Предел найти предел последовательности примеры: Как вычислить предел последовательности: определение, свойства, примеры решений

Содержание

3.2. Примеры решения задач

Задание 1. Доказать, используя определение предела последовательности, что . Найти номер элемента последовательности, начиная с которого последовательность отличается от своего предела не более, чем на 0,001.

Решение. Доказать, что – это значит указать такой номер , что все элементы последовательности, начиная с этого номера, не больше чем на по модулю отличаются от .

В нашем случае

;

Если достаточно большое настолько, что , то равенство выполняется . Значит, для в качестве можно выбрать 1.

Если , то из неравенства следует, что и в качестве можно выбрать любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству, например ( – целая часть числа ).

Итак,

При .

Задание 4. Доказать, что последовательность является неограниченной, но не является бесконечно большой.

Решение. Решение состоит из двух частей. Доказать, что последовательность неограниченна, т. е. , другими словами, последовательность содержит сколь угодно большие элементы.

Тем не менее, эта последовательность не является бесконечно большой, т. е. для последовательности неверно утверждение , а верно обратное утверждение . Другими словами, в последовательности есть элементы со сколь угодно большими номерами, модуль которых не превосходит некоторого числа.

В данном случае . При – нечётных , при — чётных .

Докажем первую часть утверждения. Выберем произвольное сколь угодно большое и найдём такой номер , что . Если нечётно, то . Из неравенства следует, что в качестве можно выбрать любое нечётное число, большее, чем .

Чтобы доказать вторую часть утверждения, обратим внимание на то, что все элементы последовательности с чётными номерами . Если (например ), то какой бы мы ни указали номер , найдется номер больше (чётный), такой, что .

Таким образом, последовательность не является бесконечно большой.

Задание 5.

Пример 1. Доказать, что последовательность имеет предел.

Решение. Покажем, что последовательность монотонно возрастающая.

Сравним последовательность с последовательностью

, каждый член – сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е. , при имеем .

Так как , то . Итак, все условия теоремы о сходимости монотонной и ограниченной последовательности выполнены, следовательно, последовательность имеет предел. Обратите внимание на то, что не является , поэтому нельзя утверждать, что .

Пример 2. Доказать, что последовательность

имеет предел, и вычислить его.

Решение. Покажем, что последовательность:

А) ограничена сверху;

Б) монотонно возрастает.

При доказательстве пункта а) используем метод математической индукции. Очевидно, что . Предположим, что для произвольного номера выполняется неравенство , тогда . В соответствии с методом математической индукции неравенство выполняется для любого номера, т. е. , следовательно, последовательность ограничена сверху.

б) Докажем, что , снова используя метод математической индукции. Очевидно, что . Пусть .

, но так как , то , значит, для .

Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, значит, она имеет предел. Вычислим его. Пусть . Так как , то . Поскольку

, но , , тогда , . Так как мы установили, что , то отбрасываем. Итак .

При выполнении заданий 6, 7, 8 используется следующий результат

Задание 6. Вычислить предел

Решение. При нахождении предела отношения двух многочленов необходимо сравнить степени в числителе и в знаменателе. При кажущейся простоте этой операции она требует определенного внимания и навыков. Рассмотрим предел =Приведем подобные члены

Так как наивысшие степени в числителе и знаменателе равны между собой , то предел равен отношению коэффициентов при наивысших степенях.

Задание 7. Вычислить предел .

Решение. Отметим, что

; ,

Тогда

В следующем задании предлагается найти предел выражения, которое представляет собой сумму, число слагаемых которой возрастает с ростом . В этом случае нельзя переходить к пределу в каждом слагаемом отдельно. Предел можно вычислить, предварительно просуммировав слагаемые под знаком предела. С этой целью используются известные формулы суммирования членов арифметической и геометрических прогрессий.

Задание 8.

Пример 1. Найти предел числовой последовательности

Решение. Преобразуем заданное выражение

В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии со знаменателем . Сумма членов арифметической прогрессии равна . В нашем примере , , число членов , тогда .

Пример 2. Найти предел числовой последовательности

Решение. Преобразуем заданное выражение

Таким образом, мы имеем сумму членов двух геометрических прогрессий, знаменатель одной из них , первый член , знаменатель другой , первый член .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е.

Для первой прогрессии ,

Для второй прогрессии ,

При имеем

Задание 9.

Пример 1. Вычислить предел

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением

И домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

При вычислении предела было учтено, что , .

Пример 2. Вычислить предел

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

Задание 10. Вычислить предел .

Решение. Так как , то – величина бесконечно малая, , т. е. – величина ограниченная. Произведение величины ограниченной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая, т. е.

< Предыдущая		Следующая >

определение, теоремы, свойства, примеры с решением

Оглавление:

С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей:

1) бесконечная последовательность рациональных приближений числа с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;… ; (*)

2) последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

Числовой последовательностью называется функция , которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании , , — соответственно первый, второй, n-й,… члены числовой последовательности.

Обозначают числовые последовательности Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы (n-го члена или рекуррентной).

Например:

В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).

Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

Пусть задано числовую последовательность . Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности

Очевидно, что при росте числа п члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например: ,а

В данном случае для любого достаточно малого числа (эпсилон) можно найти такое число N (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство .

Например, в рассмотренной выше последовательности для таким членом будет , поскольку, а для таким членом будет (проверьте).

В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

Число А называют пределом числовой последовательности , если для любого существует номер члена последовательности такой, что для всех выполяется неравенство

Обозначают: . Читают: предел числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, равен А.

Пример №1

Вычислите предел последовательности .

Решение:

Запишем несколько членов заданной последовательности: Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число N, что для всех будет выполняться неравенство . Имеем:

Следовательно, такое число существует. Например, при последнее неравенство будет иметь вид , или .

То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

Следовательно, .

Докажите самостоятельно и запомните, что .

Если числовая последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то есть

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей , то есть:

4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей , т.е.

5.Если последовательности и — сходящиеся , ., то числовая последовательность тоже сходящаяся и выполняется равенство

Пример №2

Найдите предел последовательности .

Решение:

Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей , (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов , используют следующее правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последователь кости, которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно),каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

Пример №3

Вычислите .

Решение:

Здесь , . Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку , , то делим каждый член многочленов на и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.

Пример №4

Вычислите:

a) ; б) .

Решение:

б) .

Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при , которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно)* каждый из которых имеет предел,равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

1 )m = k, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях заданных многочленов;

2) m < k , то предел равен нулю;

3) m> k, то предел равен бесконечности.

Пример №5

Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что .

Решение:

Нужно доказать, что существует такое , что для всех выполняется неравенство . Преобразуем выражение , стоящее в левой части :

Пусть , тогда , а . Для любого можем найти соответствующее , например .

Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

Пример №6

Вычислите: а) ; б) .

Решение:

а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.

б) Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Имеем:

Предел и непрерывность функции

Часто говорят о значении функции в точке, пределе функции в точке, приращении функции в точке, непрерывности функции в точке. О каких точках идёт речь? О точках оси абсцисс — значениях аргумента.

Значение функции в точке

Пусть задано, например, функцию . Если х = 1, то соответствующее значение функции равно 3. Говорят, что в точке х = 1 значение функции f(x) равно 3. В точке х = 0 её значение равно 1, в точке х = 10 значение функции f(x) равно 111. Пишут: , f(0) =1 , f(10)=111.

Предел функции в точке

Рассмотрим ту же функцию . Если значения её аргумента х достаточно близко и с обеих сторон приближаются к 1, то соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к числу 3 (рис. 43). Об этом свидетельствуют данные таблицы (рис. 44), в которой содержатся значения.

функции для 10 значений аргумента, близких к числу 1, и график, изображённый на рисунке 43.

Другими словами: разность может стать и оставаться сколь угодно малой, если разность будет достаточно малой. В этом случае говорят, что предел функции f(x) в точке х = 1 равен 3. Пишут: если х —> 1, то , или .

Существенная деталь: функция может иметь предел даже в такой точке, в которой она не определена, потому что знаменатель не может равняться нулю. Во всех остальных точках функция имеет такие же значения, как и функция f(x), ибо : , если . График функции изображён на (рис) 45.

Хотя значение функции в точке x= 1 не существует, а её предел в этой точке существует и равен 3.

Определение предела функции можно сформулировать так.

Число b называется пределом функции f(x)в точке ,если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех значений х из промежутка кроме, возможно, самой точки , справедливо неравенство .

Пишут так:.

Определение предела функции имеет простое геометрическое толкование: какое бы ни было достаточно малое наперёд за-данное положительное число (), можно указать такое положительное число, что для всех точек х, которые удалены от точки не далее чем на , график функции лежит внутри полосы — шириной , ограниченной прямыми и (рис. 46).

Предел функции имеет интересные свойства. Например:

• функция не может иметь двух различных пределов в точке;

• если с — число, то ;

Несколько свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет предел в точке , то в этой точке существуют пределы функций ,

справедливы равенства:

Другими словами можно сказать так.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Предел суммы (разности, произведения) функций равен сумме (разности, произведению) пределов данных функций. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя не равен нулю.

Эти свойства используют для вычисления пределов функций в заданных точках.

Пример №7

При условии, что вычислите предел функции f(x), если:

а)б)

Решение:

a) ;

б) .

Замечание. Решая такие упражнения, некоторые преобразования можно выполнять устно.

В предыдущих примерах для нахождения предела достаточно было подставить в данное выражение предельное значение аргумента. Но часто такая подстановка приводит к неопределённости вида , , ,, , , . В таких случаях и сначала необходимо преобразовать данное выражение, а уже потом вычислять предел. Нахождение предела таким образом называется раскрытием неопределённостей.

Пример №8

Найдите .

Решение:

Поскольку при предел знаменателя равен нулю, то использовать теорему о пределе частного нельзя. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенности вида — .

Чтобы её раскрыть, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:

Приращения аргумента и функции

Пусть дано, например, функцию . В точке ее значение . Увеличим значение аргумента на 0,01, то есть, пусть . Соответствующее значение функции . По сравнению с предыдущим значением оно увеличилось на 0,0401. Здесь 0,01 — приращение аргумента, а 0,0401 — соответствующее приращение функции, а именно: приращение функции на промежутке [2; 2,01].

Приращением аргумента в точке называют разность , где х — произвольное число, которое мало отличается от и может быть положительным или отрицательным. Соответствующее приращение функции f(x) — разность .

Приращение аргумента х обозначают символом , а приращение функции , (читают: дельта икс, дельта эф, дельта игрек). Так, в рассматриваемом примере = 0,01, = 0,0401.

Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки (рис. 47),

Свойства этих понятий показано на рисунках 47 и 48. Если функция f(x) — возрастающая и , то — число положительное, а если f(х) — убывающая функция и , то — число отрицательное.

Непрерывность функции

Как связаны между собой приращения аргумента х и функции в точке = 2? Если , то = 0,0401; если = 0,001, то = 0,004001 и т. д. Вообще, если , то и , т. е. приращение функции стремится к нулю, когда стремится к нулю приращение аргумента (слева или справа). В таком случае говорят, что функция f(x) непрерывна в точке .

| Функция f(x) называется непрерывной в точке , если в этой точке достаточно малым приращениям аргумента соответствуют сколь угодно малые приращения функции.

Иначе:

Преобразуем последнее равенство:

Поскольку , когда то получим , отсюда

Функция у =f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке .

Использование последней формулы существенно упрощает вычисление пределов для непрерывных функций.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. График такой функции — непрерывная кривая (её можно провести, не отрывая карандаш от бумаги).

На рисунке 49 изображены графики функций, имеющих разрывы в точке х = 1; они не являются непрерывными в этой точке.

Непрерывными в каждой точке своей области определения есть элементарные функции — рациональные, тригонометрические, , а также функции, образованные из них с помощью четырёх арифметических действий. Графики элементарных функций на каждом промежутке из области определения являются неразрывными линиями.

Теория пределов — большой и интересный раздел курса математического анализа, который изучается в университетах. В школе этот материал изучают обзорно, на основе наглядных представлений и интуиции. Представление о пределах и их свойствах желательно иметь для изучения производной и её применений — мощного аппарата для исследования многих реальных процессов.

Предлагаем вам ознакомиться с одним из интересных и важных фактов теории пределов. Рассмотрите таблицу, составленную с помощью Excel.

Как видим, при достаточно малых значениях , а .

В курсе математического анализа строго доказывается, что

Это равенство называется первым замечательным пределом. Его используют для нахождения пределов функций, связанных с тригонометрическими.

Пример №9

Вычислите предел .

Решение:

Пример №10

Вычислите:

а) б) в)

Решение:

а) В точке x = 3 предел каждой из дробей не существует, поэтому воспользоваться теоремами о пределах мы не можем. Упростим функцию, содержащуюся под знаком предела, выполнив действие вычитания. Имеем:

б) В тючке х = 1 данная функция не определена, но дробь можно сократить: .

Поскольку для вычисления предела при саму точку можно исключить и не рассматривать, то

в) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряжённые к данным.

Пример №11

Найдите приращение функции при переходе значения аргумента от 3 до 3,5.

Решение:

Способ 1. Имеем , a , тогда

До этой формуле можно вычислить значение для любых х и . В частности, в нашем примере х = 3,= 3,5 — 3 = 0,5, поэтому .

Способ 2. ,.

Пример №12

Для функции найдите:

а) приращение функции при переходе от некоторой точки х к точке х + ;

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

a) , .

б) , поскольку , а х — не зависит от .

Пример №13

Вычислить предел .

Решение:

Таблица производных основных элементарных функций

Правила дифференцирования

Пример №14

Вычислить производную функции у(х), заданной в неявной форме .

Решение:

В случае неявного задания функции F(x,y) = 0 для нахождения ее производной нужно:

1) вычислить производную по переменной х функции F(x, у(х)),

2) приравнять эту производную нулю,

3) решить полученное уравнение относительно у'(х). В нашем случае получаем ,

Отсюда получим, что при .

Пример №15

Провести исследование функции

Решение:

1. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х=1. Она равна нулю в точке х = 0.

2. Вычислим первую производную данной функции: .

3. Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума функции.

Приравнивая первую производную функции нулю, находим ее критические точки (с учетом тех точек, где производная не существует): , , . Данные точки разбивают область определения функции на четыре промежутка монотонности:, , , . Так как у’ >0 при и у’ < 0 при ,то на промежутках и функция возрастает, а на промежутках (0; 1) и убывает. Точка х = 0 является точкой локального максимума .

4. Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции. Для этого исследуем знак второй производной:

Так как у»>0 при ; и у»<0 при, то на промежутках и график функции является выпуклым вниз, а на промежутках и (0, 1) график функции является выпуклым вверх. При этом точка области определения функции, при переходе через которую вторая производная меняет знак, задает точку перегиба, .

Точка х = 1 не задает точку перегиба, поскольку она не входит в область определения функции.

5. Найдем асимптоты графика.

Вертикальной асимптотой является прямая х= 1, поскольку

Найдем наклонные асимптоты графика функции .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Для определения ее параметров последовательно вычислим два предела:

В результате получаем, что наклонной асимптотой является прямая у = х. Исследование функции закончено.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Предел последовательности

4.1Примеры и мотивировка

В этой лекции мы введём, пожалуй, главное понятие математического анализа — понятие предела. Это сложное понятие. Человеческий мозг не привык работать с бесконечностями. Думая про какую-то последовательность, мы как правило представляем себе лишь её первые несколько элементов. Сейчас же нам предстоит вглядеться в бесконечный хвост последовательности и понять, как он устроен.

Пусть есть последовательность {an}. Можно думать про неё как про последовательность результатов измерения какого-то параметра (скажем, населения некоторой страны) в последовательные моменты времени (например, каждый год). Правда, в отличие от реальных результатов измерения, наша последовательность простирается бесконечно далеко в будущее, и именно это «бесконечное будущее» нас и интересует. Есть ли какое-то значение A, к которому члены последовательности будут становиться всё ближе и ближе — так, что, со временем их будет всё сложнее и сложнее отличить от A?

Давайте рассмотрим несколько примеров.

4.1.1Последовательность 1/2n

Пусть an=12n. Давайте выведем первые двадцать членов этой последовательности.

Я написал для этого короткий код на языке Python, который приведён ниже вместе с результатом его выполнения. Код можно скрывать и открывать, нажимая на кнопку-уголок. Если вы не знаете Python, ничего страшного — для понимания он не понадобится. Но если знаете, возможно, вам будет интересно самостоятельно проводить эксперименты, похожие на приведенные.

print("n	a_n")
for n in range(1, 21):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.5f}") 
    # 0.5f означает, что будут выведены 5 знаков после десятичной точки

Из результатов видно, что начиная с 18-го члена получаются нули. Конечно, мы понимаем, что это не настоящие нули — ни один член этой последовательности на самом деле не равен нулю. (Если вы делите положительное число на что угодно, никак нельзя получить ноль — уравнение 1/x=0 не имеет решения, потому что в противном случае 1 окажется равным 0⋅x, а этого не может быть, потому что умножение чего угодно на 0 даёт 0.

) Однако, мы вывели только 5 знаков после десятичной запятой (точки), поэтому все числа, меньшие 0,00001, отображаются как нули.

Но ведь можно увеличить точность! Давайте отображать шесть цифр после запятой!

n	a_n
1	0.500000
2	0.250000
3	0.125000
4	0.062500
5	0.031250
6	0.015625
7	0.007812
8	0.003906
9	0.001953
10	0.000977
11	0.000488
12	0.000244
13	0.000122
14	0.000061
15	0.000031
16	0.000015
17	0.000008
18	0.000004
19	0.000002
20	0.000001

Теперь первые 20 членов последовательности отчётливо ненулевые. Но последовательность на этом не заканчивается — давайте выведем ещё несколько членов.

n	a_n
20	0.000001
21	0.000000
22	0.000000
23	0.000000
24	0.000000

Опять нули! Давайте ещё увеличим точность! Семь знаков после запятой!

n	a_n
20	0.0000010
21	0.0000005
22	0.0000002
23	0.0000001
24	0.0000001

До 24-го члена значения ненулевые, а после?

n	a_n
24	0. 0000001
25	0.0000000
26	0.0000000
27	0.0000000
28	0.0000000
29	0.0000000

Похоже, дело безнадёжно. Какую бы точность отображения мы ни выбирали, начиная с некоторого момента последовательность будет выглядеть, как будто состоит из сплошных нулей!

Это и означает, что она стремится к нулю.

4.1.2Последовательность n+1n

Пусть теперь an=n+1n. Тоже можно вывести первые несколько значений.

Здесь эффект не столь очевиден. Давайте построим график. По горизонтальной оси будем откладывать n, по вертикальной — an. В отличие от обычного графика функции, он будет состоять из отдельных точек, соответствующих натуральным значениям n, см. рис. 4.1.

Рис. 4.1: График y=an.

По графику можно угадать, что точки, вероятно, приближаются к прямой y=1, то есть элементы последовательности стремятся к 1. Для большей наглядности можно нарисовать эту прямую (рис. 4.2).

Рис. 4.2: График y=an и прямая y=1.

Хотя тенденция вроде бы налицо, нетрудно видеть, что между точками y=an и прямой y=1 есть некоторый зазор. Но что если взять побольше точек? См. рис. 4.3.

Рис. 4.3: График y=an: взяли побольше точек.

Видно, что зазор стал меньше и для больших значений n вообще непонятно, есть он или нет. Но если изменить масштаб вертикальной оси, станет видно, что он всё-таки есть (рис. 4.4).

Рис. 4.4: График y=an: увеличили масштаб вертикальной оси.

Но теперь можно добавить ещё больше точек (рис. 4.5)!

Рис. 4.5: График y=an: увеличили масштаб вертикальной оси, а потом взяли ещё больше точек

И снова зазор стал практически неразличим!

Так можно продолжать до бесконечности. Увеличивать масштаб вертикальной оси (и следовательно нашу способность различать близкие точки) — находить зазор — увеличивать количество точек — делать зазор неразличимым.

В общем, можно предположить, что наша последовательность стремится к числу 1. В принципе, это неудивительно. Можно преобразовать формулу для общего члена последовательности:

an=n+1n=1+1n

Когда n становится очень большим, 1n становится очень маленьким, поэтому вся сумма становится очень близкой к 1. Что мы и видим на графике.

4.1.4«Скачущая» последовательность

При рассмотрении предыдущих примеров, у вас могло возникнуть искушение дать такое определение: «последовательность {an} стремится к какому-то числу a, если её члены с ростом n становятся всё ближе и ближе к a: каждый следующий член ближе, чем предыдущий».

Более внимательный анализ показывает, что это определение неверно. Например, последовательность n+1n, которую мы только что рассматривали, «становится всё ближе и ближе» не только к 1, но и, например, к 0 — причём каждый следующий член ближе, чем предыдущий. Тем не менее, нельзя сказать, что она стремится к 0.

Более того, требование «каждый следующий член ближе, чем предыдущий», оказывается излишним.

Давайте рассмотрим такую последовательность:

an={n+1n,n — нечётное;n+3n,n — чётное.

