Пределы высшая математика для чайников: Как решать пределы для чайников, примеры решений

lim как решать

Вы искали lim как решать? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра лимит, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «lim как решать».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim как решать,алгебра лимит,алгебра пределы,все о пределах,высшая математика для чайников пределы,высшая математика лимиты,высшая математика пределы,высшая математика пределы для чайников,вычислить пределы функций пошаговое решение,задания пределы,задачи на пределы,задачи на пределы с решениями,задачи пределы,задачи с решениями на пределы,лимит как решать,лимит математика,лимиты как решать,матанализ для тупых,матанализ для чайников пределы,матанализ пределы,матанализ пределы для чайников,математика предел,математика пределы,математика пределы для чайников,математический анализ для чайников пределы,математический анализ пределы,математический анализ пределы для чайников,математический предел,матпрофи пределы,методы решения пределов,нахождение пределов с подробным решением,предел 0,предел алгебра,предел в математике,предел в математике это,предел математика,предел математический,предел функции для чайников,предел это в математике,пределы алгебра,пределы в математике,пределы высшая математика,пределы для чайников,пределы как решать,пределы как решаются,пределы матан,пределы матанализ для чайников,пределы математика,пределы математика для чайников,пределы математический анализ,пределы математический анализ для чайников,пределы примеры решений,пределы примеры решения,пределы решений примеры,пределы решения,пределы с бесконечностью как решать,пределы теория с примерами,примеры на пределы,примеры решений пределов,примеры решения пределов,решение пределов онлайн с подробным решением для чайников,решение пределов примеры,решение пределов примеры с решением,решение пределов с подробным решением,решения пределов пример,способы нахождения пределов,способы решения пределов,теория пределов для чайников,формулы лимитов,что такое в математике предел,что такое в математике пределы,что такое предел в математике.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim как решать. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра пределы).

Решить задачу lim как решать вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Пределы

• формат pdf
• размер 541.29 КБ
• добавлен 13 декабря 2015 г.

Л.А. Альсевич, С.

Г. Красовский, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. — Минск: БГУ, 2011. — 58 с. Пособие содержит основные теоретические сведения о последовательностях и их свойствах и предлагает основные приемы нахождения пределов последовательностей. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие включены упражнения, снабженные ответами. Кроме того, приводятся начальные понятия о методе математической индукции и формула…

Практикум

• формат pdf
• размер 568,08 КБ
• добавлен 15 сентября 2015 г.

Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2015. — 26 с. Предел функции при х→∞ Предел функции при х→а Односторонние пределы Бесконечно малые функции и их свойства Бесконечно большие функции и их свойства Основные теоремы о пределах функций Замечательные пределы Решение типовых задач Список использованной литературы

• формат pdf
• размер 10,27 МБ
• добавлен 08 апреля 2011 г.

Интернет-издание, 2011. — 70 с. Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не «чайникам», а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Так чем же эта книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не «заумный»; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет суще…

• формат pdf
• размер 3.6 МБ
• добавлен 17 апреля 2011 г.

Интернет-издание, 2011. — 14 с. Данная книга посвящена решению контрольной работы №1 за первый семестр. В книгу включены разделы, такие как «Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного», «Дифференциальное исчисление функций и его приложение» и «Интегральное исчисление функции одного переменного». В каждой теме даны несколько базовых заданий.

Практикум

• формат pdf
• размер 572,38 КБ
• добавлен 13 марта 2013 г.

Методические указания к выполнению типового расчета. – 3-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 30 с. Методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей Ульяновского государственного технического университета. Изложена методика выполнения типового расчета по теме «Пределы» и даны об…

degree

• формат doc, rtf
• размер 645. 02 КБ
• добавлен 12 октября 2009 г.

В любом разделе курса, в том числе и в теории пределов, преподаватель математики обязан учить владению понятиями, поискам обоснованиями новых фактов, пониманию рассуждений, логике и приемам доказательств. К каждому занятию методической разработки предлагается набор задач и упражнений для закрепления теории и домашнего задания. Преподаватель по своему усмотрению может сократить их число или увеличить. Дополнительные упражнения даются в конце занят…

Практикум

• формат pdf
• размер 2,93 МБ
• добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания к выполнению типового расчета. Москва, изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. — 62 с.: ил. Содержание: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Достаточное условие сходимости последовательностей. Число Эйлера e. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Предел отношения многочленов и некоторых иррациональных выражений. Раскрытие неопределенностей с иррациональными выражени…

Практикум

• формат pdf
• размер 423,28 КБ
• добавлен 18 сентября 2016 г.

