Пределы математические: Предел (в математике). Большая российская энциклопедия

Содержание

Предел (в математике). Большая российская энциклопедия

Преде́л, одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в рассматриваемом процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Точный смысл термин «предел» имеет лишь при наличии корректного понятия близости между элементами (точками) множества, в котором указанная переменная принимает значения. Основные понятия математического анализа – непрерывность, производная, интеграл – определяются с помощью предела. Наиболее простыми являются понятия предела функции (в частности, предела последовательности) и понятие предела интегральных сумм.

Предел числовой последовательности

Число aaa называют пределом последовательности{xn} \{x_n\}{xn}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, если для любого числа ε>0ε>0ε>0 существует (зависящее от него) натуральное число NNN такое, что при всех n>Nn>Nn>N выполняется неравенство

∣xn−a∣<ε.(1)\left |x_n-a \right |\lt ε. n\}{(–1)n}, n=1,2,…,n=1, 2, \ldots,n=1,2,…, не стремится ни к какому пределу, её элементы попеременно равны –1–1–1 и +1+1+1 и не могут одновременно попасть в интервал (a−ε,a+ε)(a-ε, a+ε)(a−ε,a+ε) при 0<ε<10\lt ε\lt 10<ε<1 ни при каком a.a.a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Последовательность может иметь лишь единственный предел. Если последовательность сходится, то она ограничена, т. е. её элементы лежат на некотором ограниченном отрезке действительной оси. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано – Вейерштрасса). Если последовательности {xn}\{x_n\}{xn} и {yn}\{y_n\}{yn} сходятся, то справедливы равенства: для любых чисел λλλ и μμμ

lim⁡n→∞(λxn+μyn)=λlim⁡n→∞xn+μlim⁡n→∞yn,lim⁡n→∞(xnyn)=(lim⁡n→∞xn)(lim⁡n→∞yn),\begin{aligned}\lim_{n→∞}(λx_n+μy_n) &=λ\lim_{n→∞}x_n +μ\lim_{n→∞}y_n, \\ \lim_{n→∞}(x_ny_n) &=(\lim_{n→∞}x_n)(\lim_{n→∞}y_n), \end{aligned}n→∞lim(λxn+μyn)n→∞lim(xnyn)=λn→∞limxn+μn→∞limyn,=(n→∞limxn)(n→∞limyn),если yn≠0y_n≠0yn=0 и lim⁡n→∞yn≠0\lim\limits_{n→∞}y_n\neq 0n→∞limyn=0, то

lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xnlim⁡n→∞yn. \lim_{n→∞}\frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim_{n→∞}x_n}{\lim_{n→∞}y_n}.n→∞limynxn=limn→∞ynlimn→∞xn.Числовая последовательность сходится к конечному пределу тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Коши: для любого числа ε>0ε>0ε>0 существует натуральное число NNN (зависящее от εεε) такое, что для всех n>Nn>Nn>N и любого натурального mmm расстояние между элементами последовательности xnx_nxn и xn+mx_{n+m}xn+m меньше εεε, т. е. ∣xn−xn+m∣<ε\left | x_n-x_{n+m}\right |\lt ε∣xn−xn+m∣<ε (критерий Коши). Такие последовательности называются фундаментальными. Т. о., сходящимися являются фундаментальные последовательности и только они.

Всякая ограниченная и монотонная последовательность является сходящейся. В частности, если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел и этот предел есть точная верхняя (нижняя) грань множества значений элементов последовательности. Примером возрастающей и ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных nnn-угольников, n⩾3n⩾3n⩾3, вписанных в некоторую окружность. \alpha}=0, \quad a\gt 0,\,a\neq1,\,\alpha\gt 0. n→∞limna=1,a>0;n→∞limnn=1;n→∞limnaqn=0,a>0,∣q∣<1;n→∞limnn!1=0;n→∞lim(1+na)n=ea,−∞<a<∞;n→∞lim(1+1!1+2!1+…+n!1)=e;n→∞limnαlogan=0,a>0,a=1,α>0.Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Бесконечно малые последовательности играют особую роль в теории пределов последовательностей, т. к. общее определение предела последовательности может быть дано в терминах бесконечно малых: предел последовательности {xn}\{x_n\}{xn}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, равен aaa тогда и только тогда, когда последовательность {xn−a}\{x_n-a\}{xn−a}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, есть бесконечно малая. В период формирования основных понятий математического анализа он назывался анализом бесконечно малых.

Иногда рассматриваются бесконечные пределы последовательностей. Бесконечный предел последовательности вводится как свойство последовательности {xn}\{x_n\}{xn}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, быть бесконечно большой: для любого положительного числа KKK существует такое натуральное число NNN, что при всех n>Nn>Nn>N справедливо неравенство ∣xn∣>K|x_n|>K∣xn∣>K. n→∞2n→∞, n!→∞n!→∞n!→∞. Если последовательность {xn}\{x_n\}{xn}, n=1,2,…n= 1, 2, \ldotsn=1,2,…, бесконечно большая и, начиная с некоторого nnn, принимает только положительные (отрицательные) значения, то lim⁡n→∞xn=+∞\lim\limits_{n→∞}x_n=+\inftyn→∞limxn=+∞ (соответственно, lim⁡n→∞xn=−∞\lim\limits_{n→∞}x_n=-\inftyn→∞limxn=−∞).

Если множества точек xxx, удовлетворяющие условиям x>1εx\gt\frac{1}{ε}x>ε1, x<−1εx\lt-\frac{1}{ε}x<−ε1 и ∣x∣>1ε|x|\gt\frac{1}{ε}∣x∣>ε1, ε>0ε\gt 0ε>0, назвать εεε-окрестностями +∞+∞+∞, –∞–∞–∞ и ∞∞∞ соответственно, то определения как конечного, так и бесконечного пределов формулируются одинаково: предел последовательности {xn}\{x_n\}{xn}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, равен aaa (где aaa – число или один из символов +∞+∞+∞, –∞–∞–∞, ∞∞∞), если для любого числа ε>0ε>0ε>0 существует такое натуральное NNN, что все элементы последовательности с номерами n>Nn>Nn>N лежат в εεε-окрестности aaa.

