 \ frac {1} {n} \ rightarrow 0n1 → 0 при n → ∞. 2

8.1: Последовательности — математика LibreTexts

В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что это означает для последовательности сходиться или расходиться. Мы показываем, как найти пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, которые обсуждались ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости, инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.

Терминология последовательностей

Чтобы работать с этой новой темой, нам нужны новые термины и определения.∞_n = 1, \]

или просто \ (\ displaystyle {a_n} \) для обозначения этой последовательности. Аналогичное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, а набор — неупорядоченный. Поскольку конкретное число \ (\ displaystyle a_n \) существует для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), мы также можем определить последовательность как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел.

Рассмотрим бесконечный упорядоченный список

\ [\ displaystyle 2,4,8,16,32,…. \]

Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются как \ (\ displaystyle a_1 = 2, a_2 = 4, \) и \ (\ displaystyle a_3 = 8.n}. \]

В качестве альтернативы, мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член в два раза больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив \ (\ displaystyle nth \) термин \ (\ displaystyle a_n \) через предыдущий термин \ (\ displaystyle a_ {n − 1} \ ). В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), где \ (\ displaystyle a_1 = 2 \) и для всех \ (\ displaystyle n≥2 \), каждый термин an определяется повторение отношение

\ [\ Displaystyle a_n = 2a_ {n-1}.\]

Определение: бесконечная последовательность

Бесконечная последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это упорядоченный список чисел в форме

\ (\ Displaystyle a_1, a_2,…, a_n,…. \)

Нижний индекс \ (\ displaystyle n \) называется индексной переменной последовательности. Каждое число \ (\ displaystyle a_n \) является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, в этом случае \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для некоторой функции \ (\ displaystyle f (n) \), определенной над положительными целыми числами.В других случаях последовательности определяются с использованием отношения повторения . В рекуррентном отношении один член (или несколько) последовательности задается явно, а последующие термины определяются в терминах более ранних терминов в последовательности.

Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с \ (\ displaystyle n = 1 \), но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой \ (\ displaystyle a_n = f (n) \), может начинаться с \ (\ displaystyle n = 0 \), и в этом случае последовательность будет

\ [\ displaystyle a_0, a_1, a_2,….\]

Аналогичным образом, для последовательности, определенной рекуррентным соотношением, термин \ (\ displaystyle a_0 \) может быть задан явно, а термины \ (\ displaystyle a_n \) для \ (\ displaystyle n≥1 \) могут быть определены в члены \ (\ Displaystyle a_ {n − 1} \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), ее можно описать как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел. В результате имеет смысл обсудить график последовательности.п \)}.

Часто встречаются два типа последовательностей, которым даны специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой следующих друг за другом членов одинакова. Например, рассмотрим последовательность

\ [\ Displaystyle 3,7,11,15,19, \ ldots \]

Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой терминов равна \ (\ displaystyle 4 \). Если предположить, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения

\ [\ displaystyle \ begin {cases} a_1 = 3 \\ a_n = a_ {n − 1} + 4 & для n≥2 \ end {cases}.\]

Обратите внимание, что

\ [\ Displaystyle a_2 = 3 + 4 \]

\ [\ Displaystyle a_3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2⋅4 \]

\ [\ Displaystyle a_4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3⋅4. \]

Таким образом, последовательность также может быть описана с помощью явной формулы

\ [\ Displaystyle a_n = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1. \]

В общем, арифметическая последовательность — это любая последовательность вида \ (\ displaystyle a_n = cn + b. \)

В геометрической последовательности , соотношение каждой пары следующих друг за другом членов одинаково.Например, рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle 2, — \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {2} {9}, — \ dfrac {2} {27}, \ dfrac {2} {81},…. {n − 1}.п \).

Пример \ (\ displaystyle \ PageIndex {1} \): поиск явных формул

Для каждой из следующих последовательностей найдите явную формулу для члена \ (\ displaystyle nth \) последовательности.

1. \ (\ displaystyle — \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {2} {3}, — \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {4} {5}, — \ dfrac {5} {6},… \)
2. \ (\ displaystyle \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {9} {7}, \ dfrac {27} {10}, \ dfrac {81} {13}, \ dfrac {243} {16}, … \).