Липецк : ЛГТУ(Э), 2012. — 64 с. Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по пределам. В типовом расчете 15 заданий, в которых отражены основные приемы вычисления пределов.

Практикум

• формат djvu
• размер 1,27 МБ
• добавлен 16 января 2015 г.

Учеб. пособие. — М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2005. — 54 с. — ISBN 5-7237-0492-3 Предложен цикл практических занятий для изучения и овладения навыками вычисления одного из основных понятий математического анализа — предела. Рекомендуется студентам вузов, изучающим высшую математику. Содержание Введение Предел функции Предел последовательности Предел функции в точке Односторонние пределы Бесконечные пределы Свойства предела Некоторые приемы вычи…

• формат pdf
• размер 1,00 МБ
• добавлен 13 августа 2013 г.

Учебно-методическое пособие. — М.: МФТИ, 2011. — 66 с. В методическом пособии изложены практические приемы представления функций формулой Тейлора, а также приемы вычисления пределов функций с использованием формулы Тейлора. Рассмотрено большое количество примеров. Кратко приведены необходимые теоретические сведения, в том числе в компактной форме представлены таблицы представлений формулой Маклорена основных элементарных функций для представления…

• формат pdf
• размер 377,99 КБ
• добавлен 02 декабря 2010 г.

Московский физико-технический институт. Москва 2006. Учебно-методическое пособие. Пособие содержит множество примеров вычисления пределов функций с помощью формулы Тейлора. Будет полезно студентам первого курса технических университетов.

• формат djvu
• размер 1.31 МБ
• добавлен 24 февраля 2016 г.

М.: Наука, 1968. — 88 с. Настоящий выпуск серии «Библиотечка физико-математической школы» посвящен понятию предела, которое справедливо считается самым трудным в школьной программе. Тем более трудно освоиться с этим понятием самостоятельно, по книжке. Однако, как показывает опыт Заочной математической школы при МГУ, большинство школьников могут справиться с этой задачей. Книжка написана в форме задачника, но она может одновременно служить и уче…

• формат pdf
• размер 1,08 МБ
• добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 41 с. — ISBN: 978-5-7038-4040-5 Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу. Изложены краткие теоретические сведения, примеры с подробными объяснениями, задачи для самостоятельного решения. Представлены основы математического анализа. Задачи рассмотрены с позиций анализа элементарных функций. Указания носят справочный характер, они по…

• формат pdf
• размер 604,83 КБ
• добавлен 04 августа 2013 г.

Сборник задач. – Хабаровск: ДВГУПС, 2011. – 80 с. Данное пособие соответствует государственному образователвному стандарту курса математического анализа по разделам: предел и непрерывность функции одного переменного. Большая часть задач в пособии сопровождается решениями, поэтому оно может быть полезно при самостоятельном изучении предмета. Предназначено для студентов специальности «Информационные системы и технологии» дневной формы обучения. Вве…

• формат pdf
• размер 3,29 МБ
• добавлен 02 ноября 2009 г.

Издательство Московского университета 2002 Издание осуществлено в авторской редакции 62 страницы Предел в R Обсуждение основного определения Исчезающие последовательности Бесконечный предел Арифметические теоремы Свойства предела, связанные с неравенствами Частичные пределы. Верхний и нижний пределы Критерий Коши Предел комплексной последовательности Аппроксимативный смысл предела

• формат pdf
• размер 944,74 КБ
• добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 25 с. — ISBN: 978-5-7038-4038-2. Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу. Изложены краткие теоретические сведения и представлены основы математического анализа бесконечно малых и бесконечно больших. Приведены примеры с подробными объяснениями и задачи для самостоятельного решения. Примеры и задачи рас-смотрены с позиций раскрытия…

• формат doc
• размер 91,88 КБ
• добавлен 29 марта 2011 г.

Краткое руководство по типам решения пределов. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

Презентация

• формат ppt
• размер 890,09 КБ
• добавлен 04 марта 2016 г.

