Преобразование выражений 7 класс примеры: Макарычев 7. Преобразование выражений

Макарычев 7. Преобразование выражений

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке. Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — М.: Просвещение (2020). ГЛАВА I учебника. § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ.  (4. Свойства действий над числами. 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений. Упражнения №№ 70 — 110. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 223 — 232 к параграфу 2)

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

4. Свойства действий над числами

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

ГДЗ Упр. 70 — 84  ГДЗ Упр. 85 — 110

4. Свойства действий над числами

Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует:

Пример 1. Вычислим сумму 1,23 + 13,5 + 4,27.

⇒ Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим 1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует:

Пример 2. Найдём значение произведения 1,8 • 0,25 • 64 • 0,5.

⇒ Объединив первый множитель с четвёртым, а второй – с третьим, получим 1,8 • 0,25 • 64 • 0,5 = (1,8 • 0,5) • (0,25 • 64) = 0,9 • 16 = 14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел а, b, с и d верно равенство а(b + с + d) = аb + ас + ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому: а – b = а + (–b).

Это позволяет числовое выражение вида а – b считать суммой чисел а и –b, числовое выражение вида а + b – с – d считать суммой чисел a, b, –с, –d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3. Найдём значение выражения 3,27 – 6,5 – 2,5 + 1,73.

⇒ Это выражение является суммой чисел 3,27, –6,5, –2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим 3,27 – 6,5 – 2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (–6,5 – 2,5) = 5 + (–9) = –4.

Пример 4. Вычислим произведение 36 • (1/4 – 5/18).

⇒ Множитель 1/4 – 5/18 можно рассматривать как сумму чисел 1/4 и –5/18. Используя распределительное свойство умножения, получим

Упражнения 70-84

Ответы на Упражнения №№ 70 — 84

 

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдём значения выражений 3 (х + у) и 3х + 3у при х = 5, у = 4:
3(х + у) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3х + 3у = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3 (х + у) и 3х + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:
2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Выражения 3(х + у) и 3х + 3у являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3 (х + у) = 3х + 3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

¹В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.

Тождествами считают и верные числовые равенства. С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
а + b = b + а,    (а + b) + с = а + (b + с),
аb = bа,    (ab)c = а(bс),
а(b + с) = аb + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:
а + 0 = а,   а + (–а) = 0,   а – b = а + (–b),
а • 1 = а,   а • (–b) = –ab,   (–а)(–b) = ab.

Чтобы найти значение выражения ху – xz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем
ху – xz = 2,3 • 0,8 – 2,3 • 0,2 = 1,84 – 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у – z), тождественно равным выражению ху – xz:
х(у – z) = 2,3(0,8 – 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху – xz тождественно равным выражением х(у – z).

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме 5х + 2х – Зх.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых: 5х + 2х – Зх = (5 + 2 – 3) х = 4х.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b – 3с).

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»: 2а + (b – Зс) = 2а + b – Зс.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4b – с).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»: а – (4b – с) = а – 4b + с. <

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое –(4b – с) в виде произведения (–1)(4b – с):
а – (4b – с) = а + (–1) (4b – с).

Применив указанные свойства действий, получим
а – (4b – с) = а + (–1) (4b – с) = а + (–4b + с) = а – 4b + с.

Упражнения 85-110

Ответы на Упражнения №№ 85 — 110

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
2. Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.
3. Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

 

Дополнительные упражнения к параграфу 2

---

Вы смотрели ознакомительную версию с цитатами из учебника: Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — М.: Просвещение (2020). ГЛАВА I. § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ.  (4. Свойства действий над числами. 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений. Упражнения №№ 70 — 110. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 223 — 232 к параграфу 2). Цитаты из учебника использованы в учебных целях.

Вернуться к Оглавлению

Преобразование выражений. Тождества 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Преобразование выражений. Тождество.

Основные свойства сложения и умножения чисел применяются для упрощения расчётов. Вспомним эти свойства.

Переместительное свойство:

a+b = b+a

a*b = b*a

Сочетательное свойство:

(a+b)+c = a+(b+c)

(a*b)*c = a*(b*c)

То есть в любой сумме и в любом произведении можно переставлять числа и объединять их в группы так, как нам удобно.

Пример 1. Вычислим значение выражения 1,23+1,5+4,27.

Удобно объединить слагаемые 1,23 и 4,27, так как их сумму можно посчитать довольно быстро устно – 5,5. Потом сложим 5,5 и 1,5. Ответ – 7.

Запишем решение:

1,23+1,5+4,27 = (1,23+4,27)+1,5 = 5,5+1,5 = 7.

Пример 2. Вычислим 1,8*0,25*64*0,5 = (1,8*0,5)*(0,25*64) = 0,9*16 = 14,4.