Решение :

а.п} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите явную формулу для последовательности, определенной рекурсивно, такой что \ (\ displaystyle a_1 = −4 \) и \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} +6 \).

Подсказка

Это арифметическая последовательность.

Ответ

\ (\ Displaystyle a_n = 6n − 10 \)

Предел последовательности

Фундаментальный вопрос, который возникает в отношении бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении \ (\ displaystyle n \).Поскольку последовательность — это функция, определенная на положительных целых числах, имеет смысл обсудить предел терминов как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение как \ (\ displaystyle n → ∞ \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)):

а. \ (\ displaystyle {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. \) Термы \ (\ displaystyle 1 + 3n \) становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). В этом случае мы говорим, что \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

г.n} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): (a) члены в последовательности становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (b) Термины в последовательном подходе \ (\ displaystyle 1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (c) Термины в последовательности чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (d) Члены в последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями, но приближаются к \ (\ displaystyle 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \).

Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности как \ (\ displaystyle n → ∞ \).В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу, как \ (\ displaystyle n → ∞. \). В двух других последовательностях члены этого не делают. Если члены последовательности приближаются к конечному числу \ (\ displaystyle L \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \), мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число L является пределом последовательности. Мы можем дать здесь неформальное определение.

Определение: сходящиеся и расходящиеся последовательности

Учитывая последовательность \ (\ displaystyle {a_n}, \), если члены an становятся сколь угодно близкими к конечному числу \ (\ displaystyle L \), когда n становится достаточно большим, мы говорим, что \ (\ displaystyle {a_n} \) равно сходящаяся последовательность и \ (\ displaystyle L \) — это предел последовательности.n} \) — сходящаяся последовательность, и ее предел равен \ (\ displaystyle 1 \). Напротив, из рисунка мы видим, что члены в последовательности \ (\ displaystyle 1 + 3n \) не приближаются к конечному числу, поскольку \ (\ displaystyle n \) становится больше. Мы говорим, что \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) — расходящаяся последовательность.

В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «произвольно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты.Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и графически показываем эти идеи на рисунке.

Определение: конвергенция

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к действительному числу \ (\ displaystyle L \), если для всех \ (\ displaystyle ε> 0 \) существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ Displaystyle | a_n-L | <ε \), если \ (\ Displaystyle n≥N \). Число \ (\ displaystyle L \) является пределом последовательности, и мы пишем

\ [\ lim_ {n → ∞} a_n = Lora_n → L.\]

В этом случае мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.

Мы отмечаем, что сходимость или расхождение последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) зависит только от того, что происходит с членами \ (\ displaystyle a_n \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Следовательно, если конечное число терминов \ (\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N \) помещается перед \ (\ displaystyle a_1 \) для создания новой последовательности

\ [\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N, a_1, a_2,…, \]

эта новая последовательность будет сходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, и расходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) расходится.Кроме того, если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), эта новая последовательность также сходится к \ (\ displaystyle L \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): по мере увеличения \ (\ displaystyle n \) термины \ (\ displaystyle a_n \) становятся ближе к \ (\ displaystyle L \). Для значений \ (\ displaystyle n≥N \) расстояние между каждой точкой \ (\ displaystyle (n, a_n) \) и линией \ (\ displaystyle y = L \) меньше \ (\ displaystyle ε \ ).

Как определено выше, если последовательность не сходится, говорят, что это расходящаяся последовательность.n} \) расходится, потому что термины чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \), но не приближаются к одному значению как \ (\ displaystyle n → ∞ \). С другой стороны, последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится, потому что члены \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится до бесконечности, и пишем \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} (1 + 3n) = ∞ \). Важно понимать, что это обозначение не означает, что существует предел последовательности \ (\ displaystyle {1 + 3n} \).На самом деле последовательность расходится. Запись о том, что предел равен бесконечности, предназначена только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться до отрицательной бесконечности. Например, последовательность \ (\ displaystyle {−5n + 2} \) расходится к отрицательной бесконечности, потому что \ (\ displaystyle −5n + 2 → −∞ \) как \ (\ displaystyle n → −∞ \). Мы записываем это как \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} (- 5n + 2) = → −∞. \)