Её первые члены выглядят следующим образом:

2, 52, 43, 74, 65,…

График этой последовательности изображен на рис. 4.6. Тут видно, что требование «каждый следующий элемент ближе к 1, чем предыдущий», нарушается: элементы с чётными номерами ближе к 1, чем элементы с нечётными номерами.

Рис. 4.6: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к ней стремится. Точки соединены пунктирной линией исключительно для наглядности: значения последовательности для нецелых n не определено.

Тем не менее, судя по графику на рис. 4.7, можно предположить, что, несмотря на скачки, последовательность всё-таки стремится к числу 1: с течением времени (то есть с ростом n) её элементы становятся настолько близки к единице, что их трудно от неё отличить.

Рис. 4.7: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к ней стремится.

4.1.5Последовательности без предела

Последовательности, рассмотренные выше, стремились к какому-то числу. Приведём несколько примеров последовательностей, у которых предела нет.

Пример 1. Последовательность an=n2:

1, 4, 9, 16,…

Эта последовательность неограничена, и выглядит очевидным, что она не стремится ни к какому числу. У неё нет предела.

Пример 2. Последовательность

an=(−1)n+1n.(4.1)

В зависимости от чётности n, первое слагаемое оказывается равно 1 или −1. Посмотрим, как выглядит график этой последовательности (рис. 4.8).

Рис. 4.8: Последовательность скачет между двумя точками.

По графику видно, что нет одного числа, к которому члены последовательности были бы очень близки при больших n: она скачет между двумя значениями, 1 и −1.

Пример 3. Наконец, рассмотрим такую последовательность:

an={12,∃k∈N:n=2k;n+1n,∀k∈N:n≠2k.(4.2)

Эта последовательность устроена так. Для тех n, которые являются степенями двойки (1, 2, 4, 8, 16 и т.д.), an равно 12. Для остальных n, an равно n+1n. Посмотрим на график на рис. 4.9.

Рис. 4.9: Последовательность всё реже и реже убегает от предельного значения

Понятно, что для тех номеров, которые не являются степенями двойки, элементы становятся сколь угодно близки к 1. Время от времени последовательность «убегает» в точку 12, однако эти моменты, будучи степенями двойки, встречаются всё реже и реже. Если бы мы стартовали с больших значений n, мы могли бы очень долго наблюдать последовательность, которая становится очень близка к 1.

Тем не менее, нельзя сказать, что её предел равен 1. Мы знаем, что с какого бы начального момента времени мы ни стартовали, рано или поздно n окажется степенью двойки, и в этот момент последовательность «скакнёт» в число 1/2, уйдя от 1 на заметное расстояние.

4.2Определение предела

4.2.1Интуитивные соображения

Из обсуждения в предыдущем разделе должно быть понятно — по крайней мере, на интуитивном уровне — чего бы мы хотели потребовать от последовательности, чтобы сказать, что она стремится к некоторому числу A. Подведём промежуточный итог.

Первые сколько-то членов могут быть достаточно далеки от A, это никак не мешает последовательности стремиться к A. Иными словами, «стремление» — это эффект, который зависит только от «хвоста» последовательности.
Для достаточно больших значениий n члены последовательности должны становиться настолько близкими к A, чтобы их нельзя было отличить от A, скажем, на графике или на компьютерной распечатке, на которой числа выводятся с конечной точностью.
Этот эффект должен сохраняться для всех достаточно больших n. Если последовательность время от времени «убегает» от A на какое-то заметное расстояние, и это происходит сколь угодно далеко в будущем, последовательность не будет стремиться к A.
Мы можем увеличить точность измерения — например, выводить больше цифр после запятой или увеличить масштаб на графике — и увидеть зазор между членами последовательности и числом A. Однако, мы можем взять ещё большие значения n, чтобы эффект «неразличимости» вернулся.

Теперь приступим к формализации понятия предела.

4.2.2Вспомогательные понятия

Нам потребуется несколько вспомогательных определений и обозначений.

Определение 1. Расстоянием между вещественными числами a и b называется модуль их разности: |a−b|. Это довольно естественное определение, если думать про числа как про точки на числовой прямой, см. рис. 4.10.

Рис. 4.10: Модуль разности — это расстояние между числами как точками числовой прямой.

Буквой ε (читается «эпсилон» — почему-то со слуха часто кажется, что там в конце есть буква «т» — нет, её нет) мы будем обозначать положительные и как правило маленькие вещественные числа.

Определение 2. Скажем, что два числа ε-близки («эпсилон-близки») друг к другу, если расстояние между ними меньше ε.

Вместо ε здесь можно подставлять другие буквы или конкретные числа — например, δ-близки («дельта-близки») или 0,1-близки. Скажем, утверждение «число π 0,1-близко к числу 3,14» является верным, поскольку расстояние между π и 3,14 (модуль разности) меньше, чем 0,1. Числа a и b будут ε-близки, если модуль их разности меньше ε: |a−b|<ε.

Определение 3. Рассмотрим последовательность {an}. Скажем, что её хвост ε-близок к числу A, если все её члены, начиная с некоторого, ε-близки к A. Иными словами, если все члены, начиная с некоторого, находятся на расстоянии меньше ε от A.

Формально это записывается так:

∃N∈N ∀n∈N:(n>N)⇒|an−A|<ε.(4.3)

∃N∈N ∀n∈N:(n>N)⇒⇒|an−A|<ε.(4.3)

Здесь сказано, что найдётся такой номер N, что все члены последовательности с номерами от N+1 и больше находятся на расстоянии меньше ε от A.

Импликация в этом определении говорит, что нас интересует выполнение условия |an−A|<ε не для всех n, а только для тех, для которых выполнено n>N, то есть «начиная с некоторого члена»; если оно нарушается для членов с меньшими номерами, это не будет нарушать утверждение, поскольку в этом случае посылка импликации n>N окажется ложной, и значит импликация будет истинной. Более кратко это определение можно записать так:

∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.

На рис. 4.11 приведена иллюстрация к этому определению. Множество точек, ε-близких к точке A — это интервал (A−ε,A+ε). Если на графике последовательности нарисовать горизонтальные прямые y=A+ε и y=A−ε, они образуют своего рода коридор вокруг A (его можно назвать ε-коридором). Утверждение, что хвост последовательности ε-близок к A, означает, что начиная с некоторого номера n=N+1, все члены последовательности находятся в интервале (A−ε,A+ε), а соответствующие им точки на графике живут в нарисованном нами ε-коридоре. Точки с номерами меньше или равными N, могут как принадлежать коридору, так и выходить из него.

Рис. 4.11: Хвост последовательности ε-близок к числу A.

Заметим, что в этом определении не сказано, с какого именно члена начинается «хвост последовательности». Более того, для одной и той же последовательности «хвосты» могут быть разными, в зависимости от ε.

Пример 4. Рассмотрим последовательность an=1n. Её хвост 0,1-близок к 0. Действительно, возьмём N=10. Для всех n>N, an меньше 0,1 (поскольку n больше 10 обратная величина 1/n меньше 1/10).

Вопрос 1. Верно ли, что хвост последовательности an=1n является 0,01-близким к 0?

Нет, потому что существуют n>10, при которых расстояние между an и 0 больше, чем 0,01 — например, n=20, an=120=0,05, |an−0|=|an|=0,05>0,01.

Неверный ответ. Это рассуждение неверно: совсем не обязательно в качестве N брать именно 10, можно попробовать подобрать другое число, так, чтобы требование выполнялось.

Неизвестно, зависит от N.

Неверный ответ. Нет, в формуле (4.3) переменная N является связанной (на неё «навешан» квантор) — мы не спрашиваем, при каких N верно или неверно то-то и то-то — мы спрашиваем, «найдётся ли такое N?»

Да, верно.

Верный ответ. Конечно! Чему равняется N?

Неверный ответ. Не-а.

Неверный ответ. Нет.

100

Верный ответ. Да, например, 100 подойдёт. (Или любое большее число.)

Пример 5. Последовательность из примера 2 (см. (4.1)) имеет хвост, 1,2-близкий к числу 0, однако неверно, что её хвост 0,9-близок к 0.

Вопрос 2. Для какого ε хвост этой последовательности ε-близок к числу 1?

ε=0,5

Неверный ответ. Нет, у последовательности есть члены со сколь угодно большими номерами, лежащие на расстоянии больше 0,5 от 1 — например, все члены с нечётными номерами.

ε=1,5

Неверный ответ. Нет, у последовательности есть члены со сколь угодно большими номерами, лежащие на расстоянии больше 1,5 от 1 — например, все члены с нечётными номерами, большими 2 (хотя a1=0 находится на расстоянии 1 от числа 1).

ε=2

Верный ответ. Верно!

Ни для какого.

Неверный ответ. Нет, неверно.

Теперь мы готовы к Самому Главному Определению.

4.2.3Аккуратное определение предела

Мы хотим дать определение понятию, которое бы формализовало утверждение о том, что члены последовательности an с ростом n становятся очень-очень близки к некоторому фиксированному числу A — так, что, начиная с некоторого момента, мы их практически не можем отличить от A.

Понятие ε-близости призвано формализовать идею о том, что два числа близки, если расстояние между ними маленькое. Можно думать, что ε — это точность или разрешающая способность наших измерительных приборов (чем меньше ε, тем точнее приборы). В этом случае если два числа отличаются меньше, чем на ε, у нас нет практической возможности их различить, для нас они совпадают. Например, если мы печатаем все числа лишь с двумя знаками после запятой, мы можем не различить два числа, расстояние между которыми меньше 0,001.

Но какой ε «достаточно маленький»? В отличие от других дисциплин, в математике нет никакого естественного масштаба. С точки зрения географии, расстояние в 1/10 метра — это очень маленькое расстояние — потому что мы сравниваем его с типичными объектами, изучаемыми географией — странами, городами, морями. А с точки зрения микробиологии — фантастически большое — по сравнению с бактериями или ядром клетки. С точки зрения математики, невозможно даже задать вопрос «является ли 1/10 маленьким числом?» — потому что непонятно, с чем его сравнивать. Поэтому мы не можем выбрать какой-то конкретный ε и сказать: «последовательность стремится к A, если её члены, начиная с некоторого, ε-близки к A». Как же быть?

Очень просто. Мы потребуем, чтобы утверждение «хвост последовательности ε-близок к A», выполнялось для любого положительного ε. Какой бы ни была разрешающая способность наших измерительных приборов, если подождать достаточно долго, мы перестанем отличать члены нашей последовательности от A.

Определение 4. Последовательность {an} имеет предел A, если для всякого ε>0 её хвост ε-близок к A.

Формально:

∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.(4.4)

Если последовательность {an} имеет предел A, говорят также, что она стремится к A.

Коротко пишут так:

limn→∞an=A,

(читается «предел при n стремящемся к бесконечности от an равен A») или

an→A при n→∞,

(читается «an стремится к A при n стремящемся к бесконечности»).

Последовательность, имеющая предел, называется также сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

Заметим, что в определении предела, число N (граница «хвоста последовательности») выбирается в зависимости от ε — для разных ε получаются разные N. Если последовательность {an} стремится к A, гарантируется, что для любого ε найдётся «хорошее» N. Часто бывает удобно это «хорошее» N, подходящее для какого-то ε, обозначать через N(ε). (Вообще говоря, это N определяется не единственным образом — например, если N подходит, то N+1 тоже подходит — но мы выберем какое-нибудь из подходящих значений N и обозначим его через N(ε).) На рис. 4.12 приведена иллюстрация: для ε=ε1 мы могли выбрать N=3, то есть положить N(ε1)=3. Но для ε=ε2 (см. нижний рисунок) это значение N уже «не работает» (например, a4 выходит за границы нового коридора), однако увеличив N до 8 (то есть положив N(ε2)=8) мы снова добились соблюдения условия «все члены, начиная с n=N+1, находятся на расстоянии меньше ε от A».

Мы могли бы ещё сильнее уменьшить ε — и снова должно было найтись своё N, которое бы обеспечивало выполнение этого условия. Это и значит, что последовательность стремится к A.

Рис. 4.12: Зависимость N от ε в определении предела.

4.3Пример доказательств утверждений о пределах

4.3.1Существование предела

Самый лучший способ понять определение — доказать какое-нибудь утверждение про него.

Утверждение 1. Предел последовательности an=n+1n равен 1:

limn→∞n+1n=1.

Доказательство. Нам нужно научиться по любому ε>0 строить такое N=N(ε), что для всех n>N,

∣∣∣n+1n−1∣∣∣<ε.(4.5)

Преобразуем это неравенство: ∣∣∣1+1n−1∣∣∣<ε;∣∣∣1n∣∣∣<ε. Заметим, что n — натуральное число, значит положительное, значит 1n — тоже положительное, значит его модуль всегда равен ему самому. Следовательно, знак модуля можно просто снять. Получим неравенство:

1n<ε.

Можно умножить обе части этого неравенства на n и поделить на ε (благодаря тому, что n>0 и ε>0, эта операция является эквивалентным преобразованием и не приведёт к изменению знака неравенства). Получим такое неравенство:

1ε<n.

Наконец, можно переписать его справа налево:

n>1ε.(4.6)

Нам нужно найти такое N, что если n>N, то неравенство (4.5) выполняется. Наши преобразования были эквивалентными, поэтому, в частности, если выполняется неравенство (4.6), то выполняется и неравенство (4.5). Значит, достаточно сделать так, чтобы выполнялось неравенство (4.6). Очевидно, если выбрать какое-нибудь N≥1ε, мы победим: в этом случае любое n, большее N, будет также больше и 1ε, а значит неравенство (4.6) выполнено. В принципе, можно было бы просто положить N=1ε, но мы потребовали в определении 4, чтобы N было натуральным числом. Значит, нужно выбрать какое-нибудь натуральное число, не меньшее 1ε. Это всегда можно сделать. Однако, для определенности, давайте предложим конкретный механизм.

Определение 5. Пусть x — вещественное число. Его округлением вверх называется наименьшее целое число, не меньшее x. Например, 2,1 округляется вверх до 3. Число 17 округляется вверх до 17, потому что оно уже целое. Результат округления вверх числа x обозначается через ⌈x⌉. Функция y=⌈x⌉ также называется функцией «потолок» (англ. ceil).

Упражнение 1. Опишите, как действует функция ⌈x⌉, пользуясь представлением числа x в виде бесконечной десятичной дроби.

Итак, для всякого ε>0, положим N(ε):=⌈1ε⌉. По определению функции потолок, N(ε)≥1ε. Значит, для всех натуральных n, если n>N(ε), то n>1ε, а значит выполняется (4.6), а значит и (4.5). Ура!∎

Давайте рассмотрим ещё один пример.

Утверждение 2. Предел последовательности an=1n2+5n+12 равен нулю:

limn→∞1n2+5n+12=0.

Доказательство. По аналогии с предыдущим примером, запишем, что мы хотим получить. Мы хотим научиться для всякого ε>0 строить такое N=N(ε), что для всех n>N выполняется неравенство:

∣∣∣1n2+5n+12−0∣∣∣<ε.(4.7)

Можно попробовать преобразовать это неравенство. Во-первых, вычитание нуля ничего не меняет. Во-вторых, при натуральных n дробь положительна и знак модуля можно снять. Получаем такое неравенство:

1n2+5n+12<ε.(4.8)

Теоретически, дальше его можно мучительно решать относительно n, найдя для каждого фиксированного ε все возможные значения n, которые ему удовлетворяют. Делать это, однако, не нужно. Дело в том, что нам не нужны все без исключения значения n. Нам нужно добиться того, чтобы неравенство (4.8) выполнялось, но нам не нужно находить все значения n, при которых оно выполняется. Поэтому вместо эквивалентных переходов, которые мы должны делать, когда решаем неравенство, нам достаточно переходов к более сильным неравенствам — таким, из которых наше следует. И это существенно упрощает жизнь! Смотрите.

Заметим, что для натуральных n,

n2+5n+12>n2.

Действительно, 5n и 12 — положительные числа. Более того: для натуральных n, n2≥n (можно поделить это неравенство на n, поскольку n больше нуля, и получить неравенство n≥1, справедливое для всех натуральных n). Имеем цепочку неравенств:

n2+5n+12>n2≥n.

Значит

n2+5n+12>n

и следовательно

1n2+5n+12<1n.(4.9)

Оценивая знаменатель дроби снизу, мы оцениваем саму дробь сверху.

Пусть теперь мы подобрали какое-нибудь такое N, что при всех n>N выполняется неравенство 1n<ε. Тогда в силу неравнства (4.9), для тех же самых n, будет выполняться неравенство

1n2+5n+12<ε.

(Мы опять используем транзитивность неравенства: если A<B и B<C, то A<C.)

Таким образом, в качестве N(ε) можно взять то же выражение, что и в предыдущем примере: N(ε):=⌈1ε⌉. И оно сработает! Это гораздо проще, чем решать квадратное неравенство с параметром (можете попробовать — хотя вам вряд ли понравится).

Итак, если отбросить все мотивировки, полное доказательство выглядит так: для всякого ε>0, положим N(ε):=⌈1ε⌉. Тогда для всякого натурального n>N(ε) справедлива цепочка равенств и неравенств:

∣∣∣1n2+5n+12−0∣∣∣=∣∣∣1n2+5n+12∣∣∣==1n2+5n+12<1n<1⌈1/ε⌉≤11/ε=ε.

∣∣∣1n2+5n+12−0∣∣∣==∣∣∣1n2+5n+12∣∣∣==1n2+5n+12<<1n<1⌈1/ε⌉≤11/ε=ε.

Доказательство законечно. (Конечно, в аккуратном тексте нужно обосновать каждое из равенств и неравенств в цепочке, но мы это уже сделали выше.) ∎

4.3.2Предел не равен какому-то числу

Утверждение 3. Предел последовательности {an}, an=1n, не равен 1:

limn→∞1n≠1.

Доказательство. Нам нужно доказать, что неверно, что предел равен 1. Иными словами, опровергнуть следующее утверждение:

∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:∣∣∣1n−1∣∣∣<ε.

Опровергнуть утверждение — это всё равно, что доказать его отрицание. Запишем отрицание, пользуясь разделом 2.3.3 лекции 2:

∃ε>0 ∀N∈N ∃n>N:∣∣∣1n−1∣∣∣≥ε.(4.10)

Иными словами, нам нужно доказать, что существует такой ε>0, что какой бы номер N мы ни выбрали, найдётся номер n, больший, чем N, для которого элемент с номером n не является ε-близким к 1. Попросту нам нужно доказать, что для какого-то конкретного ε, время от времени — сколь угодно далеко в будущем — элементы последовательности будут на расстоянии как минимум ε от 1. В этом случае, конечно, ни о каком стремлении к 1 речи уже идти не будет.

Давайте посмотрим на картинку (рис. 4.13).

Рис. 4.13: График {1/n}.

Какое значение ε подойдёт? Например, подойдёт ли ε=1,5? Похоже, что нет — на самом деле, все элементы последовательности находятся на расстоянии не больше 1,5 от числа 1, см. рис. 4.14.

Рис. 4.14: График {1/n} и коридор вокруг 1 с «размахом» ε=1,5.

Однако, уже значение ε=1/3 подходит. Действительно, лишь одна точка лежит внутри коридора с «размахом» 1/3 вокруг прямой y=1, см. рис. 4.15.

Рис. 4.15: График {1/n} и коридор вокруг 1 с «размахом» ε=1/3.

Итак, пусть мы взяли ε=1/3. Теперь в соответствии с формулой (4.10) для всякого натурального N нужно научиться строить такое n, что n>N и одновременно

∣∣∣1n−1∣∣∣≥1/3.(4.11)

По картинке видно, что нам подойдёт любое n, начиная с n=2. Поскольку минимальное значение для N равно 1, то любое n, удовлетворяющее условию n>N, удовлетворяет и условию n≥2, и значит, нам подходит. Осталось построить натуральное число n, которое гарантированно больше данного натурального числа N. Как это сделать? Можно просто прибавить единицу к N, и всё!

Итак, положим: n:=N+1. Осталось доказать, что выполняется неравенство (4. 11). Действительно:

∣∣∣1N+1−1∣∣∣=1−1N+1≥1−12=12≥13=ε.(4.12)

∣∣∣1N+1−1∣∣∣=1−1N+1≥≥1−12==12≥13=ε.(4.12)

Первое равенство следует из того факта, что 1N+1 меньше единицы для натуральных N и модуль может быть раскрыт только так, первое неравенство следует из того факта, что 1N+1 ещё и меньше 1/2, т.к. N натуральное и не меньше 1.∎

4.3.3Несуществование предела

Не у всякой последовательности существует предел.

Утверждение 4. Последовательность an=(−1)n не имеет никакого предела.

Доказательство. Нас пожидает некоторая трудность в самом начале. Определение предела требует, чтобы мы назвали конкретное число A, которое является пределом. Здесь никакого A нет.

Формально, утверждение «последовательность {an} имеет предел» записывается так: найдётся какое-то число A, которое является пределом {an}. В кванторах:

∃A∈R ∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.

Ух! Четыре квантора.

Давайте напишем отрицание к этому утверждению (это как раз то, что нам нужно доказать):

∀A∈R ∃ε>0 ∀N∈N ∃n>N:|an−A|≥ε.

Иными словами, для всякого вещественного числа A, справедливо утверждение: A не является пределом нашей последовательности.

Теперь будем его доказывать. Тут нужно разобрать два случая: A≠1 и A=1.

Случай A≠1. Как обычно, начнём с картинки, см. рис. 4.16. Мы отметили точку A между 0 и −1, но на самом деле она может быть какой угодно, кроме 1.

Рис. 4.16: График последовательности {(−1)n}.

Теперь нужно выбрать такое ε>0, что последовательность будет время от времени выскакивать из ε-коридора сколько угодно далеко в будущем. Как найти ε? Поскольку мы знаем, что A≠1, и также знаем, что сколь угодно далеко в будущем последовательность посещает точку 1, логично выбрать такой размах коридора, при котором он не будет содержать точки с y=1. Это легко сделать: достаточно в качестве ε взять число, которое было бы меньше, чем расстояние от A до 1. В этом случае, если элемент последовательности равен 1, его расстояние до A будет гарантированно больше, чем ε.

Положим

ε=|A−1|2.

Тут важно, что A≠1 и следовательно ε>0.

Тогда одна из границ коридора будет проходить в точности посередине между A и 1, см. рис. 4.17. Пусть теперь дано произвольное натуральное N. Из рисунка видно, что каким бы ни было это N, найдутся элементы последовательности, лежащие вне коридора между A+ε и A−ε после n=N (заштрихованная область на рисунке). Собственно, мы именно так и выбирали ε: для любого чётного n, an=1 и следовательно соответстующая точка лежит вне указанного коридора. Для любого N найдётся чётное натуральное число n>N — оно-то нам и нужно.

Рис. 4.17: График последовательности {(−1)n} и коридор для выбранного значения ε.

Чтобы сделать рассуждение совсем железобетонным, нужно привести явный способ построения n по N. Тут можно действовать разными методами — например, можно выбирать первое чётное, большее N, но можно проще: положить

n=2N.

Действительно, 2N>N для всех натуральных N и число 2N гарантированно чётное.

Наконец, нужно доказать, что для выбранного таким образом n, будет выполняться неравенство |an−A|≥ε. Поскольку n чётно, an=1. Подставляя значение ε, имеем:

|1−A|≥|A−1|2.

Поскольку |1−A|=|A−1| и это положительное число, это неравенство заведомо верно.

Таким образом, для любого A≠1 мы предъявили такое значение ε=|A−1|2>0, что для всех натуральных N мы построили такое n=2N, что n>N и |an−A|≥ε. Значит, A не является пределом нашей последовательности.

Случай A=1. Он доказывается полностью аналогично, и даже проще, потому что теперь значение A известно. Хорошее упражнение — написать это доказательство явно и аккуратно, подобно тому, как выше разборан случай A≠1. Пожалуйста, сделайте это, прежде, чем идти дальше!∎

4.

4Единственность предела

Когда мы записываем выражение типа

limn→∞an=A,(4.13)

мы подразумеваем, что левая часть равенства является каким-то однозначно определенным числом. Конечно, мы понимаем, что не всякое выражение обязано иметь числовое значение (например, арифметическое выражение 1/0 не имеет никакого числового значения), но если уж имеет, то мы предполагаем, что это значение определяется однозначно. Тем не менее, в определении предела никаких требований, связанных с единственностью предела, не накладывается. Как видно, это определение отвечает на вопрос «является ли A пределом последовательности {an}», но вдруг для одной и той же последовательности найдутся два разных числа, для которых ответ будет положительным? В этом случае запись вроде (4.13) потеряла бы всякую определенность.

К счастью, так не бывает. Давайте это докажем.

Теорема 1. Если предел последовательности существует, то он единственный. Иными словами, пусть есть последовательность {an} и два числа, A1 и A2, удовлетовряющие определению предела для этой последовательности. Тогда обязательно A1=A2.

Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть A1 и A2 оба являются пределами последовательности {an}, но при этом A1≠A2. Запишем формально утверждения про пределы:

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A1|<ε1;∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|an−A2|<ε2.(4.14)(4.15)

Мы обсуждали (см. раздел 3.2.3), что когда есть несколько утверждений с кванторами, в которых участвуют одни и те же буквы, никакой связи между этими буквами за пределами соответствующих утверждений нет. Так что чтобы не путаться, мы добавили немножко индексов — например, ε1 для утверждения про предел A1 и ε2 для утверждения про предел A2. Мы также ввели очень полезное обозначение N1(ε1) и N2(ε2) — таким образом мы сразу понимаем, N из какого определения взято и для какого ε оно найдено.

Впрочем, давайте вернёмся с формального уровня на интуитивный. У нас есть два разных числа, A1 и A2, и два утверждения: одно говорит, что весь хвост последовательности, начиная с какого-то элемента, будет близок к A1, а другое утверждение говорит, что хвост той же самый последовательности (начинающийся, впрочем, с какого-нибудь другого элемента) целиком близок к A2. Могут ли эти два утверждения друг другу не противоречить? Зависит от того, что считать «близкими точками». Но это как раз регулируются нашими значениями ε1 и ε2. И они сейчас находятся в нашей власти — мы можем их выбирать какими хотим!

Действительно, до сих пор когда мы доказывали, что предел равен какому-то числу, мы воспринимали ε как нечто данное, что от нас не зависит. Потому что нам нужно было доказать утверждение, взятое из определения предела, а оно начинается квантором «для всякого ε>0». В этот же раз мы находимся в обратной ситуации. Нам дано (по предположению), что предел последовательности равен A1. Значит, нам сказано, что для всякого ε1>0 найдётся такое N1=N1(ε1), что какое-то там неравенство выполняется. Если мы хотим найти N1 для ε1=1/10, мы можем это сделать. И для ε1=1/100. И для любого другого положительного ε1 можем найти. Аналогично и со вторым утверждением.

Как выбрать ε1 и ε2, чтобы имеющиеся у нас утверждения пришли к явному противоречию? Давайте посмотрим на картинку, рис. 4.18.

Рис. 4.18: Противоречие в доказательстве теоремы 1.

Известно, что, начиная с некоторого номера n=N1, все элементы последовательности лежат в ε1-коридоре вокруг точки A1. В то же время, начиная с некоторого n=N2, все элементы последовательности лежат в ε2-коридоре вокруг точки A2. Если выбрать эти коридоры непересекающимися, будет явное противоречие — точки не смогут жить в обоих одновременно!

Какими выбрать ε1 и ε2, чтобы коридоры не пересекались? Это легко: давайте разделим расстояние между A1 и A2 на три. Тогда верхняя граница нижнего (на картинке) коридора вокруг A2 будет проходить по нижней трети отрезка [A2,A1], а нижняя граница верхнего коридора — по верхней трети этого же отрезка. Конечно, пересечения не будет, и мы победим.

Давайте сделаем железобетонное рассуждение. Итак, пусть

ε1=ε2=|A1−A2|3.

Здесь мы воспользовались предположением, что A1≠A2, и значит наши ε1 и ε2 положительны.

Пусть также

N1:=N1(ε1)=N1(|A1−A2|3),N2:=N2(ε1)=N2(|A1−A2|3).(4.16)

N1:=N1(ε1)==N1(|A1−A2|3),N2:=N2(ε1)==N2(|A1−A2|3).(4.16)

Теперь нужно найти элемент (достаточно будет одного), который приведёт нас к противоречию. Его номер должен одновременно удовлетворять условию n>N1 (потому что утверждение про предел A1 (см. (4.14)) даёт нетривиальную оценку именно для таких n, а про меньшие n оно ничего не утверждает) и n>N2 (аналогично с утверждением про A2). Как найти такое n? Очень просто: можно взять максимум из N1 и N2 и прибавить 1. Положим:

n=max(N1,N2)+1.

Тогда n>N1 и согласно (4.14) в этом случае обязательно

|an−A1|<ε1=|A1−A2|3.

Одновременно n>N2 и согласно (4.15) в этом случае обязательно

|an−A2|<ε2=|A1−A2|3.

Чтобы не возиться с раскрытием модулей и рассмотрением разных случаев, применим известное неравенство треугольника: расстояние от A1 до A2 не превосходит сумму расстояний от A1 до an и от an до A2. Имеем:

|A1−A2|≤|A1−an|+|an−A2|<|A1−A2|3+|A1−A2|3=23|A1−A2|.(4.17)

|A1−A2|≤≤|A1−an|+|an−A2|<<|A1−A2|3+|A1−A2|3==23|A1−A2|.(4.17)

Но |A1−A2| — положительное число! Положительные числа уменьшаются, если их умножить на 2/3, а не увеличиваются, как следует из нашего неравенства. Противоречие! Теорема доказана.∎

4.5Заключение

Уфф, это была длинная лекция, но мы сделали самое главное: ввели аккуратное определение предела последовательности и убедились, что оно корректно — то есть для всякой последовательности, для которой предел существует, он задан однозначно. Мы также рассмотрели несколько примеров доказательств утверждений о существовании и не существовании пределов для конкретных последовательностей. На следующей лекции мы докажем больше общих свойств о пределах, а на семинаре потренируемся пользоваться определениями.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.
Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.
Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$. 2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Как вычислить пределы последовательностей? :: SYL.ru
Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х₁, х₂, х₃, …х_n…
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х₁ — первый член последовательности;
х₂— второй член последовательности;
х₃— третий член;
…
х_n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х_n=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
х₁ = 3;
х₂= 6;
х₃= 9;
и т. д.
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а₁=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а₁= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а₂= 15+4=19 — второй член прогрессии.
а₃=19+4=23 — третий член.
а₄=23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а_125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а_n=a₁+d(n–1). В данном случае а₁₂₅=15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а_n=(-1)ⁿ. Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а_n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а₁ = 1х2=2;
а₂ = 1х2х3 = 6;
а₃ = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: а_n= (–1/2)ⁿ.
а₁ = – ½;
а₂ = ¼;
а₃ = – 1/8 и т. д.
Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а_n=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.
Определение предела последовательности
Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:
1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.
Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а_x= 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.
5, 9, 13, 17, 21…x …
Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:
Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:
a_x = 4x + 1.
А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.
Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.
Общее обозначение предела последовательностей
Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.
Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?
∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.
∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.
Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.
Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше «эпсилона».
Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.
Неопределённость и определённость предела
Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:
Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:
Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.
Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х¹.
Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.
Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х¹.
Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:
Получается следующее выражение:
Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.
Что такое окрестность?
Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.
Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.
Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.
Теперь зададим некоторую последовательность х_n и положим, что десятый член последовательности (x₁₀)входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?
Допустим, х₁₀находится правее от точки а, тогда расстояние х₁₀–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х₁₀–а|<ε.
Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x_n – a|< ε.
С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.
Теоремы
Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:
1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.
Доказательство последовательностей
Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.
Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.
По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x_n– a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:
Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.
На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» — числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.
Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.
Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.
А может, его нет?
Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x_n= (–1)ⁿ. очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.
Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.
Монотонная последовательность
Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».
Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x_n < x_n_+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x_n > x_n_+1.
Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x_n ≤ x_n₊₁ (неубывающая последовательность) и x_n ≥ x_n₊₁(невозрастающая последовательность).
Но легче понимать подобное на примерах.
Последовательность, заданная формулой х_n= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.
А если взять x_n=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.
Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.
Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.
Предел монотонной последовательности
Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.
Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).
Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.
Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).
Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.
Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей — также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!
Различные действия с пределами
Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.
Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.
Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.
Свойства величин последовательностей
Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:
1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.
На самом деле вычислить предел последовательности — не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.
объяснение, теория, примеры решений. Как решать пределы для чайников
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если Вам нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь к за быстрым и подробным решением.
Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. 2 стремится к нулю.
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1
В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность — ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f»(x)/l»(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при
том — отсутствие ошибок при нахождении производных. (n-1)
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису — . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www. сайт, что приведет с успешному выполнению задачи — вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.
Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х 1 , х 2 , х 3 , …х n …
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х 1 — первый член последовательности;
х 2 — второй член последовательности;
х 3 — третий член;
х n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.
а 3 =19+4=23 — третий член.
а 4 =23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а 2 = 1х2х3 = 6;
а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1
а 3 = — 1/8 и т. д.
Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок.
Определение предела последовательности
Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:
1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.
Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.
5, 9, 13, 17, 21…x …
Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:
Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:
А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0. 1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.
Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.
Общее обозначение предела последовательностей
Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.
Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?
∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.
∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.
Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.
Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.
Неопределённость и определённость предела
Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:
Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:
Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.
Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 .
Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.
Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 .
Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:
Получается следующее выражение:
Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.
Что такое окрестность?
Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.
Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.
Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.
Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?
Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а
Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n — a|
С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.
Теоремы
Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:
1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.
Доказательство последовательностей
Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.
Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.
По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n — a|
Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.
На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» — числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.
Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.
Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.
А может, его нет?
Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.
Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.
Монотонная последовательность
Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».
Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n x n +1.
Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность).
Но легче понимать подобное на примерах.
Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.
А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.
Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.
Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.
Предел монотонной последовательности
Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.
Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).
Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.
Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).
Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.
Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей — также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!
Различные действия с пределами
Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.
Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.
Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.
Свойства величин последовательностей
Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:
1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.
На самом деле вычислить предел последовательности — не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.
Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность :
Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .
Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .
Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Закрепим материал практикой:
Пример 1
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .
К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Пример 2
Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .
Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Перетасовка:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.
Извлекаем корень:
И округляем результат:
Вывод : т. к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .
Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Используя определение последовательности, доказать, что
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
Дежурный пример:
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:
Пример 4
Используя определение предела, доказать, что
Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )
пределов последовательностей | Brilliant Math & Science Wiki
Содержание
- Сходимость последовательностей
- Графические примеры
- Использование свойств пределов
- Эпсилон-дельта Определение
Здесь мы обсудим аспекты, которые вам необходимо знать для понимания концепции сходимости последовательности. \text{th}n-м членом последовательности или значением последовательности в n.n.n. Например, 93}{3+1}, \ldots1+113,2+123,3+133,….

Теперь, когда мы знакомы с последовательностями, попробуем понять, что представляет собой предел последовательности. Проще говоря, предел — это математически точный способ говорить о приближении к значению, не оценивая его напрямую.

Вещественное число LLL — это предел последовательности xnx_nxn, если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к LLL, а не к какому-либо другому числу. В общем смысле пределом последовательности является значение, к которому она приближается с произвольной точностью.

Например, если xn=cx_n = cxn=c для некоторой константы c,c,c, то lim⁡n→∞xn→c,\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n \to c, n→∞limxn→c, и если xn=1n,x_n = \frac 1n,xn=n1, то lim⁡n→∞xn→0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n \ к 0n→∞limxn→0.

Когда предел последовательности при n→∞n \to \inftyn→∞ приближается к единственному значению, мы говорим, что последовательность сходится. Определим сходимость последовательности формально:

Мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится , если существует x0∈Rx_0 \in \mathbb Rx0∈R такое, что для любого ϵ>0\epsilon> 0ϵ>0 существует натуральное число NNN такое, что xn∈(x0−ϵ,x0+ϵ)x_n \ в (x_0 — \epsilon,x_0 +\epsilon)xn∈(x0−ϵ,x0+ϵ) или ∣xn−x0∣<ϵ |x_n -x_0| < \epsilon∣xn−x0∣<ϵ для всех n≥Nn \geq Nn≥N.

Легко проверить, что если такое число x0x_0x0 существует, то оно уникально. В этом случае мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится к x0x_0x0 и называем x0x_0x0 пределом последовательности xnx_nxn. Если x0x_0x0 является пределом xnx_nxn, мы пишем lim⁡n→∞xn=x0 \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = x_0n→∞limxn=x0.

Примечание: Сходимость каждой последовательности, приведенной в приведенных выше примерах, проверяется непосредственно из определения. В общем, проверка сходимости непосредственно из определения — трудная задача. Мы увидим некоторые методы нахождения пределов определенных последовательностей и некоторые достаточные условия сходимости последовательности.

Теперь, когда мы получили понятие сходимости в теоретических терминах, пришло время разработать несколько примеров и построить прочную основу сходимости последовательностей. Вот так::

Сходится ли следующая последовательность:
11,12,13,…,1n,… ? \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots , \frac{1}{n}, \ldots \,?11,21, 31,…,n1,…?
Кажется, что последовательность приближается к 0. Чем больше становится nnn, тем меньше и меньше член становится ближе к 0. Таким образом, последовательность сходится. □_\квадрат□
Доказательство:
Для произвольного ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0 неравенство ∣xn∣=1n<ϵ|x_n| = \frac 1n < \epsilon∣xn∣=n1<ϵ верно для всех n>1ϵn > \frac{1}{\epsilon}n>ϵ1 и, следовательно, для всех n>Nn > Nn>N, где NNN — это любое натуральное число такое, что N>1ϵ N > \frac{1}{\epsilon}N>ϵ1. n}{n}f(n)=n(−1)n: 9n}{n}n(−1)n осциллируют, они «в конце концов приближаются» к единственной точке 0. Общим свойством этих последовательностей является то, что члены каждой последовательности «скапливаются» только в одной точке. □_\квадрат□

лог⁡2\лог 2лог2 пер⁡2\пер 2ln2 111 222

Пусть g(n)=n−⌊n2⌋+⌊n3⌋−⌊n4⌋+⋯ .g(n) = n — \big \lfloor \frac{n}{2} \big \rfloor+ \big \lfloor \frac{n}{3} \big \rfloor — \big \lfloor \frac{n}{4} \big \rfloor + \cdots.g(n)=n−⌊2n⌋+⌊3n ⌋−⌊4n⌋+⋯. 9n(−1)n колеблются между двумя разными точками −1 и 1, что означает, что элементы последовательности приближаются к −1 и 1 «часто» по мере увеличения nnn. □_\квадрат□

Мы говорим, что функция расходится к бесконечности , если она стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Например, такими функциями являются f(n)=nf(n)=nf(n)=n и f(n)=ln⁡nf(n)=\ln nf(n)=lnn.

Сходится ли следующая последовательность:
1,2,3,…,н,… ? 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots \, ?1,2,3,…,n,…? 9\text{nd}2-й пример),\big),), то такая последовательность расходится. Ниже будет показано, что если последовательность сходится, то предел разницы между последовательными членами равен 0.
Примечание 2 : Верно, что если положительная последовательность неубывающая, то предел существует. Тем не менее, мы не можем легко определить предел.
Графическая интерпретация последовательностей является простым инструментом для определения сходимости:
иногда это легко увидеть;
иногда мы можем сделать неверный вывод, т.е. ln⁡n.\ln n.lnn.
Найдите предел
lim⁡n→∞cos⁡nπ. \lim_{n \to \infty} \cos n\pi.n→∞limcosnπ.
Давайте оценим первые несколько членов этой последовательности.
Для n=1, n = 1, n=1, cos⁡nπ=cos⁡1π=−1 \cos n \pi = \cos 1\pi = -1 cosnπ=cos1π=−1.
Для n=2, n = 2, n=2, cos⁡nπ=cos⁡2π=1 \cos n \pi = \cos 2\pi = 1 cosnπ=cos2π=1.
Для n=3, n = 3, n=3, cos⁡nπ=cos⁡3π=−1 \cos n \pi = \cos 3\pi = -1 cosnπ=cos3π=−1.
Для n=4, n = 4, n=4, cos⁡nπ=cos⁡4π=1 \cos n \pi = \cos 4\pi = 1 cosnπ=cos4π=1.
Для n=5, n = 5, n=5, cos⁡nπ=cos⁡5π=−1 \cos n \pi = \cos 5\pi = -1 cosnπ=cos5π=−1.
Поскольку члены последовательности колеблются между -1 и 1, мы можем заключить, что последовательность расходится или не сходится к одному значению. □_\квадрат□
Найдите предел последовательности
11,12,13,…,1н,…. \frac{1}{ \sqrt{1} } , \frac{1}{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 } { \sqrt{3} }, \ldots , \frac{1}{ \sqrt {n} }, \ldots .11,21,31,…,n1,….
Если выписать первые несколько слагаемых, то получим 1,0,707…,0,577…, 1, 0,707\ldots, 0,577 \ldots,1,0,707…,0,577…, 0,5,0,445…,0,408,…, 0,5 , 0,445\ldots, 0,408, \ldots, 0,5,0,445…,0,408,…, и так далее. Не сразу видно, каков предел.
Давайте подумаем, что происходит, когда nnn действительно велико.
Если n>100 n > 100 n>100, то n>10, \sqrt{n} > 10, n>10, поэтому 1n<110=0,1 \frac{1} { \sqrt{n} } < \frac{1}{10} =0,1 n1<101=0,1.
Если n>10000 n > 10000 n>10000, то n>100, \sqrt{n} > 100, n>100, поэтому 1n<1100=0,01 \frac{1} { \sqrt{n} } < \ frac{1}{100} =0,01 n1<1001=0,01.
Если n>1000000 n > 1000000 n>1000000, то n>1000, \sqrt{n} > 1000, n>1000, поэтому 1n<11000=0,001 \frac{1} { \sqrt{n} } < \ frac{1}{1000} =0,001 n1<10001=0,001.
Таким образом, предел последовательности равен 0. □_\квадрат□
Вы должны быть знакомы со следующими свойствами пределов. Если пределы lim⁡an \lim a_n liman и lim⁡bn\lim b_n limbn существуют и конечны, то
1.lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn2.lim⁡n→∞(c⋅an)=c⋅lim⁡n→∞an3.lim ⁡n→∞(anbn)=(lim⁡n→∞an)(lim⁡n→∞bn)4.lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn, до тех пор, пока lim⁡ n→∞bn≠0. \begin{массив} { л р л } 1. & \lim_{n \to \infty}\left( a_n \pm b_n \right) &= \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n \\ 2. & \lim_{n \to \infty} (c\cdot a_n) &= c \cdot \lim_{n \to \infty} a_n \\ 3. & \lim_{n \to \infty} \left( a_n b_n \right) &= \Big( \lim_{n \to \infty} a_n \Big) \Big(\lim_{n \to \infty} б_н \Большой)\\ 4. & \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} &=\frac{\displaystyle \lim_{n \to\infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n \to\infty} b_n} \text{, если } \lim_{n \to \infty} b_n \neq 0. \end{массив} 1.2.3.4.limn→∞(an±bn)limn→∞(c⋅an)limn→∞(anbn)limn→∞bnan =limn→∞an±limn→∞bn=c⋅limn→∞an=(limn→∞an)(limn→∞bn)=n→∞limbnn →∞liman, пока limn→∞bn=0.
Каков предел последовательности
12,23,34,45,56,…,nn+1,… ? \frac{1}{2} , \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots , \frac {n}{n+1}, \ldots\, ?21,32,43, 54, 65,…,n+1n,…?
Для начала перечислим термины.
Для n=1 n = 1 n=1, 11+1=12=0,5 \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = 0,5 1+11=21=0,5 .
Для n=2 n = 2 n=2, 22+1=23=0,666… \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} = 0,666\ldots 2+12=32 =0,666….
Для n=3 n = 3 n=3, 33+1=34=0,75 \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} = 0,75 3+13=43=0,75.
Для n=4 n = 4 n=4, 44+1=45=0,8 \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5} = 0,8 4+14=54=0,8.
Для n=5 n = 5 n=5, 55+1=56=0,866… \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6} = 0,866\ldots 5+15=65 =0,866….
Мы видим, что члены увеличиваются и, кажется, приближаются к 1.
Обратите внимание, что последовательность можно записать как 1−1n+1 1 — \frac{1}{n+1} 1−n+11. Мы знаем, что предел константы 1 равен всего 1, а предел 1n+1 \frac{1}{n+1} n+11 равен 0, поэтому мы можем применить первое правило, чтобы сделать вывод, что 9{ x } } = \ frac { 1 }{ 2000 } }, \ quad x = \, ? n→∞limnx−(n−1)xn1999=20001,x=?
Пояснение: Примите xxx как константу.
4e\frac 4ee4 274e\frac{27}{4e}4e27 4e4e4e 27e4\frac{27e}4427e
Если
f(n)=1n{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)}1/n,f\left( n \right) = \frac { 1 }{ n } { \big\{ (2n+1)(2n+2)\ldots(2n+n) \big\} }^{ 1/n },f(n)=n1{ (2n+1)(2n+2)…(2n+n)}1/n,
тогда что такое lim⁡n→∞f(n)?\displaystyle \lim _{ n\стрелка вправо \infty }{ f\left( n \right) }? n→∞limf(n)?
Другие вопросы, связанные с KVPY:
Основная статья: Определение предела эпсилон-дельта
Точнее говоря, эпсилон-дельта определение предела lim⁡n→∞{an}=L \displaystyle \lim_{n \to \infty } \left\{ a_n \right\}=L n→∞ lim{an}=L, если для каждого ϵ>0 \epsilon > 0 ϵ>0 существует натуральное число M M M такое, что 9n \frac{1}{i} an=i=1∑ni1, что является суммой обратных величин. Разница последовательных членов равна 1i+1, \frac{1}{i + 1}, i+11, что стремится к 0. Однако сумма обратных величин стремится к бесконечности.
Процитировать как: Пределы последовательностей. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/limits-of-sequences/
Предел последовательности
Марко Табога, доктор философии
В этой лекции мы вводим понятие предела последовательность . Начнем с простого случая, когда является последовательностью действительных чисел, то мы имеем дело с общим случаем, когда может быть последовательностью объектов, которые не обязательно являются действительными числами.
Содержание
Предел последовательности действительных чисел
Неформальное определение предела последовательности действительных чисел
Формальное определение предела последовательности действительных чисел
Предел последовательности вообще
Неформальное определение предела.
Формальное определение предела. Общий случай
Критерий сходимости
Предел последовательности действительных чисел
Сначала мы даем неформальное определение, а затем более формальное определение предел последовательности действительных чисел.
Неформальное определение предела последовательности реальные числа
Позволять быть последовательностью действительных чисел. Позволять . Обозначим через последствие получается отбрасыванием первого условия , то есть, Ниже приводится интуитивное определение предела последовательности.
Определение (неофициальное) Позволять быть действительным числом. Мы говорим, что является пределом последовательности действительных чисел, если, соответствующим образом выбрав , расстояние между и любой член подпоследовательности можно сделать сколь угодно близким к нулю. Если является пределом последовательности , мы говорим, что последовательность это сходящаяся последовательность и что она сходится к . Укажем тот факт, что является пределом по
Таким образом, является пределом если, отбрасывая достаточно большое количество начальных членов , мы можем составить оставшиеся члены как можно ближе к как нам нравится. Интуитивно, является пределом если становится все ближе и ближе к позволив уйти в бесконечность.
Формальное определение предела последовательности реальные числа
Расстояние между двумя действительными числами есть абсолютное значение их разница. Например, если а также является членом последовательности , расстояние между а также , обозначается , это по используя понятие расстояния, приведенное выше неформальное определение может быть сделано тщательный.
Определение (формальное) Позволять . Мы говорим, что это предел последовательности действительных чисел если если является пределом последовательности , мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью и что она сходится к . Укажем тот факт, что является пределом по
Для тех, кто не знаком с универсальными кванторами (любой) и (существует), обозначение читает следующим образом: «Для любого сколь угодно малого числа , существует натуральное число такое, что расстояние между а также меньше чем на все условия с «, который также можно переформулировать как «Для любого сколь угодно малого числа , можно найти подпоследовательность такое, что расстояние между любым членом подпоследовательности и меньше чем » или как «Отбрасывая достаточно большое количество начальных членов , вы можете сделать остальные условия как можно ближе к как хочешь».
Также можно доказать, что сходящаяся последовательность имеет единственный предел, т. е. если имеет предел , тогда является уникальным пределом .
Пример Определить последовательность характеризуя его -й элемент в качестве следует: элементы последовательности , , , и так далее. Выше есть, чем меньше есть и чем ближе . Поэтому интуитивно предел последовательности должен быть :Это просто доказать, что действительно является пределом с помощью приведенного выше определения. Выберите любой . Нам нужно найти такое, что все члены подпоследовательности иметь расстояние от нуля меньше, чем :Примечание во-первых, что расстояние между общим членом последовательности а также это здесь последнее равенство получается из того, что все члены последовательности равны положительные (следовательно, они равны своим абсолютным значениям). Поэтому нам нужно найти такое, что все члены подпоследовательности удовлетворять кондиционис удовлетворен, если , что эквивалентно . Поэтому достаточно выбрать любой такой, что удовлетворить состояниеВ Подводя итог, мы только что показали, что для любого , мы можем найти такое, что все члены подпоследовательности иметь расстояние от нуля меньше, чем . Как следствие является пределом последовательности .
Ограничение последовательности вообще
Теперь рассмотрим более общий случай, когда члены последовательности не обязательно действительные числа. Как и прежде, мы сначала даем неформальную определение, а затем более формальное.
Неформальное определение предела – общий случай
Позволять быть набором объектов (например, действительных чисел, события, случайные переменные) и пусть быть последовательностью элементов . Предел определяется следующим образом.
Определение (неофициальное) Позволять . Мы говорим, что является пределом последовательности элементов , если при правильном выборе , расстояние между и любой член подпоследовательности можно сделать сколь угодно близким к нулю. Если является пределом последовательности , мы говорим, что последовательность это сходящаяся последовательность и что она сходится к . Укажем тот факт, что является пределом по
Определение то же, что мы дали выше, за исключением того факта, что теперь оба и условия последовательности относятся к общему набору объектов .
Метрики и определение расстояния
В приведенном выше определении мы неявно предполагали, что понятие расстояние между элементами хорошо определен. Таким образом, чтобы приведенное выше определение имело какой-либо смысл, нам необходимо правильно определить расстояние.
Нам нужна функция который ассоциируется с любой парой элементов действительное число, измеряющее расстояние между этими двумя элементами. Например, если а также являются двумя элементами , должно быть действительным числом, измеряющим расстояние между а также .
Функция считается допустимой функцией расстояния (и она называется метрикой на ) если оно удовлетворяет некоторым свойствам, перечисленным в следующем предложении.
Определение Позволять быть набором объектов. Позволять . считается допустимой функцией расстояния (в этом случае она называется метрика на ) если для любого , а также принадлежащий :
неотрицательность: ;
тождество неразличимых: если и только если ;
симметрия: ;
неравенство треугольника: .
Все четыре свойства очень интуитивно понятны: свойство 1) говорит, что расстояние между двумя точками не может быть отрицательного числа; свойство 2) говорит о том, что расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти две точки совпадают; свойство 3) говорит о том, что расстояние от к такое же, как расстояние от к ; свойство 4) говорит (грубо говоря), что расстояние, которое вы преодолеваете, когда идете из к прямо меньше (или равно) расстоянию, которое вы преодолеваете, когда идете от к переход из третьей точки (если не на пути от к вы увеличиваете пройденное расстояние).
Пример (евклидово расстояние) Рассмотрим множество -размерный реальные векторы . Метрика, обычно используемая для измерения расстояния между элементами так называемое евклидово расстояние. Если а также два вектора, принадлежащие , то их евклидово расстояние это здесь являются компоненты а также являются компоненты . Можно доказать, что евклидово расстояние удовлетворяет всем четырем свойства, которым должна удовлетворять метрика. Кроме того, когда , Это становится каким совпадает с уже данным определением расстояния между действительными числами выше.
Всякий раз, когда мы сталкиваемся с последовательностью объектов и хотим оценить, сходится, нам нужно сначала определить функцию расстояния на множестве объекты, которым принадлежат члены последовательности, и убедиться, что предложенные функция расстояния удовлетворяет всем свойствам правильной функции расстояния (метрика). Например, в теории вероятностей и статистике мы часто имеем дело с последовательностями случайных величин. Чтобы оценить, являются ли эти последовательности сходящимся, нам нужно определить метрику для измерения расстояния между двумя случайные переменные. Как мы увидим в лекции под названием Последовательности случайных величин и их конвергенции, существует несколько способов определения понятия расстояния между двумя случайными величинами. Все эти способы законны и полезны в разные ситуации.
Формальное определение предела. Общий случай
Определив понятие метрики, мы теперь готовы сформулировать формальную определение предела последовательности.
Определение (формальное) Позволять быть набором объектов. Позволять быть показателем . Мы говорим, что является пределом последовательности объектов, принадлежащих если если является пределом последовательности , мы говорим, что последовательность это сходящаяся последовательность и что она сходится к . Укажем тот факт, что является пределом по
Также и в этом случае можно доказать (см. ниже), что сходящаяся последовательность имеет единственный предел, т. е. если имеет предел , тогда является уникальным пределом .
Доказательство
Доказательство от противного. Предположим, что а также два предела последовательности а также . Объединяя свойства 1) и 2) метрики (см. выше), она должна быть то есть, куда строго положительная константа. Выберите любой термин последовательности. По свойству 4) метрики (неравенству треугольника) имеем иметьучитывая что , предыдущее неравенство становитсяСейчас, возьми любой . С является пределом последовательности, мы можем найти такой, что , что значит что и поэтому, нельзя сделать меньше, чем и как следствие не может быть пределом последовательности.
Критерий сходимости
На практике обычно трудно оценить сходимость последовательности используя приведенное выше определение. Вместо этого конвергенцию можно оценить с помощью следующий критерий.
Лемма (критерий конвергенция) Позволять быть набором объектов. Позволять быть показателем . Позволять быть последовательностью объектов, принадлежащих а также . сходится к если и только если
Доказательство
Это легко доказать, определив последовательность действительных чисел чей общий термин остров отметив, что определение сходимости к , который искан быть написанным как который является определением сходимости к .
Итак, на практике задача оценки сходимости общего последовательность объектов упрощается следующим образом:
найти метрику измерить расстояние между членами последовательности и лимит кандидатов ;
определить новую последовательность , куда ;
изучить сходимость последовательности , это простая проблема, потому что представляет собой последовательность действительных чисел.
Как цитировать
Пожалуйста, указывайте как:
Taboga, Marco (2021). «Предел последовательности», Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Прямая публикация Kindle. Онлайн приложение. https://www.statlect.com/mathematical-tools/limit-of-a-sequence.
5.1 Последовательности — исчисление, том 2
Цели обучения
5.1.1 Найдите формулу общего члена последовательности.
5.1.2 Вычислите предел последовательности, если она существует.
5.1.3 Определить сходимость или расхождение данной последовательности.
В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что означает сходимость или расхождение последовательности. Мы покажем, как находить пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, обсуждавшихся ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости — инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.
Терминология последовательностей
Для работы с этой новой темой нам нужны новые термины и определения. Во-первых, бесконечная последовательность — это упорядоченный список чисел вида
.
a1,a2,a3,…,an,….a1,a2,a3,…,an,….
Каждое число в последовательности называется термином. Символ nn называется индексной переменной последовательности. Мы используем обозначение
{an}n=1∞,или просто{an},{an}n=1∞,или просто{an},
для обозначения этой последовательности. Подобное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, тогда как набор не является упорядоченным. Поскольку для каждого положительного целого числа n,n существует определенное число anan, мы также можем определить последовательность как функцию, областью определения которой является множество положительных целых чисел.
Рассмотрим бесконечный упорядоченный список
2,4,8,16,32,….2,4,8,16,32,….
Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются как a1=2,a1=2,a2=4,a2=4 и a3=8. a3=8. Вероятно, вы видите, что термины в этой последовательности имеют следующий шаблон:
.
a1=21,a2=22,a3=23,a4=24,and5=25.a1=21,a2=22,a3=23,a4=24,and5=25.
Предполагая, что эта закономерность продолжается, мы можем записать n-й член последовательности по явной формуле an=2n.an=2n. Используя это обозначение, мы можем записать эту последовательность как
{2n}n=1∞или{2n}.{2n}n=1∞или{2n}.
Кроме того, мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член в два раза больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив n-й член anan через предыдущий член an-1.an-1. В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность {an}{an}, где a1=2a1=2 и для всех n≥2,n≥2 каждый терм anan определяется рекуррентным соотношением an=2an−1.an= 2ан−1.
Определение
Бесконечная последовательность {an}{an} — это упорядоченный список чисел в форме 9.0015
a1,a2,…,an,…. a1,a2,…,an,….
Индекс nn называется индексной переменной последовательности. Каждое число anan является членом последовательности. Иногда последовательности задаются явными формулами, и в этом случае an=f(n)an=f(n) для некоторой функции f(n)f(n), определенной над положительными целыми числами. В других случаях последовательности определяются с помощью рекуррентного соотношения. В рекуррентном отношении один член (или более) последовательности задается явно, а последующие члены определяются в терминах более ранних членов последовательности.
Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с n=1n=1, но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой an=f(n)an=f(n), может начинаться с n=0,n=0, и в этом случае последовательность будет равна
.
а0,а1,а2,….а0,а1,а2,….
Аналогично, для последовательности, определяемой рекуррентным соотношением, термин a0a0 может быть задан явно, а термины anan для n≥1n≥1 могут быть определены через an−1. an−1. Поскольку последовательность {an}{an} имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа n,n, ее можно описать как функцию, областью определения которой является множество положительных целых чисел. В связи с этим имеет смысл обсудить граф последовательности. График последовательности {an}{an} состоит из всех точек (n,an)(n,an) для всех натуральных чисел n.n. На рис. 5.2 показан график {2n}.{2n}.
Рисунок 5.2 Нанесенные точки представляют собой график последовательности {2n}.{2n}.
Часто встречаются два типа последовательностей, которым даются специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница 90 587 90 041 между каждой парой последовательных терминов одинакова. Например, рассмотрим последовательность
3,7,11,15,19,….3,7,11,15,19,….
Вы видите, что разница между каждой последовательной парой термов составляет 4,4. Предполагая, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения
{a1=3an=an−1+4forn≥2.{a1=3an=an−1+4forn≥2.
Обратите внимание, что
a2=3+4a3=3+4+4=3+2·4a4=3+4+4+4=3+3·4.a2=3+4a3=3+4+4=3+2·4a4 =3+4+4+4=3+3·4.
Таким образом, последовательность также может быть описана с помощью явной формулы
an=3+4(n−1)=4n−1.an=3+4(n−1)=4n−1.
В общем случае арифметическая последовательность — это любая последовательность вида an=cn+b.an=cn+b.
В геометрической последовательности отношение каждой пары последовательных членов одинаково. Например, рассмотрим последовательность
2,−23,29,−227,281,….2,−23,29,−227,281,….
Мы видим, что отношение любого члена к предыдущему равно −13,−13. Предполагая, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является геометрической последовательностью. Его можно определить рекурсивно как
.
a1=2an=-13·an-1для n≥2.a1=2an=-13·an-1для n≥2.
В качестве альтернативы, начиная с
a2=-13·2a3=(-13)(-13)(2)=(-13)2·2a4=(-13)(-13)(-13)(2)=(-13)3· 2,a2=−13·2a3=(−13)(−13)(2)=(−13)2·2a4=(−13)(−13)(−13)(2)=(−13)3 ·2,
мы видим, что последовательность может быть описана с помощью явной формулы
an=2(−13)n−1. an=2(−13)n−1.
Последовательность {2n}{2n}, которую мы обсуждали ранее, является геометрической последовательностью, в которой отношение любого члена к предыдущему равно 2,2. В общем случае геометрическая последовательность — это любая последовательность вида an=crn.an=crn.
Пример 5.1
Поиск явных формул
Для каждой из следующих последовательностей найдите явную формулу для n-го члена последовательности.
−12,23,−34,45,−56,…−12,23,−34,45,−56,…
34,97,2710,8113,24316,…34,97,2710,8113,24316,…
Решение
Во-первых, обратите внимание, что последовательность чередуется с отрицательной на положительную. Нечетные члены последовательности отрицательны, а четные — положительны. Следовательно, n-й член включает множитель (-1)n.(-1)n. Далее рассмотрим последовательность числителей {1,2,3,…}{1,2,3,…} и последовательность знаменателей {2,3,4,…}. {2,3,4,…}. Мы можем видеть, что обе эти последовательности являются арифметическими последовательностями. Энный член последовательности числителей равен n,n, а энный член последовательности знаменателей равен n+1.n+1. Следовательно, последовательность может быть описана явной формулой
ан=(−1)nnn+1.an=(−1)nnn+1.
Последовательность числителей 3,9,27,81,243,…3,9,27,81,243,… является геометрической последовательностью. Числитель n-го члена равен 3n3n Последовательность знаменателей 4,7,10,13,16,…4,7,10,13,16,… является арифметической последовательностью. Знаменатель n-го члена равен 4+3(n−1)=3n+1,4+3(n−1)=3n+1. Следовательно, мы можем описать последовательность явной формулой an=3n3n+1.an=3n3n+1.
Контрольно-пропускной пункт 5.1
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности {15,−17,19,−111,…}.{15,−17,19,−111,…}.
Пример 5.2
Определяется рекуррентными соотношениями
Для каждой из следующих рекурсивно определенных последовательностей найдите явную формулу для последовательности.
a1=2,a1=2,an=-3an-1an=-3an-1 для n≥2n≥2
a1=12,a1=12,an=an−1+(12)nan=an−1+(12)n для n≥2n≥2
Решение
Выписывая первые несколько членов, мы имеем
a1=2a2=−3a1=−3(2)a3=−3a2=(−3)22a4=−3a3=(−3)32.a1=2a2=−3a1 =-3(2)a3=-3a2=(-3)22a4=-3a3=(-3)32.

В общем случае
an=2(−3)n−1.an=2(−3)n−1.
Запишите первые несколько членов:
a1=12a2=a1+(12)2=12+14=34a3=a2+(12)3=34+18=78a4=a3+(12)4=78+116=1516.a1 =12a2=a1+(12)2=12+14=34a3=a2+(12)3=34+18=78a4=a3+(12)4=78+116=1516.