К основным свойствам сложения и умножения чисел относится также распределительное свойство. Если говорить образно, то мы «умножаем фонтанчиком». Это свойство можно применять при любом количестве слагаемых в скобках.

Пример 3. Найдем значение выражения 36∙14-518.

Вместо того, чтобы подсчитывать значение выражения в скобках, приводя к общему знаменателю, применим распределительное свойство.

36∙14-518=36·14-36∙518=9-10=-1.

Подсчитаем значение этого выражения «классическим» способом и убедимся, что получится тот же самый ответ.

То есть 36∙14-518=36·14-36∙518.

Значение выражения в правой части равенства равно значению выражения в левой части равенства.

Распределительное свойство верно при любых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Что такое «допустимые значения переменных»? Это такие значения, при которых выражение, содержащее эти переменные, имеет смысл (не появляется деление на ноль и т.д.).

Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Если мы заменим какое-либо выражение тождественно равным ему выражением, то такое преобразование называется тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок – все это относится к тождественным преобразованием. Преобразование выражений с применением основных свойств сложения и умножения – тоже тождественные преобразования.

Алгебра — Преобразования

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана (

т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4.6: Преобразования

В этом разделе мы увидим, как знание некоторых довольно простых графов может помочь нам построить более сложные графы. В совокупности методы, которые мы собираемся рассмотреть в этом разделе, называются преобразования .

Вертикальные сдвиги

Первое преобразование, которое мы рассмотрим, — это вертикальное смещение.

Учитывая график \(f\left( x \right)\), график \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + c\) будет графиком \ (f\left( x \right)\) смещается вверх на \(c\) единиц, если \(c\) положительно, и вниз на \(c\) единиц, если \(c\) отрицательно.

Итак, если мы можем построить график \(f\left( x \right)\), то получить график \(g\left( x \right)\) довольно просто. Давайте посмотрим на пару примеров. 92}\).

Вот эскиз этого.

b \(f\left( x \right) = \sqrt x — 5\) Показать решение

Хорошо, в данном случае мы собираемся сдвинуть график \(\sqrt x \) (пунктирная линия на графике ниже) вниз на 5. Опять же, с точки зрения координат это означает, что мы вычитаем 5 из \(y\) координаты точек на \(\sqrt x \).

Вот этот график.

Итак, вертикальные сдвиги не так уж и плохи, если мы сначала можем построить график «базовой» функции. Также обратите внимание: если вы не уверены, что верите графикам из предыдущего набора примеров, все, что вам нужно сделать, это подставить пару значений \(x\) в функцию и убедиться, что они на самом деле являются правильными графиками. .

Горизонтальные сдвиги

Это тоже довольно просто, хотя есть один момент, с которым нужно быть осторожным.

Учитывая график \(f\left( x \right)\), график \(g\left( x \right) = f\left( {x + c} \right)\) будет графиком из \(f\left( x \right)\), сдвинутого влево на \(c\) единиц, если \(c\) положительно, и/или вправо на \(c\) единиц, если \(c\) отрицательно.

Здесь нужно быть осторожным. Положительное \(c\) сдвигает график в отрицательном направлении, а отрицательное \(c\) сдвигает график в положительном направлении. Они прямо противоположны вертикальным смещениям, и их легко перевернуть и сдвинуть неправильно, если мы не будем осторожны. 93}\).

Вот график для этой задачи.

b \(g\left( x \right) = \sqrt {x — 4} \) Показать решение

В этом случае базовая функция выглядит как \(\sqrt x \), а также \(c = — 4\), поэтому мы будем сдвигать график \(\sqrt x \) (т.е. пунктирная линия на графике ниже) вправо на 4 единицы. С точки зрения координат это будет означать, что мы собираемся добавить 4 к координате \(x\) всех точек на \(\sqrt x \).

Вот эскиз этой функции.

Вертикальные и горизонтальные сдвиги

Теперь мы можем объединить два сдвига, которые мы только что рассмотрели, в одну задачу. Если мы знаем график \(f\left(x\right)\), то график \(g\left(x\right) = f\left({x + c} \right) + k\) будет график \(f\left( x \right)\) смещен влево или вправо на \(c\) единиц в зависимости от знака \(c\) и вверх или вниз на \(k\) единиц в зависимости от знак \(к\).

Давайте рассмотрим пару примеров. 92}\) и, похоже, будет смещено вправо на 2 (поскольку \(c = — 2\)) и вверх на 4 (поскольку \(k = 4\)). Вот набросок этой функции.

b \(g\left( x \right) = \left| {x + 3} \right| — 5\) Показать решение

В этой части мы будем сдвигать \(\left| x \right|\) влево на 3 (поскольку \(c = 3\)) и вниз на 5 (поскольку \(k = — 5\)). Вот набросок этой функции.