Некоторые свойства предела последовательности одинаковы в случае конечного и бесконечного пределов. Например, если последовательности{xn} \{x_n\}{xn}, n=1,2,…,n=1, 2, \ldots,n=1,2,…, и {yn}\{y_n\}{yn}, n=1,2,…n=1, 2,\ldotsn=1,2,…, имеют пределы (конечные или бесконечные) и, начиная с некоторого nnn, справедливы неравенства xn⩽ynx_n⩽y_nxn⩽yn, то и lim⁡n→∞xn⩽lim⁡n→∞yn\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n⩽\lim\limits_{n\rightarrow\infty} y_nn→∞limxn⩽n→∞limyn, т. е. при предельном переходе нестрогие неравенства сохраняются.

Если последовательность имеет предел (конечный или определённого знака бесконечный), то любая её подпоследовательность имеет тот же предел. Конечный или бесконечный пределы подпоследовательности данной последовательности называют её частичным пределом. Наибольший (наименьший) из частичных пределов числовой последовательности всегда существует и называется верхним (нижним) пределом этой последовательности. Совпадение верхнего и нижнего пределов последовательности равносильно тому, что она имеет (конечный или определённого знака бесконечный) предел.

Для последовательности комплексных чисел определение предела аналогично: число a=α+iβa=α+iβa=α+iβ называется пределом последовательности {zn}\{z_n\}{zn}, zn=xn+iynz_n=x_n+iy_nzn=xn+iyn, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, если для любого числа ε>0ε>0ε>0 существует натуральное число NNN такое, что при всех n>Nn>Nn>N имеет место неравенство ∣zn−a∣<ε|z_n-a|<ε∣zn−a∣<ε. Этот предел сводится к пределу последовательностей действительных чисел, т. к. lim⁡n→∞zn=a\lim\limits_{n→\infty} z_n=an→∞limzn=a тогда и только тогда, когда lim⁡n→∞xn=α\lim\limits_{n→\infty} x_n=\alphan→∞limxn=α и lim⁡n→∞yn=β\lim\limits_{n→\infty}y_n=\betan→∞limyn=β. Кроме того, по определению,lim⁡n→∞zn=∞\lim\limits_{n→\infty} z_n=\inftyn→∞limzn=∞ если lim⁡n→∞∣zn∣=∞\lim\limits_{n→\infty} |z_n|=\inftyn→∞lim∣zn∣=∞.

С помощью понятия предела числовой последовательности определяются многие понятия пределов последовательностей, состоящих из элементов более сложной природы. Например, пусть на множестве MMM задана последовательность функций {fn}\{f_n\}{fn}, n=1,2,…n=1, 2,\ldotsn=1,2,…, и функция fff. Говорят, что эта последовательность сходится к fff поточечно, если для любого x∈Mx∈Mx∈M числовая последовательность {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, сходится к числу f(x)f(x)f(x). Говорят, что эта последовательность функций сходится к fff равномерно на MMM, если числовая последовательность точных верхних граней {sup⁡x∈M∣fn(x)−f(x)∣}\{\sup\limits_{x∈M}\left|f_n(x)-f(x)\right|\}{x∈Msup∣fn(x)−f(x)∣}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, сходится к нулю.

Предел функции

Говорят, что функция fff, принимающая действительные значения, имеет в конечной или бесконечно удалённой точке x0x_0x0 конечный или бесконечный предел aaa, если для любой последовательности

{xn},n=1,2,…,(2)\{x_n\},\quad n=1, 2, \ldots,\tag2{xn},n=1,2,…,(2)стремящейся к точке x0x_0x0, числовая последовательность {f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn)}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, стремится к aaa. В этом случае пишут:

lim⁡x→x0f(x)=a или f(x)→a при x→x0.(3)\lim\limits_{x→x_0}f(x)=a\,\,или\,\,f(x)→a\,\,при\,\,x→x_0.\tag3x→x0limf(x)=aилиf(x)→aприx→x0.(3)Здесь предполагается, что все элементы последовательности (2) принадлежат области определения функции fff. Если это множество лежит на действительной оси, то x0x_0x0 может быть либо действительным числом, либо одной из бесконечностей +∞+∞+∞, –∞–∞–∞, ∞∞∞. Если область определения функции fff лежит в плоскости, в пространстве, вообще говоря, mmm-мерном, m>1m>1m>1, то x0x_0x0 может быть либо точкой этой плоскости, соответственно пространства, либо бесконечно удалённой точкой.

Предел функции может быть либо числом, либо одной из бесконечностей +∞+∞+∞, –∞–∞–∞, ∞∞∞.

Точка x0x_0x0, в которой рассматривается предел функции, может принадлежать или не принадлежать области определения этой функции. Например, lim⁡x→0sin⁡x=0\lim\limits_{x→0}\sin x=0x→0limsinx=0 и lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim\limits_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1.x→0limxsinx=1. В первом случае функция sin x определена для всех действительных значений xxx, а во втором – для всех, кроме x=0x=0x=0. Если точка x0x_0x0 принадлежит области определения функции fff, существует предел (3) и он равен f(x0)f(x_0)f(x0), т. е.

lim⁡x→x0f(x)=f(x0),\lim_{x→x_0} f(x)=f(x_0),x→x0limf(x)=f(x0),то функция fff называется непрерывной в точке x0x_0x0.

Иногда при определении предела (3) на функции накладывается дополнительное ограничение

xn≠x0,n=1,2,…(4)x_n≠x_0,\quad n=1, 2, \ldots\tag4xn=x0,n=1,2,…(4)Так, определённое понятие «предела» является частным случаем введённого выше, а именно, соответствующим случаю, когда точка x0x_0x0 не принадлежит множеству, на котором рассматривается функция fff. {\it m}X⊂Rm, m⩾1m⩾1m⩾1, имеет в точке x0x_0x0 (конечной или бесконечно удалённой) конечный предел, если для любого ε>0ε>0ε>0 существует такая окрестность UUU точки x0x_0x0, что как только x∈X∩Ux∈X∩Ux∈X∩U, x′∈X∩Ux’∈X∩Ux′∈X∩U, то выполняется неравенство ∣f(x)−f(x′)∣<ε|f(x)-f(x’)|\lt ε∣f(x)−f(x′)∣<ε.

Функция, имеющая конечный предел в точке x0x_0x0, локально ограничена, т. е. существует окрестность точки x0x_0x0, на пересечении которой с областью определения функции эта функция ограничена.