Поскольку последовательность — это функция, домен которой является набором положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность.Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f \), определенную для всех положительных действительных чисел, такую, что \ (\ displaystyle f (n) = a_n \) для всех целых чисел \ (\ Displaystyle п≥1 \). Поскольку домен последовательности является подмножеством области \ (\ displaystyle f \), если существует \ (\ displaystyle \ lim_ {x → ∞} f (x) \), то последовательность сходится и имеет тот же предел . Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} \).Поскольку функция \ (\ displaystyle f \), определенная для всех действительных чисел \ (\ displaystyle x> 0 \), удовлетворяет \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} → 0 \) как \ (\ displaystyle x → ∞ \), последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) должна удовлетворять \ (\ displaystyle \ dfrac {1} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

Предел последовательности, определяемой функцией

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) такую, что \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для всех \ (\ displaystyle n≥1 \). Если существует такое вещественное число \ (\ displaystyle L \), что

\ [\ Displaystyle \ lim_ {х → ∞} е (х) = L, \]

, тогда \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится и

\ [lim_ {n → ∞} a_n = L.n} \) сходится к \ (\ displaystyle 0 + 0 = 0 \). Так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \), посмотрев на пределы \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \ ) (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой представляют собой алгебраические комбинации \ (\ displaystyle a_n \) и \ (\ displaystyle b_n \), оценивая пределы \ (\ displaystyle {a_n } \) и \ (\ displaystyle {b_n} \).

Алгебраические предельные законы

Данные последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {b_n} \) и любое действительное число \ (\ displaystyle c \), если существуют константы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) такая, что \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \) и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), то

1. \ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} с = с \)
2. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} ca_n = с \ lim_ {n → ∞} a_n = cA \)
3. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (a_n ± b_n) = \ lim_ {n → ∞} a_n ± \ lim_ {n → ∞} b_n = A ± B \)
4. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (a_n⋅b_n) = (\ lim_ {n → ∞} a_n) ⋅ (\ lim_ {n → ∞} b_n) = A⋅B \)
5. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (\ dfrac {a_n} {b_n}) = \ dfrac {\ lim_ {n → ∞} a_n} {\ lim_ {n → ∞} b_n} = \ dfrac {A } {B} \) при условии \ (\ displaystyle B ≠ 0 \) и каждый \ (\ displaystyle b_n ≠ 0.\)

Проба

Докажем часть iii.

Пусть \ (\ Displaystyle ϵ> 0 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \), существует постоянное положительное целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), существует константа \ (\ displaystyle N_2 \) такая, что \ (\ displaystyle | b_n − B | <ε / 2 \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N_2 \). Пусть \ (\ displaystyle N \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1 \) и \ (\ displaystyle N_2 \).x] = \ lim_ {x → ∞} xln (1+ \ dfrac {4} {x}) \).

Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенную форму \ (\ displaystyle ∞⋅0 \), перепишите ее как дробь, чтобы применить правило Л’Опиталя. Напишите

\ (\ Displaystyle \ lim_ {x → ∞} xln (1+ \ dfrac {4} {x}) = \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {ln (1 + 4 / x)} {1 / x} \).

Поскольку правая часть теперь имеет неопределенную форму 0/0, мы можем применить правило L’Hôpital. Делаем вывод, что

\ (\ Displaystyle \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {ln (1 + 4 / x)} {1 / x} = \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {4} {1 + 4 / x} = 4.n}. \) Определите, сходится ли последовательность. Если он сходится, найдите его предел.

Подсказка

Используйте правило L’Hôpital.

Ответ

Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle 0 \)

Напомним, что если \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией со значением \ (\ displaystyle L \), то \ (\ displaystyle f (x) → f (L) \) как \ (\ displaystyle x → L \).2})} = \ sqrt {5}. \]

Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и предположим, что существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \). Предположим, \ (\ displaystyle f \) — непрерывная функция в \ (\ displaystyle L \). Тогда существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle f \) определено для всех значений an для \ (\ displaystyle n≥N \), и последовательность \ (\ displaystyle {f (a_n) } \) сходится к \ (\ displaystyle f (L) \) (Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рис. \ (\ PageIndex {4} \): Поскольку \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией, поскольку входы \ (\ displaystyle a_1, a_2, a_3,… \) подход \ (\ displaystyle L \), выходы \ (\ displaystyle f (a_1), f (a_2), f (a_3),… \) подход \ (\ displaystyle f (L) \).

