Высшая математика Т3
Высшая математика Т3
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 1.2. Общие понятия 1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения 1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка 1.2.3. Задача Коши 1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка 1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка 1.2.6. Поле направлений 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка 1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы 1.3.2. Уравнения с разделенными переменными 1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными 1.3.4. Однородные уравнения 1.3.5. Линейное уравнение 1.3.6. Уравнение Бернулли 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 1.5. Метрическое пространство 1.  5.1. Понятие метрического пространства1.5.2. Полное метрическое пространство 1.5.3. Принцип сжатых отображений 1.5.4. Приближенное значение корня функции 1.5.5. Метод Ньютона 1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 1.9. Особые решения 1.10. Огибающая семейства кривых 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка 1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения 1.15.3. Определитель Вронского 1.15.4. Структура общего решения 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 1.  16.1. Методы решения1.16.2. Уравнение Эйлера 1.17. Метод вариации постоянных 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 1.18.1. Методы нахождения частных решений 1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 1.25. Элементы теории устойчивости 1.26. Классификация точек покоя Глава 2. Кратные интегралы 2.1. Введение 2.2. Сведения из теории меры Жордана 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным 2.  5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции2.6. Замена переменных. Простейший случай 2.7. Замена переменных. Общий случай 2.8. Полярная система координат в плоскости 2.9. Полярная система координат в пространстве 2.10. Цилиндрические координаты 2.11. Площадь поверхности 2.12. Координаты центра масс 2.13. Несобственные интегралы 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии Глава 3. Векторный анализ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.1. Поле вектора 3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода 3.4. Поле потенциала 3.4.1. Понятие потенциала и его свойства 3.4.2. Доказательство свойств потенциала 3.4.3. Ротор вектора 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 3.  6. Ориентация плоской области3.7. Формула Грина 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 3.9. Ориентация поверхности 3.10. Система координат и ориентация поверхности 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского 3.14. Соленоидальное поле 3.15. Формула Стокса Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 4.1. Тригонометрические ряды 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 4.3. Ряд Фурье 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 4.6. Коэффициенты Фурье 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 4.8. Пространство функций со скалярным произведением 4.9. Ортогональная система функций 4.10. Полнота тригонометрических функций 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье 4.14.  Примеры4.15. Приближение интеграла Фурье 4.16. Сумма Фейера 4.17. Полнота систем функций в С и L2’ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье 5.1. Температура тела 5.2. Задача Дирихле 5.3. Задача Дирихле для круга 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 5.7. Малые колебания струны 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 5.9. Колебание круглой мембраны 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 5.12. Применение преобразований Фурье Глава 6. Теория функций комплексного переменного 6.1. Понятие функции комплексного переменного 6.2. Производная функция комплексного переменного 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 6.4. Гармонические функции 6.5. Обратная функция 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 6.7. Формула Коши 6.  8. Интеграл типа Коши6.9. Степенной ряд 6.10. Ряд Лорана 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты 6.12. Классификация особых точек на бесконечности 6.13. Теорема о вычетах 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция Глава 7. Операционное исчисление 7.1. Изображение Лапласа 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 7.3. Приложения операционного исчисления 7.3.1. Операторное уравнение 7.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений 7.3.3. Вычисление интегралов Глава 8. Обобщенные функции 8.1. Понятие обобщенной функции 8.2. Операции над обобщенными функциями 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций |
10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. — Решение задач на косинус и синус разности аргументов.
Комментарии преподавателяВыпишем 2 формулы:
— косинус разности аргументов:
,
то есть косинус разности аргументов – это сумма произведений косинусов и синусов этих аргументов.
— синус разности аргументов:
,
т. е. синус разности аргументов – это разность произведений синуса α на косинус β и косинуса α на синус β.
В задачах важно понимать, что принимать за α и β.
Задача 1. Упростить.
Решение:
Принимаем 5x за α, т. е. 5xα, а 3xβ, и используем формулу синус разности аргументов.
Задача 2. Упростить.
Решение:
Подходит формула косинуса разности аргументов, но у нас разность произведений, поэтому преобразуем данное выражение, воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус:
=
==
Мы не только упростили выражение, но и вычислили его.
Задача 3.Упростить выражение .
Решение:
=
Воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус, получаем:
==
=
Т.к.
, то
==
===
=
Вычислительные задачи по теме урока
Вычислить:
Решение:
Воспользуемся формулой косинус разности аргументов.
===0
Вычислить:
Решение:
Воспользуемся формулой синус разности аргументов.
==
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача 4.
Дано
Найти: a) и
Решение:
а) Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис.1):
Рис. 1. Тригонометрическая окружность
Числом t является длина выделенной дуги.
а) =
Все величины, кроменам известны.
======
Недостающее число найдено.
==,
Т. е.
б) Сравнить поможет , если он отрицательный, число находится во второй четверти, если положительный – в первой (справа от (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Все величины нам известны:
==
=
Это величина отрицательная, следовательно, и косинус отрицательный (расположен во второй четверти):
t.
Иногда приходится применять две формулы сразу в одной задаче.
Задача 5.
Решить уравнение:.
Решение:
Применяем свойство чётности функции косинуса и свойство нечётности функции синуса:
==
Получили простейшее тригонометрическое уравнение.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Для угла t =x+45первое множество решений даёт точка к1 (), второе множество
решений — к2 () (рис.