В случае существования предела в неравенствах для функций можно переходить к пределу: если функции fff, ggg, hhh заданы на множестве XXX, существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы

lim⁡x→x0f(x)=lim⁡x→x0g(x)=a,\lim_{x→x_0} f(x)=\lim_{x→x_0} g(x)=a,x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=a,и для всех x∈Xx∈Xx∈X выполняются неравенства f(x)⩽h(x)⩽g(x)f(x)⩽h(x)⩽g(x)f(x)⩽h(x)⩽g(x), то существует

lim⁡x→x0h(x)=a.\lim_{x→x_0} h(x)=a.x→x0limh(x)=a.Если существуют конечные пределы

lim⁡x→x0f(x)иlim⁡x→x0g(x),\lim_{x→x_0} f(x)\quadи\quad\lim_{x→x_0} g(x),x→x0limf(x)иx→x0limg(x),то справедливы равенства, аналогичные тем, что справедливы для пределов числовых последовательностей: для любых чисел λλλ и μμμ

lim⁡x→x0(λf(x)+μg(x))=λlim⁡x→x0f(x)+μlim⁡x→x0g(x),lim⁡x→x0(xnyn)=(lim⁡x→x0f(x))(lim⁡x→x0g(x)),если g(x)≠0иlim⁡x→x0g(x)≠0,тоlim⁡x→x0xnyn=lim⁡x→x0f(x)lim⁡x→x0g(x). \alpha-1}{x}=\alpha. x→∞lim(1+x1)x=x→0lim(1+x)1/x=e;x→0limxax−1=lna,x→+∞limxαlogax=0,a>0,a=0,α>0;x→0limxln(1+x)=1;x→0limxsinx=1;x→+∞limarctgx=2π;x→0limx(1+x)α−1=α.Предел композиции функций: если определена сложная функция F(f(x))F(f(x))F(f(x)) и существуют конечные или бесконечные пределы

lim⁡x→x0f(x)=aиlim⁡y→aF(y)=b,\lim\limits_{x→x_0} f(x)=a\quad и\quad\lim\limits_{y→a} F(y)=b,x→x0limf(x)=aиy→alimF(y)=b,то существует предел

lim⁡x→x0F(f(x))=lim⁡y→aF(y)=b.\lim\limits_{x→x_0} F(f(x))=\lim\limits_{y→a} F(y)=b.x→x0limF(f(x))=y→alimF(y)=b.Определение предела (3) для функций, принимающих действительные значения, переносится на комплекснозначные функции.

Основным общим методом вычисления пределов функций является выделение главных частей функций в окрестности данной точки, что делается обычно с помощью формулы Тейлора.

Понятие предела функции обобщается и на более широкие классы функций: если функция fff задана на множестве XfX_fXf, являющемся подмножеством топологического пространства XXX, а множество её значений принадлежит топологическому пространству YYY (в этом случае вместо термина «функция» обычно употребляют термин «отображение»), то точка a∈Ya∈Ya∈Y называется пределом функции fff при x→x0∈Xx→x_0∈Xx→x0∈X, если для любой окрестности VVV точки aaa в пространстве YYY существует такая окрестность UUU точки x0x_0x0 в пространстве XXX, что f(X∩U)⊂Vf(X∩U)⊂Vf(X∩U)⊂V.

n_j=0{xj}jn=0 отрезка [a,b][a, b][a,b], для которого max⁡l⩽j⩽nΔxj<δ\max\limits_{l⩽j⩽n}\Delta x_j\lt δl⩽j⩽nmaxΔxj<δ, и каковы бы ни были точки ξjξ_jξj, xj−1⩽ξj⩽xjx_{j-1}⩽ξ_j⩽x_jxj−1⩽ξj⩽xj, j=1,2,…,nj=1, 2, \ldots, nj=1,2,…,n, выполняется неравенство

∣f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn−A∣<ε.\left| f(ξ_1)\Delta x_1+f(ξ_2)\Delta x_2+ \ldots+f(ξ_n)\Delta x_n-A\right |\lt ε.∣f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn−A∣<ε.Понятие предела интегральных сумм может быть введено и с помощью предела последовательности.

Обобщения понятия предела

Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия предела естественно возникло стремление включить их как частные случаи в более широкое понятие предела. Можно ввести понятие предела, обобщающее как предел числовой функции, так и понятие предела интегральных сумм. Система SSS непустых подмножеств некоторого множества XXX называется направлением, если для каждых двух подмножеств AAA и BBB этой системы выполняется одно из включений A⊂BA⊂BA⊂B или B⊂AB⊂AB⊂A. b f(x)dx.∫abf(x)dx.

Понятие предела обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) в другое. Наиболее полно задача определения предела решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f(x)f(x)f(x), меняющийся при изменении другого объекта, обозначенного xxx, при достаточно близком приближении объекта xxx к объекту x0x_0x0 сколь угодно близко приближается к объекту aaa, который и называется пределом f(x)f(x)f(x) при xxx, стремящемся к x0x_0x0. Основным в такого рода понятиях предела являются понятия близости объектов xxx и x0x_0x0, f(x)f(x)f(x) и aaa, которые нуждаются в строгих определениях. Только после того как это сделано, высказанному определению предела можно придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

Встречаются, однако, понятия предела и другой природы, не связанные с топологией, например понятие предела последовательности множеств. Последовательность множеств {An}\{A_n\}{An}, n=1,2,…n=1, 2, \ldotsn=1,2,…, называется сходящейся, если существует множество AAA, называемое её пределом, такое, что каждая его точка принадлежит всем множествам AnA_nAn, начиная с некоторого номера nnn, и каждая точка из объединения всех множеств AnA_nAn, не принадлежащая AAA, принадлежит лишь конечному числу множеств AnA_nAn.

Историческая справка

К понятию предела вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур (тел) с помощью метода исчерпывания, доказывал, что разность между их площадями (объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя, по существу, представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории пределов. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. при вычислении площадей и объёмов широко использовали метод «неделимых», метод актуально бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлениям, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых конечных положительных величин. В этот период продолжает применяться и развиваться метод исчерпывания (швейцарский математик П. Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия предела появляются попытки создать общую теорию пределов. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвятил своеобразной теории пределов под названием «Метод первых и последних отношений», которую он положил в основу своего метода флюксий. В этой теории Ньютон взамен актуально бесконечно малых предложил концепцию «потенциально» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положительной конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределе. Понятие о пределе, наметившееся у математиков 17 в., в следующем 18 в. постепенно анализировалось и уточнялось (Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер, Н. Л. С. Карно, Я. Бернулли и И. Бернулли и др.). В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось основой разработки проблем математического анализа.

