Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком
Предел числовой последовательности
Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут либо по-иному: когда , это означает, что при достаточно больших , .
Более точно, если у нас есть предел и его – окрестность (рис. 1), то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки .
Рис. 1.Члены последовательности находятся в -окрестности точки
Определение предела числовой последовательности
Пример 1
Последовательность . Предел этой последовательности , это означает, что при достаточно больших , все находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.
Вот последовательность и два предела (рис. 2).
Рис. 2.Последовательность и два предела
Что значит ? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки , что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.
А что значит ? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки . Но возможно ли это? Между и есть некое расстояние (рис. 3).
Рис. 3. Расстояние между и
Выберем , -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.
Определение: число называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , , содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).
Рис.
4.
Число может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.
Свойства сходящейся числовой последовательности
Если последовательность сходится, то:
- только к одному пределу;
- она ограничена.
Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Теорема Вейерштрасса
Рис. 5. Иллюстрация к теореме Вейерштрасса
Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом . Значит, к числу либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса (рис. 5).
Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей
Даны две последовательности и , и .
Последовательности сходящиеся.
- – новая последовательность, ее предел . Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
- . Этот предел равен произведению , то есть произведению этих пределов.
- . Предел этой последовательности, то есть предел частного равен , где .
, где постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.
Примеры с использованием теоремы вычисления
Пример 1
, мы знаем, что , отсюда .
Пример 2
Найти предел последовательности .
Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.
Задача на геометрическую прогрессию
Перейдем к следующей задаче.
Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом: .
Второй член геометрической прогрессии , где – знаменатель прогрессии, третий член и т.
д.
– определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.
Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы: .
Рассмотрим последовательность частичных сумм.
.
Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.
Бесконечная убывающая прогрессия
Если последовательность стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.
, чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение: , если .
Пусть , тогда , , и т.д. Понятно, что с ростом дробь уменьшается, естественно предположить, что . Тогда становится понятно, что последовательность убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.
.
Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии вычисляется по формуле: .
Докажем эту формулу.
Доказательство: вспомним, что – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель от не зависит. От зависит . Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов: .
Формула доказана.
Задача на сумму геометрической прогрессии
Пример
Найти сумму геометрической прогресси:.
; .
Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: .
Ответ: .
Обсудим задачу.
, значит, . Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок длиной в единицу (рис. 6). первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемое это половина оставшегося отрезка, третье слагаемое половина оставшегося отрезка и т.д.
Рис. 6.Отрезок
Апории Зенона
В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.
Рис. 7. Бегун и черепаха
В точке – бегун, в точке – черепаха, расстояние , скорость бегуна . Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке (рис. 7).
Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути
Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки . Но черепаха впереди, а бегун сзади.
Рис. 9. Положение бегуна в точке и положение черепахи
И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку , нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.
Рис. 10.
Положение бегуна в точке и положение черепахи
Вывод
Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
- Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.
-М.: Просвещение, 1997. - Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
- Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
-М.: Просвещение, 1997.
Рекомендованное домашнее задание
- Найти четвертый член геометрической прогрессии, если , .
- Определить знаменатель и сумму геометрической прогрессии если , .
- Найти сумму геометрической прогрессии , если .
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:
- Интернет-портал 5klass.net (Источник).
- Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
- Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
Налоговый кодекс Российской Федерации (НК РФ) \ КонсультантПлюс
(в ред. Федеральных законов от 09.07.1999 N 154-ФЗ,
от 02.01.2000 N 13-ФЗ, от 05.08.2000 N 118-ФЗ (ред. 24.03.2001),
от 28.12.2001 N 180-ФЗ, от 29.12.2001 N 190-ФЗ, от 30.12.2001 N 196-ФЗ,
Таможенного кодекса РФ от 28.05.2003 N 61-ФЗ,
Федеральных законов от 06.06.2003 N 65-ФЗ,
от 30.06.2003 N 86-ФЗ, от 07.07.2003 N 104-ФЗ, от 23.12.2003 N 185-ФЗ,
от 29.06.2004 N 58-ФЗ, от 29.07.2004 N 95-ФЗ, от 02.11.2004 N 127-ФЗ,
от 01.07.2005 N 78-ФЗ, от 04.11.2005 N 137-ФЗ, от 02.02.2006 N 19-ФЗ,
от 27.07.2006 N 137-ФЗ, от 30.12.2006 N 265-ФЗ, от 30.12.2006 N 268-ФЗ,
от 26.04.2007 N 64-ФЗ, от 17.05.2007 N 83-ФЗ, от 17.05.2007 N 84-ФЗ,
от 26.06.2008 N 103-ФЗ, от 30.06.2008 N 108-ФЗ, от 23.07.2008 N 160-ФЗ,
от 24.