Из этого шаблона мы получаем явную формулу
an=2n−12n=1−12n.an=2n−12n=1−12n.
Контрольно-пропускной пункт 5.2
Найдите явную формулу для рекурсивно определенной последовательности, такой что a1=−4a1=−4 и an=an−1+6.an=an−1+6.
Ограничение последовательности
Фундаментальный вопрос, возникающий в отношении бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении nn. Поскольку последовательность — это функция, определенная на натуральных числах, имеет смысл обсудить предел членов при n→∞.n→∞. Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение при n→∞n→∞ (см. рис. 5.3):
{1+3n}={4,7,10,13,…}.{1+3n}={4,7,10,13,…}. Члены 1+3n1+3n становятся сколь угодно большими при n→∞.n→∞. В этом случае мы говорим, что 1+3n→∞1+3n→∞ при n→∞.n→∞.
{1−(12)n}={12,34,78,1516,…}.{1−(12)n}={12,34,78,1516,…}. Члены 1−(12)n→11−(12)n→1 при n→∞.n→∞.
{(−1)n}={−1,1,−1,1,…}. {(−1)n}={−1,1,−1,1,…}. Члены чередуются, но не приближаются к одному единственному значению при n→∞.n→∞.
{(−1)nn}={−1,12,−13,14,…}.{(−1)nn}={−1,12,−13,14,…}. Члены этой последовательности также чередуются, но (−1)nn→0(−1)nn→0 при n→∞.n→∞.
Рисунок 5.3 (a) Члены последовательности становятся сколь угодно большими при n→∞.n→∞. (b) Члены последовательности приближаются к 11 при n→∞.n→∞. (c) Члены последовательности чередуются между 11 и −1−1 при n→∞. n→∞. (d) Члены последовательности чередуются с положительными и отрицательными значениями, но приближаются к 00 при n→∞.n→∞.
Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности при n→∞.n→∞. В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу при n→∞.n→∞. В двух других последовательностях членов нет. Если члены последовательности приближаются к конечному числу LL при n→∞,n→∞, мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число LL является пределом последовательности. Здесь мы можем дать неформальное определение.
Определение
Для данной последовательности {an},{an}, если члены anan становятся сколь угодно близкими к конечному числу LL, когда nn становится достаточно большим, мы говорим, что {an}{an} — сходящаяся последовательность, а LL — предел последовательность. В этом случае мы пишем
limn→∞an=L.limn→∞an=L.
Если последовательность {an}{an} не сходится, мы говорим, что это расходящаяся последовательность.
На рис. 5.3 мы видим, что члены последовательности {1−(12)n}{1−(12)n} становятся сколь угодно близкими к 11 по мере того, как nn становится очень большим. Мы заключаем, что {1−(12)n}{1−(12)n} — сходящаяся последовательность и ее предел равен 1,1. Напротив, на рис. 5.3 мы видим, что члены последовательности 1+3n1+3n не приближаются к конечному числу при увеличении nn. Мы говорим, что {1+3n}{1+3n} — расходящаяся последовательность.
В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «сколь угодно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты. Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и показываем эти идеи графически на рис. 5.4.
Определение
Последовательность {an}{an} сходится к действительному числу LL, если для всех ε>0,ε>0 существует целое число NN такое, что |an−L|<ε|an−L|<ε, если n ≥N. n≥N. Число LL является пределом последовательности, и мы пишем
limn→∞an=Loran→L.limn→∞an=Loran→L.
В этом случае мы говорим, что последовательность {an}{an} является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, то это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.
Заметим, что сходимость или расходимость последовательности {an}{an} зависит только от того, что происходит с членами anan при n→∞.n→∞. Следовательно, если конечное число терминов b1,b2,…,bNb1,b2,…,bN помещено перед a1a1 для создания новой последовательности
b1,b2,…,bN,a1,a2,…,b1,b2,…,bN,a1,a2,…,
эта новая последовательность будет сходиться, если {an}{an} сходится, и расходиться, если {an}{an} расходится. Далее, если последовательность {an}{an} сходится к L,L, эта новая последовательность также сходится к L.L.
Рисунок 5.4 По мере увеличения nn члены anan становятся ближе к L.L. Для значений n≥N,n≥N расстояние между каждой точкой (n,an)(n,an) и линией y=Ly=L меньше ε. е.
Как определено выше, если последовательность не сходится, она называется расходящейся последовательностью. Например, последовательности {1+3n}{1+3n} и {(-1)n}{(-1)n}, показанные на рис. 5.4, расходятся. Однако разные последовательности могут расходиться по-разному. Последовательность {(−1)n}{(−1)n} расходится, потому что члены чередуются между 11 и −1,−1, но не приближаются к одному значению при n→∞.n→∞. С другой стороны, последовательность {1+3n}{1+3n} расходится, поскольку члены 1+3n→∞1+3n→∞ при n→∞.n→∞. Мы говорим, что последовательность {1+3n}{1+3n} расходится к бесконечности, и пишем limn→∞(1+3n)=∞.limn→∞(1+3n)=∞. Важно понимать, что это обозначение не означает, что предел последовательности {1+3n}{1+3n} существует. На самом деле последовательность расходится. Написание того, что предел равен бесконечности, предназначено только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться к отрицательной бесконечности. Например, последовательность {−5n+2}{−5n+2} расходится к отрицательной бесконечности, потому что −5n+2→−∞−5n+2→−∞ при n→−∞.n→−∞. Запишем это как limn→∞(−5n+2)=→−∞.limn→∞(−5n+2)=→−∞.
Поскольку последовательность — это функция, областью определения которой является множество положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность. Например, рассмотрим последовательность {an}{an} и связанную с ней функцию ff, определенную на всех положительных действительных числах, такую, что f(n)=anf(n)=an для всех целых чисел n≥1.n≥1. Поскольку область определения последовательности является подмножеством области определения f,f, если limx→∞f(x)limx→∞f(x) существует, то последовательность сходится и имеет тот же предел. Например, рассмотрим последовательность {1n}{1n} и связанную с ней функцию f(x)=1x.f(x)=1x. Поскольку функция ff, определенная для всех действительных чисел x>0x>0, удовлетворяет условию f(x)=1x→0f(x)=1x→0 при x→∞,x→∞, последовательность {1n}{1n} должна удовлетворять 1n →01n→0 при n→∞. n→∞.
Теорема 5.1
Предел последовательности, определяемой функцией
Рассмотрим последовательность {an}{an} такую, что an=f(n)an=f(n) для всех n≥1.n≥1. Если существует действительное число LL такое, что
limx→∞f(x)=L,limx→∞f(x)=L,
, то {an}{an} сходится и
limn→∞an=L .limn→∞an=L.
Мы можем использовать эту теорему для вычисления limn→∞rnlimn→∞rn для 0≤r≤1,0≤r≤1. Например, рассмотрим последовательность {(1/2)n}{(1/2)n} и связанную с ней экспоненциальную функцию f(x)=(1/2)x.f(x)=(1/2)x. Поскольку limx→∞(1/2)x=0,limx→∞(1/2)x=0, заключаем, что последовательность {(1/2)n}{(1/2)n} сходится и ее предел 0,0. Аналогично, для любого действительного числа rr такого, что 0≤r<1,0≤r<1, limx→∞rx=0, limx→∞rx=0, и, следовательно, последовательность {rn}{rn} сходится. С другой стороны, если r=1,r=1, то limx→∞rx=1,limx→∞rx=1, и, следовательно, предел последовательности {1n}{1n} равен 1,1. Если r>1,r>1, то limx→∞rx=∞,limx→∞rx=∞, и поэтому мы не можем применить эту теорему. Однако в этом случае, так как функция rxrx неограниченно растет при n→∞,n→∞, члены rnrn в последовательности становятся сколь угодно большими при n→∞,n→∞, и мы заключаем, что последовательность {rn} {rn} расходится в бесконечность, если r>1.r>1.
Мы суммируем эти результаты относительно геометрической последовательности {rn}:{rn}:
rn→0if01.rn→0if01.
Далее в этом разделе мы рассмотрим случай, когда r<0.r<0.
Теперь рассмотрим несколько более сложные последовательности. Например, рассмотрим последовательность {(2/3)n+(1/4)n}.{(2/3)n+(1/4)n}. Члены этой последовательности более сложны, чем другие последовательности, которые мы обсуждали, но, к счастью, предел этой последовательности определяется пределами двух последовательностей {(2/3)n}{(2/3)n} и {( 1/4)n}.{(1/4)n}. Как мы описываем в следующих алгебраических предельных законах, поскольку {(2/3)n}{(2/3)n} и {1/4)n}{1/4)n} оба сходятся к 0,0, последовательность {(2/3)n+(1/4)n}{(2/3)n+(1/4)n} сходится к 0+0=0,0+0=0. Точно так же, как мы смогли вычислить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций ff и gg, взглянув на пределы ff и gg (см. Введение в пределы), мы можем вычислить предел последовательности, членами которой являются алгебраические комбинации функций ff и gg. anan и bnbn путем оценки пределов {an}{an} и {bn}.{bn}.
Теорема 5.2
Алгебраические предельные законы
Даны последовательности {an}{an} и {bn}{bn} и любые действительные числа c,c, если существуют константы AA и BB такие, что limn→∞an=Alimn→∞an=A и limn→∞bn =B,limn→∞bn=B, тогда
limn→∞c=climn→∞c=c
limn→∞can=climn→∞an=cAlimn→∞can=climn→∞an=cA
limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=A±Blimn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=A±B
limn→∞(an·bn)=(limn→∞an)·(limn→∞bn)=A·Blimn→∞(an·bn)=(limn→∞an)·(limn→∞bn)=A ·В
limn→∞(anbn)=limn→∞anlimn→∞bn=AB,limn→∞(anbn)=limn→∞anlimn→∞bn=AB, при условии, что B≠0B≠0 и каждое bn≠0.bn≠0 .
Доказательство
Докажем часть III.
Пусть ϵ>0.ϵ>0. Поскольку limn→∞an=A,limn→∞an=A, существует постоянное натуральное число N1N1 такое, что |ан-А|<ε2|ан-А|<ε2 для всех n≥N1.n≥N1. Поскольку limn→∞bn=B,limn→∞bn=B, существует константа N2N2 такая, что |bn−B|<ε/2|bn−B|<ε/2 для всех n≥N2.n≥N2. Пусть NN будет большим из N1N1 и N2.N2. Следовательно, для всех n≥N,n≥N
|(an+bn)−(A+B)|≤|an−A|+|bn−B|<ε2+ε2=ε.|(an+bn)−(A+B)|≤|an− A|+|bn−B|<ε2+ε2=ε.
□
Алгебраические предельные законы позволяют нам оценивать пределы для многих последовательностей. Например, рассмотрим последовательность {1n2}.{1n2}. Как было показано ранее, limn→∞1/n=0.limn→∞1/n=0. Точно так же для любого положительного целого числа k,k мы можем заключить, что
limn→∞1nk=0.limn→∞1nk=0.
В следующем примере мы используем этот факт вместе с законами пределов для оценки пределов для других последовательностей.
Пример 5.
3
Определение сходимости и нахождение пределов
Для каждой из следующих последовательностей определите, сходится ли эта последовательность. Если оно сходится, найти его предел.
{5−3n2}{5−3n2}
{3n4−7n2+56−4n4}{3n4−7n2+56−4n4}
{2nn2}{2nn2}
{(1+4n)n}{(1+4n)n}
Решение
Мы знаем, что 1/n→0,1/n→0. Используя этот факт, заключаем, что
limn→∞1n2=limn→∞(1n).limn→∞(1n)=0.limn→∞1n2=limn→∞(1n).limn→∞(1n)=0.

Следовательно,
limn→∞(5−3n2)=limn→∞5−3limn→∞1n2=5−3·0=5.limn→∞(5−3n2)=limn→∞5−3limn→∞1n2 =5−3·0=5.

Последовательность сходится и ее предел равен 5,5.
Вынося n4n4 из числителя и знаменателя и используя приведенные выше предельные законы, мы получаем 5n4)limn→∞(6n4−4)=(limn→∞(3)−limn→∞7n2+limn→∞5n4)(limn→∞6n4−limn→∞(4))=(limn→∞(3) −7·limn→∞1n2+5·limn→∞1n4)(6·limn→∞1n4−limn→∞(4))=3−7·0+5·06·0−4=−34. limn→ ∞3n4−7n2+56−4n4=limn→∞3−7n2+5n46n4−4=limn→∞(3−7n2+5n4)limn→∞(6n4−4)=(limn→∞(3)−limn→∞ 7n2+limn→∞5n4)(limn→∞6n4−limn→∞(4))=(limn→∞(3)−7·limn→∞1n2+5·limn→∞1n4)(6·limn→∞1n4 −limn→∞(4))=3−7·0+5·06·0−4=−34.

Последовательность сходится, и ее предел равен −3/4.−3/4.
Рассмотрим связанную функцию f(x)=2x/x2f(x)=2x/x2, определенную для всех действительных чисел x>0.x>0. Поскольку 2x→∞2x→∞ и x2→∞x2→∞ при x→∞,x→∞, применим правило Лопиталя и напишем
limx→∞2xx2=limx→∞2xln22xВозьмем производные от числителя и знаменателя.=limx →∞2x(ln2)22Вновь возьмем производные.=∞.limx→∞2xx2=limx→∞2xln22xВозьмем производные числителя и знаменателя.=limx→∞2x(ln2)22Вновь возьмем производные.=∞.

Делаем вывод, что последовательность расходится.
Рассмотрим функцию f(x)=(1+4x)xf(x)=(1+4x)x, определенную на всех действительных числах x>0.x>0. Эта функция имеет неопределенный вид 1∞1∞ при x→∞.x→∞. Пусть
y=limx→∞(1+4x)x.y=limx→∞(1+4x)x.

Теперь возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, получим
ln(y)=ln[limx→∞(1+4x)x]. ln(y)=ln[limx→∞(1+4x) Икс].

Поскольку функция f(x)=lnxf(x)=lnx непрерывна в своей области определения, мы можем поменять местами предел и натуральный логарифм. Следовательно,
ln(y)=limx→∞[ln(1+4x)x].ln(y)=limx→∞[ln(1+4x)x].

Используя свойства логарифмов, запишем
limx→∞[ln(1+4x)x]=limx→∞xln(1+4x).limx→∞[ln(1+4x)x]=limx→∞xln (1+4х).

Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенный вид ∞ · 0, ∞ · 0, перепишем ее в виде дроби, чтобы применить правило Лопиталя. Запишите
limx→∞xln(1+4x)=limx→∞ln(1+4/x)1/x.limx→∞xln(1+4x)=limx→∞ln(1+4/x)1/ Икс.

Поскольку правая часть теперь представлена в неопределенной форме 0/0,0/0, мы можем применить правило Лопиталя. Делаем вывод, что
limx→∞ln(1+4/x)1/x=limx→∞41+4/x=4.limx→∞ln(1+4/x)1/x=limx→∞41+4/x =4.

Следовательно, ln(y)=4ln(y)=4 и y=e4.y=e4. Следовательно, поскольку limx→∞(1+4x)x=e4,limx→∞(1+4x)x=e4, можно заключить, что последовательность {(1+4n)n}{(1+4n)n} сходится на е4. е4.
Контрольно-пропускной пункт 5.3
Рассмотрим последовательность {(5n2+1)/en}.{(5n2+1)/en}. Определить, сходится ли последовательность. Если оно сходится, найти его предел.
Напомним, что если ff является непрерывной функцией при значении L,L, то f(x)→f(L)f(x)→f(L) при x→L.x→L. Эта идея применима и к последовательностям. Предположим, что последовательность an→L,an→L и функция ff непрерывна в L.L. Тогда f(an)→f(L).f(an)→f(L). Это свойство часто позволяет нам находить пределы для сложных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность 5−3n2,5−3n2. Из примера 5.3а. мы знаем последовательность 5−3n2→5,5−3n2→5. Поскольку xx — непрерывная функция при x=5,x=5,
limn→∞5−3n2=limn→∞(5−3n2)=5.limn→∞5−3n2=limn→∞(5−3n2)=5.
Теорема 5.3
Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях
Рассмотрим последовательность {an}{an} и предположим, что существует действительное число LL такое, что последовательность {an}{an} сходится к L. L. Предположим, что ff — непрерывная функция в L.L. Тогда существует целое число NN такое, что ff определена при всех значениях anan для n≥N,n≥N, а последовательность {f(an)}{f(an)} сходится к f(L)f(L) (рис. 5.5).
Доказательство
Пусть ϵ>0.ϵ>0. Поскольку ff непрерывна в L,L, существует δ>0δ>0 такое, что |f(x)−f(L)|<ε|f(x)−f(L)|<ε, если |x−L| <δ.|x−L|<δ. Поскольку последовательность {an}{an} сходится к L,L, существует NN такое, что |an−L|<δ|an−L|<δ для всех n≥N.n≥N. Следовательно, для всех n≥N,n≥N,|an−L|<δ,|an−L|<δ, откуда следует |f(an)−f(L)|<ε.|f(an)− f(L)|<ε. Мы заключаем, что последовательность {f(an)}{f(an)} сходится к f(L).f(L).
□
Рисунок 5,5 Поскольку ff является непрерывной функцией, поскольку входы a1,a2,a3,…a1,a2,a3,… приближаются к L,L, выходы f(a1),f(a2),f(a3),…f(a1) ,f(a2),f(a3),… приближаются к f(L).f(L).
Пример 5.4
Пределы, включающие непрерывные функции, определенные для сходящихся последовательностей
Определите, сходится ли последовательность {cos(3/n2)}{cos(3/n2)}. Если оно сходится, найти его предел.
Решение
Поскольку последовательность {3/n2}{3/n2} сходится к 00, а cosxcosx непрерывна при x=0,x=0, мы можем заключить, что последовательность {cos(3/n2)}{cos(3/n2 )} сходится и
limn→∞cos(3n2)=cos(0)=1.limn→∞cos(3n2)=cos(0)=1.
Контрольно-пропускной пункт 5.4
Определите, сходится ли последовательность {2n+13n+5}{2n+13n+5}. Если оно сходится, найти его предел.
Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждавшейся во введении к пределам.
Теорема 5.4
Теорема сжатия для последовательностей
Рассмотрим последовательности {an},{an},{bn},{bn} и {cn}.{cn}. Предположим, что существует целое число NN такое, что
an≤bn≤cnдля всехn≥N.an≤bn≤cnдля всехn≥N.
Если существует действительное число LL такое, что
limn→∞an=L=limn→∞cn,limn→∞an=L=limn→∞cn,
, то {bn}{bn} сходится и limn→ ∞bn=Llimn→∞bn=L (рис. 5.6).
Доказательство
Пусть ε>0.ε>0. Поскольку последовательность {an}{an} сходится к L,L, существует целое число N1N1 такое, что |an−L|<ε|an−L|<ε для всех n≥N1.n≥N1. Аналогично, поскольку {cn}{cn} сходится к L,L, существует целое число N2N2 такое, что |cn−L|<ε|cn−L|<ε для всех n≥N2.n≥N2. По условию существует целое NN такое, что an≤bn≤cnan≤bn≤cn для всех n≥N.n≥N. Пусть MM будет наибольшим из N1,N2,N1,N2 и N.N. Мы должны показать, что |bn−L|<ε|bn−L|<ε для всех n≥M.n≥M. Для всех n≥M,n≥M,
−ε<−|an−L|≤an−L≤bn−L≤cn−L≤|cn−L|<ε.−ε<−|an−L|≤an−L≤bn−L≤cn −L≤|cn−L|<ε.
Следовательно, −ε
□
Рисунок 5.6 Каждый член bnbn удовлетворяет условию an≤bn≤cnan≤bn≤cn, а последовательности {an}{an} и {cn}{cn} сходятся к одному и тому же пределу, поэтому последовательность {bn}{bn} должна сходиться к одному и тому же пределу также.
Пример 5,5
Использование теоремы сжатия
Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.
{cosnn2}{cosnn2}
{(−12)n}{(−12)n}
Решение
Поскольку −1≤cosn≤1−1≤cosn≤1 для всех целых чисел n,n, имеем
−1n2≤cosnn2≤1n2.−1n2≤cosnn2≤1n2.