Современная теория пределов начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попытками доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов, сумм рядов, корней алгебраических и более общих уравнений и т. п.). В работах О. Коши понятие предела впервые стало основой построения математического анализа. Им были установлены основные свойства существования предела, основные теоремы о пределе и, что очень важно, получен внутренний критерий сходимости последовательности, носящий ныне его имя. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства. Окончательно понятие предела последовательности и функции оформилось на базе теории функций действительного переменного в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса.

Редакция математических наук. По материалам статей Л. Д. Кудрявцева и Т. С. Пиголкиной из Математического энциклопедического словаря

Дата публикации: 21 мая 2022 г. в 09:59 (GMT+3)

Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)

Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин

М.-Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (7.61)	pdf (-)	ps (-)	html (-)	tex (-)

Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.

Содержание

Предисловие.

Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
(В.Л.Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.

§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17.

Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32.

Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.

§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле»).
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.

§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.

Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.

Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)

Введение.

Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
     1. Задачи, приводящие к понятию производной.
     2. Определение производной.
     3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
     4. Производные простейших элементарных функций.
     5. Дифференцирование обратных функций.
     6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
     7. Дифференциал.
     8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
     9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
     10. Теоремы Ферма и Ролля.
     11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
     12. Формула Тейлора.
     13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
     14. Признаки постоянства и монотонности функции.
     15. Экстремум функции.
     16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
     17. Основные понятия.
     18. Интегрирование с помощью подстановки.
     19. Интегрирование по частям.
     20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
     21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
     22. Определённый интеграл.
     23. Основные свойства интеграла.
     24. Интеграл, как функция верхнего предела.
     25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
     26. Формула Валлиса.
     27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
     28. Вычисление площадей.
     29. Вычисление объёмов.
     30. Длина дуги кривой.
     31. Площадь поверхности вращения.
     32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.

Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
     33. Основные понятия.
     34. Простейшие свойства рядов.
     35. Положительные ряды.
     36. Знакочередующиеся ряды.
     37. Абсолютная сходимость.
     38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
     39. Промежуток сходимости.
     40. Свойства суммы степенного ряда.
     41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
     42. Разложение арктангенса и вычисление π.
     43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
     44. Биномиальный ряд.
     45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.

Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)

§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.

Алфавитный указатель.

Список литературы

Книга 1. Арифметика. (1951, 448 с.)
Книга 2. Алгебра. (1951, 424 с.)
Книга 3. Функции и пределы, основы анализа. (1952, 559 с.)
Книга 4. Геометрия. (1963, 568 с.)
Книга 5. Геометрия. (1966, 624 с.)

Загрузить (Mb)
djvu (7.61)	pdf (-)	ps (-)	html (-)	tex (-)

Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/59

Лимит | Encyclopedia.com

Гейл

просмотров обновлено 18 мая 2018

История

Предел последовательности

Предел функции

Приложения

Ресурсы

В математике понятие предела формально выражает понятие произвольная близость. То есть предел — это значение, к которому переменная величина приближается сколь угодно близко. Операции дифференцирования и интегрирования из исчисления основаны на теории пределов.

Теория пределов основана на особом свойстве действительных чисел; а именно, что между любыми двумя действительными числами, независимо от того, насколько они близки друг к другу, всегда есть другое. Между любыми двумя действительными числами всегда есть бесконечно много других.

Близость является ключом к пониманию пределов: только после определения близости предел обретает точное значение. Соответственно, окрестность точек вблизи любой заданной точки составляет окрестность. Окрестности — это определяющие компоненты бесконечных пределов последовательности.

Древнегреческий математик Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н. э.) впервые разработал идею пределов измерения изогнутых фигур и объема сферы в третьем веке до нашей эры. Разделив эти фигуры на маленькие части, которые можно аппроксимировать, затем увеличив количество частей, предел суммы частей может дать желаемое количество. Тезис Архимеда, Метод, был утерян до 1906 года, когда математики обнаружили, что Архимед был близок к открытию исчисления бесконечно малых.

Поскольку работы Архимеда были неизвестны до двадцатого века, другие разработали современную математическую концепцию пределов. Английский физик и математик сэр Исаак Ньютон (1642–1727) и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) независимо разработали общие принципы исчисления (важной частью которого является теория пределов) в семнадцатом веке.

Древнегреческий философ (из южной Италии) Зенон Элейский (ок. 490–430 до н. э.), возможно, был одним из первых математиков, задумавшихся о пределе последовательности и задавшихся вопросом, как он связан с окружающим миром. Зенон утверждал, что всякое движение невозможно, потому что для того, чтобы переместиться на расстояние (l), сначала необходимо пройти половину расстояния, затем половину оставшегося пути, затем половину этого оставшегося пути и так далее. Таким образом, утверждал он, расстояние (l) никогда нельзя пройти полностью.

Рассмотрим последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8,. . .(1/2) ⁿ, когда n становится очень большим. Поскольку (1/2) ⁿ равняется 1/2, умноженной на себя n раз, (1/2) ⁿ становится очень маленьким, когда n позволяет стать бесконечно большим. Говорят, что последовательность сходится, что означает, что числа, которые находятся очень далеко в последовательности (соответствует большому «N»), очень близко друг к другу и очень близко к одному значению, называемому пределом.

Последовательность чисел сходится к заданному числу, если разность между членами последовательности и данным числом образует бесконечно малую последовательность. Для этой последовательности (1/2) ⁿ произвольно приближается к 0, поэтому 0 является пределом последовательности. Числа в последовательности никогда не достигают предела, но и не превышают его.

Если бесконечная последовательность расходится, промежуточная сумма членов в конечном итоге отклоняется от любого конкретного значения, поэтому у расходящейся последовательности нет предельной суммы.