11.2008 N 205-ФЗ, от 26.11.2008 N 224-ФЗ, от 19.07.2009 N 195-ФЗ,
от 24.07.2009 N 213-ФЗ, от 23.11.2009 N 261-ФЗ, от 25.11.2009 N 281-ФЗ,
от 28.11.2009 N 283-ФЗ, от 17.12.2009 N 318-ФЗ, от 27.12.2009 N 374-ФЗ,
от 29.12.2009 N 383-ФЗ, от 09.03.2010 N 20-ФЗ, от 27.07.2010 N 229-ФЗ,
от 30.07.2010 N 242-ФЗ, от 28.09.2010 N 243-ФЗ, от 03.11.2010 N 287-ФЗ,
от 27.11.2010 N 306-ФЗ, от 29.11.2010 N 324-ФЗ, от 28.12.2010 N 404-ФЗ,
от 07.06.2011 N 132-ФЗ, от 27.06.2011 N 162-ФЗ, от 11.07.2011 N 200-ФЗ,
от 18.07.2011 N 227-ФЗ, от 19.07.2011 N 245-ФЗ, от 16.11.2011 N 321-ФЗ,
от 21.11.2011 N 329-ФЗ, от 28.11.2011 N 336-ФЗ, от 03.12.2011 N 392-ФЗ,
от 30.03.2012 N 19-ФЗ, от 25.06.2012 N 94-ФЗ, от 29.06.2012 N 97-ФЗ,
от 28.07.2012 N 144-ФЗ, от 03.12.2012 N 231-ФЗ, от 04.03.2013 N 20-ФЗ,
от 07.05.2013 N 94-ФЗ, от 07.05.2013 N 104-ФЗ, от 07.06.2013 N 108-ФЗ,
от 28.06.2013 N 134-ФЗ, от 02.07.2013 N 153-ФЗ, от 23.07.2013 N 216-ФЗ,
от 23.
07.2013 N 248-ФЗ, от 30.09.2013 N 267-ФЗ, от 30.09.2013 N 268-ФЗ,
от 02.11.2013 N 301-ФЗ, от 02.11.2013 N 306-ФЗ, от 02.11.2013 N 307-ФЗ,
от 28.12.2013 N 420-ФЗ, от 02.04.2014 N 52-ФЗ, от 05.05.2014 N 116-ФЗ,
от 04.06.2014 N 139-ФЗ, от 23.06.2014 N 166-ФЗ, от 28.06.2014 N 198-ФЗ,
от 21.07.2014 N 219-ФЗ, от 04.10.2014 N 284-ФЗ, от 04.11.2014 N 347-ФЗ,
от 04.11.2014 N 348-ФЗ, от 24.11.2014 N 376-ФЗ, от 29.11.2014 N 379-ФЗ,
от 29.11.2014 N 382-ФЗ, от 29.12.2014 N 462-ФЗ, от 08.03.2015 N 23-ФЗ,
от 08.03.2015 N 49-ФЗ, от 02.05.2015 N 113-ФЗ, от 08.06.2015 N 150-ФЗ,
от 13.07.2015 N 232-ФЗ, от 28.11.2015 N 325-ФЗ, от 29.12.2015 N 386-ФЗ,
от 15.02.2016 N 32-ФЗ, от 05.04.2016 N 101-ФЗ, от 05.04.2016 N 102-ФЗ,
от 26.04.2016 N 110-ФЗ, от 01.05.2016 N 130-ФЗ, от 01.05.2016 N 134-ФЗ,
от 23.05.2016 N 144-ФЗ, от 03.07.2016 N 240-ФЗ, от 03.07.2016 N 241-ФЗ,
от 03.07.2016 N 242-ФЗ, от 03.07.2016 N 243-ФЗ, от 03.07.2016 N 244-ФЗ,
от 30.