Проба

Пусть \ (\ displaystyle ϵ> 0. \) Поскольку \ (\ displaystyle f \) непрерывен в \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle δ> 0 \) такое, что \ (\ displaystyle | f (Икс) −f (L) | <ε \), если \ (\ Displaystyle | x − L | <δ \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle N \) такая, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <δ \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N \).2}) = cos (0) = 1. \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Определите, сходится ли последовательность \ (\ displaystyle {\ sqrt {\ dfrac {2n + 1} {3n + 5}}} \). Если он сходится, найдите его предел.

Подсказка

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {2n + 1} {3n + 5}}. \)

Ответ

Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle \ sqrt {2/3} \).

Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждаемых во введении в пределы.

Теорема сжатия для последовательностей

Рассмотрим последовательности \ (\ displaystyle {a_n}, {b_n}, \) и \ (\ displaystyle {c_n} \). Предположим, существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что

\ [\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N. \]

Если существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что

\ [\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = L = \ lim_ {n → ∞} c_n, \]

, тогда \ (\ displaystyle {b_n} \) сходится и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = L \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): каждый член bn удовлетворяет \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \), а последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {c_n} \) сходятся к тот же предел, поэтому последовательность \ (\ displaystyle {b_n} \) также должна сходиться к тому же пределу.

Проба

Пусть \ (\ displaystyle ε> 0. \) Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \).Точно так же, поскольку \ (\ displaystyle {c_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_2 \) такое, что \ (\ displaystyle | c_n − L | <ε \) для всех \ (\ Displaystyle п≥N_2 \). По предположению существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N \). Пусть \ (\ displaystyle M \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1, N_2 \) и \ (\ displaystyle N \). Мы должны показать, что \ (\ displaystyle | b_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥M \). Для всех \ (\ displaystyle n≥M \),

\ [\ displaystyle −ε <- | a_n − L | ≤a_n − L≤b_n − L≤c_n − L≤ | c_n − L | <ε \]

Следовательно, \ (\ displaystyle −ε

Ограниченные последовательности

Теперь обратим наше внимание на одну из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теорему о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам нужно ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.

Определение: Связанные последовательности

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное выше , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что

\ (\ Displaystyle a_n≤M \)

для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное ниже , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что

\ (\ Displaystyle M≤a_n \)

для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это ограниченная последовательность , если она ограничена сверху и ограничена снизу.

Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность .

Например, последовательность \ (\ displaystyle {1 / n} \) ограничена выше, потому что \ (\ displaystyle 1 / n≤1 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).n} \) — неограниченная последовательность.

Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) неограничена. Тогда он не ограничен сверху, не ограничен снизу или и тем, и другим. В любом случае есть члены, произвольно большие по величине по мере того, как \ (\ displaystyle n \) становится больше. В результате последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) не может сходиться. Следовательно, ограниченность — необходимое условие сходимости последовательности.

Сходящиеся последовательности ограничены

Если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, то она ограничена.n} \) ограничен, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) и никогда не приближается к конечному числу. Теперь обсудим достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.

Рассмотрим ограниченную последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \). Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается. То есть \ (\ displaystyle a_1≤a_2≤a_3…. \) Поскольку последовательность увеличивается, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности.Последовательность могла расходиться до бесконечности, а могла сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится. Например, рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {4} {5},…}. \]

Поскольку эта последовательность возрастает и ограничена сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle {2,0,3,0,4,0,1, — \ dfrac {1} {2}, — \ dfrac {1} {3}, — \ dfrac {1} {4}, …}.\]

Несмотря на то, что последовательность не увеличивается для всех значений \ (\ displaystyle n \), мы видим, что \ (\ displaystyle -1/2 <-1/3 <-1/4 <⋯ \). Следовательно, начиная с восьмого члена \ (\ displaystyle a_8 = −1 / 2 \), последовательность увеличивается. В этом случае мы говорим, что последовательность в конечном итоге увеличивается. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Верно также и то, что если последовательность убывает (или со временем убывает) и ограничена снизу, она также сходится.

Определение

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если

\ (\ displaystyle a_n≤a) n + 1 \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) уменьшается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если

\ (\ displaystyle a_n≥a_ {n + 1} \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это монотонная последовательность для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если она увеличивается для всех \ (n≥n_0 \) или уменьшается для всех \ (\ Displaystyle п≥n_0 \).

Теперь у нас есть необходимые определения, чтобы сформулировать теорему о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.

Определение: теорема о монотонной сходимости

Если \ (\ displaystyle {a_n} \) является ограниченной последовательностью и существует такое положительное целое число n0, что \ (\ displaystyle {a_n} \) является монотонным для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), то \ ( \ displaystyle {a_n} \) сходится.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки этого текста. Вместо этого мы предоставляем график, чтобы интуитивно показать, почему эта теорема имеет смысл (рис. \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.n} {n!} = \ dfrac {4} {n + 1} ⋅a_n≤a_n \), если \ (\ displaystyle n≥3. \)

Следовательно, последовательность убывает для всех \ (\ displaystyle n≥3 \). Кроме того, последовательность ограничена внизу \ (\ displaystyle 0 \), потому что \ (\ displaystyle 4n / n! ≥0 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \). Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.

Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \). Обратите внимание на это важное наблюдение.Рассмотрим \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_ {n + 1} \). С

\ (\ Displaystyle {a_ {n + 1}} = {a_2, a_3, a_4,…}, \)

единственное различие между последовательностями \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) и \ (\ displaystyle {a_n} \) состоит в том, что \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) опускает первую срок. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,

\ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_ {n + 1} = \ lim_ {n → ∞} a_n = L. \)

Объединяя этот факт с уравнением

\ (\ Displaystyle a_ {n + 1} = \ dfrac {4} {n + 1} a_n \)

и взяв предел обеих частей уравнения

\ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} a_ {n + 1} = \ lim_ {n → ∞} \ dfrac {4} {n + 1} a_n \),

можно сделать вывод, что

\ (\ Displaystyle L = 0⋅L = 0. 2_n + 1} {2a_n} \).2_н \).

Разделив обе стороны на \ (\ displaystyle 2a_n \), получаем

\ (\ Displaystyle \ dfrac {a_n} {2} + \ dfrac {1} {2a_n} ≤a_n. \)

Используя определение \ (\ displaystyle a_ {n + 1} \), мы заключаем, что

\ (\ displaystyle a_ {n + 1} = \ dfrac {a_n} {2} + \ dfrac {1} {2a_n} ≤a_n \).

Поскольку \ (\ displaystyle {a_n} \) ограничено снизу и убывает по теореме о монотонной сходимости, он сходится.

Чтобы найти предел, пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \).2 = 1 \), что означает \ (\ Displaystyle L = ± 1 \). Поскольку все члены положительны, предел \ (\ displaystyle L = 1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), определенную рекурсивно, так что \ (\ displaystyle a_1 = 1 \), \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} / 2 \). Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найдите ее предел.

Подсказка

Показать, что последовательность убывает и ограничена снизу.

Ответ

\ (\ Displaystyle 0 \).

Определение: числа Фибоначчи

Число Фибоначчи определяется рекурсивно последовательностью \ (\ displaystyle {F_n} \), где \ (\ displaystyle F_0 = 0, F_1 ​​= 1 \) и для \ (\ displaystyle n≥2, \)

\ (\ Displaystyle F_n = F_ {n − 1} + F_ {n − 2}. \)

Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.

1.п \). Используйте начальные условия \ (\ displaystyle F_0 \) и \ (\ displaystyle F_1 \), чтобы определить значения констант \ (\ displaystyle c_1 \) и \ (\ displaystyle c_2 \), и напишите закрытую формулу \ (\ displaystyle Ф_н \).

3. Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что

\ [\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} \ dfrac {F_ {n + 1}} {F_n} = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2}. \]

Число \ (\ displaystyle ϕ = (1+ \ sqrt {5}) / 2 \) известно как золотое сечение (рисунок и рисунок).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Семена подсолнечника имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо.Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эсдраса Кальдерана, Wikimedia Commons) Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с такими пропорциями, и соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr).