Рассмотрим произвольную функцию y = f (x). (Функция — это множество упорядоченных пар, для которых первый и второй элементы каждой пары связаны друг с другом фиксированным образом. Когда элементами упорядоченных пар являются действительные числа, отношение обычно выражается в виде уравнение.) Предположим, что последовательные значения x выбраны так, чтобы соответствовать значениям сходящейся последовательности, такой как последовательность S из предыдущего примера. Возникает вопрос, что делают значения функции, то есть что происходит с последовательными значениями у. Фактически всякий раз, когда значения x образуют последовательность, значения f (x) также образуют последовательность. Если эта последовательность является сходящейся последовательностью, то предел этой последовательности называется пределом функции. В более общем случае, когда значение функции f (x) приближается к определенному значению L, поскольку независимая переменная x приближается к действительному числу p, тогда L называется пределом функции. Формально это записывается так:

lim f(x) = l

x → p

и читается как «Предел f от x, когда x приближается к p, равен L». Это не зависит от того, какая конкретная последовательность чисел выбрана для представления x; необходимо только, чтобы последовательность сходилась к пределу. Предел может зависеть от того, является ли последовательность возрастающей или убывающей. То есть предел, когда x приближается к p сверху, может отличаться от предела, когда x приближается к p снизу. В некоторых случаях тот или иной из этих пределов может даже не существовать. В любом случае, поскольку значение x приближается к конечному значению p, разность (p x) приближается к нулю. Именно это определение предела обеспечивает основу для развития производной и интеграла в исчислении.

Существует второй тип функционального предела: предел, когда значение независимой переменной приближается к бесконечности. Хотя говорят, что последовательность, стремящаяся к бесконечности, расходится, существуют случаи, когда применение определяющего правила функции к расходящейся последовательности приводит к созданию сходящейся последовательности. Такой функцией является функция, определяемая уравнением y = 1/x. Если для функции существует конечный предел, когда

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

Схождение —Схождение означает приближение к пределу, имеющему конечное значение.

Интервал — Интервал — это подмножество действительных чисел, соответствующее отрезку линии конечной длины и включающее все действительные числа между его конечными точками. Интервал является закрытым, если конечные точки включены, и открытым, если они не включены.

Real Number —Набор чисел, содержащий целые числа и все десятичные дроби, включая повторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби.

Последовательность —Последовательность представляет собой ряд терминов, в котором каждый последующий термин связан с предыдущим фиксированной формулой.

независимая переменная стремится к бесконечности формально записывается как:

lim f (x) = L

x → ∞

и читается как «Предел f от x, когда x приближается к бесконечности, равен L». Интересно отметить, что функция, определяемая y = 1/x, не имеет предела, когда x приближается к 0, но имеет предел L = 0, когда x приближается к ∞.

Понятие предела необходимо для понимания системы действительных чисел и ее отличительных характеристик. В определенном смысле действительные числа можно определить как числа, являющиеся пределами сходящихся последовательностей рациональных чисел. Одно из применений концепции пределов относится к производной. Производная представляет собой скорость потока или изменения и может быть вычислена на основе некоторых концепций ограничений. Пределы также являются ключом к вычислению интегралов (выражений площадей). Интеграл вычисляет всю площадь области путем суммирования бесконечного числа ее маленьких кусочков. Пределы также являются частью итеративного процесса. Итерация многократно выполняет подпрограмму, используя выходные данные одного шага в качестве входных данных для следующего шага. Каждый вывод представляет собой итерацию. Некоторые успешные итерации могут максимально приблизиться к теоретически точному значению.

КНИГИ

Эббот, Персиваль. Научись самостоятельно: исчисление. Лондон, Великобритания: Hodder and Stoughton Education, и Чикаго, Иллинойс: Contemporary Books, 2003.

Бертон, Дэвид М. История математики: введение. Нью-Йорк: McGraw-Hill, 2007.

Ларсон, Рон. Исчисление: прикладной подход. Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin, 2003.

Ларсон, Рон. Исчисление с аналитической геометрией. Бостон: Колледж Хоутон Миффлин, 2002.

Люблинская Ирина Евгеньевна Связь математики с наукой: эксперименты для предварительного исчисления. Эмеривилл, Калифорния: Key Curriculum Press, 2003.

Сетек, Уильям М. Основы математики. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2005.

JR Maddocks

The Gale Encyclopedia of Science 007

В математике понятие предела формально выражает понятие произвольной близости. То есть предел — это значение, которое переменная количество приближается настолько близко, насколько это необходимо. Операции дифференцирования и интегрирования из исчисления основаны на теории пределов. Теория пределов основана на особом свойстве действительных чисел ; а именно, что между любыми двумя действительными числами, независимо от того, насколько они близки друг к другу, всегда есть другое. Между любыми двумя действительными числами всегда есть бесконечно много других.

История
Архимед Сиракузский впервые разработал идею пределов для измерения изогнутых фигур и объема сферы в третьем веке до н.э. Разделив эти фигуры на маленькие части, которые можно аппроксимировать, затем увеличив количество частей, предел суммы частей может дать желаемое количество. Тезис Архимеда Метод был утерян до 1906 года, когда математики обнаружили, что Архимед был близок к открытию исчисления бесконечно малых.
Поскольку работы Архимеда были неизвестны до двадцатого века, другие разработали современную математическую концепцию пределов. Англичанин сэр Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм фон Лейбниц независимо друг от друга разработали общие принципы исчисления (важной частью которого является теория пределов) в семнадцатом веке.

Предел последовательности
Древнегреческий философ Зенон, возможно, был одним из первых математиков, задумавшихся над пределом последовательности и задавшимся вопросом, как он связан с окружающим миром. Зенон утверждал, что все движение было невозможно, потому что для того, чтобы пройти расстояние л, нужно сначала пройти половину пути, затем половину оставшегося пути, затем половину этого оставшегося пути и так далее. Таким образом, утверждал он, расстояние l никогда нельзя пройти полностью.
Рассмотрим последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8,…(1/2)n, когда n становится очень большим. Поскольку (1/2)n равно 1/2, умноженному само на себя n раз, (1/2)n становится очень маленьким, когда n позволяет стать бесконечно большим. Говорят, что последовательность сходится, что означает, что числа, находящиеся очень далеко в последовательности (соответствующие большому n), становятся очень близкими друг к другу и очень близкими к одному значению, называемому пределом.
Последовательность чисел сходится к данному числу, если разность между членами последовательности и данным числом образует бесконечно малую последовательность. Для этой последовательности (1/2)n сколь угодно близко к 0, поэтому 0 является пределом последовательности. Числа в последовательности никогда не достигают предела, но и не превышают его.
Если бесконечная последовательность расходится, промежуточная сумма членов в конечном итоге отклоняется от любого конкретного значения, поэтому у расходящейся последовательности нет предельной суммы.