11.2016 N 399-ФЗ, от 30.11.2016 N 401-ФЗ, от 28.12.2016 N 475-ФЗ,
от 18.07.2017 N 163-ФЗ, от 18.07.2017 N 173-ФЗ, от 14.11.2017 N 322-ФЗ,
от 14.11.2017 N 323-ФЗ, от 27.11.2017 N 335-ФЗ, от 27.11.2017 N 340-ФЗ,
от 27.11.2017 N 341-ФЗ, от 27.11.2017 N 343-ФЗ, от 28.12.2017 N 436-ФЗ,
от 29.12.2017 N 466-ФЗ, от 19.02.2018 N 34-ФЗ, от 19.07.2018 N 199-ФЗ,
от 29.07.2018 N 230-ФЗ, от 29.07.2018 N 231-ФЗ, от 29.07.2018 N 232-ФЗ,
от 03.08.2018 N 279-ФЗ, от 03.08.2018 N 294-ФЗ,
от 03.08.2018 N 300-ФЗ (ред. 27.11.2018), от 03.08.2018 N 302-ФЗ,
от 03.08.2018 N 334-ФЗ, от 30.10.2018 N 373-ФЗ, от 27.11.2018 N 424-ФЗ,
от 27.11.2018 N 425-ФЗ, от 28.11.2018 N 447-ФЗ, от 25.12.2018 N 490-ФЗ,
от 25.12.2018 N 493-ФЗ, от 27.12.2018 N 546-ФЗ, от 01.05.2019 N 101-ФЗ,
от 29.05.2019 N 111-ФЗ, от 06.06.2019 N 125-ФЗ, от 02.08.2019 N 269-ФЗ,
от 29.09.2019 N 324-ФЗ, от 29.09.2019 N 325-ФЗ, от 27.12.2019 N 470-ФЗ,
от 28.01.2020 N 5-ФЗ, от 26.
03.2020 N 68-ФЗ, от 01.04.2020 N 70-ФЗ,
от 01.04.2020 N 102-ФЗ, от 20.07.2020 N 219-ФЗ, от 01.10.2020 N 312-ФЗ,
от 09.11.2020 N 368-ФЗ, от 09.11.2020 N 371-ФЗ, от 23.11.2020 N 374-ФЗ,
от 29.12.2020 N 470-ФЗ, от 17.02.2021 N 6-ФЗ, от 20.04.2021 N 100-ФЗ,
от 11.06.2021 N 199-ФЗ, от 02.07.2021 N 305-ФЗ, от 19.11.2021 N 371-ФЗ,
от 29.11.2021 N 379-ФЗ, от 29.11.2021 N 380-ФЗ, от 25.02.2022 N 18-ФЗ,
от 09.03.2022 N 52-ФЗ, от 26.03.2022 N 66-ФЗ, от 26.03.2022 N 67-ФЗ,
от 01.05.2022 N 120-ФЗ, от 28.05.2022 N 142-ФЗ, от 28.05.2022 N 151-ФЗ,
от 28.06.2022 N 225-ФЗ, от 14.07.2022 N 239-ФЗ, от 14.07.2022 N 263-ФЗ,
от 14.07.2022 N 334-ФЗ, от 21.11.2022 N 443-ФЗ, от 28.12.2022 N 564-ФЗ,
от 28.12.2022 N 565-ФЗ,
с изм., внесенными Федеральными законами от 30.03.1999 N 51-ФЗ,
от 31.07.1998 N 147-ФЗ (ред. 09.07.2002),
Определением Конституционного Суда РФ от 06.12.2001 N 257-О,
Постановлениями Конституционного Суда РФ от 17.
03.2009 N 5-П,
от 31.10.2019 N 32-П)
Ограничение последовательности
Ограничение последовательностиПонятие предела последовательности очень естественно. На самом деле, рассмотрим нашего ученого, который собирает данные каждый день. Поставил быть последовательностью, сгенерированной нашим ученым (данные собраны через
Пример: Возьмите калькулятор, установите его в «радианный режим» и введите число 1. Затем нажмите функцию косинуса снова и снова. Проанализируйте результат этого эксперимент.
Ответ: Тогда имеем
.
Далее у нас есть
.
Если мы продолжим это, мы получим
Ясно, что цифры приближаются к тому, что начинается как
0,73.
Чтобы лучше понять последовательность, мы наносим точки на график. плоскость (см. рисунок ниже).
Пример: Проделайте то же самое, что и в предыдущем примере с синусоидой. функция.
Ответ: У нас есть
.
Далее у нас есть
.
Если мы продолжим это, мы получим
Ясно, что цифры становятся все меньше и меньше (см. рис. ниже). Фактически,
числа приближаются к 0 как можно ближе!!!
Примечание: Удивительно, как медленно эта последовательность достигает 0.
После обсуждения двух приведенных выше примеров возникает вопрос, имеет ли какая-либо последовательность одинаковую веру (то есть она становится ближе к числу). К сожалению,
ответ НЕТ. Рассмотрим чуть более сложный пример.