Отражения

Последний набор преобразований, который мы рассмотрим в этом разделе, не является сдвигом, а вместо этого называется отражением, и их два.

Отражение относительно оси \(x\)

Если задан график \(f\left( x \right)\), то график \(g\left( x \right) = — f\left( x \right)\) — это график \(f\left( x \right)\) , отраженный относительно оси \(x\). Это означает, что знаки у всех координат \(y\) меняются на противоположные.

Отражение относительно оси \(y\)

Если задан график \(f\left( x \right)\), то график \(g\left( x \right) = f\left( { — x} \right)\) является графиком \(f\left( x \right)\) 92}\) вокруг оси \(х\). Итак, опять же, все, что мы делаем, это меняем знак во всех координатах \(y\).

Вот набросок этого графика.

b \(h\left( x \right) = \sqrt { — x} \) Показать решение

Теперь с этим давайте сначала рассмотрим знак минус под квадратным корнем в более общих терминах. Мы знаем, что не можем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, однако наличие этого знака минус не обязательно вызывает проблемы. Мы не сможем подставить положительные значения \(x\) в функцию, так как это даст квадратные корни из отрицательных чисел. Однако если \(x\) было отрицательным, то отрицательное число отрицательного числа положительно, и это нормально. Например,

\[h\left( { — 4} \right) = \sqrt { — \left( { — 4} \right)} = \sqrt 4 = 2\]

Так что не беспокойтесь об этом минусе.

Теперь обратимся к отражению. Поскольку знак минус находится под квадратным корнем, а не перед ним, мы делаем отражение относительно оси \(y\). Это означает, что нам нужно поменять все знаки точек на \(\sqrt x \).

Также обратите внимание, что это совпадает с нашим обсуждением этого знака минус в начале этой части.

Вот график для этой функции.

Преобразования функций – объяснение и примеры

При графическом отображении функций вас попросят преобразовать и преобразовать функции различными способами. Вы когда-нибудь задумывались, как можно внезапно преобразовать график в другой, чтобы он представлял другую функцию? Все это благодаря различным формам преобразований, которые мы можем выполнять на графике функции.

Преобразования функций — это различные способы изменения формы графика функции, чтобы она стала другой функцией.

Удивительно, правда? Если вы хотите сэкономить время при построении графиков различных функций, вы попали в нужную статью! Мы узнаем о преобразованиях , выполненных в функциях и , сосредоточимся на переводах .

Прежде чем мы начнем, поскольку мы работаем над преобразованиями графов, мы рекомендуем просмотреть ваши ресурсы по родительским функциям. Ознакомьтесь также с нашей статьей о родительских функциях, если хотите освежить в памяти.

Что такое преобразования функций?

Мы узнали о родительских функциях и о том, как семейство функций имеет схожую форму. Мы можем расширить эти знания, изучая преобразования функций.

Преобразования функций — это процессы, которые можно выполнить над существующим графиком функции, чтобы получить модифицированный график. Обычно мы обращаемся к родительским функциям для описания преобразований, выполняемых на графе.

Как видно из примера, преобразования функции могут принимать разные формы и по-разному влиять на графики. Эта и следующие четыре статьи будут посвящены различным преобразованиям, которые мы можем выполнять с заданной функцией.

Ниже приведен список общих преобразований, выполняемых на графике:

• Горизонтальные и вертикальные преобразования (или переводы)
• Горизонтальные и вертикальные растяжения
• Горизонтальные и вертикальные сжатия
• Отражения и повороты

Наша статья будет посвящена о горизонтальных и вертикальных преобразованиях, которые мы можем применить к функции.

Как делать преобразования функций?

Мы можем выполнять преобразования на основе правила, которое нам предоставлено для преобразования. Некоторые преобразования потребуют от нас перевернуть график по оси Y или отразить его относительно начала координат.

Сейчас мы сосредоточимся на двух преобразованиях: вертикальном и горизонтальном.

Горизонтальное преобразование или перемещение функции

Когда мы преобразуем или перемещаем график по горизонтали, мы либо сдвигаем график на определенные единицы вправо или влево . Это будет жесткое преобразование, то есть форма графика останется прежней.

Попробуем перевести родительскую функцию y = x ³ на три единицы вправо и на три единицы влево.

Когда мы сдвигаем график на три единицы вправо, мы вычитаем 3 из входной переменной x. Точно так же мы прибавляем 3 к x, когда переводим три единицы влево.

В таблице ниже обобщены горизонтальные преобразования для всех типов функции f(x).

Перевод F (x) H Единицы справа	F (x + h), когда H> 0
Перевод F (x) h
осталось	f(x – h) , когда h > 0

Вертикальное преобразование или перемещение функции

Теперь, что произойдет, если вместо этого мы переместим три единицы вверх или вниз? Мы называем это вертикальным преобразованием . Этот тип преобразования также сохраняет форму графика, но сдвигает его либо вверх, либо вниз .