Предел, Предел последовательности

Мы уже знаем, что такое арифметическая и геометрическая прогрессия — последовательность значений.Возьмем последовательность a _n = 1 / n, если k и м натуральные числа, тогда для каждого k истинно a _k > a _m , так как чем меньше становится, тем меньше становится _n и он всегда положительный, но никогда не достигает нуля. В этом случае мы говорим, что 0 — это
, предел _{n-> ∞} если n-> ∞, или другой способ записать это lim _{n-> ∞} a _n = 0.

Определение предела

Число a называется пределом последовательности, если для любого ε> 0 можно найти число n _ε , так что для всех членов последовательности a _n с индексом n> n _ε верно, что a — ε n.

Основное правило

Если lim _{n-> ∞} a _n = a, a _n -> a a _n — a -> 0 | a _n — a | -> 0

Последовательность не всегда имеет предел, а иногда и нереальный предел (-∞ или + ∞). Пределы + ∞ и -∞ называются нереальными пределами.

Если обе последовательности a _n и b _n имеют реальные пределы, то последовательности
a _n + b _n , a _n — b _n , a _n .b _n и a _n / b _n также имеют реальный предел и:

lim _{n -> ∞} (a _n + b _n ) = lim _{n -> ∞} a _n + lim _{n -> ∞} b _n
lim _{n -> ∞} (a _n — b _n ) = lim _{n -> ∞} a _n — lim _{n -> ∞} b _n
lim _{n -> ∞} (a _n . b _n ) = lim _{n -> ∞} a _n .lim _{n -> ∞} b _n
lim _{n -> ∞} (a _n / b _n ) = lim _{n -> ∞} a _n / lim _{n -> ∞} b _n
если b _n ≠ 0 и lim _{n-> ∞} b _n ≠ 0

Если a _n n для каждого натурального n и lim _{n-> ∞} a _n = a,
lim _{n-> ∞} b _n = b тогда a ≤ b

Если a _n ≤ b _n ≤ c _n или каждое действительное n и если lim _{n-> ∞} a _n = lim _{n-> ∞} c _n = A
, то lim _{n-> ∞} b _n = A.

Если a _n ≥ 0 и lim _{n-> ∞} a _n = a, тогда последовательность b _n = √a _n также имеет предел и lim _{n-> ∞} √a _n = √a _n .

Если _n = ¹ / _{n k} и k ≥ 1, тогда lim _{n-> ∞} a _n = 0.

Если -1 n-> ∞q ⁿ = 0.

lim _{n-> ∞} (1 — 1 / n) ⁿ = lim _{n-> ∞ (1 + 1 / n) ^{n + 1}} = e
(1 + 1 / n) ⁿ п-1

е — число Непер.

Если последовательность a _n имеет нереальный предел (-∞ или + ∞) тогда последовательность 1 / a _n имеет предел и lim _{n-> ∞} ¹ / _{a n} = 0

Если последовательности a _n и b _n имеют нереальные пределы и lim _{n-> ∞} a _n = + ∞, lim _{n-> ∞} b _n = + ∞, тогда:

lim _{n-> ∞} (a _n + b _n ) = + ∞
lim _{n-> ∞} (a _n .b _n ) = + ∞
lim _{n-> ∞} a _n ^k = + ∞, если k> 0
lim _{n-> ∞} a _n ^k = 0; если k lim _{n-> ∞} -a _n = -∞

Лим проблемы

Упражнение 1:
Если ⁿ = 5,4 ⁿ , lim _{n-> 0} a _n =?

Ответ:
lim _{n-> 0} a _n = lim _{n-> 0} 5.lim _{n-> 0} 4 ⁿ = 5. 4 ⁰ = 5,1 = 5

Упражнение 2:

Если n =

, тогда lim n-> ∞a n =?

Ответ:

lim n-> ∞

= lim n-> ∞

.