Национальный исследовательский Томский политехнический университет. Презентация к докладу. Горшков Д.А. 11 слайдов. 2016г. Исторические замечания Определение Теоремы о пределах Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Контрольная работа

• формат doc
• размер 242,94 КБ
• добавлен 15 марта 2010 г.

Решено 20 примеров. Тема: пределы. Пределы числовых последовательностей. Пределы функций. Непрерывность в точке.

Статья

• формат doc
• размер 56,01 КБ
• добавлен 03 апреля 2011 г.

9 с. Вводятся понятия: Предел числовой последовательности. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие. Непрерывность функций. Точки разрыва. Приводятся основные теоремы (без доказательств) о пределах и непрерывности. Даются примеры использования теорем для вычислений пределов.

Контрольная работа

• формат doc
• размер 116,25 КБ
• добавлен 23 декабря 2012 г.

Выходные данные неизвестны. — 14 с. Дисциплина: Высшая математика. Содержание: Предел числовой последовательности. Предел функции. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых величин. Литература.

• формат pdf
• размер 8,26 МБ
• добавлен 28 июля 2015 г.

Учебное пособие. — М.: МГУПС (МИИТ), 2014. — 30с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов — бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваем…

• формат pdf
• размер 16,93 МБ
• добавлен 11 августа 2015 г.

Учебное пособие. — М.: МГУПС (МИИТ), 2014. — 76с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов-бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваемой…

Практикум

• формат pdf
• размер 5,75 МБ
• добавлен 19 октября 2016 г.

Вучэбна—метадычны дапаможнік. — Мінск: БДПУ, 2000. — 43 с. Вучэбна—метадычны дапаможнік прызначаны для арганізацыі самастойнай працы студэнтаў і падрыхтоўкі іх да лабарторных і практычных заняткаў. Адрасаваны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Вылічэнне лімітаў лікавых паслядоўнасцей. Збежнасць манатоннай паслядоўнас…

• формат image
• размер 25,10 МБ
• добавлен 28 февраля 2012 г.

Москва: ОЛ ВЗМШ, 2003. — 104 с. Понятие предела — основное понятие математического анализа. В этом учебном пособии дано систематическое изложение теории пределов на уровне, доступном широкому кругу читателей. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров и задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для школьников (при изучении раздела «Алгебра и начала анализа» из школьного курса) и для студентов нематематическ…

• формат pdf
• размер 569,04 КБ
• добавлен 20 февраля 2015 г.

Учебно-методическое пособие. — Новосибирск.: Изд. НГПУ, 2012. — 98 с. — ISBN 978-5-85921-904-9, (Интерактивное меню). В книгу вошли материалы лекций по основам математического анализа, читавшихся автором на математическом факультете НГПУ, в I-ом семестре (17 лекций). Содержание охватывает темы «Множество вещественных чисел», «Предел числовой последовательности», «Предел и непрерывность функций». Пособие адресовано студентам математического факул…

• формат doc
• размер 867,21 КБ
• добавлен 07 августа 2012 г.

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Национальный исследовательский университет, Нижний Новгород, 2012. Введение Переменные величины и функции Теория пределов Непрерывные функции (продолжение)

• формат pdf
• размер 29,06 МБ
• добавлен 1 апреля 2015 г.

Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 181 с. — ISBN 978-5-7038-3694-1. В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения. Для студентов 1-го курса. Содержание. Функции одной переменной. Основные определения и простейшие свойства. Понятие функции. Обратные и сложные функции. Элементарные функции. Пределы. Предел числовой…

Практикум

• формат pdf
• размер 308,19 КБ
• добавлен 19 октября 2012 г.

Кемерово: КГТУ, 2009. -32с. Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей. Помимо теории в пособии рассмотрено достаточное количество примеров.

• формат video
• размер 73,27 МБ
• добавлен 12 октября 2011 г.

1 часть видео-лекции по разделам математического анализа — функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ). Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером

• формат video
• размер 69,15 МБ
• добавлен 08 ноября 2011 г.

2 часть видео-лекции по разделам математического анализа — функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ). Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером

• формат doc
• размер 357,67 КБ
• добавлен 09 июня 2013 г.