Пример: Как и прежде, возьмите калькулятор и введите число 0,3. Во-вторых, запрограммируйте свою машину на вычисление y = f ( x ) = 4(1- x ) x . Затем, продолжайте делать то же самое, что и в предыдущих двух примерах. Наконец-то, анализировать вывод.
Ответ: В этом случае имеем . Затем
.
Если мы продолжим итерацию, мы получим
| н | х н |
| 1 | 0,3 |
| 2 | 0,84 |
| 3 | 0,5376 |
| 4 | 0,994345 |
| 5 | 0,0224922 |
| 6 | 0,0879454 |
| 7 | 0,320844 |
| 8 | 0,871612 |
| 9 | 0,447617 |
| 10 | 0,989024 |
В
на самом деле вы правы и даже более того; эта последовательность
совершенно хаотично (см. рисунок ниже для первых 50 членов
последовательность).
Это означает, что даже если мы вычислим первый миллиард
ничего хорошего не будет!!! Это действительно страшная ситуация, но
мы не будем заниматься этим здесь… так что не паникуйте…. Кстати, это
последовательность используется как дискретная математическая модель для
численность населения
динамика (так называемая дискретная логистическая модель ).
Подытожим то, что мы только что заметили на этих примерах.
Рассмотрим последовательность чисел. Иногда числа все ближе и ближе к числу L (мы будем писать ). И иногда числа не проявляют такого поведения. Если это так, мы говорим, что последовательность сходится с и имеет предел равно L. Будем писать
,
или
.
Может случиться так, что мы скажем, что n становится больше, чтобы выразить это.
Если последовательность не сходится, она называется расходящейся .
Обсудим приведенное выше определение. Последовательность сходится, если существует такое число L, что числа все ближе и ближе к L по мере того, как n становится больше. Мы должны убедиться, что претензия обоснована. То есть получает очень близко к L. Мы не хотим приближаться к L, а затем когда идешь на это нет!!! Этот будет ужасен в некоторых серьезных расчетах. Итак, когда мы говорим, что приближается к L, поскольку n становится большим, мы имеем в виду, что независимо от того, насколько близко вы хотите быть в L, если вы пойдете достаточно далеко, вы доберетесь туда …. В смысле, если я хочу, чтобы мой был близок к L до 100 цифр, тогда я уверен, что n достаточно большой, я подойду к L до 100 цифр (это будет произойдет, если ). Другими словами, положим быть очень маленьким числом (которое измеряет ошибку как ), затем Существует такой, что для каждый, у нас есть
Целое число N сообщает вам, как далеко вам нужно пройти, чтобы приблизиться к L up.
Определение: Последовательность сходится к
число L тогда и только тогда, когда
для каждого существует
такой, что
за
каждые
Вместо этого некоторые авторы будут использовать . Нет
вред нанесен, не беспокойтесь об этом.
Пример: Покажите, что
.
Ответ: Пусть . Мы знаем, что существует целое такое, что
.
Позволять . Тогда у нас есть
Примечание: Имейте в виду, что измеряет ошибку между числами и пределом L, в то время как целое число N измеряет, насколько быстро последовательность приближается к пределу L.
Чтобы узнать больше о лимите последовательностей, нажмите ЗДЕСЬ .
O.S MATHematicsВам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Ящик 12395 — Эль-Пасо, Техас, 79913 — США
пользователей онлайн за последний час
Лимит последовательности
«Лимит не существует!» Возможно, ответ Кейди Херон из Mathletes был правильным в классической подростковой комедии «Дрянные девчонки », но в математике часто существуют пределы, и сегодня мы рассмотрим предела последовательностей .
Давайте рассмотрим простейшую последовательность, которую мы можем придумать для начала:
\({1,2,3,4,5,6,7…}\)
Вот это очень простая последовательность! Это набор счетных чисел. Таким образом, первый член равен 1, второй член равен 2, седьмой член равен 7 и так далее.
{th}\) должен быть \(n\). Мы могли бы написать правило для этой последовательности как \(x_{n}=n\). По мере увеличения числа терминов растет и значение этого места в последовательности. Чтобы найти предел последовательности, нам нужно подумать о том, что будет происходить, когда \(n\) становится все больше и больше и приближается к бесконечности. В данном случае это очевидно. Значение последовательности также будет приближаться к бесконечности. Но поскольку бесконечность на самом деле не является числом, эта последовательность на самом деле не имеет предела! На языке математики это означает расходится с . Или мы можем просто сказать, что это расходящихся . Это просто означает, что последовательность не сходится к реальному числу.
