Представить в тригонометрической форме комплексные числа онлайн: Комплексные числа онлайн

Комплексные числа

Формы записи комплексных чисел

где и – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению . Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение . Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Комплексное число считается записанным корректно, если записано именно в данном виде. Запись по типу: – ошибка. Правильный вариант: .

Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо, в первую очередь, изобразить саму плоскость, представляющую из себя обычную координатную плоскость, но с осями (вместо ) и (вместо ), на первой оси отметить значение , на второй – значение . Пересечение перпендикуляров к этим точкам и есть число .

Где – модуль комплексного числа, а угол . Аргумент находится следующим образом:

Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо из начала координат провести прямую под углом и отложить на ней расстояние . Конец отрезка есть число .

Короче говоря, число на комплексной плоскости задает вектор с координатами , длиной и углом наклона к оси .

где – модуль комплексного числа, – его аргумент, – экспонента, – мнимая единица. По формуле Эйлера:

Сопряженные комплексные числа

Комплексны числа и называются сопряженными.

Геометрический смысл: сопряженное числу есть число, симметричное самому числу относительно оси .

Свойства операции сопряжения:

1. ;

2. тогда и только тогда, когда – комплексное число;

Действия с комплексными числами

;

Равенство комплексных чисел:

, если и

, если и

Сложение комплексных чисел:

(аналогично с вычитанием)

(аналогично с вычитанием)

Умножение комплексных чисел:

(простое раскрытие скобок)

Деление комплексных чисел:

(раскрытие скобок с помощью домножения знаменателя на сопряженное)

Возведение комплексного числа в степень

Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после домножения.

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, в первую очередь, нужно представить его в тригонометрической форме. Количество корней есть значение, равное степени корня. То есть, извлекая корень 4-й степени из комплексного числа, мы получаем 4 корня.

Как и для возведения в целую степень, будет справедливо:

– степень извлекаемого корня, . Вычисляем извлеченные корни поочередно, в каждый из которых подставляем свое значение n. Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после всех операций вычисления.

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины правильного -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Свойства комплексных чисел

;

;

рабочих листов | TPT

by

Simply Kinder

972,00 $

25,00 $

Идеальный набор для детского сада: учебники, игры, раскраска по коду и многое другое для более чем 200 высокочастотных слов! ЛУЧШИЙ ПРОДАВЕЦ на TpT с более чем 7000 отзывов учителей! Оцените эту невероятную ценность всего, что вам нужно для практики словесного зрения! Ваша практика словесного зрения стала намного лучше благодаря этому огромному файлу печатных форм, занятий, центров и многого другого. Каждое включенное прицельное слово имеет отдельный файл с 67 страницами действий! Идеально подходит для детского сада, первого класса

Предметы:

Английский язык, чтение

Классы:

PreK — 1st

Типы:

Занятия, распечатки, рабочие листы

CCSS, RF.3.K.9002 .K.3c

by

Rachel Lynette

30 рабочих листов по изобразительному языку, посвященных сравнениям, метафорам, идиомам, гиперболам, олицетворениям, звукоподражаниям и аллитерациям. Эти рабочие листы отлично подходят для практики без подготовки по 7 наиболее распространенным типам образного языка. Каждый тип образного языка включает вводную страницу с определением и примерами. На остальных страницах можно попрактиковаться.ЧТО ВКЛЮЧЕНО:✍️ ПЕЧАТЬ:30 листов для печатиЛисты для записиКлючи ответов ЦИФРОВОЙ:Google SlidesEasel ActivityG

Субъекты:

EFL — ESL — ELD, ELA TEST PREP, Словарь

Оценки:

3 -е — 5 -й

Типы:

Независимый рабочий пакет, рабочие листы

CCSS:

RL. 3.4, RL.6.4. , L.3.3, L.3.3a, L.3.5…

Также включено в: НАБОР «Изобразительный язык»! Мероприятия, карточки с заданиями, плакаты, цифровое изображение и многое другое!

