Представить в алгебраической форме: Алгебраическая форма записи комплексного числа

3.

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Тед Сандстром и Стивен Шликер
• Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @Grand Valley State University

Основные вопросы

Следующие вопросы предназначены для того, чтобы направлять наше изучение материала в этом разделе. Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и быть в состоянии написать точные, связные ответы на эти вопросы.

• Как найти компонентную форму вектора?
• Как найти величину и направление вектора, записанного в компонентной форме?
• Как складывать и вычитать вектора, записанные в компонентной форме, и как найти скалярное произведение вектора, записанного в компонентной форме?
• Чему равно скалярное произведение двух векторов?
• Что скалярное произведение говорит нам об угле между двумя векторами?
• Как найти проекцию одного вектора на другой?

Введение и терминология

Мы видели, что вектор полностью определяется величиной и направлением. Таким образом, два вектора, имеющие одинаковую величину и направление, равны. Это означает, что мы можем расположить наш вектор на плоскости и идентифицировать его по-разному. Например, мы можем поместить кончик вектора \(\textbf{v}\) в начало координат, а хвост завершится в некоторой точке \((v_{1}, v_{2})\), как показано на Рисунок \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Вектор в стандартной позиции

Говорят, что вектор с начальной точкой находится в стандартной позиции и представлен \(\textbf{v } = \langle v_{1}, v_{2} \rangle\). Обратите внимание на важное различие в обозначениях между вектором \(\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2} \rangle\) и точкой \((v_{1}, v_{2})\ ). Координаты конечной точки \((v_{1}, v_{2})\) называются компонентами вектора \(\textbf{v}\). Мы называем \(\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2} \rangle\) 9\circ\)) называется углом направления вектора. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).

Использование базисных векторов

Существует еще один способ алгебраически записать вектор, если компоненты вектора известны. При этом используются так называемые стандартные базисные векторы для векторов на плоскости. Эти два вектора обозначаются \(\textbf{i}\) и \(\textbf{j}\) и определяются следующим образом и показаны на диаграмме ниже.

\(\textbf{i} = \langle 1, 0 \rangle\) и \(\textbf{j} = \langle 0, 1 \rangle\)

На рис. 3.28 показано, как использовать векторы \(\textbf{i}\) и \(\textbf{j}\) для представления вектора \(\textbf{v} = \langle a, б \угол\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Использование векторов \(\textbf{i}\) и \(\textbf{j}\)

Диаграмма показывает, что если мы поместим основание вектора \(\textbf{j}\) на вершине вектора \(\textbf{i}\), мы видим, что \[\textbf{v} = \langle a, b \rangle = a\textbf{i } + b\textbf{j}\]

Это часто называют \(\textbf{i}\), \(\textbf{j}\) форма вектора , а действительное число \(a\) называется компонентой \(\textbf{i}\)- вектора \(\textbf{v}\), а действительное число \(b\ ) называется \(\textbf{j}\)- компонент \(\textbf{v}\)

Алгебраические формулы для геометрических свойств вектора

Векторы обладают определенными геометрическими свойствами, такими как длина и угол направления. Используя компонентную форму вектора, мы можем написать алгебраические формулы для этих свойств. Мы будем использовать диаграмму справа, чтобы объяснить эти формулы. 9\circ\), и \[\cos(\theta) = \dfrac{v_{1}}{|\textbf{v}|}\] и \[\sin(\theta) = \dfrac{v_{2 }}{|\textbf{v}|}\]

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

1. Предположим, что горизонтальный компонент вектора \(\textbf{v}\) равен 7, а вертикальный компонент равен \(-3\). Итак, мы имеем \(\textbf{v} = 7\textbf{i} + (-3)\textbf{j} = 7\textbf{i} — 3\textbf{j}\). Определите величину и угол направления \(\textbf{v}\). 9\circ) \приблизительно -6,840\]

   Операции с векторами

   В разделе 3.5 мы научились складывать два вектора и умножать вектор на скаляр. В то время описания этих операций носили геометрический характер. Теперь мы знаем о компонентной форме вектора. Итак, хороший вопрос: «Можем ли мы использовать компонентную форму векторов для сложения векторов и умножения вектора на скаляр?»

   Чтобы проиллюстрировать эту идею, мы посмотрим на Progress Check 3.25 на стр. 223, где мы добавили два вектора \(\textbf{v}\) и \(\textbf{w}\). Хотя мы не использовали составные формы этих векторов, теперь мы можем видеть, что \[\textbf{v} = \langle 2, 3 \rangle = 2\textbf{i} + 3\textbf{j}\] и \ [\textbf{w} = \langle 4, -1 \rangle = 4\textbf{i} + (-1)\textbf{j}\]

   Приведенная выше диаграмма была частью решений для этой проверки хода выполнения, но теперь показывает векторы в координатной плоскости.

   Обратите внимание, что \[\textbf{v} + \textbf{w} = 6\textbf{i} + 2\textbf{j}\] \[\textbf{v} + \textbf{w} = (2 + 4)\textbf{i} + (3 + (-1))\textbf{j}\]

   На рис. 3.29 показана более общая диаграмма с \[\textbf{v} = \langle a, b \rangle = a \textbf{i} + b\textbf{j}\] и \[\textbf{w} = \langle c, d \rangle = c\textbf{i} + d\textbf{j}\]

   в стандарте должность. Эта диаграмма показывает, что конечной точкой \(\textbf{v} + \textbf{w}\) в стандартном положении является \((a + c, b + d)\), и поэтому

   \[\textbf{v} + \textbf{w} = \langle a + c, b + d \rangle = (a + c)\textbf{i} + (b + d)\textbf{j}\ ]

   Это означает, что мы можем сложить два вектора, сложив их горизонтальные и вертикальные компоненты. Следующая проверка прогресса проиллюстрирует нечто подобное для скалярного умножения.

   Рисунок \(\PageIndex{3}\): сумма двух векторов

   Упражнение \(\PageIndex{2}\)

   Пусть \(\textbf{v} = \langle 3, -2 \ угол\). Нарисуйте вектор v в стандартном положении, а затем нарисуйте векторы \(2\textbf{v}\) и \(-2\textbf{v}\) в стандартном положении. Каковы составляющие формы векторов \(2\textbf{v}\) и \(-2\textbf{v}\)?

   Как, по-вашему, следует определять скаляр, кратный вектору \(\textbf{a} = \langle a_{1}, a_{2} \rangle\) на скаляр \(c\)? Напишите формальное определение скалярного кратного вектора, основываясь на своей интуиции.

   Ответить

   2. Для вектора \(\textbf{a} = \langle a_{1}, a_{2} \rangle\) и скаляра \(c\) мы определяем скалярное кратное \(c\textbf{a }\) равно \[c\textbf{a} = \langle ca_{1}, ca_{2} \rangle.\]

   На основании проделанной нами работы мы даем следующие формальные определения.

   Определение

   Для векторов \(\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2} \rangle = v_{1}\textbf{i} + v_{2}\textbf{j}\) и \(\textbf{w} = \langle w_{1}, w_{2} \rangle = w_{1}\textbf{i} + w_{2}\textbf{j}\) и скалярный \(c\ ), мы делаем следующее определение:

   \[\textbf{v} + \textbf{w} = \langle v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}\rangle\]
   \[\textbf{v} + \textbf{w} = (v_{1} + w_{1})\textbf{i} + (v_{2} + w_{2})\textbf{j}\]
   \[\textbf{v} — \textbf{w} = \langle v_{1} — w_{1}, v_{2} — w_{2}\rangle\]
   \[\textbf{v} — \ textbf{w} = (v_{1} — w_{1})\textbf{i} + (v_{2} — w_{2})\textbf{j}\]
   \[c\textbf{v} = \langle cv_{1}, cv_{2}\rangle\]
   \[c\textbf{v} = (cv_{1})\textbf{i} + (cv_{2})\textbf{j}\]

   Упражнение \(\PageIndex{3}\)

   Пусть \(\textbf{u} = \langle 1, -2 \rangle\), \(\textbf{u} = \langle 0, 4 \rangle\ ) и \(\textbf{u} = \langle -5, 7 \rangle\).