Другие арифметические последовательности также не будут сходиться к реальному числу. Вот немного более сложная последовательность:
\({7,4,1,-2,-5,-8…}\)
Это арифметическая последовательность, поскольку каждый последующий член отстоит от одного и того же числа.
В этом случае каждый член уменьшается на 3. Правило для этой последовательности: \(a_{n}=-3n+10\). Мы можем исследовать, куда он движется, найдя следующие члены в последовательности \((-11, -14, -17, -20…)\), или мы можем найти тысячный член, используя наше правило.
\(a_{1,000}=-3(1,000)+10=-2,990\)
Или миллионный член:
\(a_{1,000,000}=-3(1,000,000)+10,=-99,99 )
Это довольно ясно, куда идет и этот. Она стремится к отрицательной бесконечности, а это значит, что эта последовательность также расходится. В математической записи мы запишем это так:
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(-3n+10)=-\infty\)
Это выглядит красиво, но это просто означает, что мы Находим предел выражения при стремлении \(n\) к бесконечности. Этот маленький бит под «lim» мог бы на самом деле быть чем-то другим, если бы мы имели дело с функциями, а не с последовательностями, например \(\стрелка вправо 0\). С последовательностями мы имеем дело с положительными значениями термина числа, поэтому мы используем \(n\) и пытаемся выяснить, что происходит, когда \(n\) становится бесконечно большим.
Итак, какая последовательность сходится к реальному числу?
Найдем \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\).
Мы можем найти несколько первых членов этой последовательности, подставив значения для \(n\):
\(\left \{{\frac{1}{1},\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1} {8}} \right \}\)
Если мы преобразуем эти дроби в десятичные, это будет выглядеть так:
\(\left \{ 1,0.5,0.\overline3, 0.25,0.2,0.1\overline6 , 0.\overline1\overline3\overline2\overline8\overline5\overline7, 0.125\right \}\)
Наша последовательность не стремится к бесконечности! Или даже минус бесконечность! Он становится все меньше и меньше, но остается положительным. Так к чему оно приближается? Найдем сотый член. Это будет \(\frac{1}{100}\), что равно 0,01. Еще меньше становится. Тысячный член равен \(\frac{1}{1000}\), что равно 0,001. Я думаю, мы можем видеть, куда он направляется. Нуль! Но вот в чем дело.
На самом деле никогда туда не попадет. Он будет все ближе и ближе к 0, но на самом деле никогда не будет 0. Мы можем сказать, что сходится с на 0. Теперь у нас есть первая сходящаяся последовательность. И что еще более важно, у нас есть важный строительный блок. Теперь мы знаем, что \(\frac{1}{n}\) имеет предел 0. И, как мы скоро увидим, это очень полезно при нахождении предела других последовательностей.
К счастью, есть некоторые правила для последовательностей, которые мы можем использовать с тем, что мы уже знаем, чтобы помочь нам найти предел более сложных последовательностей. Есть правила сложения, вычитания, умножения и деления. В математической записи они выглядят так:
| Правило сложения | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\lim_ {n\rightarrow\infty}b_{n}\) |
| Правило вычитания | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-b_{n})=\lim_{n \rightarrow\infty}a_{n}-\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\) |
| Правило умножения | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n }b_{n})=\lim_{n\стрелка вправо\infty}a_{n}\lim_{n\стрелка вправо\infty}b_{n}\) |
| Правило деления | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} }{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}}if \lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}\neq 0\) |
Эти четыре правила просто означают, что мы можем разбить нашу последовательность правило, найти пределы частей, а затем собрать его вместе.
Давайте применим правило сложения к последовательности, чтобы проиллюстрировать эту идею.
Найти \(\displaystyle\lim_{n\стрелка вправо\infty}\left ( \frac{1}{n}+2 \right )\).
Наша последовательность имеет правило \((\frac{1}{n}+2)\). Чтобы найти предел последовательности, мы можем разбить ее на части и найти \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\), а затем найти \(\displaystyle\lim_{ n\rightarrow\infty} 2\) и просто суммируйте ограничения.
\(\displaystyle\lim_{n\стрелка вправо\infty} (\frac{1}{n}+2)=\lim_{n\стрелка вправо\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n \rightarrow\infty}2\)
Мы уже нашли \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\). Таким образом, мы могли бы сказать, что предел для первого члена нашего выражения равен 0. Итак, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }a_{n}=0\). Но каков предел 2? Для любой постоянной последовательности пределом является константа. Последовательность, представленная \(b_{n}=2\), выглядит так:
\({2,2,2,2,2,2…}\)
Поскольку каждое слагаемое равно 2, предел равен 2.