by

Обучаемый учитель

25,00 $

20,00 $

Bundle

Универсальные отрывки для чтения дают вашим учащимся возможность практиковать фонетику и беглость с этими отрывками и вопросами на понимание прочитанного. Лучшая часть? С вашей стороны не требуется никакой подготовки! Теперь включает в себя оригинальный PDF + НОВЫЕ цифровые версии каждого отрывка для чтения по фонетике для дистанционного обучения! Каждый отрывок для чтения дает вашим ученикам возможность практиковать целевой навык фонетики в контексте чтения. Каждый фонический отрывок также развивает беглость речи и понимание. это комплект

Субъекты:

ELA Test Prep, Фоника, чтение

Оценки:

1 -й — 2 -е

Типы:

Английский (Великобритания), книги с руководством, печатные изделия

по

Crystal McGinnis

Это Alphabet нахождение. и Highlight Activity — идеальный центр изучения алфавита! Этот 26-страничный пакет заданий по алфавиту дает учащимся возможность распознавать прописные и строчные буквы алфавита. Учащиеся находят и выделяют прописные и строчные буквы каждой буквы алфавита. Это могло бы стать отличной станцией для обучения грамоте или утренним рабочим занятием. Я также добавил версию этих печатных форм для TPT Easel. (ноябрь 2021 г.) Ваши учащиеся могут просматривать и выделять печатные формы в цифровом виде

Субъекты:

Сбалансированная грамотность

Оценки:

Prek — 1st

Типы:

ПЕЧАТЫ

CCSS:

RF.K.1D

Также включены в: Dollar Deal Complet Bundle!!! (ВСЕ МОИ СДЕЛКИ В ДОЛЛАРАХ)

by

Lucky Little Learners

34,00 $

23,00 $

Bundle

Фонические отрывки для чтения, или фонические коврики Turn Top Help, печатные и не требующие подготовки ученики фонетические навыки в чтение текста! Учащиеся практикуют изолированные фонетические навыки, декодирование, беглость речи и понимание в одном ресурсе. *** НОВОЕ ОБНОВЛЕНИЕ *** Этот ресурс обновлен новой версией 2022 года! В новых ковриках для фонетики есть декодируемые отрывки, вопросы на понимание, практика написания слов и страница для разминки для каждого навыка. Обязательно загрузите превью

Предметы:

Акустика, чтение, письмо

Классы:

Типы:

Печатные формы, рабочие листы

CCSS:

RF.2.3, RF.2.3c, RF.2.3b, RF.2.2 .2.3d…

по

FREE YOUR HEART

KINDERGARTEN PHONICS НАПИСАНИЕ РАБОЧИХ ТАБЛИЦ CVC: 30 ДИФФЕРЕНЦИИРОВАННЫХ ПЕЧАТНЫХ ТАБЛИЦ ДЛЯ СЕГМЕНТИРОВАНИЯ НАЧАЛА, СРЕДНИХ И КОНЕЧНЫХ ЗВУКОВ. Включены 30 печатных форм, содержащих четкие и привлекательные изображения! ⭐⭐⭐ПОЖАЛУЙСТА, ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, ЧТО ЭТОТ ПРОДУКТ ДОСТУПЕН В ЭКОНОМИЧНОМ НАБОРЕ CVC! (5 листов) Я могу написать пропущенную гласную! (5 листов) Могу написать окончание

Предметы:

Акустика, Правописание, Письмо

Классы:

К — 1-й

Типы:

Занятия, Пакет самостоятельных работ, Рабочие листы

CCSS, RFK. 2043 9.0003 9.0003 9.0003 9.0003 9.0003 , RF.K.3a, L.K.2c, L.K.2d

Также включено в: СМЕШИВАНИЕ И СЕГМЕНТИРОВАНИЕ СЛОВ CVC ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ДЕТСКИЙ САД ФОНИЧЕСКИЕ ЦЕНТРЫ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ

by

ориентирован на науку о чтении и явно учит и укрепляет идентификацию букв, звуки букв, фонематическую осведомленность, почерк, слова CVC, сочетания, диграфы, бессмысленные слова, сегментацию фонем, беглость предложений и многое другое! Когда и где следует использовать эту папку? Папка No-Prep Reading Intervention идеально подходит для индивидуальных занятий, небольших групп чтения, парапрофессиональных групп, групп вмешательства уровня 2 и уровня 3, практики 9.0003