Предел функции
Рассмотрим произвольную функцию , y = f(x). (Функция — это множество упорядоченных пар, для которых первый и второй элементы каждой пары связаны друг с другом фиксированным образом. Когда элементами упорядоченных пар являются действительные числа, отношение обычно выражается в виде уравнение.) Предположим, что последовательные значения x выбраны так, чтобы соответствовать значениям сходящейся последовательности, такой как последовательность S из предыдущего примера. Возникает вопрос, что делают значения функции, то есть что происходит с последовательными значениями у. На самом деле всякий раз, когда значения x образуют последовательность, значения f(x) также образуют последовательность. Если эта последовательность является сходящейся последовательностью, то предел этой последовательности называется пределом функции. В более общем случае, когда значение функции f(x) приближается к определенному значению L, поскольку независимая переменная x приближается к действительному числу p, тогда L называется пределом функции. Формально это записывается так:
и гласит: «Предел f от x, когда x приближается к p, равен L». Это не зависит от того, какая конкретная последовательность чисел выбрана для представления x; необходимо только, чтобы последовательность сходилась к пределу. Предел может зависеть от того, является ли последовательность возрастающей или убывающей. То есть предел, когда x приближается к p сверху, может отличаться от предела, когда x приближается к p снизу. В некоторых случаях тот или иной из этих пределов может даже не существовать. В любом случае, поскольку значение x приближается к конечному значению p, разница (p-x) приближается к ноль . Именно это определение предела обеспечивает основу для развития производной и интеграла в исчислении.
Существует второй тип функционального предела: предел, когда значение независимой переменной приближается к бесконечности . Хотя говорят, что последовательность, стремящаяся к бесконечности, расходится, существуют случаи, когда применение определяющего правила функции к расходящейся последовательности приводит к созданию сходящейся последовательности. Такой функцией является функция, определяемая уравнением y = 1/x. Если для функции существует конечный предел, когда независимая переменная стремится к бесконечности, формально она записывается как:
и гласит: «Предел f от x, когда x приближается к бесконечности, равен L». Интересно отметить, что функция, определяемая y = 1/x, не имеет предела, когда x приближается к 0, но имеет предел L = 0, когда x приближается к ∞.

Приложения
Понятие предела необходимо для понимания системы действительных чисел и ее отличительных характеристик. В определенном смысле действительные числа можно определить как числа, являющиеся пределами сходящихся последовательностей рациональных чисел. Одно из применений концепции пределов относится к производной. Производная скорость потока или изменения, и может быть рассчитана на основе некоторых концепций пределов. Пределы также являются ключом к вычислению интегралов (выражений площадей). Интеграл вычисляет всю площадь области путем суммирования бесконечного числа ее маленьких кусочков. Пределы также являются частью итеративного процесса. Итерация повторно выполняет подпрограмму, используя выходные данные одного шага в качестве входных данных для следующего шага. Каждый вывод представляет собой итерацию. Некоторые успешные итерации могут максимально приблизиться к теоретически точному значению.