Вучэбна-метадычны дапаможнік. — Мінск, БДПУ ім. М. Танка, 2004, 41 с. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежнасць манатонай паслядоўнасці. Канечны ліміт функцыі ў канечным пункце. Канечныя ліміты функцыі на бясконцасці. Ліміт функцыі на мностве. Аднабаковыя ліміты.

Шпаргалка

• формат doc
• размер 147,80 КБ
• добавлен 28 декабря 2011 г.

Шпаргалка на контрольную по вышмату. Теория.Основные теоремы о пределах.Признаки существования пределов.Первый и второй замечательный пределы.Непрерывные функции.Точки разрыва.Свойства функций,непрерывных на отрезке.

Практикум

• формат doc
• размер 368,15 КБ
• добавлен 23 октября 2013 г.

Ульяновск: УлГУ, 2007. — 23 с. Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления. Подробно рассмотрены все основные примеры заданий по теме: «Пределы»

Как ограничения работают с функциями

Не каждая функция определена при каждом значении x. Рациональные функции, например, не определены, если знаменатель функции равен 0. Вы можете использовать предел (который, если он существует, представляет значение, к которому функция имеет тенденцию приближаться, когда независимая переменная приближается к заданному числу) посмотреть на функцию, чтобы увидеть, что она сделала бы, если бы могла.

Для этого посмотрите на поведение функции как на переменную x приближается к неопределенным значениям. Например, эта функция не определена при x = 3:

.

Вы можете посмотреть значения f ( x ) на x = 2, x = 2,9, x = 2,99, x = 2,999, и т.д. на. Затем можно еще раз посмотреть на значения f ( x ) с другой стороны: x = 4, x = 3,1, x = 3,01 и так далее. Все эти значения f ( x ) определены, кроме для x = 3.

Чтобы выразить ограничение в символах, вы пишете

, который читается как «предел, поскольку x приближается к c из f ( x ) составляет L. » L — это предел, который вы ищете. Чтобы предел функции существовал, левый предел и правый предел должны существовать и быть равными:

• A левый предел из ( x ) — это значение, к которому приближается f ( x ), когда x приближается к n из значений меньше c (с левой стороны графика).

• A правый предел из f ( x ) является полной противоположностью; это значение, к которому приближается f ( x ), когда x приближается к c из значений, превышающих c (с правой стороны графика).

Если и только если левый предел равен правому пределу, можно ли сказать, что функция имеет предел для этого конкретного значения c .

Математически вы должны позволить f быть функцией, а c и L — действительными числами. Затем

ровно тогда, когда

На языке реального мира эта установка означает, что если вы возьмете два карандаша, по одному в каждую руку, и начнете рисовать по графику функции в равных пропорциях, два карандаша должны сойтись в одном месте посередине, чтобы чтобы предел существовал. (На рисунке видно, что хотя функция не определена на x = 3, предел существует, поскольку x приближается к 3. )

Нахождение предела функции графически.

Для функций, которые хорошо связаны, карандаши всегда встречаются в определенном месте (другими словами, всегда будет существовать предел). Однако иногда это не так (как вы видите на рисунке, когда x приближается к –5). Популярная пошаговая функция определяется как f ( x ) = 0 для

.

и f ( x ) = 1 для x > 0. Если вы нарисуете эту функцию, вы увидите скачок единичного шага на x = 0.

Эту статью можно найти в категории :

• Предварительное исчисление ,

Интуитивное введение в пределы – BetterExplained

Пределы, основы исчисления, кажутся такими искусственными и хитрыми: веди себя так, как будто он там…» Тьфу.

Вот как я научился ими пользоваться:

• Что такое предел? Наш лучший прогноз точки, которую мы не наблюдали.
• Как мы делаем прогноз? Приблизьтесь к соседним точкам. Если наш прогноз всегда находится между соседними точками, как бы мы ни увеличивали масштаб, это и есть наша оценка.
• Зачем нужны лимиты? В математике есть сценарии «черной дыры» (деление на ноль, переход к бесконечности), и ограничения дают нам оценку, когда мы не можем вычислить результат напрямую.
• Откуда мы знаем, что мы правы? Нет. Наше предсказание, предел, не обязательно должно соответствовать действительности. Но для большинства природных явлений так оно и есть.

Ограничения позволяют задать вопрос «А что, если?». Если мы можем непосредственно наблюдать функцию при некотором значении (например, x=0 или x бесконечно растет), нам не нужен прогноз. Ограничение задается вопросом: «Если вы можете видеть все , кроме в виде одного значения, как вы думаете, что там?».