   1. Определить компонентную форму вектора \(2\textbf{u} — 3\textbf{v}\).
   2. Определите величину и угол направления для \(2\textbf{u} — 3\textbf{v}\).
   3. Определить компонентную форму вектора u\(\textbf{u} + 2\textbf{v} — 7\textbf{w}\).

   Ответить

   Пусть \(\textbf{u} = \langle 1, -2 \rangle\) и \(\textbf{w} = \langle -5, 7 \rangle\).

   1. \(2\textbf{u} — 3\textbf{v} = \langle 2, -4 \rangle — \langle 0, 12 \rangle = \langle 2, -16 \rangle\)

   9\круг\).

   3. \(\textbf{u} + 2\textbf{v} — 7\textbf{w} = \langle 1, -2 \rangle + \langle 0, 8 \rangle — \langle -35, 49 \rangle = \langle 36, -43 \rangle\).

   Скалярное произведение двух векторов

   Поиск оптимальных решений систем является важной задачей прикладной математики. Часто бывает так, что мы не можем найти точное решение, удовлетворяющее определенным ограничениям, поэтому вместо этого мы ищем «лучшее» решение, удовлетворяющее ограничениям. Примером этого является подгонка кривой наименьших квадратов к набору данных, как это делают наши калькуляторы при вычислении кривой синусоидальной регрессии. Скалярный продукт полезен в таких ситуациях для поиска «наилучших» решений определенных типов проблем. Хотя мы не увидим этого в этом курсе, наличие наборов перпендикулярных векторов очень важно, поскольку позволяет выполнять быстрые и эффективные вычисления. Скалярное произведение векторов позволяет нам измерить угол между ними и, таким образом, определить, перпендикулярны ли векторы. Скалярное произведение имеет множество применений, например, для нахождения компонент сил, действующих в разных направлениях, в физике и технике. В этом разделе мы вводим и исследуем скалярные произведения.

   Мы видели, как складывать векторы и умножать векторы на скаляры, но мы еще не ввели произведение векторов. В общем, произведение векторов должно давать нам другой вектор, но оказывается, что действительно полезного способа определить такое произведение векторов не существует. {2}} = \sqrt{u_{1}u_{1} + u_{2}u_{2}}\]

   Выражение под вторым квадратным корнем является важным, и мы расширяем его и даем ему специальное имя.

   Определение

   Пусть \(\textbf{u} = \langle u_{1}, u_{2} \rangle\) и \(\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2} \ rangle\) — векторы на плоскости. Произведение точек из \(\textbf{u}\) и \(\textbf{v}\) является скаляром \[\textbf{u}\cdot \textbf{v} = u_{1}v_{1 } + u_{2}v_{2}.\]

   Это число может показаться странным для вычисления, но оказывается, что скалярное произведение двух векторов полезно для определения угла между двумя векторами. Вспомните, что в ходе проверки 3.27 на странице 225 мы использовали закон косинусов для определения суммы двух векторов, а затем использовали закон синусов для определения угла между суммой и одним из этих векторов. Теперь мы увидели, насколько проще вычислить сумму двух векторов, когда векторы находятся в компонентной форме. Скалярное произведение позволит нам определить косинус угла между двумя векторами в компонентной форме. Это связано со следующим результатом: 9\circ\)), затем

   \[\textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos(\theta)\] или \[\ cos(\theta) = \dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{|\textbf{u}||\textbf{v}|}\]

   Обратите внимание, что если мы записали векторы \(\textbf{v}\) и \(\textbf{w}\) в компонентной форме, то у нас есть формулы для вычисления \(|\textbf{v}|, |\textbf{w}|\), и \(\textbf{v}\cdot \textbf{w}\). Этот результат может показаться удивительным, но он является довольно прямым следствием закона косинусов, как мы сейчас покажем. Пусть \(\theta\) будет углом между \(\textbf{u}\) и \(\textbf{v}\), как показано на рис. 3.30. 9{2} — 2|\textbf{u}||\textbf{v}|\cos(\theta)\]
   \[-2(\textbf{u} \cdot \textbf{u}) = -2| \textbf{u}||\textbf{v}|\cos(\theta)\]
   \[\textbf{u} \cdot \textbf{u} = |\textbf{u}||\textbf{v} |\cos(\theta)\]

   Упражнение \(\PageIndex{4}\)

   1. Определите угол \(\theta\) между векторами \(\textbf{u} = 3\textbf{i } + \textbf{j}\) и \(\textbf{v} = -5\textbf{i} + 2\textbf{j}\).

   2. Определить все векторы, перпендикулярные \(\textbf{u} = \langle 1, 3 \rangle\). Сколько таких векторов? 9\circ\) и поэтому \(\cos(\theta) = 0\). Итак, мы должны иметь \(\textbf{u}\cdot\textbf{v} = 0\), а это означает, что \(a + 3b = 0\). Таким образом, любой вектор \(\textbf{v} = \langle a, b \rangle\), где \(a = -3b\) будет перпендикулярен \(\textbf{v}\), и таких векторов бесконечно много . Один вектор, перпендикулярный \(\textbf{u}\), равен \(\langle -3, 1 \rangle\).

   Одной из целей проверки выполнения 3.34 было использование формулы \[\cos(\theta) = \dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{|\textbf{u}||\textbf{ v}|}\] 9\circ) = 0\), мы видим, что из этой формулы следует, что \(\textbf{u}\) и \(\textbf{v}\) будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\textbf{u}\cdot \textbf{v} = 0\) (Это потому, что дробь будет равна \(0\) только тогда, когда числитель равен \(0\) и знаменатель не равен нулю.) Итак, мы имеем:

   Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно \(0\).

   Примечание

   Когда два вектора перпендикулярны, мы также говорим, что они ортогональны .

   Проекции

   Еще одним полезным применением скалярного произведения является нахождение проекции одного вектора на другой. Пример того, где такой расчет полезен, следующий.

   Усэйн Болт из Ямайки взволновал мир легкой атлетики в 2008 году своими мировыми рекордами на беговой дорожке. Болт выиграл 100-метровый забег с мировым рекордом 9,69 секунды. С тех пор он улучшил это время, проехав 9,58 секунды при содействии ветра 0,9.метров в секунду в Берлине, 16 августа 2009 года2. Помощь ветра — это мера скорости ветра, которая помогает бегунам двигаться по дорожке. Гораздо легче провести очень быструю гонку, если ветер дует в сторону гонки. Чтобы мировые рекорды не зависели от погодных условий, время записывается как рекордное только в том случае, если ветер, помогающий бегунам, меньше или равен 2 метрам в секунду. Скорость ветра для гонки регистрируется анемометром, установленным рядом с трассой. Однако важно отметить, что погода не всегда так сговорчива, как хотелось бы. Ветер не всегда дует точно в направлении гусеницы, поэтому датчик должен учитывать угол, который ветер образует с гусеницей.

   Если ветер дует в направлении вектора \(\textbf{u}\) и путь проходит в направлении вектора \(\textbf{v}\) на рис. 3.31, то только часть общий вектор ветра на самом деле работает, чтобы помочь бегунам.

   Рисунок \(\PageIndex{5}\): Проекция \(\textbf{u}\) на \(\textbf{v}\)

   Эта часть называется проекцией вектора \(\textbf{u}\) на вектор \(\textbf{v}\) и обозначается \(\textbf{proj}_\textbf{v}\textbf{u}\).

   Мы можем найти эту проекцию с помощью небольшой тригонометрии. Для этого пусть \(\theta\) будет углом между \(\textbf{u}\) и \(\textbf{v}\), как показано на рисунке \(\PageIndex{5}\). Используя тригонометрию прямоугольного треугольника, мы видим, что \[|\textbf{proj}_\textbf{v}\textbf{u}| = |\textbf{u}|\cos(\theta) = |\textbf{u}|\dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{|\textbf{u}||\textbf{ v}|} = \dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{|\textbf{v}|}\]
   Величина, которую мы только что получили, называется скалярной проекцией ( или компонент ) из \(\textbf{u}\) на \(\textbf{v}\) и обозначается как \(\textbf{comp}_\textbf{v}\textbf{u}\ ). {2}}\textbf{v}\] 9{2}}\textbf{v} = \dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{\textbf{v}\cdot \textbf{v}}\textbf{v}\]

   составляющая ветра, которая действует перпендикулярно направлению \(\textbf{v}\) на рисунке \(\PageIndex{5}\), называется проекцией \(\textbf{u}\) , ортогональной \ (\textbf{v}\) и обозначается \(\textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u}\), как показано на рис. 3.32. Поскольку \(\textbf{u} = \textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u} + \textbf{proj}_{\textbf{v}}\textbf{u}\) , у нас есть

   Рисунок \(\PageIndex{6}\): Проекция \(\textbf{u}\) на \(\textbf{v}\)

   \[\textbf{proj}_{\perp \textbf{v}}\textbf{u} = \textbf{u} — \textbf{proj}_{\textbf{v}}\textbf{u}\]

   Ниже приводится сводка полученных нами результатов. .

   Для ненулевых векторов \(\textbf{u}\) и \(\textbf{v}\) проекция вектора \(\textbf{u}\) на вектор \(\textbf {v}\) \(\textbf{proj}_\textbf{v}\textbf{u}\), равно 9{2}}\textbf{v} = \dfrac{\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{\textbf{v}\cdot \textbf{v}}\textbf{v}\]

   См. Рисунок \(\PageIndex{6}\). Проекция \(\textbf{u}\) , ортогональная \(\textbf{v}\), обозначенная \(\textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u }\), это

   \[\textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u} = \textbf{u} — \textbf{proj}_{\textbf{v}}\ textbf{u}\]

   Заметим, что \[\textbf{u} = \textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u} + \textbf{proj}_{\textbf{ v}}\textbf{u}\]

   Упражнение \(\PageIndex{5}\)

   Пусть \(\textbf{u} = \langle 7, 5 \rangle\) и \(\textbf{v} = \langle 10, -2\rangle\ ). Определите \(\textbf{proj}_{\textbf{v}}\textbf{u}\) и \(\textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u}\) и убедитесь, что \(\textbf{u} = \textbf{proj}_{\perp\textbf{v}}\textbf{u} + \textbf{proj}_{\textbf{v}}\textbf{u}\ ). Нарисуйте рисунок, показывающий все векторы, участвующие в этом.

   Ответить

   Пусть \(\textbf{u} = \langle 7, 5 \rangle\) и \(\textbf{v} = \langle 10, -2\rangle\). Затем 9{2}}\textbf{v}= \langle 7, 5 \rangle — \langle \dfrac{600}{104}, \dfrac{-120}{104} \rangle = \langle \dfrac{128}{104 }, \dfrac{640}{104} \rangle \приблизительно \langle 1,231, 6,154 \rangle\]

   Резюме раздела 3. 6

   В этом разделе мы изучили следующие важные понятия и идеи: v} = \langle v_{1}, v_{2} \rangle\) и \(\textbf{i},\textbf{j}\) форма одного и того же вектора \(\textbf{v} = v_ {1}\textbf{i} + v_{2}\textbf{j} \). Используя это обозначение, мы имеем 9\circ\), и \[\cos(\theta) = \dfrac{v_{1}}{|\textbf{v}|}\] и \[\sin(\theta) = \dfrac{v_{2 }}{|\textbf{v}|}\]

2. Горизонтальный, компонентный и вертикальный компоненты вектора \(\textbf{v}\) и дирекционного угла \(\theta\) равны \[v_{1} = |\textbf{v}|\cos(\theta) \] и \[v_{2} = |\textbf{v}|\sin(\theta)\]

Для двух векторов \(\textbf{v}\) и \(\textbf{w}\) с \(\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2} \rangle = v_{1 }\textbf{i} + v_{2}\textbf{j}\) и \(\textbf{w} = \langle w_{1}, w_{2} \rangle = w_{1}\textbf{i} + w_{2}\textbf{j}\) и скаляр \(c\):

• \[\textbf{v} + \textbf{w} = \langle v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}\rangle = (v_{1} + w_{1 })\textbf{i} + (v_{2} + w_{2})\textbf{j}\]
• \[\textbf{v} — \textbf{w} = \langle v_{1} — w_{1}, v_{2} — w_{2}\rangle = (v_{1} — w_{1}) \textbf{i} + (v_{2} — w_{2})\textbf{j}\]
• \[c\textbf{v} = \langle cv_{1}, cv_{2}\rangle = (cv_{1})\textbf{i} + (cv_{2})\textbf{j}\]
• Произведение точек из \(\textbf{v}\) и \(\textbf{w}\) равно \(\textbf{u}\cdot \textbf{v} = u_{1}v_{1} + и_{2}в_{2}. \) 9{2}}\textbf{w} = \dfrac{\textbf{v}\cdot \textbf{w}}{\textbf{w}\cdot \textbf{w}}\textbf{w}\]

  Проекция \(\textbf{v}\), ортогональная \(\textbf{w}\), обозначается как \(\textbf{proj}_{\perp\textbf{w}}\textbf{v}\) , равно
  \]

  Заметим, что \[\textbf{w} = \textbf{proj}_{\perp\textbf{w}}\textbf{v} + \textbf{proj}_{\textbf{w}}\textbf{v }\] См. рисунок \(\PageIndex{7}\).

Рисунок \(\PageIndex{7}\): Проекция \(\textbf{v}\) на \(\textbf{w}\)

---

Эта страница под названием 3.6: Векторы с алгебраической точки зрения распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Тедом Сандстремом и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Тед Сандстром и Стивен Шликер

   Лицензия

   СС BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://scholarworks. gvsu.edu/books/12

Язык алгебры — Определения

Обучение алгебра немного похожа на изучение другого языка. На самом деле алгебра — это просто язык, используемый для создания математических моделей реальных ситуаций и для решать проблемы, которые мы не можем решить, используя только арифметику. Вместо того, чтобы использовать словами, алгебра использует символы, чтобы делать утверждения о вещах. В алгебре мы часто используют буквы для обозначения чисел.

С алгебры использует те же символы, что и арифметика для сложения, вычитания, умножения и деления, вы уже знакомы с основным словарным запасом.

В этом уроке вы выучите несколько важных новых словарных слов и увидите, как переводить с простого английского на «язык» алгебры.

Первый шаг в обучении «говорить на алгебре» — это изучение определений наиболее употребительные слова.

Алгебраический Выражения | Переменные | Коэффициенты | Константы | Реальные числа | Рациональный Числа | Иррациональные числа | Идет перевод Слова в выражения

Алгебраический Выражения
Алгебраическое выражение — это один или несколько алгебраических терминов во фразе. Он может включать переменные, константы, и рабочие символы, такие как знаки плюс и минус. Это всего лишь фраза, а не все предложение, поэтому оно не включает знак равенства.

Алгебраический выражение:


3x ² + 2y + 7xy + 5

В алгебраическое выражение, термины — это элементы, разделенные плюсом или минусом знаки. В этом примере четыре термина: 3x ² , 2y , 7xy , и 5 . Термины могут состоять из переменных и коэффициентов или констант.

Переменные
В алгебраических выражениях буквы обозначают переменные. Эти буквы на самом деле номера в маскировке. В этом выражении переменными являются x и y. Мы называем эти буквы» var iables», потому что числа, которые они представляют, могут варьироваться это то есть мы можем заменить буквы в выражении одним или несколькими числами.

Коэффициенты
Коэффициенты — это числовая часть термов с переменными. В 3x ² + 2y + 7xy + 5 , коэффициент первого члена равен 3. Коэффициент второго члена равен 2, а коэффициент третьего члена равен 7.

Если срок состоит только переменных, его коэффициент равен 1.

Константы
Константы — это термины в алгебраическом выражении, которые содержат только числа. То есть это термины без переменных. Мы называем их константами, потому что их значение никогда не меняется, так как в терме нет переменных, которые могут изменить его значение. В выражении 7x ² + 3xy + 8 постоянный член равен «8».

Реальный Номера
В алгебре мы работаем с набором действительных чисел, которые мы можем смоделировать, используя числовой ряд.

Действительные числа описывают реальные величины, такие как количества, расстояния, возраст, температура и так далее. Вещественное число может быть целым числом, дробью или десятичный. Они также могут быть как рациональными, так и иррациональными. Числа, которые не «настоящие» называются воображаемыми. Мнимые числа используются математиками для описания чисел, которые не могут быть найдены на числовой прямой. Они более сложный предмет, чем мы будем работать здесь.

Рационал Номера
Мы называем множество действительных целых чисел и дробей «рациональными числами». Rational происходит от слова « отношение ». потому что рациональное число всегда можно записать как отношение , или частное двух целых чисел.

Примеры рациональных чисел
Дробь ½ представляет собой отношение 1 к 2.

Так как три может быть выражено как три к одному или отношение 3 к одному, это также Рациональное число.

Число «0,57» также является рациональным числом, так как его можно записать в виде дроби.

Иррациональное Номера
Некоторые действительные числа нельзя представить как частное двух целых чисел. Мы называем эти числа «иррациональные числа». Десятичная форма иррационального number — неповторяющееся и не заканчивающееся десятичное число. Например, Вы, вероятно, знакомы с числом под названием «пи». Это иррациональное число настолько важно, что мы даем ему имя и специальный символ!

Пи не может быть записывается как частное двух целых чисел, и его десятичная форма продолжается вечно и никогда не повторяется.

Перевод Words in Algebra Language
Здесь некоторые утверждения на английском языке. Чуть ниже каждого утверждения находится его перевод по алгебре.

сумма трех умноженных на число и восемь
3x + 8

Слова » сумма» говорит нам, что нам нужен знак плюс, потому что мы собираемся добавить три раз число до восьми. Слова «трижды» говорят нам о первом срок — это число, умноженное на три.

В этом выражении нам не нужен знак умножения или скобки. Такие фразы, как «число». или «число» говорит нам, что наше выражение имеет неизвестную величину, называется переменной. В алгебре мы используем буквы для обозначения переменных.

произведение числа и того же числа меньше 3
x(x 3)

Слова » произведение» говорит нам, что мы собираемся умножить число, умноженное на число меньше 3. В этом случае мы будем использовать круглые скобки для представления умножения. Слова «меньше 3» говорят нам вычесть три из неизвестного числа.

а число, деленное на то же число меньше пяти

Слова «делится by» говорит нам, что мы собираемся разделить число на разность числа и 5. В этом случае мы будем использовать дробь для обозначения деления. Слова «меньше 5» говорит нам, что нам нужен знак минус, потому что мы собираемся вычесть пять.

задняя часть наверх

символов

символ
Наиболее очевидной особенностью алгебры является использование специальных обозначений. Символы, называемые переменные используются для представления числа. Переменные обычно представляют собой буквы, такие как x , г, z или и и б. Специальные символы, такие как «=» и » » используются для обозначения отношений (равенство и меньше или равно). Другие символы используются для обозначения знакомые арифметические операции: + для сложения; , или сопоставление для умножения; — для вычитания; или же / за разделение; и для положительный квадратный корень. Верхние индексы (показатели), такие как 2 из х ² , используются для обозначения повторяющихся умножений. Например, x ² является сокращением от xx, и x ³ является сокращением для х.х х ). Символ (греч. буква «пи») используется для обозначения специального числа 3.14159…

Таким образом, алгебра полна таких выражений, как

3x ² + 2x + 4
(а+б)/2
а +с
и уравнения (пары выражений, разделенные знаком равенства, знак равно
у = 2х ³ + 2х + 7
мин = нм
(х+а)(х-а) = х ² — а ²
А = г ²

Что такое переменные?

Буквы, которые встречаются в алгебраических выражениях, например x в 3x ² + 2x +4 , называются переменными.    Числа, например 3 , 2 а также 4 , в приведенном выше выражении являются константами — их значение постоянно. Но переменные «варьируются», то есть их можно заменить любым числом, чтобы получить арифметическое выражение (выражение, состоящее только из чисел и операций), которое затем можно оценить.
Если в выражении 3x ² + 2х +4 берем х = а также то получаем результат Чтобы увидеть значение выражения для других значений x просто измените значение x и нажмите кнопку «оценить выражение».

Примечание: , если значение, которое вы указываете, равно x слишком велик, вы не сможете увидеть весь ответ, если не используйте клавиши со стрелками.

Примечание: Для некоторых расчетов с десятичными дробями ответ может быть «слегка выключенным» — это результат того, как компьютер обрабатывает десятичные дроби. Для простого примера этого возьмите х = 5,3 .


Какая польза от алгебраических выражений и уравнений?

Одно из применений таких выражений состоит в том, чтобы дать краткий способ выразить определенные задачи, формулы и общие математические факты. Рассмотрим следующие три утверждения:

1. Найдите число такое, что 3 плюс это число равно 7
2. площадь круга равна произведению номер (ок. 3.14159)   с произведением радиуса окружности на сама
3. Произведение двух дробей – это дробь, у которой знаменатель равен произведению знаменателей двух исходных дробей и чей числитель является произведением числителей двух исходных дроби.
4. учитывая любые два числа, мы получаем один и тот же результат независимо от в каком порядке мы их добавляем.
Используя алгебраическую запись, мы можем переписать эти как, соответственно
1. найти х таких что 3+x = 7 .
2. А = r ²
3. н/м p/q  =  np/mq
4. для всех номеров n и м , н+м = м+н
Не менее важно, что это обозначение позволяет легко манипулировать утверждениями таким образом, чтобы это приводило к решению проблем и/или к новым результатам.

 Формула A = r ² выражает область, А , круга через его радиус r . То есть, зная радиус круга, мы можем использовать формулу, чтобы найти его область. Например, у круга радиусом три фута есть площадь А = 3 ^{2 90 524 = 33 = 9} , поэтому, принимая 3,14 в качестве нашего приближения для нас получить А = 3,149 = 28,26 как площадь круга. Что мы сделали, так это заменили «переменный» r с конкретным число, 3 , и постоянный символ, , с его (приблизительным) числовым значением и оценил выражение как получить соответствующее числовое значение для переменной A , то есть площадь круга..

Но в чем наша проблема, что мы знаем район и мы хотим найти радиус? Например, если у садовника достаточно семя для посадки 50 квадрат футов какого-то цветка, и он хочет посадить его на круглую грядку, тогда как большую клумбу он должен копать? В этом случае мы можем использовать та же формула, A = r ² , но на этот раз мы знаем район, А , и мы пытаемся найти радиус, r . То есть мы знаем, что A = 50 = r ² . Опять же, приближение на 3.14 мы можем переписать это как 50 = 3,14r ² . Делим обе части на 3.14 получаем 15,9236 = г ² , затем извлечение квадратного корня из обеих частей дает 3,99. = г . Таким образом, с практической точки зрения (садовника) желаемая клумба должна иметь радиус в четыре фута!

Мы можем получить общую формулу для желаемого результата из формулы А = г ² по разделив обе части уравнения на , получив А/ = r ² и затем взяв квадрат корень обеих сторон, получая общую формулу р =А/, для радиуса при заданной площади. . Обратите внимание, что эта формула говорит делать то же самое, что мы делали раньше. То есть, решаем задачу садовников берем A = 50, раздели на и возьми квадрат корень. Конечно, вам может быть интересно, как же мы Знать, что делать? Что ж, это то, чему вы научитесь, изучая Алгебра средней школы.


Современная алгебраическая система счисления предлагает множество преимуществ над более ранними обозначениями. Главным из них является то, что он делает проще манипулировать алгебраическими выражениями и, следовательно, проще объяснять и применять алгебраические понятия.



История алгебраической нотации

История алгебраических обозначений длинна и разнообразны на протяжении тысячелетий. Наши нынешние обозначения относительно недавняя разработка, насчитывающая всего несколько сотен лет.

Использование символов, знаков равенства и надстрочных индексов на самом деле относительно недавнее развитие алгебры. Через большую часть его историческая алгебра была написана с использованием только слов и чисел.

«Современные обозначения» значительно облегчают запись алгебраических идей. и результаты. Что еще более важно, использование соответствующих обозначений значительно облегчает выполнение многих необходимых рутинных манипуляций решать алгебраические задачи.

Без использования современных обозначений было бы, вероятно, крайне сложно написать программу для полиномиального калькулятора.

———————-

 Алгебраическая нотация имеет множество применений. Например, мы можем использовать его для записи таких формул, как формула A = r ² для площадь круга, чтобы дать математические определения, такие как 90 513 (n/p + r/s) = (ns + pr)/sr для сложения дробей , представить общие математические результаты, такие как м+н = n+m , выражающее коммутативность сложения ( тот факт, что результат сложения двух чисел не зависит от порядка в котором мы их добавляем), и для описания многих видов функций. Таким образом, алгебраическая нотация обеспечивает краткий способ выражения многих видов отношения.

Однако еще более важным является тот факт, что запись алгоритма может использоваться для манипулирования такими выражениями, чтобы мы могли решать различные проблемы. Большая часть материала школьной алгебры посвящена с различными способами манипулирования такими выражениями и с различными виды проблем, которые мы можем решить с помощью таких манипуляций.


Совершенна ли математическая запись?

Поскольку математическая запись совершенствовалась в течение нескольких тысяч лет, мы могли бы ожидать, что к этому времени он будет довольно совершенным. К сожалению, это не совсем так, и ситуаций бывает много. где обозначение потенциально неоднозначно. То есть там В математике много ситуаций, когда данное обозначение может иметь больше чем одно значение. Часто разные значения тесно связаны но различия все же существенны. Эта двусмысленность делает не вызывают затруднений у опытных математиков, так как они, как правило, могут выяснить, что имеется в виду из общего контекста, но это может вызвать некоторые реальные проблемы для студентов.


• Что означает 2/4?
• Что означает   «=»



Алгебра | Блог

Алгебра — это раздел математики, в котором для представления неизвестных величин используются буквы или символы. Он включает в себя правила манипулирования этими символами. Использование букв помогает нам составлять уравнения, связанные с неизвестными и известными величинами, и генерировать формулы для вычисления площадей, периметров, объемов, банковских процентов и т. д.

Математика — это не только числа; иногда мы сталкиваемся с проблемой, когда невозможно знать все значения, и мы должны использовать переменные для представления этих неизвестных значений. Алгебра научит вас обращаться с этими переменными в уравнениях.

Давайте посмотрим это видео, чтобы понять необходимость алгебры:

Мы видели, что во многих ситуациях существует некоторая величина, значение которой нам неизвестно. Мы можем представить отношение между известными и неизвестными величинами, используя алгебру. Такие величины представляются любой буквой английского алфавита. Пример: x, y, p, q, a, b, c и т. д.

Можете ли вы привести пример из реальной жизни, где вы используете алгебру?

Предположим, вы идете в школу каждый день в 8 утра. Что вы делаете в первую очередь накануне вечером? Вы, вероятно, поставите будильник, рассчитав примерное время, которое вам нужно, чтобы проснуться, почистить зубы, принять душ и позавтракать перед тем, как отправиться на улицу. Вы также учтете время, необходимое для того, чтобы добраться от дома до школы, и соответственно установите будильник. Неосознанно здесь вы использовали алгебру, чтобы установить свой утренний распорядок! Поскольку вы не знали точно, сколько времени требуется для каждого из ваших утренних занятий, вы использовали концепцию переменных, чтобы получить приближение.

Понятия

Глава «Алгебра» охватывает следующие понятия:

Переменные и константы Алгебраические выражения Алгебраические уравнения

Переменные и константы

В некоторых ситуациях могут быть величины, значение которых может варьироваться. Такие величины представляются любой буквой английского алфавита и называются переменными. Пример: x, y, p, q, a, b, c и т. д. Этот раздел математики, который имеет дело с числами и переменными, называется алгеброй. Примеры переменных из реальной жизни включают в себя: количество людей, посещающих библиотеку в разные дни, пробеги, набранные игроком в разных матчах, и т. д.

Существуют определенные количества, которые не меняют своей стоимости; они остаются фиксированными. Такие фиксированные значения называются константами. Например, такие числа, как 4, 26, 100 и т. д., являются константами.

• Если терм имеет переменную, то он называется «Алгебраическим термом» .
• Если термин представляет собой просто число, то он называется «Постоянный термин» .

Алгебраические выражения

Алгебраические термы — это термы с переменными. Они могут принимать разные значения в зависимости от значения переменной. Постоянные члены — это просто числа, имеющие фиксированное значение. Термины в сочетании с математическими операторами составляют алгебраическое выражение.

Алгебраическое выражение — это математическое выражение, содержащее переменные. Алгебраическое выражение можно описать как комбинацию констант и переменных с четырьмя математическими операциями, а именно сложением, вычитанием, умножением и/или делением.

Рассмотрим следующее утверждение:

Это можно записать в математическом выражении так:

Давайте посмотрим еще несколько таких утверждений.

Помните, что числовые значения в выражении всегда фиксированы и постоянны.

Теперь давайте научимся формировать правила для различных шаблонов чисел. Рассмотрим этот шаблон:

Сделаем наблюдение.

Если мы рассмотрим положение каждого числа как «m», то правило будет таким:

Итак, мы можем сформировать правило и для числовых шаблонов. Чтобы сформировать правило для любого заданного геометрического или числового шаблона:

• Определите отношение между двумя последовательными фигурами или числами.
• Сформируйте отношение между позицией и фигурой или числом.
• Представлять изменяющееся значение с помощью переменной.
• Запишите правило, используя переменную.

Как написать правильные шаблоны спичек правил? Подсчитайте количество спичек в каждой форме узора. Также обратите внимание на положение фигуры.

Теперь определите паттерн и его связь с позицией. Здесь мы видим, что в каждом случае количество использованных спичек равно:

5 × номер позиции + 1

Здесь номер позиции фигуры меняется, поэтому мы представляем ее с помощью переменной n. Правило будет 5n + 1.

Мы можем составить алгебраические выражения для заданных словесных выражений заявления, включающие различные операции. Давайте посмотрим, как:

Сложение

При преобразовании оператора в алгебраическое выражение:

• Определите неизвестную величину в операторе.
• Определите операцию , необходимую для связи известных и неизвестных величин.
• «добавлено» или «сумма» или «увеличено на» или «более чем» — все означает сложение .

Вычитание

Когда утверждение преобразуется в алгебраическое выражение:

Определите

неизвестную величину.

Определите операцию , необходимую для связи известные и неизвестные величины.

«Минус», «разность», «уменьшение на», «меньше чем» — все означает вычитание .

Умножение

Когда оператор преобразуется в алгебраическое выражение:

• Определите неизвестную величину в операторе.
• Определите операцию , необходимую для связи известных и неизвестных величин.
• «Умножить на», «раз», «из» — все означает умножение .
• Иногда у вас может быть задействовано более одной операции.

Подразделение

Когда оператор преобразуется в алгебраическое выражение:

• Определите неизвестную величину в операторе.
• Определите операцию , необходимую для связи известные и неизвестные величины.
• «Частное», «деленное на» — все означает деление .
• Иногда у вас может быть задействовано более одной операции.

Математические правила и формулы могут быть записаны в виде алгебраических выражений. Например, площадь прямоугольника рассчитывается как произведение длины и ширины прямоугольника, т. е. площадь = длина × ширина. Мы можем записать эту формулу в виде алгебраического выражения, рассматривая длину и ширину прямоугольника как переменные, а именно «l» и «b» соответственно.

Итак, формула для нахождения площади прямоугольника может быть записана как:

Площадь = l × b = lb

Для любой формы, такой как квадрат, прямоугольник, треугольник или круг, периметр – это расстояние вокруг форма. Периметр можно записать в алгебраической форме как сумму всех сторон.

Алгебраические выражения помогают нам представить любое правило в виде общего выражения.

Теперь давайте научимся составлять алгебраическое выражение для коммутативности целых чисел. Мы знаем, что когда мы складываем два целых числа, порядок их сложения не имеет значения. В общем случае мы можем представить два целых числа как «а» и «б».

Отсюда согласно коммутативному свойству сложения целых чисел имеем

Напомним еще одно важное свойство целых чисел. При умножении трех или более целых чисел мы можем группировать числа и умножать. Как мы группируем числа, на самом деле не имеет значения. Итак, вообще говоря, для любых трех целых чисел ‘a’, ‘b’ и ‘c’ мы можем сформулировать ассоциативное свойство умножения как:

Точно так же мы можем представить распределительное свойство целых чисел (‘a’, «б» и «в») как

Алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение имеет знак «=» с выражениями или константами по обе стороны от него. Например, 5x + 9 = 19. Мы видим, что в этом уравнении также участвуют переменные. Другими словами, задействованы алгебраические термины.

• Выражение слева от «=» называется левой стороной или LHS.
• Выражение справа от «=» называется Right-Hand Side или RHS.

Алгебраическое выражение — это просто комбинация алгебраических терминов. В нем нет знака «=». Например, 4x + 6.

Можем ли мы составить уравнения для данного математического утверждения в словесной форме? Чтобы сформировать уравнение из оператора, мы следуем шагам, приведенным ниже:

• Идентифицируем неизвестное и представляем его с помощью переменной.
• Укажите операцию, которая будет использоваться.
• Обратите внимание на такие термины, как «добавлено к», «сумма», «больше чем» или «увеличение». Эти термины указывают на то, что используемой операцией является сложение (+).
• Составьте уравнение.

Что означает знак «равно» в уравнении? Знак равенства указывает на то, что обе части уравнения равны, т. е. уравнение истинно только в том случае, если выражение в левой части равно выражению в правой части.

Давайте поймем смысл удовлетворения уравнения или решения уравнения. Например, рассмотрим линейное уравнение 5x + 12 = 27, где x = 3.

Возьмем значение «x» равным 2,9.0032

Таким образом, мы можем заключить, что x = 2 не является решением уравнения 5x + 12 = 27.

Этот метод подстановки различных значений и получения значения, удовлетворяющего уравнению, называется методом проб и ошибок. метод.

Чтобы проверить, является ли заданное значение решением уравнения:

При решении реальных задач мы следуем этой стратегии:

• Проанализируйте вопрос, чтобы определить известных и неизвестных величин.
• Составьте уравнение , связывающее величины.
• Решите уравнение , чтобы найти значение неизвестного.

Распространенные ошибки

Ниже приведены темы, в которых учащиеся допускают распространенные ошибки при работе с алгеброй

• 1. Определение неизвестной величины
• 2. Написание правила для узоров из спичек
• 3. Составление алгебраического выражения для данного утверждения
• 4. Проверить, является ли данное значение решением уравнения

Идентификация неизвестного количества

В данной ситуации у нас могут быть известные и неизвестные количества. Нам нужно правильно определить неизвестную величину и представить ее буквой или переменной. Пример, рассмотрим утверждение:

Как мы можем выразить это утверждение в математической форме? Здесь мы не знаем, что такое число. Следовательно, это неизвестная величина. Мы представляем это с помощью переменной, скажем, «x». Число 18 — известная величина.

Помните, что числовые значения в выражении всегда фиксированы и постоянны. Вышеприведенное утверждение может быть представлено математически как «x + 18».

Написание правила для узоров из спичек

Как написать правильное правило для составления заданного узора из спичек? Подсчитайте количество спичек в каждой форме узора. Также обратите внимание на положение фигуры.

Теперь определите паттерн и его связь с позицией. Здесь мы видим, что в каждом случае количество используемых спичек равно:

5 × номер позиции + 1

Здесь номер позиции фигуры варьируется, следовательно, мы представляем его с помощью переменной «n». будет 5n + 1.

Составление алгебраического выражения для данного утверждения

Чтобы составить алгебраическое выражение из данного утверждения, мы должны:

• Определить неизвестную величину и представить ее с помощью переменной
• Определите постоянную или фиксированную величину
• Определите операцию, связывающую известные и неизвестные величины

Позаботьтесь об операции. Например, рассмотрим утверждение:

Дважды число означает 2, умноженное на число. Добавлено означает добавление или «+». Таким образом, правильным утверждением будет 2p + 12.

Проверить, является ли заданное значение решением уравнения

Чтобы проверить, является ли заданное значение решением уравнения:

• Внимательно рассмотрите уравнение для переменной
• Мы должны поставить значение вместо переменной
• Внимательно выполняйте операции с номерами

Пример, проверьте, является ли 4 решением уравнения:

Обратите внимание, что и в левой, и в правой части есть переменная «y». Поместите значение «y» в обе стороны и найдите значение.

Заключение

Алгебра — интересная глава со многими приложениями в реальной жизни. Теперь, когда вы узнали об этом все, можете ли вы решить головоломку ниже?

Найдите значение каждого цвета воздушных шаров ниже:

Арпана

Автор

Энтузиаст математики и педагог, Арпана имеет сильное академическое образование и продемонстрировала впечатляющий опыт работы в сфере образования. Арпана умеет разрабатывать и проверять планы уроков, учебные материалы, оценки, видеорассказы и сценарии.

рабочих примеров алгебраических выражений — ChiliMath

Не существует единого метода или стратегии перевода математических фраз в алгебраические выражения. Пока вы помните основы, вы должны быть в состоянии справиться с более сложными. Просто убедитесь, что вы можете обосновать собственное алгебраическое выражение и, что более важно, что оно имеет для вас смысл. При необходимости обратитесь за помощью к своим учителям или сотрудничайте со своими одноклассниками, чтобы проверить свои ответы.

Чтобы развить ваши навыки написания алгебраических выражений, мы рассмотрим различные способы отображения каждой операции в виде слова или фразы в задаче. Четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ключевые слова для сложения

Ключевые слова для вычитания

Ключевые слова для умножения

Ключевые слова для деления

---

Пришло время рассмотреть некоторые примеры алгебраических выражений, чтобы попрактиковаться в их написании. Я делю примеры на две категории:

• Основные примеры алгебраических выражений
• Примеры алгебраических выражений, состоящие из нескольких частей

---

Основные примеры алгебраических выражений

Пример 1: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «сумма числа и четырех».

Решение: Слово «сумма» сразу дает нам подсказку, которую мы собираемся добавить сюда. Обратите внимание, что мы хотим сложить две величины: одно неизвестное число и число 4. Поскольку нам неизвестно значение числа, мы можем использовать переменную для его представления. Вы можете использовать любые буквы алфавита. В этом случае давайте договоримся использовать y в качестве переменной.

Когда мы складываем переменную y и 4, мы получаем y + 4. Можно также написать ответ как 4 + y, потому что сложение является коммутативным, то есть изменение порядка сложения не меняет сумму.

Окончательный ответ: y+4.

---

Пример 2: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «10 умножить на число».

Решение: Ключевые слова «увеличено на» подразумевают сложение. Это означает, что к 10 было добавлено неизвестное число. Используя букву k в качестве переменной, мы можем перевести приведенное выше утверждение как 10 + k. Поскольку сложение коммутативно, мы можем переписать его как k + 10. Любой из двух ответов является правильным.

Окончательный ответ: k+10.

---

Пример 3: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «разность 1 и числа».

Решение: Слово «разность» предполагает, что мы собираемся вычитать. Кроме того, когда вы встречаете это математическое слово (разница), обязательно обратите внимание на порядок. Сначала идет число 1, затем неизвестное число идет вторым. Это означает, что число 1 является уменьшаемым, а неизвестное число — вычитаемым. Если мы решим использовать букву x в качестве нашей переменной, ответ станет 1 − x.

Окончательный ответ: 1 — х.

---

Пример 4 : Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «число меньше 8».

Решение: Будьте очень осторожны при работе с ключевыми словами «меньше чем». Первое количество, которое идет перед ключевыми словами «меньше чем», которое является «числом», является вычитаемым. В то время как количество, которое идет после него, становится уменьшаемым.

Другими словами, мы собираемся вычесть неизвестное число из числа 8. Если мы выберем в качестве переменной букву а, мы получим 8 — а.

Окончательный ответ 8 — а.

---

Пример 5: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «произведение 5 и числа».

Решение : Чтобы найти произведение двух количеств или величин, нужно их перемножить. Выбрав букву m в качестве нашей переменной, алгебраическое выражение для этой математической фразы будет просто 5 m . Это означает 5 умножить на неизвестное число м .

Окончательный ответ: 5м.

---

Пример 6: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «дважды число».

Решение: Слово «дважды» означает, что мы собираемся что-то удвоить. В этом случае мы хотим удвоить неизвестное значение или количество. Пусть буква d будет неизвестным числом, удвоив его, мы получим алгебраическое выражение 2d.

Окончательный ответ 2d.

---

Пример 7: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «частное числа и 7».

Решение: Ключевое слово «частное» означает, что мы выполняем операцию деления. Мы разделим неизвестное число на 7. Выбрав букву w в качестве нашей переменной, математическая фраза выше может быть выражена как алгебраическое выражение ниже.

\LARGE{w \over 7}

---

Пример 8: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «отношение 10 и числа».

Решение: Точно так же слово «отношение» означает деление. Порядок здесь очень важен. Первая величина — это число 10, а вторая величина — это неизвестное число. Это означает, что 10 делится на неизвестное число. Пусть c будет неизвестным числом, алгебраическое выражение для приведенной выше математической фразы можно записать как

\LARGE{10 \over c}

---

Примеры алгебраических выражений, состоящих из нескольких частей

На этот раз мы рассмотрим еще несколько сложные математические фразы. Алгебраические выражения в этом разделе могут содержать две или более операций. Основные ключевые слова, которые мы выучили ранее, послужат основой, когда мы будем работать над более сложными математическими фразами, чтобы перевести их в алгебраические выражения.

Пример 1 : Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «3 больше, чем удвоенное число».

Решение: Чтобы упростить понимание, мы разделим эту фразу на две части. Во-первых, признать, что у нас есть неизвестный номер. Мы можем представить его любыми буквами алфавита. Пусть неизвестное число будет переменной x. Диаграмма ниже должна помочь нам увидеть, что происходит на самом деле.

Если подумать, существует неизвестное число, представленное переменной x, которая удваивается или умножается на 2. Каким бы ни было произведение, мы добавим к нему 3. Итак, наш окончательный ответ должен выглядеть так, как показано ниже.

Окончательный ответ: 2x+3.

---

Пример 2: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «разность половины числа и 10».

Решение: Предположим, что переменная y является неизвестным числом. Ключевое слово «разность» подсказывает нам, что мы собираемся выполнить вычитание. Здесь важно обратить внимание на порядок вычитания. После слова «разность» следует ожидать две величины. Первое — уменьшаемое, второе — вычитаемое. Взгляните на диаграмму ниже.

Ссылаясь на диаграмму, мы вычтем первую величину из второй величины. Окончательный ответ для математической фразы должен выглядеть примерно так:

---

Пример 3: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «на 7 меньше, чем произведение числа и 6».

Решение: Мы знаем, что «меньше чем» предполагает операцию вычитания. Но здесь нам нужно быть немного осторожными, потому что важен порядок вычитания. Предположим, неизвестное число представлено переменной k. Давайте изобразим это на диаграмме, чтобы было понятно.

На самом деле, эту математическую фразу можно переписать как

«произведение числа и 6 минус 7»

«7 меньше» означает «минус 7″ к любой описываемой величине, которая в данном случае является » произведение числа и 6”. Вот окончательная интерпретация математической фразы в алгебраическом выражении:

6k-7

---

Пример 4: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «среднее число и 4».

Решение: Чтобы начать эту конкретную математическую фразу, мы должны сначала определить термин «среднее значение». Чтобы вычислить среднее или среднее двух или более чисел, сложите все числа, чтобы получить сумму, а затем разделите ее на количество записей или чисел. Если мы позволим m быть переменной для представления неизвестного числа, математическая фраза выше может быть выражена в алгебраических выражениях как,

\LARGE{{m + 4} \over 2}

---

Пример 5: Напишите алгебраическое выражение выражение для математической фразы «частное от 1 и 1 уменьшилось на число».

Решение: Ключевое слово «частное» означает, что мы будем делить. В данном случае мы хотим разделить число 1 на количество 1, уменьшенное на число. Ниже приведено алгебраическое выражение, которое может представлять математическую фразу выше. Пусть а неизвестное число.

---

Пример 6: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «треть квадрата числа, умноженная на 2».

Решение: Здесь происходит несколько вещей. Во-первых, часть фразы, в которой говорится «треть квадрата числа», можно интерпретировать как «квадрат числа, деленный на 3». Нам нужно будет увеличить неизвестное число на 2, а затем разделить его на 3. Предположим, что неизвестное число равно t, мы получаем

Мы еще не закончили. Последний шаг, который нужно сделать, это добавить указанное выше количество на 2, чтобы включить оставшуюся часть фразы «увеличение на 2». Итак, вот окончательное представление данной математической фразы.

---

Вас также могут заинтересовать:

Алгебраические выражения

Алгебраические задачи на предложения

Алгебраическое представление: значение и примеры

Премьер-министр, вероятно, один из самых занятых людей в Великобритании быть везде одновременно. В случае, когда он не может присутствовать на мероприятии, он пришлет представителя. Человек не премьер-министр, а своего рода заместитель. Это похоже на то, что мы видим в алгебраических выражениях и уравнениях. Используемые переменные представляют собой реальное значение. Мы называем это алгебраическим представлением.

Все, что связано с алгеброй, предполагает использование букв для обозначения чего-либо.

В этой статье мы рассмотрим значение алгебраического представления, алгебраическое представление геометрических преобразований, формул и функций, а также некоторые примеры их применения.

Алгебраическое представление означает

Алгебраическое представление предполагает использование переменных, чисел и символов для представления величин в уравнении или выражении.


Алгебраические представления описывают происходящее, не выражая его словами. Алгебраические представления могут применяться к разным вещам. Его можно применять для геометрических преобразований, для построения формул и представления функций.

Некоторые примеры алгебраических представлений , и .