= lim n-> ∞

= -3

Упражнение 3:

Ответ:

lim a n -> 1 =

=

lim a n -> ∞

=

= lim _{a n -> 1} (2a _n + 1) = 3

---

Предел графопостроителя

Подробнее о lim на математическом форуме

Регистрация на форуме

Конвергенция в распределении

---

7.2.4 Конвергенция в распределении

Сходимость распределения — это в некотором смысле самый слабый тип сходимости. Все, что он говорит, это то, что CDF $ X_n $ сходится к CDF $ X $, когда $ n $ стремится к бесконечности. Не требует какой-либо зависимости между $ X_n $ и $ X $. Мы видели подобную сходимость раньше, когда обсуждали центральную предельную теорему. Чтобы сказать, что $ X_n $ сходится по распределению к $ X $, мы пишем

\ begin {align}% \ label {eq: union-bound} X_n \ \ xrightarrow {d} \ X.\ end {align}

Вот формальное определение сходимости в распределении:

Конвергенция в распределении

Последовательность случайных величин $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ сходится в распределении к случайной величине $ X $, показанной $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $, если \ begin {align}% \ label {eq: union-bound} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} (x) = F_X (x), \ end {align} для всех $ x $, при которых $ F_X (x) $ непрерывно. {nx} & \ quad x> 0 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.{-Икс}\\ & = F_X (x), \ qquad \ textrm {для всех} x. \ end {align} Таким образом, мы заключаем, что $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $.

---

При работе с целочисленными случайными величинами часто бывает полезна следующая теорема.

Теорема Рассмотрим последовательность $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ и случайную величину $ X $. Предположим, что $ X $ и $ X_n $ (для всех $ n $) неотрицательные и целочисленные, т. Е. \ begin {align}% \ label {} & R_X \ subset \ {0,1,2, \ cdots \}, \\ & R_ {X_n} \ subset \ {0,1,2, \ cdots \}, \ qquad \ textrm {for} n = 1,2,3, \ cdots.\ end {align} Тогда $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $ тогда и только тогда, когда \ begin {align}% \ label {eq: union-bound} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} P_ {X_n} (k) = P_X (k), \ qquad \ textrm {for} k = 0,1,2, \ cdots. \ end {align}

• Проба
  • Поскольку $ X $ является целочисленным, его CDF, $ F_X (x) $, непрерывна во всех $ x \ in \ mathbb {R} — \ {0,1,2, … \} $. Если $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $, то \ begin {align}% \ label {eq: union-bound} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} (x) = F_X (x), \ qquad \ textrm {для всех} x \ in \ mathbb {R} — \ {0,1,2 ,… \}. \ end {align} Таким образом, для $ k = 0,1,2, \ cdots $ имеем \ begin {align}% \ label {eq: union-bound} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} P_ {X_n} (k) & = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left [F_ {X_n} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — F_ {X_n} \ left (k- \ frac {1} {2} \ right) \ right] \ hspace {25pt} \ textrm {($ X_n $ имеют целочисленные значения)} \\ & = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} \ left (k- \ гидроразрыв {1} {2} \ right) \\ & = F_ {X} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — F_ {X} \ left (k- \ frac {1} {2} \ right) \ hspace {30pt} \ textrm { (поскольку $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $)} \\ & = P_X (k) \ hspace {30pt} \ textrm {(поскольку $ X $ является целочисленным).{\ lfloor x \ rfloor} P_ {X} (k) \ qquad \ textrm {(по предположению)} \\ & = Р (Х \ leq х) = F_X (х). \ end {align}

---

Пример
Пусть $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ — последовательность случайных величин, такая что \ begin {align}% \ label {eq: union-bound} X_n \ sim Биномиальный \ left (n, \ frac {\ lambda} {n} \ right), \ qquad \ textrm {for} n \ in \ mathbb {N}, n> \ lambda, \ end {align} где $ \ lambda> 0 $ — постоянная. Покажите, что $ X_n $ сходится по распределению к $ Poisson (\ lambda) $.к} {к!}. \ end {уравнение}

---

В конце этого раздела напомним, что наиболее известным примером сходимости в распределении является центральная предельная теорема (ЦПТ). CLT утверждает, что нормализованное среднее значение i.i.d. случайные величины $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ сходятся по распределению к стандартной нормальной случайной величине.

сравнительных тестов

Тест \ (N \) -го члена, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда.

No related posts.