Когда наш прогноз непротиворечив и чем ближе мы к нему присматриваемся, тем лучше , мы чувствуем себя в нем уверенно. И если функция ведет себя плавно, как и большинство реальных функций, предел находится там, где должна быть недостающая точка.

Ключевая аналогия: предсказание футбольного мяча

Представьте, что вы смотрите футбольный матч. К сожалению, связь прерывается:

Подтвердить! Мы пропустили то, что произошло в 4:00. Тем не менее, каков ваш прогноз относительно положения мяча?

Легко. Просто возьмите соседние моменты (3:59 и 4:01) и предскажите, что мяч окажется где-то посередине.

И… работает! Объекты реального мира не телепортируются; они перемещаются через промежуточные положения на своем пути из A в B. Наш прогноз: «В 4:00 мяч находился между своей позицией в 3:59 и 4:01». Неплохо.

С помощью замедленной камеры мы могли бы даже сказать: «В 4:00 мяч находился между своими позициями в 3:59,999 и 4:00,001».

Наш прогноз кажется верным. Можем ли мы сформулировать, почему?

• Прогнозы совпадают при увеличении уровня масштабирования . Представьте, что диапазон 3:59–4:01 составлял 9,9–10,1 метра, но после увеличения до 3:59,999–4:00,001 диапазон расширился до 9–12 метров. О, о! Масштабирование должно сузить нашу оценку, а не сделать ее хуже! Не каждый уровень масштабирования должен быть точным (представьте, что вы смотрите игру каждые 5 минут), но чтобы чувствовать себя уверенно, должен быть некоторый порог, при котором последующие масштабирования только усиливают нашу оценку диапазона.

• До и после согласны. Представьте, что в 3:59 мяч находился на высоте 10 метров, катясь вправо, а в 4:01 он был на высоте 50 метров, катясь влево. Что случилось? У нас был внезапный прыжок (смена камеры?), и теперь мы не можем определить положение мяча. У кого был мяч в 4:00? Эта двусмысленность разрушает нашу способность делать уверенные прогнозы.

С учетом этих требований мы могли бы сказать: «В 4:00 мяч находился на расстоянии 10 метров. Эта оценка подтверждается нашим первоначальным зумом (3:59-4:01, который оценивает от 9,9 до 10,1 метра) и следующим (3:59,999-4:00,001, который оценивает от 9,999 до 10,001 метра)».

Ограничения — это стратегия для уверенных прогнозов.

Изучение интуиции

Давайте пока не будем приводить математические определения. Для каких вещей в реальном мире мы хотим получить точный прогноз, но не можем легко измерить?

Какова длина окружности?

Найти число пи «экспериментально» сложно: взять нить и линейку?

Мы не можем измерить фигуру с, казалось бы, бесконечными сторонами, но мы можем задаться вопросом: «Существует ли предсказанное значение числа пи, которое всегда будет точным, если мы продолжаем увеличивать стороны?»

Архимед вычислил, что число пи имеет диапазон

, используя следующий процесс:

Это было предшественником исчисления: он определил, что число пи было числом, которое оставалось в его постоянно сужающихся границах. В настоящее время у нас есть современные предельные определения числа пи.

Как выглядит совершенно непрерывный рост?

e, одно из моих любимых чисел, можно определить следующим образом:

Мы не можем легко измерить результат бесконечно сложного роста. Но если бы мы могли сделать предсказание , существует ли единственная скорость, которая всегда точна? Кажется, это около 2,71828…

Можем ли мы использовать простые формы для измерения сложных?

Круги и кривые измерить сложно, а прямоугольники легко. если мы может ли использовать бесконечное количество прямоугольников для имитации криволинейной области, можем ли мы получить результат, выдерживающий бесконечные проверки? (Может быть, мы сможем найти площадь круга.)

Можем ли мы найти скорость в данный момент?

Скорость забавная: нужно измерение до и после (пройденное расстояние/затраченное время), но разве мы не можем иметь скорость в отдельные моменты времени? Хрм.

Ограничения помогают ответить на эту загадку: предсказать свою скорость при путешествии в соседнее мгновение. Затем задайте «невозможный вопрос»: какова ваша прогнозируемая скорость, когда расстояние до соседнего мгновения равно нулю?

Примечание: лимит не панацея от всех бед. Мы не можем предположить, что он существует, и не на каждый вопрос может быть ответ. Например: число целых чисел четное или нечетное? Количество бесконечно, и ни «четное», ни «нечетное» предсказание не остаются точными, если мы считаем выше. Не существует хорошо поддерживаемого прогноза.

Для чисел пи, е и основ исчисления умные умы сделали доказательства, чтобы определить, что «да, наши предсказанные значения становятся более точными, чем ближе мы смотрим». Теперь я вижу почему пределы так важны: они подтверждают наши прогнозы.

Математика: формальное определение предела

Пределы — это хорошо обоснованные предсказания. Вот официальное определение:

. означает, что для всех действительных ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x с 0

Давайте сделаем это читаемым:

Математический английский	Человеческий английский
	Когда мы «сильно предсказываем», что f(c) = L, мы имеем в виду
для всех реальных значений ε > 0	для любого желаемого предела погрешности (+/- . 1 метра)
существует реальное значение δ > 0 секунды)
таким образом, что для всех x с 0	, где прогноз остается точным в пределах погрешности

Здесь есть несколько тонкостей:

• Уровень масштабирования (дельта, δ) является входом функции, т.е. время в видео
• Погрешность (эпсилон, ε) — это максимальное значение, которое выход функции (положение шарика) может отличаться от нашего прогноза на всем уровне масштабирования
• Условие абсолютного значения (0 < |x − c| < δ) означает, что должны работать положительные и отрицательные смещения, и мы пропускаем саму черную дыру (когда |x – c| = 0).

Мы не можем оценить ввод черной дыры, но мы можем сказать: «За исключением отсутствующей точки, весь уровень масштабирования подтверждает предсказание $f(c) = L$». А поскольку $f(c) = L$ верно для любая погрешность , которую мы можем найти, мы чувствуем себя уверенно.

Можем ли мы иметь несколько прогнозов? Представьте, что мы предсказали L1 и L2 для f(c). Между ними есть некоторая разница (назовем ее 0,1), поэтому есть некоторая погрешность (0,01), которая выявляет более точную. Выход каждой функции в диапазоне не может быть в пределах 0,01 от обоих прогнозов. Либо у нас есть единственное бесконечно точное предсказание, либо его нет.

Да, мы можем быть милыми и попросить «ограничение левой руки» (прогноз до события) и «ограничение правой руки» (прогноз после события), но у нас есть реальный предел только тогда, когда они согласны.

Функция является непрерывной, если она всегда соответствует прогнозируемому значению (и прерывистой, если нет):

Исчисление обычно изучает непрерывные функции, играя в игру «Мы делаем прогнозы, но только потому, что знаем, что они будут правильными».

Математика: демонстрация существования предела

У нас есть требования для надежного прогноза. Вопросы, в которых вас просят «доказать, что предел существует», просят вас обосновать свою оценку.

Например: Докажите, что предел при x=2 существует для

Первая проверка: нужен ли вообще лимит? К сожалению, мы это делаем: просто подставив «x = 2», мы получим деление на ноль. Дратс.

Но интуитивно мы видим, что один и тот же «ноль» (x – 2) может быть отменен сверху и снизу. Вот как танцевать это опасное танго:

• Предположим, что x находится в любом месте , кроме 2 (Должно быть! Мы делаем прогноз извне.)
• Затем мы можем отменить (x – 2) сверху и снизу, так как это не ноль.
• Осталось f(x) = 2x + 1. Эту функцию можно использовать вне черной дыры.
• Что предсказывает эта более простая функция? Что f(2) = 2*2 + 1 = 5,

Итак, f(2) = 5 — это наш прогноз. Но вы видели подлость? Мы притворились, что x не равно 2 [чтобы разделить (x-2)], а затем подставили 2 после того, как этот неприятный элемент исчез! Подумайте об этом так: мы использовали простое поведение вне события , чтобы предсказать грубое поведение при событии .

Мы можем доказать, что эти махинации дают надежное предсказание, и что f(2) = 5 бесконечно точен.

Для любого порога точности (ε) нам нужно найти «диапазон масштабирования» (δ), в котором мы остаемся в пределах заданной точности. Например, можем ли мы оставить оценку в пределах +/- 1,0?