3).
n
n
Мы решили уравнение и нашли все его решения, их бесчисленное множество.
На данном уроке были рассмотрены формулы косинуса и синуса разности аргументов и решены типовые задачи с применением данных формул.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-na-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumenta
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c387dadb-430f-4364-9805-9a214e982216/tgxgrafik.png
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c7666ec9-17a6-45cf-a1c8-0b88eefab66a/cosx1.png
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/158e09ee-2a8c-4474-bc65-9faff83108a3/sinx.png
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-4-preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenij/19-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumentov/26
Как преобразовать Sin в Cos? Где они используются? – Belgeard.
comТригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольника.
Слово Тригонометрия происходит от греческих слов
Тригонометрические отношения широко используются для нахождения углов и недостающих сторон треугольников.
Важные тригонометрические функцииТригонометрические отношения треугольника также называются тригонометрическими функциями.
Три важные тригонометрические функции — это синус, косинус и тангенс. Они также известны как sine cos и tan.
Тригонометрические функцииРассмотрим прямоугольный треугольник, в котором самая длинная сторона называется гипотенузой, вертикальная сторона называется противоположной или перпендикулярной, а горизонтальная сторона называется прилежащей или основанием.
Шесть тригонометрических функций Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.
Синус (Sin) : Противоположный/ Гипотенуза ( p/h) Косинус (Cos): Противоположный/ Смежный ( p/b) Касательная (Tan): Прилегающий/ Гипотенуза ( b/h) Косеканс ( Cosec): Гипотенуза/Противоположная (h/p) Секанс (Sec): Гипотенуза/Смежная (h/b) Котангенс (Cot): Смежная/Противоположная (b/p) Как преобразовать Sin в Cos?
Sin (градус) = Cos (90° – градус)
Cos (градус) = Sin (90° – градус)
Ежедневное использование тригонометрииВы когда-нибудь изучали тригонометрию, а потом удивлялись, почему мы изучить это? какая польза от тригонометрии в повседневной жизни?
Что ж, давайте поможем вам понять эту тригонометрию в повседневной жизни.
Тригонометрия напрямую не используется в нашей повседневной жизни. Но есть разные вещи, которые мы любим и которые основаны на тригонометрических функциях.
Давайте узнаем больше?
Измерение высоты гор и зданий Тригонометрические функции можно использовать для измерения высоты зданий или гор.
Если вы знаете расстояние между тем местом, где вас наблюдают, и угол возвышения, вы можете легко найти высоту здания.
ВидеоигрыВы любите играть в видеоигры? Тем более, как и классический Марио. Ну а Марио перепрыгивает через препятствия с помощью тригонометрических функций.
Игровая индустрия использует различные тригонометрические функции для разработки игр. i
Sound IndustrySound Industry также использовала различные тригонометрические функции для измерения звуковых волн и частоты.
СтроительствоТригонометрия широко используется в строительстве. Используется при выполнении параллельных стен, перпендикуляров, уклонов крыш, измерении высоты зданий и т. д.
Летная техникаБорттехника использует тригонометрию для измерения скорости, направления расстояния, а также скорости и направления ветра.
Физика Тригонометрия используется для нахождения компонентов векторов, волн, как физических, так и электромагнитных колебаний и т.
д.
Тригонометрия находит широкое применение даже в движении снарядов.
ПолицияПолиция также использует тригонометрические вычисления, чтобы определить, как произошла автомобильная авария, или узнать угол падения пуль, или узнать, как падает объект.
Морские биологиОни также используют тригонометрию для измерения степени освещенности на разных землях, которая влияет на способность водорослей к фотосинтезу.
Они также используют тригонометрию для нахождения расстояния между небесными телами и т. д.
ЗаключениеТригонометрия — неотъемлемая часть математики. Он используется в разных областях. Игры — очень важный из них.
Я надеюсь, что благодаря этой статье вы лучше поняли тригонометрию.
11.8 Законы синусов и косинусов — алгебра среднего уровня (преобразование в MathJax)
Тригонометрия прямого угла обычно ограничивается треугольниками, содержащими прямой угол.
{\ circ}. [ /латекс]
Закон синусов — очень полезный закон с одной оговоркой: иногда можно иметь два треугольника (один больший и один меньший), которые дают одинаковый результат. Это называется неоднозначным случаем и описано далее в этом разделе.
Есть также ошибки учебника, когда данные, приведенные для треугольника, невозможно создать. Например:
Может ли существовать следующий треугольник?
Если такой треугольник может существовать, то отношение синусов углов к противолежащим сторонам должно равняться. 9{\circ}}\]
Сокращение этого дает:
\[\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 дюйма} = \hspace{0,25 дюйма}\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 in} = \hspace{0,25in} \dfrac{10}{0,866}\]
Проверяя это, мы обнаруживаем, что 12 = 12 ≠ 11,55.
Это означает, что этот треугольник не может существовать.
Найдите правильную длину стороны, противоположной 120°, в треугольнике, показанном ниже.
Для этого треугольника соотношение, которое нужно решить, равно: dfrac {6} {\ text {sin} 30 ^ {\ circ}} \ hspace {0,25 дюйма} = \ hspace {0,25 дюйма} \ dfrac {x} {\ text {sin} 120 ^ {\ circ}} \] 9{\circ}
\end{массив}\]
Неоднозначное дело
При наличии правильных данных можно создать два разных треугольника.