Предметы:

Английский язык, акустика, специальное образование

Классы:

K — 2-й

Типы:

Занятия, распечатки, рабочие листы

CCSS, RFK.b, RFK.0043 9.00043 9.00043. 1d, RF.K.2c, RF.K.2d, RF.K.3…

Также включено в: No Prep Intervention Binder BUNDLE ELA and MATH Дистанционное обучение

by

Joey Udovich

30,00 $

900,30 $

Если вам нужна помощь в организации занятий, не ищите дальше! Этот планировщик учителей выходит за рамки планов уроков. Он был создан, чтобы организовать практически все, чтобы ваш класс работал бесперебойно. Лучшая часть? Вы получаете БЕСПЛАТНЫЕ ОБНОВЛЕНИЯ НА ВСЕГДА! Да, ты читаешь это правильно. Это последний планировщик, который вам когда-либо придется покупать! ➤➤➤ НЕ ЗАБУДЬТЕ НАЖАТЬ КНОПКУ «ПРОСМОТР» ВЫШЕ, ЧТОБЫ УЗНАТЬ БЛИЖЕ! ______________________________________________________________________________⭐️ Вот краткий обзор

Объекты:

Вернуться в школу, управление в классе, для всех предметных областей

Оценки:

Prek — 12th

Типы:

Формы классных комнат, печатные изделия, профессиональные документы

на

Susan Jones

Это число чувственные занятия и игры идеально подходят для того, чтобы помочь учащимся детского сада и первоклассникам лучше узнать числа от 0 до 20. Учащиеся практикуются в упорядочивании чисел, сравнении чисел, построении чисел и выявлении различных способов составления чисел от 0 до 20. Что такое чувство числа? Чувство числа — это способность идентифицировать числа и осмысливать их. Мы хотим, чтобы наши ученики с раннего возраста могли определять различные величины и понимать, что означают эти цифры. В этом блоке студенты f

Предметы:

Математика, Цифры

Классы:

PreK — 1-й

Типы:

Занятия, игры, распечатки

CCSS:

, KCCB.5.A.A.5.A.A.3 K. , K.NBT.A.1, 1.NBT.A.1

by

The Candy Class

14,00 $

Вы ищете способы внедрить передовой опыт чтения в свой класс? Эти увлекательные сезонные отрывки для понимания прочитанного без подготовки — отличный инструмент, который поможет вашим учащимся развивать грамотность в течение года с темами зимы, весны, лета и осени. Это полностью декодируемые и целевые фонетические навыки. Они построены на строительных лесах и строятся друг на друге от одного прохода к другому. Они начинаются с отрывков для чтения CVC и продвигаются вверх. Обложка

Предметы:

Английский язык, акустика, чтение

Классы:

K — 2-й

Типы:

Пакет для самостоятельной работы, распечатки, рабочие листы

CCSS:

3

CCSS:

.3 .CC.A.2, K.NBT.A.1, 1.NBT.A.1, 1.NBT.B.2…

by

Веснушки первого класса

Обновление 10/2022: Настоящий рот теперь включено. Обновление от 07/2022: цветовая схема Boho теперь включена. Исследование чтения подтвердило, насколько важно для учащихся овладевать явными фонетическими навыками. Этот классный ресурс стоит места на стене! Здесь так много опций, что вы можете повесить то, что нужно вашей конкретной программе или последовательности. Варианты варьируются от базовых навыков фонетики в детском саду до продвинутых навыков, которые можно получить в третьем классе. Они также отлично подходят для классных комнат, где учащиеся нуждаются в поддержке.0003

Предметы:

Акустика, Чтение, Письмо

Классы:

К — 3

Виды:

Доска объявлений Идеи

СССС:

