Преобразование синуса в косинус: Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

Высшая математика Т3

Высшая математика Т3
  

Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).

Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — 512 с.

Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и «Дифференциальное и интегральное исчисление» (том 2) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Книга содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления.

Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению
1.2. Общие понятия
1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
1.2.3. Задача Коши
1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка
1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
1.2.6. Поле направлений
1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы
1.3.2. Уравнения с разделенными переменными
1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными
1.3.4. Однородные уравнения
1.3.5. Линейное уравнение
1.3.6. Уравнение Бернулли
1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
1.5. Метрическое пространство
1. 5.1. Понятие метрического пространства
1.5.2. Полное метрическое пространство
1.5.3. Принцип сжатых отображений
1.5.4. Приближенное значение корня функции
1.5.5. Метод Ньютона
1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка
1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка
1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
1.9. Особые решения
1.10. Огибающая семейства кривых
1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка
1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка
1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения
1.15. Линейные уравнения высшего порядка
1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка
1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения
1.15.3. Определитель Вронского
1.15.4. Структура общего решения
1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
1. 16.1. Методы решения
1.16.2. Уравнение Эйлера
1.17. Метод вариации постоянных
1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения
1.18.1. Методы нахождения частных решений
1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины
1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство
1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений
1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению
1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
1.25. Элементы теории устойчивости
1.26. Классификация точек покоя
Глава 2. Кратные интегралы
2.1. Введение
2.2. Сведения из теории меры Жордана
2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования
2.4. Сведение кратного интеграла к повторным
2. 5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции
2.6. Замена переменных. Простейший случай
2.7. Замена переменных. Общий случай
2.8. Полярная система координат в плоскости
2.9. Полярная система координат в пространстве
2.10. Цилиндрические координаты
2.11. Площадь поверхности
2.12. Координаты центра масс
2.13. Несобственные интегралы
2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии
2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Глава 3. Векторный анализ
3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая
3.2. Криволинейный интеграл первого рода
3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.1. Поле вектора
3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода
3.4. Поле потенциала
3.4.1. Понятие потенциала и его свойства
3.4.2. Доказательство свойств потенциала
3.4.3. Ротор вектора
3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
3. 6. Ориентация плоской области
3.7. Формула Грина
3.8. Интеграл по поверхности первого рода
3.9. Ориентация поверхности
3.10. Система координат и ориентация поверхности
3.11. Интеграл по ориентированной плоской области
3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность
3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского
3.14. Соленоидальное поле
3.15. Формула Стокса
Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
4.1. Тригонометрические ряды
4.2. Сходимость тригонометрических рядов
4.3. Ряд Фурье
4.4. Признаки сходимости рядов Фурье
4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций
4.6. Коэффициенты Фурье
4.7. Оценка коэффициентов Фурье
4.8. Пространство функций со скалярным произведением
4.9. Ортогональная система функций
4.10. Полнота тригонометрических функций
4.11. Комплексная форма ряда Фурье
4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье
4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье
4.14. Примеры
4.15. Приближение интеграла Фурье
4.16. Сумма Фейера
4.17. Полнота систем функций в С и L2’
4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье
Глава 5. Уравнения математической физики
5.1. Температура тела
5.2. Задача Дирихле
5.3. Задача Дирихле для круга
5.4. Задача Дирихле для полуплоскости
5.5. Уравнение теплопроводности в стержне
5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня
5.7. Малые колебания струны
5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера
5.9. Колебание круглой мембраны
5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля
5.11. Интеграл энергии (Дирихле)
5.12. Применение преобразований Фурье
Глава 6. Теория функций комплексного переменного
6.1. Понятие функции комплексного переменного
6.2. Производная функция комплексного переменного
6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)
6.4. Гармонические функции
6.5. Обратная функция
6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
6.7. Формула Коши
6.
8. Интеграл типа Коши
6.9. Степенной ряд
6.10. Ряд Лорана
6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты
6.12. Классификация особых точек на бесконечности
6.13. Теорема о вычетах
6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция
Глава 7. Операционное исчисление
7.1. Изображение Лапласа
7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений
7.3. Приложения операционного исчисления
7.3.1. Операторное уравнение
7.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений
7.3.3. Вычисление интегралов
Глава 8. Обобщенные функции
8.1. Понятие обобщенной функции
8.2. Операции над обобщенными функциями
8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций

10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. — Решение задач на косинус и синус разности аргументов.