Конечно. Нам нужно узнать, где

так

Другими словами, x должен оставаться в пределах 0,5 от 2, чтобы поддерживать исходное требование точности 1,0. Действительно, когда x находится между 1,5 и 2,5, f(x) изменяется от f(1,5) = 4 до f(2,5) = 6, оставаясь +/- 1,0 от нашего предсказанного значения 5,9.0009

Мы можем обобщить допуск на любую ошибку (ε), подставив его вместо 1.0 выше. Получаем:

Если наш уровень масштабирования «δ = 0,5 * ε», мы останемся в пределах исходной ошибки. Если наша ошибка равна 1,0, нам нужно увеличить масштаб до 0,5; если это 0,1, нам нужно увеличить масштаб до 0,05.

Эта простая функция была удобным примером. Идея состоит в том, чтобы начать с начального ограничения (|f(x) – L| < ε), подставить f(x) и L и найти расстояние от точки черной дыры (|x – c| < ?). Часто это упражнение по алгебре.

Иногда вас просят просто найти предел (подставьте 2 и получите f(2) = 5), в других случаях вас просят доказать, что предел существует, т. е. провернуть эпсилон-дельта-алгебру.

Переворачивание нуля и бесконечности

Бесконечность при использовании в пределе означает «растет без остановки». Символ ∞ является числом не больше, чем предложение «растет без остановки» или «мои запасы трусов истощаются». Это понятия, а не числа (для нашего уровня математики, Алеф только меня).

При использовании ∞ в пределе мы спрашиваем: «Поскольку x растет без остановки, можем ли мы сделать прогноз, который останется точным?». Если есть предел, это означает, что прогнозируемое значение всегда подтверждается, как бы далеко мы ни смотрели.

Но я все равно не люблю бесконечность, потому что я ее не вижу. Но я вижу ноль. С лимитами можно переписать

как

Вы можете пойти на хитрость и определить y = 1/x, заменить элементы в формуле, а затем использовать

, так что это снова похоже на обычную проблему! (Примечание от Тима в комментариях: предел идет справа, так как x стремится к положительной бесконечности). Я предпочитаю такое расположение, потому что я могу видеть место, где мы сужаемся (у нас всегда заканчивается бумага, когда мы рисуем бесконечную версию).

Почему ограничения не используются чаще?

Представьте себе ребенка, который понял, что «нуль в конце» увеличивает число в 10 раз. Есть 5? Запишите «5», затем «0» или 50. Есть 100? Сделать 1000. И так далее. 92$» без строгого обоснования. Тем не менее, судя по его неофициальным результатам, крутятся двигатели и летают самолеты.

Педагогическая ошибка в исчислении заключается в создании препятствия вроде «Вы должны знать Пределы™, прежде чем ценить исчисление», когда ясно, что изобретатели исчисления этого не знали. Я бы предпочел эту прогрессию:

• Исчисление задает, казалось бы, невозможные вопросы: когда прямоугольники могут измерять кривую? Можем ли мы обнаружить мгновенное изменение?
• Ограничения дают стратегию ответов на «невозможные» вопросы («Если вы можете сделать прогноз, выдерживающий бесконечную проверку, мы скажем, что все в порядке»). 2$), точно так же, как мы запоминаем сокращения для правил, которые мы проверили с помощью умножения (добавление нуля означает умножение на 10). Но все же приятно знать, почему ярлыки оправданы.

Ограничения — не единственный инструмент для проверки ответов на невозможные вопросы; бесконечно малые тоже работают. Ключ в том, чтобы понять , что мы пытаемся предсказать, , а затем изучить правила предсказания.

Счастливая математика.

Другие сообщения из этой серии

1. Нежное введение в изучение исчисления
2. Понимание исчисления с помощью метафоры банковского счета
3. Доисторическое исчисление: открытие Пи
4. Аналогия исчисления: интегралы как умножение
5. Исчисление: построение интуиции для производной
6. Как понимать деривативы: произведение, мощность и правила цепочки
7. Как понимать производные: правило частных, показатели степени и логарифмы
8. Интуитивное введение в ограничения
9. Интуиция для ряда Тейлора (аналогия ДНК)
10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые числа?
11. Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
12. Дружеский разговор о том, 0,999.

    No related posts.