. 1К3.РФ. .3.3

на

Девочки Моффат

В этом весеннем наборе по математике и грамотности есть все, и он НЕ требует ПОДГОТОВКИ! Ресурсы в этом пакете разработаны в соответствии с Общими базовыми стандартами для детского сада, делая обучение УДОВОЛЬСТВЕННЫМ, практическим и интерактивным! Если вам нравится этот пакет, вам также могут понравиться другие наши пакеты БЕЗ ПОДГОТОВКИ:⭐️ЭКОНОМЬТЕ БОЛЬШУЮ С⭐️ ВЕСЬ ГОД Математика и грамотность БЕЗ ПОДГОТОВКИ Детский сад⭐️ День Святого Патрика БЕЗ ПОДГОТОВКИ Детский сад⭐️ Валентина БЕЗ ПОДГОТОВКИ (Детский сад)⭐️ Рождество БЕЗ ПОДГОТОВКИ ( Детский сад)⭐️ Осенняя математика и грамотность (Детский сад

Предметы:

Математика, Чтение, Весна

Классы:

Типы:

Центры, Печатные формы

Также включено в: All Year Math and Literacy NO PREP BUNDLE (Детский сад) Cat 9 0004 Winter

3 by Studio by 9

21,00 $

4,99 $

Эти забавные и привлекательные загадочные картинки с дифференцированным зрением идеально подходят для центров обучения грамоте, утренней работы, первоклассников, дистанционного обучения, заменителей и домашних заданий. Этот набор включает 14 уникальных картинок, по одной для каждого из следующих случаев/тем: «Снова в школу», «Осень», «Хэллоуин», «День Благодарения», «Рождество», «Зима», «День святого Валентина», «День Земли», «Пасха», «День святого Патрика», «День матери», «Конец года». Выпускной, Летняя пчела и Супергерой. Каждая из 14 загадочных картинок содержит 55 рабочих листов

Тема:

Весна, День Святого Патрика, словарь

Оценки:

К — 2 -й

Типы:

, Центры, печатные изделия

CCSS:

RF.K.3C

на

Преподавание в аудитории 6

15,99 $

ОРИГИНАЛЬНАЯ программа Параграф недели на TpT! Этот ежедневный подход к написанию абзацев идеально подходит для того, чтобы помочь вашим ученикам писать хорошие, основательные и подробные абзацы. Студенты будут писать один еженедельный абзац, уделяя особое внимание организации и формату самого абзаца. В этом 258-страничном файле содержится 36 недель написания подсказок (плюс 5 БОНУСНЫХ подсказок). Все подсказки ориентированы на учащихся, поэтому они не увязают в теме, а фокусируются на письме 9.0003

Предметы:

Творческое письмо, Английский язык, Письмо

Классы:

2–6

Типы:

Центры, Домашнее задание, Единичные планы

CCSS: 90.4, W.3, W.3. .5.3

Также включено в: Набор для написания абзаца недели и эссе месяца

by

Brooke Brown — Teach Outside the Box

Оригинальные контейнеры STEM® и STEAM Bins®***TOP 5 ALL TIME BEST -ПРОДАЖА РЕСУРСОВ НА TPT!***ВКЛЮЧАЕТ ПОЛНУЮ ВЕРСИЮ ДЛЯ STEAM, ИСПАНСКУЮ ВЕРСИЮ И ФРАНЦУЗСКУЮ ВЕРСИЮ!!!Хотите лично увидеть мои корзины STEM®?! Смотрите мою серию видеороликов STEM Bins 101 на YouTube! ★STEM BINS 101 VIDEO SERIESНажмите ниже, чтобы увидеть мои ответы на часто задаваемые вопросы о STEM Bins®: ★STEM BINS FAQSTEM Bins® и STEAM Bins для K-5-го класса — идеальное практическое игровое решение для:досрочно заканчивающих работу

Объекты:

Инжиниринг, математика, написание

Оценки:

Prek — 6th

Типы:

Действия, Центры

также включены в: Mega Bundle STEM. Учитель от Алины В.

100,00 $

19,00 $

⭐⭐⭐ ФЛЭШ-РАСПРОДАЖА ⭐⭐⭐Получите Mega Bundle от Decodable Readers Passages всего за 19 долларов! Спешите, время истекает! Ваши ученики могут практиковаться в чтении весело и увлекательно, используя эти декодируемые тексты. Наука чтения AlignedLow Требуется подготовка. Просто распечатайте и идите. Эти декодируемые отрывки помогут вашим ученикам практиковать фонетические модели, которым вы их учите. Идеально подходит для центров, домашних заданий, утренней работы и многого другого. Печатные и цифровые (Google Slides™) Идеально подходит для дошкольного детского сада, 1-й класс

Предметы:

Акустика, Чтение, Письмо

Классы:

К — 2-й

Виды:

Занятия, Центры, Печатные формы

CCSS, RF.K.3.K. .K.3c, RF.1.2c, RF.1.2d…

by

Мой друг-преподаватель

12,50 $

8,00 $

Bundle

Предложите своим ученикам попрактиковаться во всем, что связано с алфавитом, с помощью этого ОГРОМНОГО комплекта заданий по алфавиту. . Студенты будут работать над идентификацией букв, начальными звуками, формированием букв, различением строчных и прописных букв и многим другим. В этот пакет включены 4 различных типа рабочих листов, которые охватывают каждую букву алфавита. Всего включено 104 рабочих листа. Что включено: ♥ Рабочие листы по алфавиту — Работа с буквами ♥ Рабочие листы для начальных звуков — Раскрась по моему звуку ♥ Алфавит M

Предметы:

Английский язык искусства, Фоника, написание

Оценки:

Prek — K

Типы:

, печатные изготовления, рабочие листы

. Education to the Core услышал ваши призывы и разработал целый ресурс, посвященный основанным на фонетике действиям I SPY, обновленный и включающий 84 страницы с заданиями! навыки фокусировки. (Потребуется некоторое время и терпение, чтобы найти все изображения в каждом упражнении.) Только представьте, как тихо будет в вашем классе! Это такое увлекательное занятие, что ваши ученики будут б

Объекты:

Фоника, правописание, словарь

Оценки:

K — 2 -й

Типы:

Действия, печатные изготовления, рабочие листы

на

Patricia Pat Resources

— Полные предложения или Структура Senteng для ваших учеников? Если это так, вам понравится, как эти рабочие листы для построения предложений помогут вам научить писать полные предложения. ✏️ Многочисленные изображения в рабочем листе помогут вашим ученикам ПОНЯТЬ и ЗАПОМНИТЬ правильную структуру предложения. ✏️ Это ресурс без подготовки, который понравится даже неохотным писателям, плюс вы сэкономите много времени с помощью ТРЕХ дифференциаций и строительных лесов, сделанных за вас. ✏️ Эти практические рабочие листы будут

Предметы:

EFL — ESL — ELD, английский язык, специальное образование

Классы:

K — 2nd

Типы:

Центры, Домашнее обучение, Домашнее задание

9.040RI CCSS3: RF .1.1a, W.K.2, W.2.3, SL.1.5…

Также включено в: Центр написания предложений | Полные предложения | Структура предложения | Малые группы

по

Мой друг-учитель

13,50 $

10,00 $

Пакет

Это ОГРОМНЫЙ грамматический пакет со 152 рабочими листами, охватывающими имена нарицательные, имена собственные, прилагательные, глаголы действия, местоимения, множественное число, неправильные существительные, сложные слова, синонимы, антонимы, сокращения, омофоны, артикли, предлоги, предложения, знаки препинания, заглавные буквы. , союзы, запятые в ряду, запятые для прилагательных, притяжательные апострофы, простые/составные/сложные предложения и многое другое!Включенные пакеты:Грамматический пакет 1 – Существительные, прилагательные, глаголы и многое другое!Грамматический пакет 2

Тема:

Английский язык искусства, грамматика, написание

Оценки:

K — 2nd

Типы:

Центры, печатные изготовления, рабочие листы

на

Maria Gavin от Kinder Craze

. письма с этими трассировками и распечатайте рабочие листы для практики почерка по алфавиту. Этот набор включает в себя 2 рабочих листа для практики письма на каждую букву алфавита. 52 страницы алфавитного почерка представлены в традиционном рукописном стиле формирования букв. Для каждой буквы алфавита предусмотрены полные и полулистовые страницы для практики почерка. На всех страницах есть подробные инструкции по печати избранного письма. Жирный репр

Объекты:

Сбалансированная грамотность, английское языковое искусство, написание

Оценки:

Prek — 1st

Типы:

Центры, Flash Cards

на

. В наборе есть ВСЕ, что вам нужно, чтобы помочь вашим ученикам в саморегуляции, и он станет настоящим прорывом в управлении вашим классом. Это идеальный инструмент социально-эмоционального обучения и управления поведением, необходимый для каждого начального класса! Вы сможете создать красивое место для отдыха, где учащиеся смогут самостоятельно использовать стратегии выживания, чтобы контролировать свои сильные чувства и управлять ими. В то же время сокращая перерывы в работе в классе, облегчая вам задачу

Предметы:

Управление классом, школьное консультирование, социально-эмоциональное обучение

Классы:

K — 6th

Типы:

Занятия, Плакаты, Рабочие листы

, SEL Уроки, игры и декор

по

Мисс Жираф

Секретные слова CVC забава, когда учащиеся берут карточку и смотрят на начальные звуки картинок, чтобы выяснить секретное слово CVC! 50 слов включены! Отличная фонетика (короткие гласные) тренируется И буквенные звуки тренируются одновременно! 🙂 Для каждого короткого гласного звука (короткие a, e, i, o и u) включено 10 слов, всего 50 слов. Практика звуков букв алфавита И удивительная практика фонетики в 1 упражнении! Это так весело! Они отлично подходят для отработки начальных звуков и чтения коротких гласных 9.0003

Предметы:

Английский язык, акустика, чтение

Классы:

K — 2nd

Типы:

Занятия, Центры, Печатные формы

by

Классная комната без помех

Этот пакет заданий «Карты и глобусы» получил более 8400 ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОТЗЫВов и является оригинальным и самым высоко оцененным набором заданий проекта «Я на карте» на TpT. Обучайте навыкам работы с картами с помощью поделок, печатных рабочих листов, флип-книг и мастерства вложенного круга по книге Джоан Суини. практиковать социальные науки, географию и картографические навыки. Легко различать

Предметы:

Английский язык, география, чтение

Классы:

1–5

Типы:

Идеи для доски объявлений, комплект для самостоятельной работы, распечатки

– mathsathome.

com

Видеоурок: Как найти модуль и аргумент комплексного числа

Что такое модуль комплексного числа?

Модуль — это расстояние комплексного числа от начала координат на диаграмме Аргана. Для любого комплексного числа z = a + bi модуль вычисляется по теореме Пифагора по формуле |z| = √ (а ² + б ² ).

Комплексное число образует прямоугольный треугольник на комплексной плоскости, как показано ниже.

Модуль равен длине вектора от начала координат до точки комплексного числа. То есть он образует гипотенузу прямоугольного треугольника с ‘a’ и ‘b’ , образующими две более короткие стороны.

Модуль (также известный как величина или абсолютное значение) комплексного числа — это скалярное значение, представляющее расстояние комплексного числа от начала координат на комплексной плоскости. Это неотрицательное действительное число, поскольку оно представляет собой расстояние.

Формула модуля комплексного числа

Как найти модуль комплексного числа

Чтобы вычислить модуль комплексного числа z = a + bi, используйте формулу |z| = √ (а ² + b ² ). Например, модуль z = 3 + 4i равен |z| = √ (3 ² + 4 ² ) . Упрощая это, модуль оказывается |z| = √ 25, что можно вычислить как |z| = 5.  

Пример: Найдите модуль .

• ‘а’ — размер действительной части числа. Следовательно, a = 3.
• ‘b’ — это размер мнимой части числа. Поэтому b = 4.

становится .

Оценка этого и так далее.

Размер модуля .

---

Чтобы пошагово вычислить модуль комплексного числа:

1. Возведите в квадрат размер действительной части комплексного числа.
2. Квадрат размера мнимой части комплексного числа.
3. Сложите два результата вместе.
4. Квадратный корень этого результата.

Например: Найдите модуль z = √ 3 + i.

Шаг 1. Возведите в квадрат размер действительной части комплексного числа

Действительная часть   — это часть без i .

То есть действительная часть равна √ 3.

Возводя это в квадрат, .

Шаг 2. Возведение в квадрат размера мнимой части комплексного числа

Мнимая часть это часть с i .

То есть мнимая часть как раз i , что равно 1 i .

 Размер мнимой части равен 1.

Возведение в квадрат, .

Шаг 3. Сложите два результата вместе

3 + 1 = 4

Шаг 4. Извлеките квадратный корень из этого результата

и, таким образом, модуль равен .

---

В следующей таблице приведены некоторые примеры вычисления модуля комплексного числа:

Complex Number	Modulus Calculation	Modulus
z = 1 + 3i	√ (1 2 + 3 2 )	√ 10
z = 1 + i	√ (1 2 + 1 2 )	√ 2
z = -1 + 5i	√ ( (-1) 2 + 5 2 )	√
z = i	√ (1 2 )	√ 1
z = -2i	√ ( (-2) 2 )	√ 2

Как используется модуль комплексного числа?

Некоторые из наиболее распространенных применений модуля в математике, физике и технике включают:

1. Вычисление расстояния от начала координат: Модуль комплексного числа — это расстояние числа от начала координат на комплексной плоскости. Его можно использовать для вычисления расстояния между двумя комплексными числами.
2. Запись комплексного числа в полярной форме: модуль комплексного числа используется для выражения числа в полярной форме, где модуль представляет собой величину или радиус, а аргумент представляет собой угол, который комплексное число образует с положительной x- ось.
3. Запись комплексного числа в форме модуль-аргумент: модуль и аргумент комплексного числа можно использовать для представления комплексного числа в форме модуль-аргумент.
4. Комплексная амплитуда: В обработке сигналов и физике модуль комплексного числа может использоваться для представления амплитуды сигнала.
5. Обратные тригонометрические функции: модуль комплексного числа используется при нахождении обратных тригонометрических функций комплексных чисел, что полезно в физике и технике.
6. Определение устойчивости системы: В системах управления модуль комплексного числа может использоваться для определения устойчивости системы.

Свойства модуля комплексного числа

Ниже приведены некоторые ключевые свойства модуля комплексного числа:

1. Модуль комплексного числа представляет собой неотрицательное действительное число. Это означает, что модуль всегда будет больше или равен нулю. То есть, .
2. Если модуль комплексного числа равен нулю, то комплексное число равно z = 0.
3. Модуль коммутативен для умножения и деления. То есть и .
4. Модуль комплексного числа не меняется относительно вращения комплексной плоскости. Это означает, что модуль не меняется при вращении комплексного числа в комплексной плоскости.
5. Модуль комплексного числа равен модулю сопряженного ему числа. Это означает, что модуль a + bi такой же, как модуль a – bi. То есть и .
6. Неравенство треугольника: модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству треугольника, которое гласит, что сумма абсолютных значений любых двух комплексных чисел должна быть больше или равна абсолютному значению их суммы. То есть, .
7. Модуль комплексного числа, возведенного в степень, равен модулю комплексного числа, возведенного в эту степень. То есть, .
8. Квадрат модуля комплексного числа равен разности между комплексным числом и сопряженным комплексным числом. То есть, .
9. Если модуль комплексного числа равен 1, то есть |z|=1, то оно называется унимодулярным.

Что такое аргумент комплексного числа?

Аргумент ( также известный как фаза или амплитуда ) комплексного числа представляет собой угол, который вектор, представляющий число, составляет с положительной действительной осью в комплексной плоскости. Обычно его обозначают греческой буквой «фи» (φ), измеряемой в радианах между интервалом — π и π .

Аргумент комплексного числа можно для краткости записать как arg(z).

Аргумент всегда отсчитывается от положительной действительной оси, которая является направлением вправо.

Аргумент комплексного числа является периодическим с периодом 2 π . Поэтому общий аргумент комплексного числа представлен как θ + 2 π k.

Главный аргумент комплексного числа определяется как угол, отсчитываемый от положительной действительной оси, принимающий значения в интервале – π ≤ θ ≤ π .

Углы, измеренные от положительной вещественной оси в направлении против часовой стрелки, положительны.

Углы, измеренные от положительной вещественной оси по часовой стрелке, отрицательны.

Положительный угол аргументаОтрицательный угол аргумента

Как найти аргумент комплексного числа

Чтобы вычислить аргумент комплексного числа z=a+bi:

• Сначала вычислите θ=tan ^-1 (b /а).
• Если комплексное число находится в квадранте 1, аргумент равен θ.
• Если комплексное число находится в квадранте 2, аргумент равен π+θ.
• Если комплексное число находится в квадранте 3, аргумент равен θ-π.
• Если комплексное число находится в квадранте 4, аргумент равен θ.

Например, найдите аргумент .

Шаг 1. Сначала вычислите θ=tan ^-1 ( ^b / _a )

‘a’ – размер действительной части числа, а ‘b ’ – размер мнимой части числа.

В комплексном номере:

Поэтому становится и так, .

Шаг 2. Комплексное число находится в квадранте 1 и аргумент равен θ

Поскольку комплексное число находится в квадранте 1 диаграммы Аргана, аргумент равен θ.

Следовательно, .

---

Пример вычисления аргумента комплексного числа в третьем квадранте:

Комплексное число находится в третьем квадранте, как показано на диаграмме Аргана ниже.

Аргумент показан углом θ, который представляет собой отрицательный угол, отсчитываемый по часовой стрелке от положительной вещественной оси.

Шаг 1. Сначала вычислите θ=tan ^-1 ( ^b / _a )

‘a’ размер действительной части числа и 0561 ’b ’ — размер мнимой части числа.

В комплексном номере

Поэтому становится и так, .

Шаг 2. Комплексное число находится в квадранте 3, а аргумент равен θ – π

Аргументом является ближайший угол к направлению комплексного числа, отсчитываемый от положительной действительной оси (от верно).

Поскольку комплексное число находится в третьем квадранте, аргумент рассчитывается как θ – № .

и так далее, .

Поэтому аргумент задается .

Аргумент комплексного числа отрицателен, если ближайший угол к направлению комплексного числа от положительной вещественной оси по часовой стрелке.

Вот еще несколько примеров вычисления аргумента комплексного числа.

Аргумент вычисляется по следующим правилам:

Для комплексного числа угол .

• Если комплексное число находится в квадранте 1, аргумент равен θ.
• Если комплексное число находится в квадранте 2, аргумент равен π+θ.
• Если комплексное число находится в квадранте 3, аргумент равен θ-π.
• Если комплексное число находится в квадранте 4, аргумент равен θ.

Complex Number	Quadrant	θ Calculation	Argument Calculation
-1-i	3	arctan(-1/-1) = π /4	π /4- π = -3 π /4
1-√3i	4
1-√3i	4
1-√3i	4
1-√3i	4
1-I /3	– π /3
3-√3i	4	arctan(-√3/3) = – π /6	– π /6
1+√2i	1	арктангенс (2/1) = 0,955	0,955
-1+i	2	арктангенс (1/-1 арктангенс) = 1/-10574 π /4	-π /4 + π = 3 π /4

Вот некоторые примеры

Вот примера

. Вот некоторые примеры из комплекса с новой новой с новой новой с новой новой с новой новой с новой новой с новой новой с новой новой с новой новой с нолью

. имеет аргумент π /2

z=- i имеет аргумент – π /2

Эти аргументы нельзя вычислить с помощью арктангенса, так как их действительная составляющая равна нулю.

Любое комплексное число, не имеющее вещественной части, будет лежать на мнимой оси.

Если это положительное комплексное число, то оно будет располагаться на мнимой оси над действительной осью, поэтому его аргумент будет равен π /2.

Если это отрицательное комплексное число, то оно будет располагаться на мнимой оси ниже действительной оси, поэтому его аргумент будет равен -π /2.

Модуль и аргумент комплексного числа, записанного в экспоненциальной форме

Для комплексного числа, записанного в экспоненциальной форме как z = Re ^{i φ} , R — модуль, а φ — аргумент.