Ресурсы
книги
Эббот П. и М. Э. Уордл. Научитесь исчислению. Lincolnwood: NTC Publishing, 1992.
Аллен Г.Д., К. Чуи и Б. Перри. Элементы исчисления. 2-е изд. Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Co., 1989.
Говар, Норман. Приглашение к математике. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, 1979.
Ларсон, Рон. Исчисление с аналитической геометрией. Бостон: Колледж Хоутон Миффлин, 2002.
Сильверман, Ричард А. Основное исчисление с приложениями. Нью-Йорк: Дувр, 1989.
периодические издания
Маклафлин, Уильям И. «Разрешение парадоксов Зенона». Scientific American 271 (1994): 84-89.
Дж. Р. Мэддокс
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Converge
—Схождение означает приближение к пределу, имеющему конечное значение.
Интервал
— Интервал — это подмножество действительных чисел, соответствующее отрезку линии конечной длины и включающее все действительные числа между его конечными точками. Интервал является закрытым, если конечные точки включены, и открытым, если они не включены.
Real Number
—Набор чисел, содержащий целые числа и все десятичные дроби, включая повторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби.
Последовательность
—Последовательность представляет собой ряд терминов, в котором каждый последующий термин связан с предыдущим фиксированной формулой. Энциклопедия науки Гейла исчисление . Пределы обычно являются первой идеей исчисления, которую изучают студенты. Две фундаментальные концепции исчисления — 9Производная 0066 и интеграл — основаны на концепции предела. Пределы можно исследовать с помощью трех интуитивных подходов: числовых последовательностей, функций и геометрических фигур.
Последовательности чисел
Один из способов проверки пределов — это последовательность чисел. В следующем примере показана последовательность чисел, в которой предел равен 0.
Второе число в последовательности, ½, является результатом деления первого числа в последовательности, 1, на 2. Третье число в последовательности, ¼ — это результат деления второго числа в последовательности, ½, на 2.
Этот процесс деления каждого числа на 2 для получения следующего числа в последовательности продолжается для получения каждого из оставшихся значений. Три точки означают, что последовательность не заканчивается последним числом в списке, а продолжается бесконечно.
Если последовательность продолжается бесконечно, значения в последовательности будут все ближе и ближе к 0. Однако числа в последовательности никогда не примут нулевое значение. Математическая концепция приближения к значению без достижения этого значения называется «концепцией предела». Значение, к которому приближаются, называется пределом последовательности. Предел последовательности … равен 0,
В приведенном ниже примере показаны несколько последовательностей и их пределы. В каждом случае значения в последовательности приближаются к своему пределу.
Пример 1: 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999, 0,999999, 0,9999999, … Ограничение: 1
Пример 2: 5,841, 5,8401, 5,84001, 5,84 0001, 5.8400001, 5.84000001, … Ограничение: 5.84
Пример 3: … Ограничение: 0
Однако не все последовательности имеют ограничения. Последовательность 1, 2, 3, 4… увеличивается и не приближается ни к одному значению. Другой пример последовательности без ограничений: -1,1, 2,2, -3,3, 4,4, -5,5, 6,6, …. Поскольку нет определенного числа, к которому приближается эта последовательность, последовательность не имеет предела.
Функции
Пределы также можно проверять с помощью функций. Примером функции является . Один из способов проверить предел функции — составить список выборочных значений, составляющих функцию. Левую часть таблицы можно использовать для проверки предела функции при увеличении x .
По мере увеличения значений в столбце x значения в столбце f ( x ) приближаются к 0. Предел функции равен значению, которое x 0026 f ( x ) приближается столбец. Предел функции при приближении x к бесконечности равен 0.
Функции также могут быть построены на декартовой плоскости . График функции показан на рисунке. Цветовая кривая представляет функцию. По мере увеличения значений x цветовая кривая или значения f ( x ) становятся все ближе и ближе к 0. И снова предел функции при стремлении x к бесконечности равен 0,9. 0003
Важно учитывать, к какому значению приближается x при определении предела f ( x ). Если бы x приближались к 0 в предыдущем примере, f ( x ) не имели бы предела. Причину этого можно понять по средней и правой частям таблицы.
Из таблицы видно, что значения f ( x ) продолжают увеличиваться по мере того, как x приближается к 0 от значений, превышающих 0. Из таблицы также следует, что значения f ( x ) продолжает уменьшаться по мере приближения x к 0 от значений, меньших 0. Поскольку значения f ( x ) не приближаются к определенному значению, функция не имеет предела по мере приближения x к 0.
Геометрические фигуры
Типичное применение концепции предела — определение площади. Например, один из методов оценки площади круга состоит в том, чтобы разделить круг на маленькие треугольники, как показано ниже, и суммировать площади этих треугольников. Окружность в (а) разделена на шесть треугольников. Если требуется более точная оценка площади, круг можно разделить на меньшие треугольники, как показано на (b).
Если нужна точная площадь круга, количество треугольников, делящих круг, можно увеличить. Предел суммы площадей этих треугольников при стремлении числа треугольников к бесконечности равен стандартной формуле нахождения площади круга A = πr ² , где A — площадь круга. круг и r его радиус.
Таким образом, предел относится к математическому понятию, в котором числовые значения становятся все ближе и ближе к заданному значению или приближаются к этому значению. Значение, к которому приближаются, называется «пределом». Ограничения можно использовать для понимания поведения числовых последовательностей и функций. Их также можно использовать для определения площади геометрических фигур. Расширяя процесс, используемый для нахождения площади геометрической формы, можно также найти объем геометрических тел, используя концепцию предела.
см. также исчисление; Бесконечность.
Барбара М. Москаль
Библиография
Джокуш, Элизабет А. и Патрик Дж. Маклафлин. «Внедрение стандартов: построение ключевых концепций исчисления в 7–12 классах». Учитель математики 83, нет. 7 (1990): 532–540.
Интернет-ресурсы
«Ограничения» Coolmath.com. .
Математика Москаль Варвара М.
Оксфорд
просмотра обновлено 29 мая 2018
lim·it / ˈlimit/ • н. 1. точка или уровень, за который что-то не выходит или не может распространяться или пройти: пределы президентской власти 10-минутный лимит на речей не было предела его воображению. ∎ (часто ограничивает) конечная точка или граница области или движения: городские границы верхняя граница приливных участков. ∎ предельная степень физической или умственной выносливости: Мэри Энн испытывала всеобщее терпение до предела другие лошади доходили до своего предела. 2. ограничение размера или количества чего-либо допустимого или возможного: ограничение по возрасту ограничение по весу. ∎ ограничение скорости: ограничение 30 миль в час. ∎ (в карточных играх) согласованная максимальная ставка или ставка. ∎ (также установленный законом предел) максимальная концентрация алкоголя в крови, разрешенная законом у водителя транспортного средства: риск того, что пьющие непреднамеренно превысят лимит . 3. Матем. точка или значение, к которым можно постепенно приближать последовательность, функцию или сумму ряда, пока они не окажутся настолько близкими к точке или значению, насколько это необходимо.• v. (limit·it·ed, lim·it·ing) [tr.] установить или служить ограничением для: попытаться ограничить количество выпитого размеры классов ограничены до максимум 10 [ как прил. ] (ограничивающий) ограничивающий фактор. ФРАЗ: быть предел инф. быть невыносимо беспокойным или раздражающим. не было ни одной темы, закрытой для обсуждения. в пределах умеренно; до определенного момента: без ограничений без ограничений. ПРОИЗВОДНЫЕ: lim·i·ta·tive / ˈliməˌtātiv/ прил.
The Oxford Pocket Dictionary of Current English
gale
просмотров обновлено 11 июня 2018
как в случае с тварями, а не безгранично или бесконечно, как в случае с Богом. Основная проблема схоластической философии состоит в том, чтобы объяснить с точки зрения причин или принципов ограниченность одного существа по сравнению с другим (например, человека по сравнению с ангелами) и, в особенности, всех существ по сравнению с Богом.
