Понятие предела в алгебре и геометрии
Альперин Михаил Исаакович
Кандидат физ.-мат. наук, доцент, руководитель экспертной комиссии ОГЭ по Свердловской области, ведущий методист по математике корпорации «Российский учебник»
Примите участие во Всероссийской акции «Учитель большой страны. Время сказать «Спасибо» педагогу»
На онлайн-уроке будет рассмотрено понятие предела, его происхождение смыл, использование в различных математических дисциплинах и практических задачах.
Присоединяйтесь к другим онлайн-урокам!
Рекомендуем по теме:
- Интеграл: определенный и неопределенный. Вычисление интегралов
- Интерактивные приложения по математике
- Финансовые задачи на уроках математики
Скидка 10% участникам онлайн-мероприятий на весь ассортимент в интернет-магазине по промокоду webprosv.
833ad462e75b45d4ffe231966617b5ca.ppt
СкачатьМастер-класс
автор: Доронин Алексей Владимирович
Мастер-класс по геометрии «Открытия в каждом прикосновении»
Вебинары
автор: Муравина Ольга Викторовна
Учебник как информационно-содержательное ядро линии УМК Г. К. Муравина, О. В. Муравиной «Математика. 5–6 классы», «Алгебра. 7–9 классы»
Вебинары
автор: Муравина Ольга Викторовна
Базовые и углубленные курсы в УМК Г. К. Муравина, О. В. Муравиной «Алгебра. 7-9 классы»
Из опыта педагогов
Урок алгебры в 8 классе «Линейные неравенства с одной переменной»
Из опыта педагогов
Урок алгебры в 9 классе «Статистическая вероятность»
Вебинары
автор: Муравина Ольга Викторовна
Готовим учеников 5–6 классов изучать курс геометрии 7–11 классов
Вебинары
автор: Якир Михаил Семенович
Мастер-класс по математике.
Приемы обучения решению геометрических задач. Метод ключевых задач. Часть 1
Вебинары
автор: Якир Михаил Семенович
Мастер-класс по математике. Приемы обучения решению геометрических задач. Метод ключевых задач. Часть 2
Не удалось зарегистрироваться
Попробуйте позже или обновите страницу
Условия участия
Для участия в мероприятии требуется авторизация на сайте
Главная → Видеоуроки → Алгебра. 10 класс. Производная. Описание видеоурока: Задание: Найдите предел функции lim(arcsinx/x) Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A. Валерий Волков 1 19.01.2016 Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями! Новости образования | ЕГЭ по математике Профильный уровень Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18 Задание 19 Задание 20 Задание 21 ГИА по математике Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Задача 16 Задача 17 Задача 18 Задача 19 Задача 20 Задача 21 Задача 22 Задача 23 Задача 24 Задача 25 Задача 26 Демонстрационные варианты ОГЭ по математике Математика. Натуральные числа Обыкновенные дроби Десятичные дроби Проценты Математика. 6 класс. Делимость чисел Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Умножение и деление обыкновенных дробей Отношения и пропорции Положительные и отрицательные числа Измерение величин Математика. 7 класс. Преобразование выражений Многочлены Формулы сокращенного умножения Математика. 8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения Квадратные неравенства Уравнения с параметром Задачи с параметром Математика. 9 класс. Функции и их свойства Прогрессии Векторы Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Математика. Числовые функции Тригонометрические функции Тригонометрические уравнения Преобразование тригонометрических выражений Производная Степенные функции Показательная функция Логарифмические функции Первообразная и интеграл Уравнения и неравенства Комбинаторика Создаёте видеоуроки? Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала. Актуально Физкультминутки для школьников и дошкольников Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ |
5 класс.
10 — 11 класс.
«Алгебра пределов» означает: свойства находить предел функций, заданных как алгебраические операции над несколькими функциями.
Давайте посмотрим на это подробнее.
Основные математические операции:
• сложение и вычитание
•
умножение и деление
• степени, корни и логарифмы.
Две или более функции g(x) h(x) могут образовывать другую функцию f(x).
f(x)=g(x)⋆h(x) где ⋆ — одна из математических операций.
Будет ли связь между пределами функций limg(x) ; limh(x) и предел функции limf(x)?
Алгебра пределов анализирует это и предоставляет необходимые знания.
предостережение перед использованием точки разрыва кусочных функций.
Применяя алгебру пределов к элементам функции, обратите внимание на следующие случаи.
• Выражения, вычисляющие значение 10 или 00, или ∞×0, или ∞∞
например: 1x-1, x2-1x-1, tanxcotx, tanxsecx
•
Выражения, вычисляемые до ∞-∞ или ∞+(-∞)
например: x2-4xx-1x
•
точки разрыва кусочных функций
например: {1 if x>00 if x≤0
Алгебра предела применяется только тогда, когда вышеуказанные значения не встречаются.
Пример:
limx→1×2-1x-1
≠limx→1(x2-1)limx→1(x-1)
Вышеупомянутое число неприменимо , поскольку оно оценивается как 00.
Алгебра пределов помогает упростить нахождение предела, применяя предел к подвыражениям функции.
Алгебра пределов может быть неприменима к подвыражениям, оценивающим 0 или ∞, или к разрывам.
сводка
Алгебра пределов: Если функция f(x) состоит из математических операций подвыражений f1(x), f2(x) и т. д., то предел функции может быть применен к подвыражению. -выражения.
Если какое-либо из подвыражений или их комбинация оцениваются как 0 или ∞, то алгебра предела не может применяться к этим подвыражениям.
результаты
лимит суммы (или разности) есть сумма (или разность) лимитов.
Предел суммы или разницы: При условии, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)±g(x))
=limx→af(x)±limx→ag(x)
предел произведения есть произведение пределов.
Предел продукта: При условии, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)⋅g(x))
=limx→af(x)⋅limx→ag(x)
предел частного есть частное пределов.
Предел частного: Учитывая, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)g(x))
=limx→af(x)limx→ag(x)
предел показателя степени равен показателю предела.
Предел степени: При условии, что limx→af(x) существует. Затем
limx→a[f(x)n]
=[limx→af(x)]n
предел корня — это корень предела.
Предел корня: Учитывая, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a[f(x)1n]
=[limx→af(x)]1n
Переменная в пределе может быть изменена.
Дано
limx→0sinxx=1 ;
limx→0sin(x2)x
=limx→0xsin(x2)x2
=limx→0x×limy→0sinyy
где y=x2
по этому определению limx→0 меняется на limy→0 .
=0×1
=0
Примечание. Если в другом случае y=cosx, то limx→0 изменится на limy→1, так как y=cos0=1.
Изменение переменной в пределе: Учитывая, что y=g(x) существует при x=a.
Тогда
limx→af(x)
=limy→g(a)f(g-1(y))
сводка
Алгебра пределов
→ Если подвыражения не оцениваются до 0 или ∞, то к подвыражениям можно применить ограничение.
→ Если подвыражения вычисляются до 0 или ∞, ищите формы 00.
Предел суммы или разницы
» Ограничение распределения при сложении и вычитании
, когда значение не равно ∞-∞
→ limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)
Лимит продукта
» Ограничение распределения по умножению
, когда значение не равно ∞×0
→ limx→a[f(x)×g(x)]=limx→af(x)×limx→ag(x)
Limit коэффициента
» Предел распределяется по разделу
, когда значение не равно 0÷0 или ∞÷∞
→ limx→a[f(x)÷g(x)]=limx→af(x)÷limx→ag(x)
Предел степени
» Предел распределения по показателю степени
, когда значение не равно ∞0 или 00
→ limx→a[f(x)]n=[limx→af(x)]n
Предел корня
» Предел распределяется по корню
, когда значение не равно ∞0 или 00
→ limx→a[f(x)]1n=[limx→af(x)]1n
Изменение переменной в пределе
» переменная может быть заменена
, когда значение не является ни одной из форм 00
→ limx→af(x) =limy→g(a)f(g-1(y))
Outline
Схема материала для изучения «пределов (исчисления)» выглядит следующим образом.
Примечание: нажмите здесь для подробного ознакомления с ограничениями (исчисление).
→ Неопределенный и неопределенный
→ Неопределенное значение в функциях
→ Ожидаемое значение
→ Непрерывность
→ Определение пределов
→ Геометрическое объяснение пределов
→ Предел с числителем и знаменателем
→ Пределы соотношений — примеры
→ Правила больницы
→ Проверка функции
→ Алгебра пределов
→ Предел многочлена
→ Предел соотношения нулей
→ Предел соотношения бесконечностей
→ предел биномиала
→ Предел неалгебраических функций
Краткое введение в алгебру пределов примеры
Теорема об алгебре пределов используется для вычисления предела любого алгебраического выражения.
Он широко используется в математике. Предел любого алгебраического выражения f(x) для конкретного значения a приравнивается к, что x→a демонстрируется как
Lim x→a f(x) = l
Это утверждение надежно только тогда, когда функции, лежащие в левой части выражения, являются левым пределом всего выражения. Левый предел демонстрируется как a, x→a− f(x). Правый предел демонстрируется как x→a+ f(x). В теореме об алгебре пределов вычислите эти два предела, чтобы получить значение алгебраического выражения.
Алгебра пределов
Алгебра пределов — это систематический процесс определения значений переменных в алгебраических выражениях с помощью пределов. Если правый предел равен левому пределу, то говорят, что функция определена, и значение, на котором определяется функция, является значением выражения. Это означает, что значение, которое мы получаем после вычисления предела, является нулем алгебраического выражения. Если мы подставим это значение в уравнение, либо мы получим ноль, либо та же самая величина будет записана в уравнение равным.
Примеры алгебры пределов
Некоторые примеры алгебры пределов;
Алгебра пределов Пример предела полиномиальной функции A
Решите: x→alim (x3 – x2 + 1)
Решение:
Подставьте значение x = 1 в данное уравнение.
x→alim (x3 – x2 + 1) = x→1lim (13 – 12 + 1)
x→alim (x3 – x2 + 1) = 1 – 1 + 1
x→alim (x3 – x2 + 1) = 1
Пример алгебры пределов рациональной функции путем прямой подстановки.
Решите: x→1lim = (x2 + 1)/(x + 100)
Решение:
Подставьте значение x = 1 в данное уравнение.
x→1lim = x2 + 1/ x + 100 = 12 + 1/ 1 + 100
= 1 + 1 / 1 + 100 + 100 = 2/101
Теорема пределов алгебры
Теорема пределов алгебры показывает, что если0287 Тогда
x→alim f(x).
g(x) = l . m
Алгебра доказательства предельной теоремы
Давайте разберемся в алгебре доказательства предельной теоремы:
Дано,
x→alim f(x) = l
Или доказательство x→alim g(x) = m 7 К : x→alim f(x).g(x) = l .m
Доказательство:
Шаг 1: x→alim |f(x).g(x) – lm | = |f(x).g(x) – f(x).m + f(x).m – lm|
Шаг 2: x→alim |f(x).g(x) – lm | = |f(x).(g(x) – m) + m (f(x) – l)|
Шаг 3: x→alim |f(x).g(x) – lm | ≤ |f(x)||(g(x) – m)|+ |m| |(f(x) – l| …Уравнение (1)
Поскольку x→alim f(x) = l, где l→ 0, то f(x) → 0 в 0 < |x-a|< δ
Для некоторого δ > 0
Следовательно, f(x) ограничено в a.
Следовательно, существует k > 0 таким образом, что |f(x)|< k,…….. Уравнение (2)
Всякий раз, когда 0 < |x – a|<δ
Для некоторого δ2 < 0
Пусть задано E > 0,
Поскольку,
x→alim f(x) = l и,
x→alim g(x) = m,
Таким образом, что δ2 > 0.
|f(x) – l| = E/ 2(1 + |m|) …. Уравнение (3).
(Это для 0 < |x – a| < δ2)
И,
|g(x) – m| = E/ 2k …… Уравнение (4).
(Это для 0 < |x – a| < §3)
Если мы выберем § = min{δ1, δ2, δ3},
Тогда,
Алгебраические свойства пределов
Итак, уравнение (1 ), уравнение (2) и уравнение (3) остаются в силе.
Для 0 < |x – a| < δ
Следовательно, из уравнения (1)
|f(x).g(x) – lm | < к. Е/ 2к + |т|. E/ 2(1 + |m|)
(Это для, 0 < |x – a| < §)
Теперь , E/2 + E/2= E
Следовательно, согласно определению,
x→alim f(x).g(x) = l.m = x→alimf(x). x→alim g(x)
Алгебраические свойства пределов
Давайте узнаем об алгебраических свойствах пределов.
Предел любой константы в алгебраических выражениях остается постоянным.
limx→a cx + d = ca + d
lim x→a x = a
Lim x→a xn = an, в этом уравнении n является положительным целым числом
50 x→0+ 1/xr= +∞, здесь значение r четно.
Lim x→0− 1/xr = −∞, здесь значение r нечетное.
Важные тождества
Некоторые важные тождества:
Методы вычисления алгебры пределов:
Некоторые важные методы:
Заключение
Теорема пределов алгебры часто используется для вычисления значений x в алгебраических выражениях с использованием метода пределов. Есть также много различных способов оценить значение алгебраического выражения по пределу, но этот метод используется широко. Метод теоремы алгебры пределов используется после метода, в котором находятся левый и правый пределы.