Преобразования лапласа онлайн: Преобразования Лапласа онлайн

Содержание

Преобразование Лапласа и его свойства. Лекция 35

Похожие презентации:

Свойства преобразования Лапласа. Лекция 19

Преобразования Лапласа

Неопределенный интеграл и его свойства

Цифровая обработка сигналов и изображений. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

Свойства аналитических ФКП. Лекция 5

Характеристики замкнутых САР

Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление. Первообразная и неопределенный интеграл

Статические и динамические характеристики объектов и звеньев управления

Свойства дифференциалов

Свойства преобразования Фурье

Лекция 35.
Преобразование Лапласа
и его свойства.
Введение
Преобразование Лапласа широко используется в
радиотехнике для решения самых разнообразных
задач, связанных с изучением сигналов.
На практике широко применяются таблицы
преобразования Лапласа, наличие таблиц сделало
метод преобразования Лапласа популярным как в
теоретических исследованиях, так и в инженерных

расчетах радиотехнических устройств и систем.

Преобразование Лапласа является исключительно
гибким и мощным методом, позволяющим путем
стандартных процедур находить решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Преобразование Лапласа, его свойства.
Рассмотрим функции f (t) удовлетворяющие свойствам:
1.
f (t) непрерывна на всей числовой оси за исключением конечного
числа точек разрыва 1-го рода.
f ( t ),t 0
2.
f (t) такова что:
0
,
t
0
3.
Существуют такие постоянные M > 0, а > 0, что | f (t) | M eat,
t
Число а называется показателем роста функции.
Функции, удовлетворяющие 3-м свойствам называются оригиналами.
Пример оригинала функция Хевисайда (единичная)
1,t 0
( t )
0
,
t
0
( t ) sin t — оригинал
1-ое свойство удовлетворяется
sin t ,t 0
2-ое свойство ( t ) sin t

0,t 0
Чтобы получить оригинал надо умножить эту функцию на функцию
Хевисайда.
Условимся, что все функции, которые рассматриваются уже умножены
на функцию Хевисайда и запись
1,t 0
1( t )
или
0 ,t 0
sin t ,t 0
sin t
0,t 0
Поставим в соответствие каждой функции из множества оригиналов с
помощью преобразования:
f ( t )e pt dt F ( P )
0
некоторую функцию F (P),
где p = x + iy – некоторые числа (лежащие справа от оси y).

Функцию F (P) называют изображением для функции f (t)
f (t ) F ( P)
Интегральные преобразования называются преобразованием Лапласа
Рассмотрим интеграл (t )e pt dt
0
— единичная функция Хевисайда
e pt
e xt e iyt
pt
1e dt lim
lim
p 0
p
0
e x e iy 1
lim
p
p
0
e x (cos(y ) i sin( y ) 1 1
lim
p
p p
x>0
Преобразование Лапласа переводит функции
переменных в функции комплексного переменного.
действительных
Линейность преобразований Лапласа. Свойства.
Если f (t) и (t) таковы что: f (t ) F ( P) , (t ) ( p) , то:
f (t ) (t ) F ( P) ( P)
, — некоторые комплексные числа
Доказательство:
Найдем преобразования Лапласа от функции
pt
f
(
t
)
(
t
)
e
dt
0
Пользуясь свойством линейности интеграла имеем:
f ( t )e
0
pt
dt ( t )e
def
dt F ( P ) ( P )
0
f ( t ) ( t ) e
0
pt
pt
def
dt
(преобразования
комбинации) = f (t ) (t ) F ( P) ( P)
Лапласа
от
линейной
Область сходимости преобразования Лапласа.

Аналитичность преобразования Лапласа.
Теорема (об области сходимости):
Пусть f (t) — оригинал. Тогда
f ( t )e pt dt сходится для всех p, Re p > a.

0
Если же Re p x0 > a, то сходимость равномерная.
Доказательство:
Так как f (t) – оригинал, следовательно | f (t) | M eat, а – показатель
роста функции. Тогда
0
f ( t )e
pt
dt f ( t ) e
pt
dt M e at e pt dt
0
0
p – произвольные комплексные числа.
p = x + iy
Значит e pt e xt e iyt e pt e xt e iyt e xt e iyt
1
M e at e xt dt
0
По определению несобственного интеграла:
e ( x a )
e ( x a )t
1
( x a )t
e
dt
lim
lim
( x a ) 0
( x a )
x
a
0
Так как действительная часть p : Re p = x > a (по условию), то
x – a > 0 => — ( x – a ) < 0.
—
e ( x a )
Значит
0, когда η +
( x a )
M
, x>a
x a
0
Это означает, что интеграл сходится, причем абсолютно.

Если x x0 > a – то сходимость будет равномерная.
Начертим область сходимости преобразования Лапласа. Область
сходится, когда Re p > a, a – действительное число.
Областью
сходимости
преобразования
Лапласа
является
заштрихованная область.
f ( t )e pt dt
Теорема (об аналитичности преобразования Лапласа) Преобразования
Лапласа, сопоставляющие оригиналу f (t ) F ( p) изображение F (p) с
помощью формулы F ( p) f (t )e pt dt является аналитической функцией в
0
области Re p > a, т.е. F (p) – аналитическая функция.
Изображения некоторых элементарных функций.
1
1 , Re p > 0
p
e ( p )t
t
at pt
( a p )t
dt lim
e . Найдем интеграл функции e e dt e
p
0
0
e ( p )
1
1
пусть Re p Re lim
p p p
0
1
t
e
, Re p > Re
p
0
Т а б л и ц а 1.
Линейность
Таблица теорем
af (t ) bg (t ) aF ( p) bG( p)
Подобие
f ( t ) 1 F

p
Затухание
eat f (t ) F p a
Запаздывание
f t e p F ( p)
Дифференцирование
f (t ) pF ( p ) f (0)
Примеры:
1) f (t ) eat sin wt .

Так как sin wt =
w
a
at
e
sin
wt
,
по
теореме
затухания
.
2
2
2
2
p w
p a w
2)
1
0
t
0, если t 0,
(t ) 1, если 0 t ,
0, если t
1
1 1
(t ) h(t ) h(t ) e p 1 e p .
p
p p
3)
0, t T ,
(t ) 1, T t T ,
0, t T
1
0
T
T
t
(t ) h(t T ) h(t T ) (t ) e Tp
1
1 1
p T
e e pT 1 e p
p
p p

English Русский Правила

2. Нахождение изображения функций. Примеры

Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда, которая обозначается и определяется в соответствии с равенством:

Решение.

Пользуясь определением изображения по Лапласу, находим

Пример 2. Найти изображение функции

Решение. Имеем

Заметим, что указанную функцию можно записать короче, если использовать в качестве множителя единичную функцию (t), а именно:

Роль множителя (t) состоит в том, что он «гасит» (обращает в нуль) функцию при t < 0. В дальнейшем, говоря о функциях-оригиналах, будем считать, что все они снабжены множителем (t), хотя сам этот множитель в написании часто будем опускать. Так, например, мы будем писать tⁿ

, e^at, sint и т. д., подразумевая при этом соответственно

и т. д.

Единичная функция играет важную роль в операционном исчислении. Зная ее изображение и используя правила операционного исчисления, можно найти изображения различных оригиналов. Например, используя теорему смещения, можно записать: из того, что , следует, что ,

и не пользоваться определением преобразования Лапласа, связанного с вычислением несобственного интеграла.

Пример 3. Найти изображения функций и .

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера:

;

Согласно свойству линейности преобразования Лапласа имеем

Следовательно,

Точно также

то есть

Применяя к полученным соотношениям свойство смещения, находим

Точно также для гиперболических функций получаем соответствия:

;

Пример 4. Найти изображение функции tⁿ.

Решение. Используем теорему дифференцирования к изображению функции (t) . Получим

; .

Итак, .

Пример 5. Найти изображение функции

Решение. На основании формулы

заменим произведение на .

Тогда

Чтобы найти изображение исходной функции, воспользуемся тем, что операции умножения на в области оригиналов соответствует операция смещения на 3 в области изображений. Окончательно получим

Пример 6. Найти изображение функции

Решение. Воспользуемся соотношением

Далее, согласно правилу (8), операции деления на t в области оригиналов соответствует операция интегрирования в области изображений.

Поэтому

Итак,

Пример 7. Найти изображение функции

Решение. Предварительно найдем изображение функции , преобразовав ее по формуле . Имеем

Затем, используя тот факт, что операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления на р в области изображений, окончательно получим

Пример 8. Найти изображение функции

Решение. Воспользуемся равенством . Согласно теореме запаздывания имеем

В данном примере существенно равенство нулю функции при , т.е. возможность представления функции f(t) в виде

а соответственно, и возможность использования теоремы запаздывания.

Иначе поступаем, если функция задана следующим соотношением:

В этом случае осуществлен сдвиг вправо на графика функции , но не произведено «погашение» его нулем на участке . Поэтому запаздывания оригинала по времени не происходит, а функция представима в виде .

Для нахождения ее изображения воспользуемся равенством

Применив теоремы подобия и линейности, получим

Из этого примера следует, что при записи оригиналов, являющихся функциями запаздывающего аргумента , опускать множитель не рекомендуется во избежание недоразумений. Так, например, для обозначения оригиналов степенной и показательной функций запаздывающего аргумента с запаздыванием  следует пользоваться записью , , а не записью и .

Последнюю легко спутать с записью оригинала незапаздывающего аргумента: и .

Пример 9. Найти изображение функции

Решение. Для того, чтобы применить теорему запаздывания, предварительно преобразуем оригинал как функцию аргумента :

Заметим, что изображение этого оригинала можно найти согласно его определения:

Вычислив интеграл, мы получим тот же результат.

Теорема запаздывания является удобным способом для нахождения изображений кусочно-непрерывных функций.

Пример 10. Найти изображение функции

Решение. Пользуясь обобщенной единичной функцией, оригинал f(t) можно записать формулой

В этом равенстве отражен тот факт, что «сигнал» f₁(t)=(t—a) был «включен» в момент t=a и «выключен» в момент t=b. После этого включен сигнал f₂(t)=b—a.

Оригинал представим в виде

При нахождении его изображения исходим из соотношения

Используя теорему запаздывания оригинала, получим

Пример 11. Найти изображение функции

Решение. Функция есть свертка функций и . Согласно теореме умножения свертке двух функций соответствует произведение их изображений. Если учесть, что

, а ,

то указанной свертке оригиналов будет соответствовать изображение

Изображения элементарных функций получаются путем вычисления соответствующих несобственных интегралов, иногда довольно сложных и громоздких. Однако нет необходимости проделывать все вычисления каждый раз заново: достаточно составить таблицу изображений и пользоваться ею подобно тому, как мы пользуемся таблицей производных или неопределенных интегралов.

Приведем таблицу изображений наиболее часто встречающихся элементарных функций (табл. 2).

Таблица 2 – Оригинал – изображение

№	Оригинал	Изображение
1	1
2	t
3	t^п
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Калькулятор преобразования Лапласа — Найдите преобразования Лапласа

Онлайн-калькулятор преобразования Лапласа шаг за шагом поможет вам обеспечить преобразование функции действительной переменной в комплексную переменную. Преобразование Лапласа имеет множество приложений в технике и науке, таких как анализ систем управления, электронных схем и т. д. Кроме того, решатель Лапласа используется для решения дифференциальных уравнений с помощью уравнения преобразования Лапласа.

Читайте дальше, чтобы понять, как находить преобразования Лапласа и многое другое!

Что такое преобразование Лапласа?

Преобразования Лапласа в математике — это интегральные преобразования, которые превращают функцию действительного переменного f (t) в функцию комплексного переменного. Причина этого преобразования заключается в преобразовании обыкновенных дифференциальных уравнений в алгебраическое уравнение, которое помогает определять обыкновенные дифференциальные уравнения.

Итак, линейное дифференциальное уравнение чрезвычайно распространено в реальных приложениях и обычно возникает в задачах физики, электротехники и систем управления. Кроме того, калькулятор преобразования Лапласа с решениями может вычислять только нормальное преобразование Лапласа, которое представляет собой процесс, известный как одностороннее преобразование Лапласа. Это связано с использованием одной стороны преобразования Лапласа онлайн (нормальная сторона) и пренебрежением использованием стороны обратного преобразования Лапласа. 9{−st}f(t)dt$$

Где f(t) определяется как все действительные числа $t ≥ 0$, а (s) представляет собой частотный параметр комплексного числа.

Найти преобразование Лапласа для функции:

Посмотрите подробный пошаговый процесс, который полезен при вычислении преобразования Лапласа онлайн для любого уравнения, если вы не используете калькулятор поиска преобразования Лапласа с начальными условиями Вы можете сделать все эти расчеты вручную, выполнив следующие действия:

Сначала возьмите уравнение или функцию, над которой нужно выполнить операцию.
Затем выполните интегральную операцию над данным уравнением и выполните все математические вычисления для решения.
Теперь, чтобы получить результат, подставьте все значения в полученное уравнение.

Пример:

Найти преобразование Лапласа $ 5sinh(4t)+5sin(4t)?$

Решение:

Взяв функции \(f(t), g(t)\ )

$$f(t)=sinh(4t)$$

$$g(t)=sin(4t)$$

Теперь, используя свойство линейности Лапласа 94-16\).

Таблица для Лапласа:

Для выполнения преобразования Лапласа линейных уравнений решатель Лапласа следует таблице:

Имя функции	Функция временной области	Преобразование Лапласа онлайн
Имя функции	ф ( т )	F ( s ) = L { f ( 92\)
Дельта-функция	δ( т )	1
Дельта с задержкой	δ( т-а )	е ^-как

Кроме того, онлайн-калькулятор производных позволяет найти производную функции по заданной переменной.

Как работает калькулятор преобразования Лапласа?

Онлайн-калькулятор преобразования Лапласа с шагами поможет вам преобразовать реальные функции в сложные функции с помощью следующих шагов:

Введите:

Сначала введите простое уравнение, и вы увидите предварительный просмотр уравнения.
Нажмите кнопку расчета для дальнейшего процесса.

Вывод:

Калькулятор преобразования Лапласа с бесплатными шагами отображает следующие результаты:

Прежде всего, калькулятор дифференциального уравнения преобразования Лапласа показывает введенные вами данные в виде обыкновенного дифференциального уравнения.
Затем дайте ответ на уравнение в алгебраической форме.

Часто задаваемые вопросы по преобразованию Лапласа:

Каковы основные области применения преобразования Лапласа?

Основными приложениями преобразования Лапласа являются:

Сигнальный процесс
Получить схему
Система управления
Интегральная схема

Вы можете легко проанализировать все эти свойства, вычислив преобразование Лапласа любой функции с помощью нашего лучшего калькулятора Лапласа за считанные секунды.

Определите разницу между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа?

Преобразование Фурье разлагает функцию, которая зависит от пространства или времени, изменяя величины сигнала. С другой стороны, преобразование Лапласа изменяет части колебаний и амплитуды. Фактически, преобразование Лапласа является основным набором преобразования Фурье.

Каково значение преобразования Лапласа?

Онлайн-преобразование Лапласа имеет полезные методы для нахождения определенных истин дифференциальных уравнений при наличии первичных условий, особенно когда начальные значения равны нулю.

Final Words:

Используйте этот удобный калькулятор преобразования Лапласа с решением, которое отображает преобразование реального обыкновенного дифференциального уравнения в сложную алгебраическую функцию. Несомненно, вы можете сделать все эти расчеты вручную, но это длительный и трудоемкий процесс. Итак, с помощью этого калькулятора Лапласа с шагами студенты и профессионалы делают расчет мгновенно.

Ссылка:

Из источника Википедии: Формальное определение, двустороннее преобразование Лапласа, обратное преобразование Лапласа.

Из источника онлайн-заметок Пола: Преобразования Лапласа, Решение IVP с помощью преобразований Лапласа, IVP с непостоянными коэффициентами.

Из источника Swarth Подробнее: линейность, временная задержка, первая производная, вторая производная, теорема о начальном значении, теорема о конечном значении.

Калькулятор преобразования Лапласа | Преобразование с помощью калькулятора Лапласа

Введение в калькулятор преобразования Лапласа

Вы можете использовать онлайн-калькулятор преобразования Лапласа с шагами для преобразования функции с действительным знаком в функцию с комплексным знаком. В технике и исследованиях преобразование Лапласа используется для анализа систем управления и электронных устройств.

Калькулятор Лапласа также можно использовать для решения дифференциальных уравнений с помощью уравнения преобразования Лапласа. Продолжайте читать, чтобы узнать больше о преобразованиях Лапласа и интегральном калькуляторе Лапласа.

Связанный: Этот веб-сайт поможет вам научиться вычислять двойные и тройные интегралы. Вы можете найти калькулятор интегралов с несколькими переменными и калькулятор объемных интегралов для точных расчетов двойных интегралов и тройных интегралов.

Что такое преобразование Лапласа?

Преобразования Лапласа описывают интегральные преобразования в математике, которые переводят вещественную функцию f (t) в комплексную функцию. Это преобразование используется для преобразования нормальных дифференциальных уравнений в алгебраические уравнения, которые можно использовать для решения обычных дифференциальных задач.

Линейное дифференциальное уравнение довольно часто используется на практике и часто возникает при решении задач электротехники, физики и систем управления. Кроме того, калькулятор Лапласа с шагами может выполнять только обычные преобразования Лапласа, также известные как односторонние преобразования Лапласа.

Это связано с тем, что используется только одна сторона преобразования Лапласа (обычная сторона), а сторона обратного преобразования Лапласа не используется. С другой стороны, интегральный калькулятор по частям может использоваться для вычисления интегралов функций, касающихся рассматриваемых переменных.

Связанный: Вы также можете найти калькулятор неопределенного интеграла и калькулятор определенного интеграла, чтобы найти определенный интеграл онлайн.

Формула, используемая калькулятором Лапласа

Калькулятор интегрального преобразования Лапласа использует приведенную ниже формулу для расчета и получения точных результатов. 9{-й} \;.\; dt $$

Как работает калькулятор преобразования Лапласа?

Калькулятор обратного преобразования Лапласа работает онлайн. Он требует ввода от пользователя, и с помощью метода преобразования вы можете превратить реальные функции в сложные функции. Калькулятор Лапласа быстро вычисляет результаты в виде шагов, графиков, графиков и т. д.

На этом веб-сайте есть другие полезные калькуляторы, такие как калькулятор цилиндрической оболочки и интегральный калькулятор шайбы для метода шайбы.

Как пользоваться интегральным калькулятором Лапласа?

Калькулятор преобразования Лапласа с шагами очень прост в использовании. Вам просто нужно выполнить следующие шаги, чтобы получить точные результаты.

Шаг 1: В поле ввода введите функцию, функциональную переменную и переменную преобразования.

Шаг 2: Нажмите «Загрузить пример», чтобы рассчитать любой другой пример (необязательно).

Шаг 3: Чтобы получить интегральное преобразование, нажмите кнопку «Рассчитать».

Калькулятор Лапласа покажет результаты как:

Прежде всего, калькулятор преобразования Лапласа с пошаговым решением отображает введенные данные в виде обыкновенного дифференциального уравнения.
Затем в алгебраической форме выводит ответ на уравнение.
Также показывает графики заданных алгебраических функций.

Также на этом веб-сайте можно найти другие инструменты онлайн-интеграции, такие как дисковый калькулятор и калькулятор синусного преобразования Фурье, которые очень помогут вам в расчетах в Интернете. 95} $$

Участок

На этом сайте есть полезные блоги, которые вы можете найти полезными. Нажмите, чтобы узнать больше о интеграле дроби и важности интегрального исчисления.

Заключение

Попробуйте этот калькулятор преобразования Лапласа с пошаговыми инструкциями, чтобы увидеть, как реальное обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в сложное алгебраическое выражение. Вы, конечно, можете правильно выполнить все эти расчеты, но это сложная и трудоемкая операция. В результате студенты и профессионалы могут быстро вычислить с помощью этого калькулятора преобразования Лапласа.

Связанный: Также узнайте, как интегрировать с помощью калькулятора и как легко понять, какой метод использовать для нахождения объема тела вращения.

Часто задаваемые вопросы

Какова основная цель преобразования Лапласа?

Преобразование Лапласа используется для решения дифференциальных уравнений. Основная цель преобразования Лапласа — преобразовать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) в алгебраические переменные. Это преобразование помогает в простом решении ОДУ.

Процесс преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений в алгебраическую переменную сложен из-за длительных ручных вычислений. Но пошаговый калькулятор преобразования Лапласа значительно облегчит задачу ученикам любого уровня.

Каковы наиболее распространенные применения преобразования Лапласа?

Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных применений преобразования Лапласа. Эти преимущества преобразования Лапласа также доступны в калькуляторе преобразования Лапласа с пошаговым решением:

Используется для решения дифференциальных уравнений.
Он используется во многих областях физики, например, для получения схемы.
Используется в интегральной схеме.
Используется в системах управления для учета частоты нагрузки.
No related posts.