Томисты обычно называют двоякую причину качественной ограниченности данного существа. Во-первых, каждое ограниченное существо нуждается в некотором внешнем действующем действии или действующей причине, чтобы определить его способность или предел и сообщить соответствующую степень совершенства. Во-вторых, результатом или следствием в бытии определяющего действия его причины является некий внутренний принцип ограничения в самом бытии. Этот внутренний принцип ограничения фиксирует внутреннюю способность существа получать так много и не более данного атрибута или совершенства. Если взять аналогию из количественного порядка, если человек хочет наполнить кувшин водой, он должен налить столько-то воды; точно так же кувшин (получатель) сам должен иметь определенную форму или емкость, чтобы иметь возможность принимать воду. Эту внутреннюю причину или принцип ограничения св. Фома Аквинский назвал потенцией для получения совершенства или действием (см. потенция и действие). Оба эти термина он заимствовал у Аристотеля, первоначального сторонника потенции и действия, хотя сам Аристотель применял свою теорию только к проблеме изменения, а не к проблеме ограничения. Св. Фома утверждает, что никакое положительное качественное совершенство, такое как знание, добро, или сила, может быть тождественно своим предельным принципом, т. е. причиной, по которой данное существо обладает ею в ограниченной степени, а не в своей полноте. Следовательно, везде, где есть ограничение, должна быть внутренняя двойственность или реальное метафизическое различие элементов внутри ограниченного существа: один принцип заботиться о положительном совершенстве, которое получено или причастно; другой для ограничения возможностей субъекта, который получает или участвует. Это философское учение, именуемое ограничением действия потенцией, может быть резюмировано следующим образом: ни одно действие (или совершенство) не может быть найдено в ограниченном состоянии, если оно не воспринято в действительно отличной ограничивающей потенции.
Другие философы-схоласты, такие как John duns scotus и F. suÁrez, согласны со св. Фомой в том, что необходимо, чтобы внешний фактор определял ограничения существа, но отрицают, что какой-либо внутренний принцип потенции в пределах ограниченного существа должен быть действительно отличное от совершенства, которое оно ограничивает.
См. также: конечное существо; участие; совершенство, онтологическое.
Библиография: w. н. Кларк, «Ограничение действия силой», Новая схоластика 26 (1952) 167–194. г. ginnini, Enciclopedia filosofica, 4 v. (Венеция – Рим, 1957) 3:54–58.
[ш. н. clarke]
Новая католическая энциклопедия CLARKE, W.N. / • н. 1. (часто ограничения) ограничивающее правило или обстоятельство; ограничение: строгие ограничения на водопользование. ∎ состояние ограниченных возможностей; дефект или неисправность: она знала свои ограничения лучше, чем знала себе цену. ∎ действие по ограничению чего-либо: ограничение полномочий органов местного самоуправления. 2. (также срок исковой давности) Закон установленный законом срок, по истечении которого иск может быть отклонен или право собственности не может продолжаться. См. также срок исковой давности.
Оксфордский карманный словарь современного английского языка
gale
просмотров обновлено 17 мая 2018 г.
Оговорка, ограничение или осмотрительность.
В вещном праве ограничение на имущество возникает, когда его продолжительность или качество каким-либо образом ограничиваются. Например, в передаче «Владелец передает Blackacre A до тех пор, пока B не покинет страну», имущество A ограничено, поскольку A получает Blackacre только на определенный период времени.
Энциклопедия американского права Уэста
Оксфорд
просмотров обновлено 08 июня 2018 г. XIV. л. липы , лимит — граница.
So limit vb. XIV. — (ИЗ. ограничитель или L. ограничитель . ограничение XIV.
Краткий Оксфордский словарь английской этимологии T. F. HOAD
Что такое предел? Объяснение математических понятий
Давайте поговорим о понятии, которое может сбить с толку, когда вы впервые изучаете исчисление: ограничивает . Когда вы впервые знакомитесь с ограничениями, вы часто слышите, как ваш профессор говорит что-то вроде:
» Каков предел f(x) = при приближении x к 5? »
В такой формулировке ограничения кажутся не очень естественными или интуитивными, но в сегодняшней статье я собираюсь убедить вас, что ограничения — это очень естественный способ смотреть на мир. Я также приведу несколько примеров пределов, которые мы можем решить, вообще не занимаясь «математикой»!
Начнем с примера. Представьте, что вы наблюдаете, как ваша подруга едет на своем велосипеде по гладкой поверхности , и рисуете график зависимости положения ее велосипеда от времени.
График может выглядеть примерно так:
Теперь предположим, что, продолжая рисовать график, вы на мгновение отводите взгляд от своего друга, так что вы пропустите, где он находится через 4 секунды. Итак, на вашем графике теперь есть «дыра» в тот момент, когда вы отвели взгляд.
Даже если вы не знаете точно, где была ваша подруга в 4 секунды, можете ли вы угадать, где она была? Конечно, можете — она была, вероятно, на высоте 10 футов . Откуда вы знаете? Потому что правильно до 4 секунд, она была всего на футов меньше, и прямо через секунд, она была только после 10 футов. Если только она не была волшебным образом перенесена в тот самый момент, когда вы отвели взгляд, она должна была пройти 10 футов, чтобы график имел смысл.
Пределы — это просто очень очевидная идея — вы можете «угадать», какие значения функция принимает в точке, основываясь на том, какое значение она принимает в соседних точках.
Когда вы видите выражение вроде:
Вы должны подумать про себя: хм, какое значение я бы предположил, какое значение должна принимать функция f(x), когда x примерно равен h, основываясь ТОЛЬКО на значениях, которые функция принимает БЛИЗКО к h? (стрелка в выражении просто означает «приближается»).
Если f(x) это положение вашего друга в момент времени x, то
Я хочу отметить, что функция не обязательно должна быть линейной, чтобы вы могли принимать ограничения. Давайте рассмотрим другой пример, когда ваша подруга снова едет на своем велосипеде, но теперь замедляет скорость, когда доезжает до знака «стоп».
График ее положения может выглядеть примерно так (это определенно не линейная функция!):
На этом графике ваш друг начинает движение очень быстро, но быстро замедляется, начиная примерно с полминуты. второй. Опять же, даже несмотря на то, что мы «отвели взгляд» на 90 417 x=4 90 420 и поэтому функция 90 417 f(x) 90 420 в этой точке не определена, мы все равно можем оценить предел. В данном случае
Итак, мы уже видели, что пределы позволяют нам «угадывать» поведение функций в тех точках, где мы по какой-либо причине не знаем точного значения функции.
Часто нам интересно узнать, какое значение примет функция при бесконечности . Мы не можем изобразить функцию до бесконечности, и мы не можем «вставить» бесконечность в формулу, чтобы напрямую оценить ответ.
Оказывается, это еще один случай, когда лимиты могут нас выручить. Помните, что пределы — это наша лучшая «догадка» о том, как будет вести себя функция, основываясь на известных нам точках. Так, например, если мы снова посмотрим на этот последний график (воспроизведенный ниже) — когда ваш друг приближается к знаку остановки — мы можем спросить: «Если он продолжит свою текущую траекторию, где он окажется через бесконечное количество времени? ”
В этом случае было бы разумно сказать, что существует асимптота на высоте 10 футов . Идея здесь в том, что ваш друг замедляется, замедляется и, в конце концов, остановится прямо у знака остановки, расположенного примерно в 10 футах. Если функция не изменится (другими словами, она снова не начнет ездить на велосипеде), то ее положение через бесконечное количество времени будет 10 футов.
На математическом языке мы запишем это как:
Пределы до бесконечности немного отличаются от пределов в конечной точке — вместо того, чтобы смотреть на соседние значения, мы вместо этого смотрим на общий тренд функции, f(x) , и пытаемся угадать, где функция будет в конечном итоге, как становится все больше и больше.
Иногда предел функции на бесконечности может быть положительной или отрицательной бесконечностью! Можете ли вы выяснить, каков предел первого (самого верхнего) графа, как ?
Также бывают случаи, когда лимит не существует (или вы можете услышать, что лимит равен undefined ). Вот пример такого случая:
Что бы вы назвали пределом, когда ? Это смотря куда смотреть! Если вы посмотрите на время меньше 4 секунд, может показаться, что она будет на высоте 8 футов, но если вы посмотрите на время больше 4 секунд, покажется, что она будет на высоте 11 футов! Когда у вас есть противоречивые предположения, вы можете сказать, что предела просто не существует.
No related posts.