Комментарии преподавателя

Вы­пи­шем 2 фор­му­лы:

— ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов:

,

то есть ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов – это сумма про­из­ве­де­ний ко­си­ну­сов и си­ну­сов этих ар­гу­мен­тов.

— синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов:

,

т. е. синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов – это раз­ность про­из­ве­де­ний си­ну­са α на ко­си­нус β и ко­си­ну­са α на синус β.

В за­да­чах важно по­ни­мать, что при­ни­мать за α и β.

За­да­ча 1Упро­стить.

Ре­ше­ние:

При­ни­ма­ем 5x за α, т. е. 5xα, а 3xβ, и ис­поль­зу­ем фор­му­лу синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

За­да­ча 2. Упро­стить.

Ре­ше­ние:

Под­хо­дит фор­му­ла ко­си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов, но у нас раз­ность про­из­ве­де­ний, по­это­му пре­об­ра­зу­ем дан­ное вы­ра­же­ние, вос­поль­зо­вав­шись свой­ством чёт­но­сти функ­ции ко­си­нус и свой­ством нечёт­но­сти функ­ции синус:

=

==

Мы не толь­ко упро­сти­ли вы­ра­же­ние, но и вы­чис­ли­ли его.

За­да­ча 3.Упро­стить вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние:

=

Вос­поль­зо­вав­шись свой­ством чёт­но­сти функ­ции ко­си­нус и свой­ством нечёт­но­сти  функ­ции синус, по­лу­ча­ем:

==

=

Т.к. 

        , то

==

===

=

Вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи по теме урока

Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

===0

Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

==

Рас­смот­рим более слож­ную за­да­чу.

За­да­ча 4.

Дано

Найти: a) и 

Ре­ше­ние:

а) Рас­смот­рим три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (рис.1):

Рис. 1. Три­го­но­мет­ри­че­ская окруж­ность

Чис­лом t яв­ля­ет­ся длина вы­де­лен­ной дуги.

а) =

Все ве­ли­чи­ны, кроменам из­вест­ны.

======

Недо­ста­ю­щее число най­де­но.

 ==,

Т. е. 

б) Срав­нить по­мо­жет , если он от­ри­ца­тель­ный, число на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, если по­ло­жи­тель­ный – в пер­вой (спра­ва от  (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Все ве­ли­чи­ны нам из­вест­ны:

==

=

Это ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная, сле­до­ва­тель­но, и ко­си­нус от­ри­ца­тель­ный (рас­по­ло­жен во вто­рой чет­вер­ти):

t.

Ино­гда при­хо­дит­ся при­ме­нять две фор­му­лы сразу в одной за­да­че.

За­да­ча 5.

Ре­шить урав­не­ние:.

Ре­ше­ние:

При­ме­ня­ем свой­ство чёт­но­сти функ­ции ко­си­ну­са и свой­ство нечёт­но­сти функ­ции си­ну­са:

==

По­лу­чи­ли про­стей­шее три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние.

 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для угла t =x+45пер­вое мно­же­ство ре­ше­ний даёт точка к1 (), вто­рое мно­же­ство

ре­ше­ний — к2 () (рис. 3).

      n

            n

Мы ре­ши­ли урав­не­ние и нашли все его ре­ше­ния, их бес­чис­лен­ное мно­же­ство.

На дан­ном уроке были рас­смот­ре­ны фор­му­лы ко­си­ну­са и си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов и ре­ше­ны ти­по­вые за­да­чи с при­ме­не­ни­ем дан­ных фор­мул.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-na-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumenta

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c387dadb-430f-4364-9805-9a214e982216/tgxgrafik.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c7666ec9-17a6-45cf-a1c8-0b88eefab66a/cosx1.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/158e09ee-2a8c-4474-bc65-9faff83108a3/sinx.png

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-4-preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenij/19-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumentov/26

Как преобразовать Sin в Cos? Где они используются? – Belgeard.

com

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольника.

Слово Тригонометрия происходит от греческих слов

trigonon и metron . Что означает треугольник и меру соответственно.

Тригонометрические отношения широко используются для нахождения углов и недостающих сторон треугольников.

Важные тригонометрические функции

Тригонометрические отношения треугольника также называются тригонометрическими функциями.

Три важные тригонометрические функции — это синус, косинус и тангенс. Они также известны как sine cos и tan.