Поскольку −1/n2→0−1/n2→0 и 1/n2→0,1/n2→0, заключаем, что также cosn/n2→0cosn/n2→0.
С
−12n≤(−12)n≤12n−12n≤(−12)n≤12n

для всех натуральных чисел n,n,−1/2n→0−1/2n→0 и 1/2n→0, 1/2n→0, мы можем заключить, что (−1/2)n→0.(−1/2)n→0.
Контрольно-пропускной пункт 5,5
Найти limn→∞2n-sinnn.limn→∞2n-sinnn.
Используя идею из примера 5.5b. мы заключаем, что rn→0rn→0 для любого действительного числа rr такого, что −1 Если r=-1,r=-1, последовательность {rn}={(-1)n}{rn}={(-1)n} расходится, как обсуждалось ранее. Вот краткое изложение свойств геометрических последовательностей.
rn→0if|r|<1rn→0if|r|<1
(5.1)
rn→1ifr=1rn→1ifr=1
(5.2)
rn→∞ifr>1rn→∞ifr>1
(5.3)
{rn}расходится, еслиr≤−1{rn}расходится, еслиr≤−1
(5.4)
Ограниченные последовательности
Обратимся теперь к одной из самых важных теорем, касающихся последовательностей: теореме о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам необходимо ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.
Определение
Последовательность {an}{an} ограничена сверху, если существует действительное число MM такое, что
an≤Man≤M
для всех натуральных чисел n. n.
Последовательность {an}{an} ограничена снизу, если существует действительное число MM такое, что
M≤anM≤an
для всех натуральных чисел n.n.
Последовательность {an}{an} является ограниченной последовательностью, если она ограничена сверху и снизу.
Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность.
Например, последовательность {1/n}{1/n} ограничена сверху, поскольку 1/n≤11/n≤1 для всех натуральных чисел n.n. Он также ограничен снизу, потому что 1/n≥01/n≥0 для всех натуральных чисел n. Следовательно, {1/n}{1/n} — ограниченная последовательность. С другой стороны, рассмотрим последовательность {2n}.{2n}. Поскольку 2n≥22n≥2 для всех n≥1,n≥1, последовательность ограничена снизу. Однако последовательность не ограничена сверху. Следовательно, {2n}{2n} — неограниченная последовательность.
Обсудим теперь связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность {an}{an} неограничена. Тогда оно не ограничено сверху, или не ограничено снизу, или и то, и другое. В любом случае существуют члены anan, величина которых сколь угодно велика по мере увеличения nn. В результате последовательность {an}{an} не может сходиться. Следовательно, ограниченность является необходимым условием сходимости последовательности.
Теорема 5,5
Сходящиеся последовательности ограничены
Если последовательность {an}{an} сходится, то она ограничена.
Обратите внимание, что ограниченность последовательности не является достаточным условием сходимости последовательности. Например, последовательность {(-1)n}{(-1)n} ограничена, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между 11 и -1-1 и никогда не приближается к конечному числу. Обсудим теперь достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.
Рассмотрим ограниченную последовательность {an}.{an}. Предположим, что последовательность {an}{an} является возрастающей. То есть a1≤a2≤a3….a1≤a2≤a3…. Поскольку последовательность возрастает, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности. Последовательность может расходиться до бесконечности, а может и сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху, и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что {an}{an} сходится. Например, рассмотрим последовательность
{12,23,34,45,…}.{12,23,34,45,…}.
Поскольку эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность
{2,0,3,0,4,0,1,−12,−13,−14,…}.{2,0,3,0,4,0,1,−12,−13,− 14,…}.
Несмотря на то, что последовательность не возрастает для всех значений n,n, мы видим, что −1/2<−1/3<−1/4<⋯,−1/2<−1/3<−1/4 <⋯. Следовательно, начиная с восьмого члена, a8=−1/2,a8=−1/2, последовательность возрастает. В этом случае мы говорим, что последовательность равна 90 587, в конечном итоге 90 041 увеличивается. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Также верно, что если последовательность убывает (или в конце концов убывает) и ограничена снизу, она также сходится.
Определение
Последовательность {an}{an} является возрастающей для всех n≥n0n≥n0, если
an≤an+1для всехn≥n0.an≤an+1для всехn≥n0.
Последовательность {an}{an} убывает для всех n≥n0n≥n0, если
an≥an+1 для всех n≥n0.an≥an+1 для всех n≥n0.
Последовательность {an}{an} является монотонной последовательностью для всех n≥n0n≥n0, если она возрастает для всех n≥n0n≥n0 или убывает для всех n≥n0.n≥n0.
Теперь у нас есть необходимые определения, чтобы сформулировать теорему о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.
Теорема 5.6
Теорема о монотонной сходимости
Если {an}{an} — ограниченная последовательность и существует натуральное число n0n0 такое, что {an}{an} монотонно для всех n≥n0,n≥n0, то {an}{an} сходится.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки этого текста. Вместо этого мы приводим график, чтобы наглядно показать, почему эта теорема имеет смысл (рис. 5.7).
Рисунок 5.7 Поскольку последовательность {an}{an} возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.
В следующем примере мы покажем, как можно использовать теорему о монотонной сходимости для доказательства сходимости последовательности.
Пример 5.6
Использование теоремы о монотонной сходимости
Для каждой из следующих последовательностей используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что последовательность сходится, и найти ее предел.
{4nn!}{4nn!}
{an}{an} определяется рекурсивно таким образом, что
a1=2andan+1=an2+12anдля всехn≥2.a1=2andan+1=an2+12anдля всехn≥2.
Решение
Выписывая первые несколько членов, мы видим, что
{4nn!}={4,8,323,323,12815,…}. {4nn!}={4,8,323,323,12815,…}.

Сначала увеличиваются сроки. Однако после третьего срока сроки уменьшаются. На самом деле члены уменьшаются для всех n≥3.n≥3. Мы можем показать это следующим образом.
an+1=4n+1(n+1)!=4n+1·4nn!=4n+1·an≤anifn≥3.an+1=4n+1(n+1)!=4n+1· 4nn!=4n+1·an≤anifn≥3.

Следовательно, последовательность убывает для всех n≥3.n≥3. Кроме того, последовательность ограничена снизу числом 00, поскольку 4n/n!≥04n/n!≥0 для всех натуральных чисел n.n. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.
Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть L=limn→∞an.L=limn→∞an. Теперь обратите внимание на это важное наблюдение. Рассмотрим limn→∞an+1.limn→∞an+1. Поскольку
{an+1}={a2,a3,a4,…},{an+1}={a2,a3,a4,…},
единственная разница между последовательностями {an+1}{an+1} и {an}{an} заключается в том, что в {an+1}{an+1} отсутствует первый член. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,
limn→∞an+1=limn→∞an=L. limn→∞an+1=limn→∞an=L.

Комбинируя этот факт с уравнением
an+1=4n+1anan+1=4n+1an

и, взяв предел обеих частей уравнения
limn→∞an+1=limn→∞4n+1an,limn→∞an+1=limn→ ∞4n+1an,

можно сделать вывод, что
L=0·L=0.L=0·L=0.
Запись первых нескольких терминов,
{2,54,4140,32813280,…}.{2,54,4140,32813280,…}.

можно предположить, что последовательность убывает и ограничена снизу величиной 1.1. Чтобы показать, что последовательность ограничена снизу числом 1,1, мы можем показать, что
an2+12an≥1.an2+12an≥1.

Чтобы показать это, сначала перепишите
an2+12an=an2+12an.an2+12an=an2+12an.

Поскольку a1>0a1>0 и a2a2 определяется как сумма положительных членов, a2>0.a2>0. Аналогично, все термины an>0.an>0. Следовательно,
an2+12an≥1an2+12an≥1

тогда и только тогда, когда
an2+1≥2an.an2+1≥2an.

Переписывая неравенство an2+1≥2anan2+1≥2an в виде an2−2an+1≥0,an2−2an+1≥0 и используя тот факт, что
an2−2an+1=(an−1)2≥ 0an2−2an+1=(an−1)2≥0

, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, мы можем заключить, что
an2+12an≥1. an2+12an≥1.

Чтобы показать, что последовательность убывает, мы должны показать, что an+1≤anan+1≤an для всех n≥1.n≥1. Так как 1≤an2,1≤an2, то
an2+1≤2an2.an2+1≤2an2.

Разделив обе части на 2an,2an, получим
an2+12an≤an.an2+12an≤an.

Используя определение an+1,an+1, заключаем, что
an+1=an2+12an≤an.an+1=an2+12an≤an.

Поскольку {an}{an} ограничено снизу и убывает, по теореме о монотонной сходимости оно сходится.
Чтобы найти предел, пусть L=limn→∞an.L=limn→∞an. Тогда, используя рекуррентное соотношение и тот факт, что limn→∞an=limn→∞an+1,limn→∞an=limn→∞an+1, мы имеем
limn→∞an+1=limn→∞(an2+12an ),limn→∞an+1=limn→∞(an2+12an),

и, следовательно,
L=L2+12L.L=L2+12L.

Умножая обе части этого уравнения на 2L,2L, мы приходим к уравнению
2L2=L2+1,2L2=L2+1.

Решая это уравнение относительно L,L, заключаем, что L2=1,L2=1, откуда следует L=±1.L=±1. Поскольку все члены положительны, предел L=1.L=1.
Контрольно-пропускной пункт 5.
6
Рассмотрим последовательность {an}{an}, определенную рекурсивно так, что a1=1,a1=1,an=an−1/2.an=an−1/2. Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найти ее предел.
Студенческий проект
Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи определяются рекурсивно последовательностью {Fn}{Fn}, где F0=0,F0=0,F1=1F1=1 и для n≥2,n≥2,
Fn=Fn−1+Fn −2.Fn=Fn−1+Fn−2.
Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.
Выпишите первые двадцать чисел Фибоначчи.
Найдите замкнутую формулу для последовательности Фибоначчи, выполнив следующие шаги.
Рассмотрим рекурсивно определенную последовательность {xn}{xn}, где xo=cxo=c и xn+1=axn.xn+1=axn. Покажите, что эту последовательность можно описать замкнутой формулой xn=canxn=can для всех n≥0.n≥0.
Использование результата из части а. в качестве мотивации ищем решение уравнения
Fn=Fn−1+Fn−2Fn=Fn−1+Fn−2

вида Fn=cλn. Fn=cλn. Определите, какие два значения λλ позволят FnFn удовлетворять этому уравнению.
Рассмотрим два решения из части б.: λ1λ1 и λ2.λ2. Пусть Fn=c1λ1n+c2λ2n.Fn=c1λ1n+c2λ2n. Используя начальные условия F0F0 и F1F1, определите значения констант c1c1 и c2c2 и запишите замкнутую формулу Fn.Fn.
Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что
limn→∞Fn+1Fn=1+52.limn→∞Fn+1Fn=1+52.

Число ϕ=(1+5)/2ϕ=(1+5)/2 известно как золотое сечение (рис. 5.8 и рис. 5.9).
Рисунок 5,8 Семена подсолнуха имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо. Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эссдраса Кальдерана, Wikimedia Commons)

Рисунок 5,9 Пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, кажется, имеет эти пропорции, и это соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr)
Раздел 5.1 Упражнения
Найдите первые шесть членов каждой из следующих последовательностей, начиная с n=1.n=1.
1.
an=1+(−1)nan=1+(−1)n для n≥1n≥1
2.
an=n2−1an=n2−1 для n≥1n≥1
3.
a1=1a1=1 и an=an-1+nan=an-1+n для n≥2n≥2
4.
a1=1,a1=1,a2=1a2=1 и an+2=an+an+1an+2=an+an+1 для n≥1n≥1
5.
Найдите явную формулу для anan, где a1=1a1=1 и an=an−1+nan=an−1+n при n≥2.n≥2.
6.
Найдите формулу anan для n-го члена арифметической прогрессии, первый член которой равен a1=1a1=1, такую, что an+1−an=17an+1−an=17 при n≥1.n≥1.
7.
Найдите формулу anan для n-го члена арифметической прогрессии, первый член которой равен a1=−3a1=−3, такую, что an+1−an=4an+1−an=4 при n≥1. n≥1.
8.
Найдите формулу anan для n-го члена геометрической прогрессии, первый член которой равен a1=1a1=1, такую, что an+1an=10an+1an=10 при n≥1.n≥1.
9.
Найдите формулу anan для n-го члена геометрической прогрессии, первый член которой равен a1=3a1=3, такую, что an+1an=1/10an+1an=1/10 при n≥1.n≥1.
10.
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, первые несколько членов которой равны {0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}.{0,3,8,15 ,24,35,48,63,80,99,…}. ( Подсказка: Сначала добавьте по одному к каждому термину.)
11.
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, удовлетворяющей условиям a1=0a1=0 и an=2an−1+1an=2an−1+1 при n≥2.n≥2.
Найдите формулу для общего члена анана каждой из следующих последовательностей.
12.
{1,0,−1,0,1,0,−1,0,…}{1,0,−1,0,1,0,−1,0,…} ( Подсказка: Найти где sinxsinx принимает эти значения)
13.
{1,−1/3,1/5,−1/7,…}{1,−1/3,1/5,−1/7,…}
Найдите функцию f(n)f(n), которая идентифицирует n-й член anan следующих рекурсивно определенных последовательностей как an=f(n).an=f(n).
14.
a1=1a1=1 и an+1=-anan+1=-an для n≥1n≥1
15.
a1=2a1=2 и an+1=2anan+1=2an для n≥1n≥1
16.
a1=1a1=1 и an+1=(n+1)anan+1=(n+1)an для n≥1n≥1
17.
a1=2a1=2 и an+1=(n+1)an/2an+1=(n+1)an/2 для n≥1n≥1
18.
a1=1a1=1 и an+1=an/2nan+1=an/2n для n≥1n≥1
Постройте первые элементы NN каждой последовательности. Укажите, предполагают ли графические данные, что последовательность сходится или расходится.
19.
[T] a1=1,a1=1,a2=2,a2=2, а для n≥2,n≥2,an=12(an−1+an−2);an=12( ан-1+ан-2);N=30N=30
20.
[T] a1=1,a1=1,a2=2,a2=2,a3=3a3=3 и для n≥4,n≥4,an=13(an−1+an−2+ an−3),an=13(an−1+an−2+an−3),N=30N=30
21.
[T] a1=1,a1=1,a2=2,a2=2, а для n≥3,n≥3,an=an−1an−2;an=an−1an−2;N =30Н=30
22.
[T] a1=1,a1=1,a2=2,a2=2,a3=3,a3=3, а для n≥4,n≥4,an=an−1an−2an−3 ;an=an-1an-2an-3;N=30N=30
Предположим, что limn→∞an=1,limn→∞an=1,limn→∞bn=−1, limn→∞bn=−1 и 0<−bn
23.
limn→∞(3an−4bn)limn→∞(3an−4bn)
24.
limn→∞(12bn−12an)limn→∞(12bn−12an)
25.
limn→∞an+bnan−bnlimn→∞an+bnan−bn
26.
limn→∞an−bnan+bnlimn→∞an−bnan+bn
Найдите предел каждой из следующих последовательностей, при необходимости используя правило Лопиталя.
27.
н22нн22н
28.
(n−1)2(n+1)2(n−1)2(n+1)2
29.
нн+1нн+1
30.
n1/nn1/n ( Подсказка: n1/n=e1nlnn)n1/n=e1nlnn)
Для каждой из следующих последовательностей, чьи n-е члены указаны, укажите, является ли последовательность ограниченной и является ли она в конечном счете монотонной, возрастающей или убывающей.
31.
н/2н, н/2н, н≥2н≥2
32.
пер(1+1н)пер(1+1н)
33.
грешник
34.
cos(n2)cos(n2)
35.
n1/n,n1/n,n≥3n≥3
36.
n-1/n,n-1/n,n≥3n≥3
37.
таннтанн
38.
Определите, имеет ли предел последовательность, определенная следующим образом. Если да, то найти предел.
a1=2,a1=2,a2=22,a2=22,a3=222a3=222 и т. д.
39.
Определите, имеет ли предел последовательность, определенная следующим образом. Если да, то найти предел.
a1=3,a1=3,an=2an−1,an=2an−1,n=2,3,….n=2,3,….
Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.
40.
nsin(1/n)nsin(1/n)
41.
cos(1/n)−11/ncos(1/n)−11/n
42.
ан=н!ннан=н!нн
43.
an=sinnsin(1/n)an=sinnsin(1/n)
Для следующих последовательностей начертите первые 2525 членов последовательности и укажите, предполагают ли графические данные, что последовательность сходится или расходится.
44.
[Т] ан=синнан=синн
45.
[Т] ан=коснан=косин
Определите предел последовательности или покажите, что последовательность расходится. Если оно сходится, найти его предел.
46.
an=tan-1(n2)an=tan-1(n2)
47.
an=(2n)1/n−n1/nan=(2n)1/n−n1/n
48.
an=ln(n2)ln(2n)an=ln(n2)ln(2n)
49.
an=(1−2n)nan=(1−2n)n
50.
an=ln(n+2n2−3)an=ln(n+2n2−3)
51.
ан=2n+3n4нан=2n+3n4n
52.
an=(1000)nn!an=(1000)nn!
53.
an=(n!)2(2n)!an=(n!)2(2n)!
Метод Ньютона стремится аппроксимировать решение f(x)=0f(x)=0, которое начинается с начального приближения x0x0 и последовательно определяет последовательность xn+1=xn−f(xn)f′(xn).xn+1 =xn−f(xn)f′(xn). Для данного выбора ff и x0,x0 выпишите формулу для xn+1.xn+1. Если последовательность кажется сходящейся, дайте точную формулу для решения x,x, затем определите предел xx с точностью до четырех знаков после запятой и наименьшее nn такое, что xnxn согласуется с xx с точностью до четырех знаков после запятой.
54.
[Т] f(x)=x2−2,f(x)=x2−2,×0=1×0=1
55.
[T] f(x)=(x−1)2−2,f(x)=(x−1)2−2,×0=2×0=2
56.
[Т] f(x)=ex−2,f(x)=ex−2,×0=1×0=1
57.
[Т] f(x)=lnx−1,f(x)=lnx−1,×0=2×0=2
58.
[T] Предположим, вы начинаете с одного литра уксуса и несколько раз удаляете 0,1 л, 0,1 л, заменяете водой, перемешиваете и повторяете.
Найдите формулу концентрации после nn шагов.
Через сколько шагов смесь содержит менее 10%10% уксуса?
59.
[T] В озере изначально содержится 20002000 рыб. Предположим, что при отсутствии хищников или других причин изъятия популяция рыб увеличивается на 6%6% каждый месяц. Однако с учетом всех причин каждый месяц теряется 150–150 рыб.
Объясните, почему популяция рыб через nn месяцев моделируется как Pn=1,06Pn-1-150Pn=1,06Pn-1-150 с P0=2000,P0=2000.
Сколько рыбы будет в пруду через год?
60.
[T] На банковский счет ежемесячно начисляются проценты в размере 5%5%. Предположим, что первоначально на счет внесено 1000$1000, но каждый месяц снимаются 10$10.
Покажите, что сумма на счете через nn месяцев равна An=(1+.05/12)An−1−10;An=(1+.05/12)An−1−10;A0=1000. А0=1000.
Сколько денег будет на счету через 11 лет?
Сумма увеличивается или уменьшается?
Предположим, что вместо $10,$10 каждый месяц снимается фиксированная сумма dd долларов. Найдите такое значение dd, чтобы сумма на счете после каждого месяца оставалась равной 1000.1000 долларов.
Что произойдет, если dd больше этой суммы?
61.
[T] Студент берет ссуду колледжа в размере 10 000 долларов США 10 000 долларов США с годовой процентной ставкой 6%,6%, начисляемой ежемесячно.
Если учащийся платит 100 долларов 100 долларов в месяц, сколько должен учащийся через 1212 месяцев?
Через сколько месяцев будет погашен кредит?
62.
[T] Рассмотрим ряд, сочетающий геометрический рост и арифметическое убывание. Пусть а1=1.а1=1. Зафиксируйте a>1a>1 и 0
63.
[T] Двоичное представление x=0.b1b2b3…x=0.b1b2b3… числа xx между 00 и 11 может быть определено следующим образом. Пусть b1=0b1=0, если x<1/2x<1/2, и b1=1b1=1, если 1/2≤x<1,1/2≤x<1. Пусть x1=2x−b1.x1=2x−b1. Пусть b2=0b2=0, если x1<1/2x1<1/2, и b2=1b2=1, если 1/2≤x<1,1/2≤x<1. Пусть x2=2x1−b2x2=2x1−b2 и, вообще говоря, xn=2xn−1−bnxn=2xn−1−bn и bn−1=0bn−1=0, если xn<1/2xn<1/2 и bn− 1=1bn−1=1, если 1/2≤xn<1,1/2≤xn<1. Найдите двоичное расширение 1/3.1/3.
64.
[T] Чтобы найти приближение для π,π, положим a0=2+1,a0=2+1,a1=2+a0,a1=2+a0 и, вообще говоря, an+1= 2+ан.ан+1=2+ан. Наконец, установите pn=3.2n2-an.pn=3.2n2-an. Найдите первые десять членов pnpn и сравните значения с π.π.
Для следующих двух упражнений предположим, что у вас есть доступ к компьютерной программе или источнику в Интернете, который может создать список нулей и единиц любой желаемой длины. Генераторы псевдослучайных чисел (PRNG) играют важную роль в моделировании случайного шума в физических системах, создавая последовательности нулей и единиц, которые выглядят как результат многократного подбрасывания монеты. Один из простейших типов PRNG рекурсивно определяет случайную последовательность NN целых чисел a1,a2,…,aNa1,a2,…,aN, фиксируя два специальных целых числа KK и MM и позволяя an+1an+1 быть остатком после деления K.anK.an в M,M, затем создает битовую последовательность нулей и единиц, n-й член которой bnbn равен единице, если anan нечетен, и равен нулю, если anan четен. Если биты bnbn псевдослучайны, то поведение их среднего (b1+b2+⋯+bN)/N(b1+b2+⋯+bN)/N должно быть похоже на поведение средних истинно случайно сгенерированных битов.
65.
[T] Начиная с K=16 807K=16 807 и M=2 147 483 647, M=2 147 483 647, используя десять различных начальных значений a1,a1, вычислить последовательности битов bnbn до n=1000, n=1000, и сравните их средние значения с десятью такими последовательностями, сгенерированными генератором случайных битов.
66.
[T] Найдите первые 10001000 цифр числа ππ с помощью компьютерной программы или интернет-ресурса. Создайте битовую последовательность bnbn, задав bn=1bn=1, если n-ая цифра ππ нечетная, и bn=0bn=0, если n-ная цифра ππ четная. Вычислить среднее значение bnbn и среднее значение dn=|bn+1−bn|,dn=|bn+1−bn|,n=1,…,999.n=1,…,999. Является ли последовательность bnbn случайной? Являются ли различия между последовательными элементами bnbn случайными?
9.
1: Последовательности — Математика LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
2562
Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax
Цели обучения
Найти формулу для общего члена последовательности.
Вычислить предел последовательности, если она существует.
Определить сходимость или расхождение заданной последовательности.
В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что означает сходимость или расхождение последовательности. Мы покажем, как находить пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, обсуждавшихся ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости — инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей. 9∞_{n=1},\nonumber \]
или просто $\{a_n\}$ для обозначения этой последовательности. Подобное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, тогда как набор не является упорядоченным. Поскольку для каждого положительного целого числа $n$ существует определенное число $a_n$, мы также можем определить последовательность как функцию, областью определения которой является множество положительных целых чисел.
Рассмотрим бесконечный упорядоченный список. a_1=2, a_2=4,\) и $a_3=8.$ Возможно, вы видите, что термины в этой последовательности имеют следующий шаблон: 9{\text{th}}\) термин $a_n$ через предыдущий термин $a_{n−1}$. В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность $\{a_n\}$, где $a_1=2$ и для всех $n≥2$ каждый член an определяется повторением отношение
\[a_n=2a_{n−1}. \nonumber \]
Определение: бесконечная последовательность
Бесконечная последовательность $\{a_n\}$ представляет собой упорядоченный список чисел вида
$a_1,\,a_2,\,…,\ ,a_n,\,….$
Нижний индекс $n$ называется индексная переменная последовательности. Каждое число $a_n$ является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, в этом случае $a_n=f(n)$ для некоторой функции $f(n)$, определенной над положительными целыми числами. В других случаях последовательности определяются с помощью рекуррентного отношения . В рекуррентном отношении один член (или более) последовательности задается явно, а последующие члены определяются в терминах более ранних членов последовательности.
Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с $n=1$, но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой $a_n=f(n)$, может начинаться с $n=0$, и в этом случае последовательность будет равна
\[a_0,\,a_1,\,a_2,…. n}\). 9п\)}.
Часто встречаются два типа последовательностей, которым даются специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой последовательных членов одинакова. Например, рассмотрим последовательность
\[3,\,7,\,11,\,15,1\,9, \,\ldots\nonumber \]
Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой условия равны $4$. Предполагая, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения
\[\begin{cases}a_1=3\\a_n=a_{n−1}+4, \text{ для }\ n≥2\end{case}.\nonumber \]
Обратите внимание, что
\[a_2=3+4\без числа \]
\[a_3=3+4+4=3+2⋅4\без числа \]
\[a_4=3+4+4+4=3+3⋅ 4.\nonumber \]
Таким образом, последовательность также может быть описана с помощью явной формулы
\[a_n=3+4(n−1)=4n−1.\nonumber \]
В общем случае арифметическая последовательность любая последовательность вида $a_n=cn+b. 3⋅2,\end{align*} \nonumber \] 9п}$.
Упражнение $\PageIndex{2}$
Найдите явную формулу для рекурсивно определенной последовательности, такой что $a_1=−4$ и $a_n=a_{n−1}+6$.
Подсказка
Это арифметическая прогрессия.
Ответить
$a_n=6n−10$
Предел последовательности
Фундаментальный вопрос, возникающий в отношении бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении $n$. Поскольку последовательность — это функция, определенная на целых положительных числах, имеет смысл обсудить предел терминов при $n→∞$. Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение как $n→∞$ (рисунок $\PageIndex{2}$): 9n}{n}→0\) как $n→∞.$ Рисунок $\PageIndex{2}$: (a) Члены последовательности становятся сколь угодно большими при $n→∞$. (b) Члены последовательности приближаются к $1$ как $n→∞$. (c) Члены последовательности чередуются между $1$ и $−1$ при $n→∞$. (d) Члены последовательности чередуются с положительными и отрицательными значениями, но приближаются к $0$ как $n→∞$.
Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности при $n→∞$. В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу как $n→∞.$. В двух других последовательностях члены не приближаются. Если члены последовательности приближаются к конечному числу $L$ при $n→∞$, мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число L является пределом последовательности. Здесь мы можем дать неформальное определение.
Определение: сходящиеся и расходящиеся последовательности
Для данной последовательности ${a_n},$, если члены an становятся сколь угодно близкими к конечному числу $L$, когда n становится достаточно большим, мы говорим $\{a_n \}$ является сходящейся последовательностью и $L$ является пределом последовательности. n\right\}\) является сходящейся последовательностью и ее предел равен $1$. Напротив, из рисунка видно, что члены последовательности $1+3n$ не приближаются к конечному числу, когда $n$ становится больше. Мы говорим, что $\{1+3n\}$ — расходящаяся последовательность.
В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «сколь угодно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты. Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и показываем эти идеи графически на рисунке.
Определение: сходимость
Последовательность $\{a_n\}$ сходится к действительному числу $L$, если для всех $ε>0$ существует целое число $N$ такое, что для всех $n ≥ N$ $|a_n−L| < ε$. Число $L$ является пределом последовательности, и мы пишем
\[\lim_{n→∞}a_n = L \text{ или } a_n→L. \nonumber \]
В этом случае мы говорим, что последовательность $\{a_n\}$ является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, то это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.
Заметим, что сходимость или расходимость последовательности $\{a_n\}$ зависит только от того, что происходит с членами $a_n$ при $n→∞$. Следовательно, если конечное число терминов $b_1,b_2,…,b_N$ помещено перед $a_1$ для создания новой последовательности
\[b_1,\,b_2,\,…,\,b_N,\,a_1,\,a_2,\,…,\nonumber \]
эта новая последовательность будет сходиться, если $\{a_n\}\ ) сходится и расходится, если \(\{a_n\}$ расходится. Далее, если последовательность $\{a_n\}$ сходится к $L$, то эта новая последовательность также сходится к $L$.
Рисунок $\PageIndex{3}$: по мере увеличения $n$ члены $a_n$ становятся ближе к $L$. Для значений $n≥N$ расстояние между каждой точкой $(n,a_n)$ и линией $y=L$ меньше, чем $ε$.
Как определено выше, если последовательность не сходится, она называется расходящейся последовательностью. n\right\}\) расходится, потому что члены чередуются между $1$ и $−1$, но не приближаются к одному значению, поскольку $n→ ∞$. С другой стороны, последовательность $\{1+3n\}$ расходится, потому что члены $1+3n→∞$ при $n→∞$. Мы говорим, что последовательность $\{1+3n\}$ расходится к бесконечности, и пишем $\displaystyle \lim_{n→∞}(1+3n)=∞$. Важно понимать, что это обозначение не означает, что предел последовательности $\{1+3n\}$ существует. На самом деле последовательность расходится. Написание того, что предел равен бесконечности, предназначено только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться к отрицательной бесконечности. Например, последовательность $\{−5n+2\}$ расходится к отрицательной бесконечности, потому что $−5n+2→−∞$ при $n→−∞$. Мы запишем это как $\displaystyle \lim_{n→∞}(−5n+2)=→−∞.$
Поскольку последовательность — это функция, областью определения которой является множество положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность. Например, рассмотрим последовательность $\{a_n\}$ и связанную с ней функцию $f$, определенную на всех положительных действительных числах, таких что $f(n)=a_n$ для всех целых чисел $n≥1 $. Поскольку область определения последовательности является подмножеством области определения $f$, если $\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)$ существует, то последовательность сходится и имеет тот же предел. Например, рассмотрим последовательность $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$ и связанную с ней функцию $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Поскольку функция $f$, определенная на всех действительных числах $x>0$, удовлетворяет условию $f(x)=\dfrac{1}{x}→0$ при $x→∞$, последовательность $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$ должна удовлетворять $\dfrac{1}{n}→0$ при $n→∞.$ 9n\right\}\) сходится к $0+0=0$. Точно так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций $f$ и $g$, взглянув на пределы $f$ и $g$ (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой являются алгебраическими комбинациями $a_n$ и $b_n$, оценивая пределы $\{a_n\}$ и $\{b_n\}\ ).
Законы алгебраического предела
Даны последовательности \(\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ и любое действительное число $c$, если существуют константы $A$ и $ B$ такие, что $\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A$ и $\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B$, то
$\displaystyle \lim_{n→∞}c=c$
$\displaystyle \lim_{n→∞}ca_n=c\lim_{n→∞}a_n=cA$
$\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n±b_n)=\lim_{n→∞}a_n±\lim_{n→∞}b_n=A±B$
$\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n⋅b_n)=\big(\lim_{n→∞}a_n\big)⋅\big(\lim_{n→∞}b_n\big)=A⋅ Б$
$\displaystyle \lim_{n→∞}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)=\dfrac{\lim_{n→∞}a_n}{\lim_{n→∞}b_n}= \dfrac{A}{B}$, если $B≠0$ и каждый $b_n≠0.$
Доказательство
Докажем часть III.
Пусть $ϵ>0$. Поскольку $\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A$, существует постоянное натуральное число $N_1$, такое что для всех $n≥N_1$. Поскольку $\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B$, существует константа $N_2$ такая, что $|b_n−B|<ε/2$ для всех $n≥N_2\ ). 2}}$. Как показано ранее, $\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0$. Точно так же для любого положительного целого числа $k$ мы можем заключить, что 9x\right]=\lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)\).
Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенный вид $∞⋅0$, перепишем ее в виде дроби, чтобы применить правило Лопиталя. Напишите
$\displaystyle \lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=\lim_{x→∞}\dfrac{\ln\left(1 +4/х\вправо)}{1/х}$.
Поскольку правая часть теперь представлена в неопределенной форме 0/0, мы можем применить правило Лопиталя. Мы заключаем, что
$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln(1+4/x)}{1/x}=\lim_{x→∞}\dfrac{4}{1+ 4/х}=4.$ 9n\right\}.\) Определить, сходится ли последовательность. Если оно сходится, найти его предел.
Подсказка
Используйте правило Лопиталя.
Ответить
Последовательность сходится, и ее предел равен $0$
Напомним, что если $f$ является непрерывной функцией при значении $L$, то $f(x)→f(L)$ при $x→L$. 2}→5\). Поскольку $\sqrt{x}$ является непрерывной функцией в точке $x=5$, 92})}=\sqrt{5}.\nonumber \]
Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях
Рассмотрим последовательность $\{a_n\}$ и предположим, что существует действительное число $L$, такое что последовательность $\{a_n\}$ сходится к $L$. Предположим, что $f$ — непрерывная функция в $L$. Тогда существует целое число $N$ такое, что $f$ определено при всех значениях an для $n≥N$, и последовательность $\{f(a_n)\}$ сходится к \ (f(L)\) (Рисунок $\PageIndex{4}$).
Рисунок $\PageIndex{4}$: Поскольку $f$ является непрерывной функцией, поскольку входы $a_1,\,a_2,\,a_3,\,…$ приближаются к $L$, выходы $f(a_1),\,f(a_2),\,f(a_3),\,…$ приближаются к $f(L)$.
Доказательство
Пусть $ϵ>0.$ Поскольку $f$ непрерывна в $L$, существует $δ>0$ такое, что $|f(x)−f(L )|<ε$, если $|x−L|<δ$. Поскольку последовательность $\{a_n\}$ сходится к $L$, существует $N$ такое, что $|a_n−L|<δ$ для всех $n≥N$. Следовательно, для всех $n≥N$ $|a_n−L|<δ$, откуда следует $|f(a_n)−f(L)|<ε$. Мы заключаем, что последовательность $\{f(a_n)\}$ сходится к $f(L)$.
□
Пример $\PageIndex{4}$: пределы, включающие непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях 92}\right)=\cos 0=1.\)
Упражнение $\PageIndex{4}$
Определите, является ли последовательность $\left\{\sqrt{\dfrac{2n+1}{3n +5}}\right\}$ сходится. Если оно сходится, найти его предел.
Подсказка
Рассмотрим последовательность $\left\{\dfrac{2n+1}{3n+5}\right\}.$
Ответить
Последовательность сходится, и ее предел равен $\sqrt{2/3}$.
Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы о сжатии для пределов, обсуждавшейся во введении к пределам.
Теорема сжатия для последовательностей
Рассмотрим последовательности $\{a_n\}, \, \{b_n\},$ и $\{c_n\}$. Предположим, что существует целое число $N$, такое что
$a_n≤b_n≤c_n$ для всех $n≥N.$
Если существует действительное число $L$ такое, что
\[\lim_{n→∞}a_n=L=\lim_{n→∞}c_n, \nonumber \]
, тогда $\{b_n\}$ сходится и $\displaystyle \lim_{n→∞ }b_n=L$ (Рисунок $\PageIndex{5}$).
Рисунок $\PageIndex{5}$: каждый терм bn удовлетворяет условию $a_n≤b_n≤c_n$, а последовательности $\{a_n\}$ и $\{c_n\}$ сходятся к тот же предел, поэтому последовательность $\{b_n\}$ также должна сходиться к тому же пределу.
Доказательство
Пусть $ε>0.$ Поскольку последовательность $\{a_n\}$ сходится к $L$, существует целое число $N_1$, такое что $|a_n−L |<ε$ для всех $n≥N_1$. Точно так же, поскольку $\{c_n\}$ сходится к $L$, существует целое число $N_2$ такое, что $|c_n−L|<ε$ для всех $n≥N_2\ ). По условию существует целое число \(N$ такое, что $a_n≤b_n≤c_n$ для всех $n≥N$. Пусть $M$ будет наибольшим из $N_1,\, N_2$ и $N$. Мы должны показать, что $|b_n−L|<ε$ для всех $n≥M$. Для всех $n≥M$, 9n\right\} \text{ расходится, если } r≤−1\)
Ограниченные последовательности
Обратимся теперь к одной из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теореме о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам необходимо ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.
Определение: связанные последовательности
Последовательность $\{a_n\}$ ограничена выше , если существует действительное число $M$ такое, что
$a_n≤M$
для всех положительных целых чисел $n$.
Последовательность $\{a_n\}$ ограничена ниже , если существует действительное число $m$ такое, что
$m≤a_n$
для всех натуральных чисел $n\ ).
Последовательность \(\{a_n\}$ является ограниченной последовательностью , если она ограничена сверху и снизу. n\right\}\) — неограниченная последовательность.
Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность $\{a_n\}$ неограничена. Тогда оно не ограничено сверху, или не ограничено снизу, или и то, и другое. В любом случае существуют члены an, величина которых сколь угодно велика по мере того, как $n$ становится больше. В результате последовательность $\{a_n\}$ не может сходиться. Следовательно, ограниченность является необходимым условием сходимости последовательности.
Сходящиеся последовательности ограничены
Если последовательность $\{a_n\}$ сходится, то она ограничена. 9n\right\}\) ограничено, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между $1$ и $−1$ и никогда не приближается к конечному числу. Обсудим теперь достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.
Рассмотрим ограниченную последовательность $\{a_n\}$. Предположим, что последовательность $\{a_n\}$ возрастает. То есть $a_1≤a_2≤a_3….$ Поскольку последовательность возрастает, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности. Последовательность может расходиться до бесконечности, а может и сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху, и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что $\{a_n\}$ сходится. Например, рассмотрим последовательность
\[\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{4}{5}, \,…\Правильно\}. \nonumber \]
Поскольку эта последовательность возрастает и ограничена сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность
\[\left\{2,\,0,\,3,\,0,\,4,\,0,\,1,\,−\dfrac{1}{2} ,\,−\dfrac{1}{3},\,−\dfrac{1}{4},\,…\right\}. \nonumber \]
Несмотря на то, что последовательность не возрастает для всех значений $n$, мы видим, что $−1/2<−1/3<−1/4<⋯$. Следовательно, начиная с восьмого члена, $a_8=−1/2$, последовательность возрастает. В этом случае мы говорим, что последовательность в конечном счете возрастает. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Также верно, что если последовательность убывает (или в конце концов убывает) и ограничена снизу, она также сходится.
Определение
Последовательность $\{a_n\}$ возрастает для всех $n≥n_0$, если
$a_n≤a_{n+1}$ для всех $n≥n_0$ ).
Последовательность $\{a_n\}$ убывает для всех $n≥n_0$, если
$a_n ≥ a_{n+1}$ для всех $n≥n_0$.
Последовательность $\{a_n\}$ является монотонной последовательностью для всех $n≥n_0$, если она возрастает для всех $n≥n_0$ или убывает для всех \ (n≥n_0\).
Теперь у нас есть необходимые определения, чтобы сформулировать теорему о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.
Определение: теорема о монотонной сходимости
Если $\{a_n\}$ — ограниченная последовательность и существует натуральное число $n_0$, такое что $\{a_n\}$ монотонно для всех \ (n≥n_0\), то $\{a_n\}$ сходится.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки этого текста. Вместо этого мы приводим график, чтобы наглядно показать, почему эта теорема имеет смысл (рис. $\PageIndex{6}$).
Рисунок $\PageIndex{6}$: Поскольку последовательность $\{a_n\}$ возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться. 9n}{n!}=\dfrac{4}{n+1}⋅a_n≤a_n\), если $n≥3.$
Следовательно, последовательность убывает для всех $n≥3$. Кроме того, последовательность ограничена снизу $0$, потому что $4n/n!≥0$ для всех натуральных чисел $n$. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.
Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть $\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n$. Теперь обратите внимание на это важное наблюдение. Рассмотрим $\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}$. С
$\{a_{n+1}\}=\{a_2,\,a_3,\,a_4,\,…\},$
единственная разница между последовательностями $\{a_{n+ 1}\}$ и $\{a_n\}$ состоит в том, что $\{a_{n+1}\}$ пропускает первый член. 2_n+1}{2a_n}\). 92_н\).
Разделив обе части на $2a_n$, получим
$\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n.$
Используя определение $a_{ n+1}$, заключаем, что
$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n$.
Поскольку $\{a_n\}$ ограничено снизу и убывает, по теореме о монотонной сходимости оно сходится.
Чтобы найти предел, пусть $\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n$. Затем, используя рекуррентное соотношение и тот факт, что $\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}a_{n+1}$, мы имеем 92=1\), откуда следует $L=±1$. Поскольку все члены положительны, предел $L=1$.
Упражнение $\PageIndex{6}$
Рассмотрим последовательность $\{a_n\}$, определенную рекурсивно так, что $a_1=1$, $a_n=a_{n−1}/2 $. Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найти ее предел.
Подсказка
Показать, что последовательность убывает и ограничена снизу.
Ответить
$0$.
Определение: числа Фибоначчи
чисел Фибоначчи определяются рекурсивно последовательностью $\left\{F_n\right\}$, где $F_0=0, \, F_1=1$ и для $ n≥2,$
$F_n=F_{n−1}+F_{n−2}.$
Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.
1. Запишите первые двадцать чисел Фибоначчи.
2. Найдите замкнутую формулу для последовательности Фибоначчи, выполнив следующие действия. 9н\). Используя начальные условия $F_0$ и $F_1$, определите значения констант $c_1$ и $c_2$ и напишите замкнутую формулу $F_n$.
3. Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что
\[\lim_{n→∞}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.\nonumber \]
число $ϕ=(1+\sqrt{5})/2$ известно как золотое сечение (рисунок и рисунок).
Рисунок $\PageIndex{7}$: Семена подсолнуха имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо. Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эссдраса Кальдерана, Wikimedia Commons) Рисунок $\PageIndex{8}$: пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с учетом этих пропорций, и это соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr).
Ключевые понятия
Чтобы определить сходимость последовательности, заданной явной формулой $a_n=f(n)$, мы используем свойства пределов для функций.
Если $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ — сходящиеся последовательности, сходящиеся к $A$ и $B,$ соответственно, а $c$ — любое вещественное число, то последовательность $\{ca_n\} $ сходится к $c\cdot A,$ последовательности $\{a_n±b_n\}$ сходятся к $A±B,$ последовательность $\{a_n\cdot b_n\}$ сходится к $A⋅B,$, а последовательность $\{a_n/b_n\}$ сходится к $A/B,$ при условии $B ≠0. $ 9n\right\}\) сходится тогда и только тогда, когда $|r|<1$ или $r=1$.
Глоссарий
арифметическая последовательность
последовательность, в которой разница между каждой парой последовательных членов одинакова, называется арифметической последовательностью
ограниченный выше
последовательность $\{a_n\}$ ограничена сверху, если существует константа $M$ такая, что $a_n≤M$ для всех натуральных чисел $n$
ограниченный снизу
последовательность $\{a_n\}$ ограничена снизу, если существует константа $M$ такая, что $M≤a_n$ для всех натуральных чисел $n$
ограниченная последовательность
последовательность $\{a_n\}$ является ограниченной, если существует константа $M$ такая, что $|a_n|≤M$ для всех натуральных чисел $n$
сходящаяся последовательность
сходящейся последовательностью называется последовательность $\{a_n\}$, для которой существует действительное число $L$ такое, что $a_n$ сколь угодно близко к $L$ до тех пор, пока $n $ достаточно велик
расходящаяся последовательность
последовательность, которая не сходится, расходится
явная формула
последовательность может быть определена явной формулой так, что $a_n=f(n)$
геометрическая последовательность
последовательность $\{a_n\}$, в которой отношение $a_{n+1}/a_n$ одинаково для всех натуральных чисел $n$, называется геометрической последовательностью
индексная переменная
нижний индекс, используемый для определения терминов в последовательности, называется индексом
предел последовательности
действительное число $L$, к которому сходится последовательность, называется пределом последовательности
монотонная последовательность
возрастающая или убывающая последовательность
рекуррентное соотношение
рекуррентное отношение — это отношение, в котором термин $a_n$ в последовательности определяется в терминах более ранних терминов в последовательности 9{\text{th}}\) член последовательности
неограниченная последовательность
последовательность, которая не ограничена, называется неограниченной
Эта страница под названием 9. 1: Sequences распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Программа ООР или издатель
ОпенСтакс
Показать страницу Оглавление
нет
Теги
арифметическая последовательность
автор @ Эдвин «Джед» Герман
автор@Гилберт Странг
сходящаяся последовательность
расходящаяся последовательность
Числа Фибоначчи
Геометрические последовательности
индексная переменная
предел последовательности
ТЕОРЕМА О МОНОТОННОЙ СХОДИМОСТИ
монотонная последовательность
рекуррентное отношение
последовательность
последовательностей
источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
ТЕОРЕМА СЖАТИЯ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
срок
Репетитор по математике — Последовательности — Теория
Репетитор по математике — Последовательности — Теория — Пределы
Мы начнем с рассмотрения нескольких основных свойств пределов. Затем мы смотрим на теоремы об операциях, которые приводит непосредственно к предельной алгебре, нашему основному инструменту для вычисления пределов. Затем мы исследуем некоторые взаимодействия между конвергенцией монотонность и ограниченность; мы также смотрим на ограничения и подпоследовательности. В конце мы кратко познакомить с понятием Последовательность Коши.
Несколько простых утверждений
Следующие утверждения должны быть понятны, если вы понимаете, что означает ограничение.
Факт.
Последовательность { a _n } сходится к L если и только если { a _n − L } сходится к 0.
Факт.
Если последовательность { a _n} переходит к L , затем {| a _n |} идет к | л |.
Факт.
Последовательность { a _n} становится 0 тогда и только тогда, когда {| a _n |} становится 0.
Факт.
Предположим, что последовательности { a _n } и { b _n } сходятся. Предел { a _n} равен предел { b _n } тогда и только тогда, когда { a _n − b _n } переходит в 0.
Обратите внимание, что последнее утверждение больше не верно, если мы отбросим предположение о сходимости.
Факт.
Если последовательность { a _n } имеет ненулевой предел, тогда существует N и константа m > 0 такое, что | a _n | > м для k > N .
Ограничения и операции
При оценке предела отправной точкой является элементарные пределы, которые мы должен помнить; это основные строительные блоки. Более сложный выражения создаются путем объединения таких элементарных выражений, поэтому мы также нужно знать, как собрать их вместе в пределе.
Теорема (пределы и алгебраические операции).
Предположим, что последовательность { a _n } имеет предел A и последовательность { b _n } имеет ограничение B . Тогда верно следующее:
(i) Для любого действительного числа c последовательность { ca _n } имеет ограничение cA , если это имеет смысл.
(ii) Последовательность { a _n + b _n } имеет предел A + B , если это имеет смысл.
(iii) Последовательность { a _n − b _n } имеет предел A — B , если это имеет смысл.
(iv) Последовательность { а _н ⋅ б _н } имеет предел A ⋅ B , если это имеет смысл.
(v) Последовательность { a _n / b _п } имеет предел A / B , если это имеет смысл.
(vi) Последовательность { a _n ^{b _n} } имеет предел A ^B, если это имеет смысл.
Теперь, что это насчет смысла? Если A и B настоящие чисел, то есть если две последовательности сходятся, то операции (i) через (iv) всегда имеют смысл. Однако соотношение A/B имеет смысл только в том случае, если B не равен нулю. И это именно то, что имеется в виду; мы можем применить эту теорему, если то, что мы получим в конце, имеет смысл. На самом деле мы имеем здесь расширение обычной алгебры. Раньше, когда мы написали «3 + 2 = 5», мы имели в виду, что добавили три яблока к двум яблокам дают пять яблок. Но теперь это может также означать, что «последовательность сходится к 3 при добавлении к другой последовательности, которая сходится к 2 даст последовательность, которая сходится к 5″. Это «лимит алгебра» и в отличие от обычной алгебры, в этой еще есть бесконечности.
Теперь мы могли бы представить теорему со многими утверждениями, но это слишком легче начать с другого конца. Обратите внимание, что в приведенной выше теореме мы сделали не предполагайте, что A , B конечны, и некоторые операции могут быть определены также для случаев, когда они имеют бесконечность. Если мы используем эти операции в приведенной выше теореме и считаем, что они «имеют смысл», то все результаты мы получаем таким образом, являются правильными. Какие операции мы можем ввести?
Например, что мы получим, если сложим или умножим два безмерно огромных числа? Еще одно безмерно огромное число. Мы просто утверждали, что ∞ + ∞ = ∞ а также ∞⋅∞ = ∞.
Можно также спросить, что происходит, когда бесконечности смешиваются с обычными числа. Например, когда мы вычитаем 13 из действительно огромного числа, мы по-прежнему остается с огромным числом (миллионер, потерявший доллар, по-прежнему фактически миллионер). Действительно, для любого действительного числа L имеем ∞ − L = ∞.
Что же мы получим, если вычтем из другого безмерно огромное число безмерно огромное число? Ну, это зависит. Они могут быть равны, и мы получим ноль. Или один может быть больше, тогда результат зависит от того, какой и на сколько. Это показывает, что разность ∞ − ∞ может иметь много возможных результатов, в зависимости от ситуации. Действительно, это операция не определена, так как она не может быть выполнена разумно. такие выражения называются «неопределенными».
Полный список всех операций, а также примечания и многое другое см. подробности, нажмите здесь. В частности, вы найдете там важное замечание относительно некоторых ограничения этой алгебры. Другими словами, обязательно проверьте это. Для краткий список предельной алгебры, нажмите здесь.
Обратите внимание, что «смысл» работы с ограничениями несколько отличается от имеет смысл для чисел. Причина в том, что теперь номера A , B представляют собой не реальные числа, то есть фиксированные количества, а результаты пределы, другими словами, они представляют собой процессы, «почти числа». Это имеет эффект, что некоторые операции, хотя и могут быть выполнены с реальными числа, не работайте с лимитами. Лучшим примером является мощность 0 ⁰ . Мы знаем, что как число оно имеет смысл, оно дает 1. Однако если эти нули представляют пределы последовательностей, то мы находимся в ситуации, когда мы ищем предел общей власти а _н ^{б _н} . Когда n приближается к бесконечности, тогда оба и _n и b _n близки к 0, но небольшое число поднятое до небольшого числа не обязательно должно быть близко к 1, оно может быть очень маленьким или очень огромный, в зависимости от того, какой «почти ноль» ближе к нулю. Таким образом исход предела (то есть выражения 0 ⁰ в пределе алгебра) зависит от того, как быстро идти а _п и b _n на 0 предел может даже не существовать. В пределе алгебра, 0 ⁰ — неопределенное выражение.
Неопределенные выражения так же важны, как и предельные. алгебра. При расчете лимита нужно знать, что работает, а что не. Полный список неопределенных выражений вместе с примечаниями и более подробную информацию, нажмите здесь. Чтобы просмотреть краткий список, щелкните здесь.
Наконец, здесь вы найдете несколько замечания об операциях с последовательностями, некоторые из которых не имеют предела. Это представляет меньший интерес, и мы включаем его только для полноты, или удовлетворить более любопытного читателя.
Таким образом, на практике мы следуем очень простому правилу.
Если мы хотим найти предел последовательности, заданной некоторым выражением, мы «подставить» в него бесконечность, и если задействованные операции имеют смысл, тогда результатом является правильный ответ на наш предел.
Однако обратите внимание, что это довольно неформально, и у некоторых профессионалов на это аллергия. Поэтому безопаснее делать все «бесконечность расчетов» сбоку. В наших расчетах мы положили их, наряду с другими замечаниями, между большими двойными угловыми скобками ⟪ а также &Звонок; чтобы указать, что они не части «официального» решения. Вот очень простой пример, написанный на долгий путь со всеми шагами; обычно вы бы сделали это быстрее.
Мы редко можем получить ответ так легко, в частности потому, что часто «кусочки» немного сложнее и мы их не знаем ограничения сразу же, нам нужно проработать их, прежде чем мы сможем попытаться поставить их вместе. Тогда сформулированная выше теорема немного неудобна; это больше удобно выразить в такой форме:
Важное замечание: каждое из этих равенств верно, только если выражение на право имеет смысл. Следовательно, они «условны»: пока мы не узнаем, что окончательный ответ в наших расчетах имеет смысл, все равенства в нем не обязательно должно быть правдой. Иными словами, нет смысла разделять выражение на части, если то, что мы получаем в конце, не имеет смысла. За например, постоянная функция 1 имеет предел 1 на бесконечности. Однако, если мы напиши это как 1 = (1 + n ) − н и вычисляем предел каждого члена отдельно, получаем то, что не иметь смысл: ∞ − ∞.
Теперь покажу простой пример:
Пример: Найти
Мы видим, что n всегда находится внутри некоторого простого терма, предел которого в бесконечность мы уже знаем (см. элементарные пределы). А именно константы 13 и 5 сходятся к себе. Дальше:
(i) Мы знаем, что 1 делится на корень из n , что на самом деле 1/ n ^1/2 , стремится к нулю ( n при положительной степени находится в знаменатель). Другой способ увидеть это: корень n уходит в бесконечность и 1/∞ = 0,
(ii) По теореме сжатия (см. Предел и сравнение в Теории — Пределы) мы знаем, что (−1) ⁿ / n →0.
(iii) Мы знаем, что n →∞.
(iv) Чтобы увидеть второй член в знаменателе, сначала перепишем чтобы получить положительную мощность: 2 ^{− №} = 1/2 ⁿ . Теперь 2 ⁿ является геометрическая прогрессия, основание которой 2 больше единицы, поэтому оно стремится к бесконечности. Следовательно, 1/2 ⁿ идет к 1/∞ = 0,
Также можно написать 2 ^{− n} = 1/2 ⁿ = (1/2) ⁿ . Теперь это геометрическая прогрессия, у которой основание 1/2 (по модулю) меньше 1, поэтому он сходится к 0.
Теперь воспользуемся приведенной выше теоремой, чтобы соединить эти основные факты и найти предел заданной последовательности. По теореме числитель сходится к 13 − 0 + 0 = 13, а знаменатель сходится к ∞ + 5⋅0 = ∞. Наконец, весь последовательность должна сходиться к 13/∞ = 0,
Сейчас мы покажем, как написать эту процедуру, используя предельную нотацию. Здесь мы напишем все шаги, чтобы показать, как мы разлагаем данное выражение шаг за шагом, обычно можно было бы написать это намного короче.
Это решение было правильным, но довольно долгим. Применяя предельную алгебру и выполнение некоторых неофициальных расчетов сбоку (между двойными угловыми скобками) мы можем сделать это намного быстрее:
И это мой любимый способ решения этой проблемы — правильный и короткий.
Некоторые советы и сведения о применении этой теоремы см. Методы обследования — Лимит.
Мы так и не рассмотрели одну важную операцию — композицию.
Теорема.
Пусть { a _n } будет последовательностью с пределом A , предположим, что a _n ≠ A для всех n . Пусть f будет функцией который имеет предел B , когда x → A . Затем последовательность { f ( a _n )} имеет ограничение B .
Здесь A и/или B также могут быть бесконечными, если операторы участие имеет смысл. Наиболее типичен случай, когда А — число и f продолжается на A , что для всех практических целей означает что f задается какой-то формулой, которая не возражает против А подставил в него. В этом случае теорему можно выразить так:
Применение легко. Если мы ищем предел последовательности, которая имеет форму «какое-то выражение внутри красивой функции», то мы можем игнорировать функцию, найти предел выражения внутри, а затем поставить этот предел в функцию. Простой пример здесь.
Обратите внимание, что это в некотором смысле согласуется с приведенным выше примером использования limit алгебра. Там мы на мгновение проигнорировали операции и просто сосредоточились на простые термины, основные строительные блоки, из которых данное выражение построен. Мы поняли, что знаем, каковы их пределы, тогда мы поставили их вместе, чтобы получить окончательный ответ. Эта теорема говорит нам, что мы также можем сначала игнорируйте функции, оценивайте простые термины, а затем не просто составляйте частичные ответы вместе с помощью предельной алгебры, но мы также можем подставляем частичные ответы в функции и, если это имеет смысл, получаем правильный ответ. Если вы посмотрите, например, на этот пример, он должен быть яснее.
Таким образом, практическое правило — подставить и посмотреть — применимо и к выражениям с композицией это общее правило для пределов, которые мы используем в качестве нашего первого подход. Конечно, многие, а может быть, и большинство ограничений не могут быть решены таким образом. Затем мы должны использовать приемы, которые заменяют данную последовательность на другую. это можно решить простым способом — собрав простые результаты, используя предельная алгебра.
Еще одно очень важное правило: если вы знай что делаешь, всегда заканчивай все части . В частности, если вы разделяете лимит продукта на продукт меньших лимитов и один из оказывается равным нулю, вы не можете прекратить расчеты и утверждать, что все вещь нулевая. Конечно, ноль, умноженный на число, снова равен нулю, но это только работает в обычной алгебре. В предельной алгебре мы также можем иметь «нулевое время бесконечность», который является неопределенным продуктом, который может быть чем угодно. Например, мы пробуем другое разложение 1:
lim(1) = lim((1/ n )⋅ n ) = lim(1/ n )⋅lim( n ) = 0⋅∞.
Очевидно, было бы ошибкой останавливаться, как только мы увидели, что первый предел исчерпан. ноль, но после заполнения другой части мы видим неопределенное произведение и знайте, что было плохой идеей разделить первоначальный лимит на два. Подробнее см. это примечание.
Предел и ограниченность, монотонность
Мы видели, что сходящаяся последовательность может странным образом приближаться к своему пределу, поэтому нельзя ожидать, что определенно сходящиеся последовательности будут монотонными вообще. Ограниченность не так безнадежна:
Теорема.
Каждая сходящаяся последовательность ограничена.
Можем ли мы, наоборот, получить некоторую информацию о сходимости из двух основных характеристики? Противоположное утверждение выше говорит, что неограниченный последовательность должна быть расходящейся, это одна часть информации. Можем ли мы получить тоже что-то положительное? Нет. Пример чередующаяся последовательность показывает, что ограниченная последовательность не обязательно должна быть сходящейся, предела вообще нет (не даже неприлично). Однако, если мы хотим потерять некоторые члены данного последовательность, мы получаем что-то из ограниченности (ср. Больцано-Вейерштрасс теорема в функциях — теория — действительные числа — топологические понятия):
Теорема (теорема Больцано-Вейерштрасса).
Каждая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
Еще одним полезным свойством является монотонность. Если вы попытаетесь представить все виды увеличивая последовательности, у вас должно появиться (правильное) ощущение, что такие последовательности либо растут к некоторой верхней границе, являющейся тогда их предел и они сходятся, или они растут выше всех возможных пределов и они поэтому стремятся к бесконечности; в любом случае у них есть предел. Действительно, это верно, и, кроме того, ограниченность дает хороший способ избежать этой бесконечности.
Теорема.
У каждой монотонной последовательности есть предел.
Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Более подробно, каждая неубывающая последовательность (в частности, каждая возрастающая последовательность) либо сходится, либо уходит в бесконечность, а каждое невозрастающее последовательность (в частности, каждая убывающая последовательность) либо сходится, либо идет до минус бесконечности.
Предел и подпоследовательности
Начнем с одного теоретического результата.
Теорема.
Если последовательность сходится, то все ее подпоследовательности также сходится и сходится к пределу исходной последовательности.
Это не совсем полезно при исследовании сходимости, но следующее: часто полезно более слабое утверждение в противоположном направлении.
Факт.
Если данная последовательность имеет две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределы, то данная последовательность расходится.
Например, из чередующейся последовательности {1, −1, 1, −1, 1, −1, 1,…} мы может взять все нечетные члены, чтобы сформировать подпоследовательность {1, 1, 1, 1, 1,…} сходится к 1, и мы можем взять все четные членов для формирования подпоследовательности {−1, −1, −1, −1, −1,…} сходящейся к −1. По указанному выше факту знакопеременная последовательность расходится.
Последовательности Коши
Одно полезное замечание, которое можно сделать о последовательности, заключается в том, что по мере ее развития вместе, он меняется все меньше и меньше. Чтобы определить его формально, мы снова воспользуемся идеей игры. Кто-то дает нам терпимость, и мы хотим иметь возможность бросить убрать какое-то начало данной последовательности так, чтобы ее оставшиеся члены никогда не скачок больше, чем этот допуск.
Определение.
Рассмотрим последовательность { a _n}. Мы говорим, что это последовательность Коши , или эта последовательность Коши , если для каждого ε > 0 существует некоторое натуральное число N такое, что для всех м , с ≥ с.ш. у нас есть | a _n − − a _m | < ε .
Если последовательность сходится, то она устанавливается на некоторое значение и делает не сильно измениться. Это кажется ясным и на самом деле это просто доказать. Менее легко доказать (например, с помощью теоремы Больцано-Вейерштрасса). выше) заключается в том, что если последовательность уляжется, то он должен сойтись (что опять же звучит как обычное смысл). Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема.
Последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она последовательности Коши.
Обратите внимание, что эта теорема дает только сходимость, а не фактическое значение предела, предполагая, что этот результат является более теоретическим, чем практичный. Это верно, в теории это необходимо и чрезвычайно полезно во многих ситуациях.
Выше мы упоминали, что одно из следствий менее тривиально. Пока сходится последовательности являются Коши также для последовательностей элементов из довольно общих пространств, сходимость последовательностей Коши не является автоматической. За Например, когда мы работаем в мире рациональных чисел, то это не больше верно (см. полноту в Extra — Sets and mappings — Важные наборы числа). Утверждение, что последовательности Коши действительных чисел сходятся иногда называют теоремой Больцано-Коши.
Ограничение и сравнение
Назад к теории — пределы
Предел последовательности: определение и примеры
Если последовательность {
} стремится к пределу , то мы говорим, что это предел последовательности {}, и пишем
.
Другими словами,
«Вещественное число
является пределом последовательности {}, если для каждого существует положительное целое число (или N ) такое, что
подразумевает, что ».
Число
называется пределом последовательности {}, и мы пишем, как , или
или просто .
Точное определение предела последовательности в бесконечности —
«Если для каждых
существует положительное целое число (или N ) такое, что
подразумевает, что ,
, то число
называется пределом последовательности , и мы пишем,
или просто ».
( Примечание: Когда говорят, что эта последовательность имеет предел, это означает, что предел уникален, то есть является конечным и определенным действительным числом. )
Пример 1:
Покажите, что последовательность {
} имеет предел 0.
Доказательство:
Здесь
и .
В этом примере мы должны показать, что последовательность {
} имеет предел 0, то есть
.
Чтобы подтвердить этот предел:
; мы рассматриваем и показываем, что существует натуральное число такое, что
подразумевает, что , то есть
подразумевает, что .
Чтобы показать это, мы должны найти положительное целое число
, из которого следует, что
или
или
или
или
.
Следовательно, если мы возьмем
, то для каждого существует положительное целое число, из которого следует, что .
Следовательно,
или последовательность {} имеет предел 0.
Пример 2:
Если
, где c — действительное число, докажите, что .
Доказательство:
Здесь
и .
Чтобы доказать этот предел:
; мы рассматриваем и показываем, что существует натуральное число такое, что
подразумевает, что .
Теперь, зная
, мы должны найти положительное целое число, из которого следует, что
или
или
или
.
Значит, если взять
, то для всех имеем .
Следовательно,
, или последовательность имеет предел .
Пример 3:
Используйте определение предела последовательности, чтобы показать, что последовательность
где,
,
имеет предел 3.
Доказательство:
Здесь
, и .
В этом примере мы должны показать, что последовательность
имеет предел 3, то есть
.
Чтобы доказать этот предел, мы рассмотрим
и покажем, что существует натуральное число такое, что
подразумевает, что , то есть
подразумевает, что .
No related posts.