Алгебраическое представление преобразований

Преобразование связано с геометрическим изменением математического объекта. Объект может быть геометрической формой, которая претерпевает трансформацию своего положения или размера. Различными формами преобразований являются перемещение, отражение, вращение, увеличение или их комбинация. Чтобы получить более глубокие знания о преобразованиях, ознакомьтесь с нашей статьей о преобразованиях.

Для алгебраического представления преобразований мы имеем дело с геометрическими фигурами, преобразуемыми по оси и.

Перевод

Перевод связан с движением s вверх, вниз, влево или вправо, или их комбинацией. Форма просто перемещается из одного положения в другое. Размер и форма остаются прежними, но позиция меняется на . Чтобы узнать больше о переводе, ознакомьтесь с нашей статьей о переводах.

Посмотрите на изображение ниже.

График преобразования перевода — StudySmarter Original

На этом изображении мы видим прямоугольник и прямоугольник. Мы будем считать этот последний прямоугольник результирующей фигурой, изображением, применяя перевод к первому прямоугольнику. Обратите внимание, что форма и размер фигуры остаются прежними, но положение отличается.

Итак, как мы можем использовать алгебраическое представление в переводе? Давайте установим некоторые правила. Правила показывают, как изменяются координаты при перемещении фигуры.

Здесь могут происходить четыре различных движения; фигура может перемещаться вверх, вниз, влево и вправо по оси и .

Давайте начнем с пары и представим число единиц, на которое фигура должна переместиться по оси. Если фигура должна двигаться в правильном направлении по -оси, она будет . Если двигаться влево, то будет .

Пусть представляет количество единиц, на которое фигура должна переместиться по оси. Если изображение будет двигаться вверх, это будет . Если двигаться вниз, то будет .

So we have,

Translation	Rules
Move right units
Move left units
Move up units
Единицы перемещения вниз

Отражение

Отражение — это отражение фигуры по линии. Линия называется линия отражения или линия симметрии. Отражение также называют зеркальным отражением формы. В этом преобразовании форма позиции изменяется , но ее размер и форма остаются прежними. См. изображение ниже.

График преобразования отражения — StudySmarter Original

На изображении выше мы можем видеть и. Мы будем считать первый треугольник изображением второго, применяя отражение по оси y.

Существуют правила, которые показывают, как меняются координаты при отражении фигуры. Способ изменения координат зависит от того, движется ли фигура вверх, вниз, влево или вправо. Мы увидим два простых отражения над осями.

Фигура отражается либо по -оси, либо по -оси, и при этом знаки координат меняются. Итак, если у вас есть координаты фигуры, и она отражается по оси -, вы должны умножить -координату на . Если он отражается по оси -, вы должны умножить -ось на .

Отражение	Правила
Перемещение по оси	Умножьте координату на:
Перемещение по оси	Умножьте координату на:

.

Врождение
0

Ротация

0

. Когда фигура вращается вокруг оси, координаты меняются. И снова в этом преобразовании форма позиции

изменяется , но ее размер и форма остаются прежними. См. график ниже.

График, показывающий преобразование вращения — StudySmarter Original

Некоторые правила помогут вам узнать, как будут изменяться координаты. Правила представлены в таблице ниже.

15. Формулы – это уравнения, которые показывают связь между величинами. Пример формулы:

.

Это формула для расчета силы из физики, где сила, масса и ускорение.

В формуле F прямо пропорционально a, а m вводится как константа пропорциональности .

— символ пропорциональности.

Другим примером формулы является площадь круга . Площадь круга прямо пропорциональна квадрату радиуса.

,

где радиус.

Здесь вводится константа пропорциональности и формула принимает вид.

Мы можем видеть алгебраическое представление в формуле. Неизвестные величины представлены переменными. Мы можем столкнуться с ситуацией, когда формула будет представлять собой комбинацию переменных и чисел. В этом случае мы упростим их так же, как мы упростим алгебраическое выражение.

Мы рассмотрим несколько примеров позже.

Алгебраическое представление функции

Функция — это выражение, которое показывает взаимосвязь между входом и выходом. В функции каждому входу соответствует один и только один выход.

В большинстве случаев функция представляется строчной буквой , или любой другой буквой, обозначающей ее. Если вход и выход, то функция записывается как:

.

Вышеприведенное выражение является алгебраическим представлением этой функции. Переменные и являются представлением фактического числа. Чтобы получить вывод, вам нужно будет заменить x другими значениями.

Если и , мы будем иметь, например:

Это означает, что вход равен 2, а выход равен 2.

Если и , мы будем иметь:

Это означает, что на входе 2, а на выходе 4. Выражение называется правилом функции.

Примеры алгебраических представлений

Теперь мы возьмем несколько примеров, чтобы дать нам более четкое представление о том, о чем мы говорили.

Давайте рассмотрим пример преобразования перевода.

Треугольник ABC имеет вершины . Найдите вершины после переноса на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Нарисуйте треугольник и его переведенное изображение.

Решение

Нам даны координаты треугольника, и нам сказали, что перемещение должно произойти на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

Если вы помните правила, о которых мы говорили в разделе перевода, перемещение единиц вправо: и перемещение единиц вниз: .

Если мы объединим два правила, чтобы соответствовать нашему вопросу, это будет:

.

Давай положим это на стол.

Мы сделали вычисления в таблице, и координаты перенесенного треугольника:

Если мы построим это, мы получим график ниже.

На графике показаны и переведенные .

Давайте рассмотрим пример преобразования отражения.

Прямоугольник имеет вершины. Найдите вершины прямоугольника после отражения по оси x. Нарисуйте прямоугольник и его отраженное изображение.

Решение

У нас есть координаты прямоугольника, данные нам как . Прямоугольник должен быть отражен по оси x.

Вспомните, что когда фигура должна быть отражена по оси x, вы умножаете координату y на -1. Итак имеем:

.

Сделаем расчет в таблице.

Вращение	Правила
по часовой стрелке	Switch координаты и умножение на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на один на: «	».0499 против часовой стрелки	Переключите координату и умножьте один слева на:
по часовой стрелке или против часовой стрелки	Умножение оба координируют на

Прямоугольник

We’ve done the calculations and the co-ordinates of the reflected rectangle составляют:

Теперь построим график.

На графике выше показан прямоугольник и его отражение.

Давайте рассмотрим пример преобразования вращения.

Четырехугольник имеет вершины. Найдите вершины после поворота против часовой стрелки. Постройте график четырехугольника и его повернутого изображения.

Решение

Нам даны координаты четырехугольника. Четырехугольник нужно повернуть против часовой стрелки.

Вспомните, что правило вращения против часовой стрелки состоит в том, что вы меняете координаты и умножаете левую на .

Сделаем расчет в таблице.

Quadrilateral

We’ve сделал расчеты и вершины для повернутого четырехугольника.

Теперь построим график

На графике показан четырехугольник и его повернутое изображение

Рассмотрим несколько примеров алгебраических представлений в формулах.

Найдите площадь прямоугольника ниже.

Решение

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужна формула. Формула:

где площадь

длина

ширина

Из рисунка выше

Давайте подставим формулу

Мы можем убрать знак умножения, и это будет означать то же самое .

Мы можем еще больше упростить, умножив каждый член в скобках на значение снаружи, и мы получим:

Площадь прямоугольника:

Возьмем другой пример.

Формула расчета простых процентов . представляет простые проценты. Найдите простые проценты, когда и .

Решение

Вопрос просит нас найти простые проценты. Нам дана формула простых процентов:

Нам также даны значения переменных в формуле.

Теперь нам нужно подставить значения, указанные в формуле.

Обратите внимание, что мы делим значение R на 100. Это потому, что оно в процентах.

Простые проценты .

Давайте рассмотрим несколько примеров алгебраического представления и формулы.

Учитывая , оцените следующее.

Решение

а.

Дана функция, которую мы попросили оценить.

No related posts.