Давайте сдвинем y = x ² на две единицы вверх и вниз.

Когда мы переводим график на две единицы вниз, мы вычитаем 2 из выходного значения y. Точно так же мы добавляем 2 к y, когда переводим его на две единицы вверх.

В таблице ниже обобщены вертикальные преобразования для всех типов функции f(x).

Translate f(x) k units upward	f(x) + k, when k > 0
Translate f(x) k units downward	f(x) – k, когда k > 0

Теперь мы изучили общие правила горизонтальных и вертикальных преобразований, так как же нам применять их при построении графиков функций?

Как построить график преобразований?

При работе с функциями, полученными в результате множественных преобразований, мы всегда возвращаемся к родительской функции функции. Ниже приведены некоторые важные указания, которые следует помнить при графическом отображении преобразований:

• Определите преобразования, выполненные над родительской функцией.
• График родительской функции в качестве ориентира (необязательно).
• Выполняем каждое преобразование на графе, пока не завершим все выявленные преобразования.

Почему бы нам не начать построение графика f(x) = (x + 1) ² – 3 с определения его преобразований?

Поскольку график представляет собой квадратичную функцию, мы начинаем с родительской функции y = x ² .

Первые члены, (x + 1) ² , покажите, что функция y = x ² равна , сдвинутому на 1 единицу влево .

Последний член, -3, указывает, что результирующая функция переводится на 3 единицы вниз .

Это означает, что окончательный график для функции f(x) = (x + 1) ² – 3 показан красным графиком .

Как видите, просто сдвигая графики по вертикали и горизонтали, мы уже можем модифицировать их для представления другой функции.

Теперь мы попробуем разные вопросы, связанные с горизонтальным и вертикальным переводом, в приведенных ниже примерах.

Пример 1

Что произойдет, если f(x) = x ³ переместить на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз?

Решение

Обратитесь к двум таблицам, в которых суммированы вертикальные и горизонтальные преобразования, показанные в предыдущих разделах.

Если мы хотим перевести кубическую функцию, f(x) = x ³ , 4 единицы вправо, прибавляем 4 к входному значению, x. Следовательно, мы имеем (x + 4) ³ .

Поскольку нам еще нужно перевести 2 единицы вниз, давайте вычтем из полученной функции две единицы. Результирующая функция теперь становится (x + 4) ³ – 2 .

Пример 2

Таблица значений f(x) и g(x) показана ниже.

x	-4	-2	0	2	4
f(x)	16	4	0	4	16

x	-4	-2	0	2	4
g(x)	19	7	3	7	19

Используйте приведенную выше информацию и выберите, что из следующего лучше всего описывает g(x) через f(x).

• Функция g(x) является результатом перевода f(x) на 3 единицы вверх.
• Функция g(x) является результатом перевода f(x) на 3 единицы вниз.
• Функция g(x) является результатом сдвига f(x) на 3 единицы вправо.
• Функция g(x) является результатом сдвига f(x) на 3 единицы влево.

Решение

Обратите внимание, что для каждого выходного значения g(x) всегда на 3 единицы больше, чем f(x). Это означает, что g(x) = f(x) + 3. Помните, что для f(x) + k мы переводим k единиц вверх.

У нас есть k = 3, поэтому мы можем получить g(x), если переведем f(x) на 3 единицы вверх .

Пример 3

Графики y = √x, g(x) и h(x) показаны ниже.

Опишите преобразования каждой функции, а также найдите их алгебраические выражения.

Решение

Найдите горизонтальное и вертикальное преобразования двух функций, используя их общую родительскую функцию, y = √x.

Из графика видно, что g(x) эквивалентно y = √x, но сдвинуто на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх . Отсюда мы можем составить выражение для h(x):

• . Функция y = √x сдвинута на 3 единицы влево, поэтому h(x) = √(x + 3).
• Поскольку нам также нужно перевести полученную функцию на 2 единицы вверх, мы имеем h(x) = √(x+3) + 2 .

Мы можем применить тот же процесс для g(x). График g(x) эквивалентен y = √x, сдвинутому на одну единицу вправо и на 3 единицы вниз . Отсюда мы можем найти выражение для g(x):

• Функция y = √x сдвинута на 1 единицу влево, поэтому g(x) = √(x + 1).
• Поскольку нам также нужно перевести полученную функцию на 3 единицы вниз, мы имеем g(x) = √(x+1) – 3 .

Пример 4

Функция g(x) может быть получена путем переноса y = 3 ^x на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Найдите выражение для g(x) и постройте график полученной функции.

Решение

Когда мы переводим y = 3 ^x на три единицы влево, мы вычитаем 3 из входного значения или x.