Тригонометрические функции

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором самая длинная сторона называется гипотенузой, вертикальная сторона называется противоположной или перпендикулярной, а горизонтальная сторона называется прилежащей или основанием.

Шесть тригонометрических функций

Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.

Формула для расчета

Синус (Sin) : Противоположный/ Гипотенуза ( p/h) Косинус (Cos): Противоположный/ Смежный ( p/b) Касательная (Tan): Прилегающий/ Гипотенуза ( b/h) Косеканс ( Cosec): Гипотенуза/Противоположная (h/p) Секанс (Sec): Гипотенуза/Смежная (h/b) Котангенс (Cot): Смежная/Противоположная (b/p) Как преобразовать Sin в Cos?

Sin (градус) = Cos (90° – градус)

Cos (градус) = Sin (90° – градус)

Ежедневное использование тригонометрии

Вы когда-нибудь изучали тригонометрию, а потом удивлялись, почему мы изучить это? какая польза от тригонометрии в повседневной жизни?

Что ж, давайте поможем вам понять эту тригонометрию в повседневной жизни.

Тригонометрия напрямую не используется в нашей повседневной жизни. Но есть разные вещи, которые мы любим и которые основаны на тригонометрических функциях.

Давайте узнаем больше?

Измерение высоты гор и зданий

Тригонометрические функции можно использовать для измерения высоты зданий или гор.

Если вы знаете расстояние между тем местом, где вас наблюдают, и угол возвышения, вы можете легко найти высоту здания.

Видеоигры

Вы любите играть в видеоигры? Тем более, как и классический Марио. Ну а Марио перепрыгивает через препятствия с помощью тригонометрических функций.

Игровая индустрия использует различные тригонометрические функции для разработки игр. i

Sound Industry

Sound Industry также использовала различные тригонометрические функции для измерения звуковых волн и частоты.

Строительство

Тригонометрия широко используется в строительстве. Используется при выполнении параллельных стен, перпендикуляров, уклонов крыш, измерении высоты зданий и т. д.

Летная техника

Борттехника использует тригонометрию для измерения скорости, направления расстояния, а также скорости и направления ветра.

Физика

Тригонометрия используется для нахождения компонентов векторов, волн, как физических, так и электромагнитных колебаний и т. д.

Тригонометрия находит широкое применение даже в движении снарядов.

Полиция

Полиция также использует тригонометрические вычисления, чтобы определить, как произошла автомобильная авария, или узнать угол падения пуль, или узнать, как падает объект.

Морские биологи

Они также используют тригонометрию для измерения степени освещенности на разных землях, которая влияет на способность водорослей к фотосинтезу.

Они также используют тригонометрию для нахождения расстояния между небесными телами и т. д.

Заключение

Тригонометрия — неотъемлемая часть математики. Он используется в разных областях. Игры — очень важный из них.

Я надеюсь, что благодаря этой статье вы лучше поняли тригонометрию.

11.8 Законы синусов и косинусов — алгебра среднего уровня (преобразование в MathJax)

Тригонометрия прямого угла обычно ограничивается треугольниками, содержащими прямой угол. {\ circ}. [ /латекс]

Закон синусов — очень полезный закон с одной оговоркой: иногда можно иметь два треугольника (один больший и один меньший), которые дают одинаковый результат. Это называется неоднозначным случаем и описано далее в этом разделе.

Есть также ошибки учебника, когда данные, приведенные для треугольника, невозможно создать. Например:

Может ли существовать следующий треугольник?

Если такой треугольник может существовать, то отношение синусов углов к противолежащим сторонам должно равняться. 9{\circ}}\]

Сокращение этого дает:

\[\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 дюйма} = \hspace{0,25 дюйма}\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 in} = \hspace{0,25in} \dfrac{10}{0,866}\]

Проверяя это, мы обнаруживаем, что 12 = 12 ≠ 11,55.

Это означает, что этот треугольник не может существовать.

Найдите правильную длину стороны, противоположной 120°, в треугольнике, показанном ниже.

Для этого треугольника соотношение, которое нужно решить, равно: dfrac {6} {\ text {sin} 30 ^ {\ circ}} \ hspace {0,25 дюйма} = \ hspace {0,25 дюйма} \ dfrac {x} {\ text {sin} 120 ^ {\ circ}} \] 9{\circ}
\end{массив}\]

Неоднозначное дело

При наличии правильных данных можно создать два разных треугольника.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *