При делении на отрицательное число знак неравенства меняется – Линейные неравенства. Подробная теория с примерами.

ax>b | Алгебра

Как решать линейные неравенства вида ax>b и ax<b?

Чтобы найти, каким может быть x, надо обе части неравенства разделить на число, стоящее перед иксом (на a). Но, в отличие от аналогичного действия при решении линейных уравнений, важно, какой знак имеет это число перед иксом.

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (> — на <; < — на >; ≥ — на ≤ ; ≤ — на ≥).

С помощью схемы ход решения неравенств вида ax>b можно изобразить так:

При a=0 — частный случай. В частных случаях неравенство либо не имеет решений, либо его решением является любое число. Частные случаи решения линейных неравенств разберём в отдельном посте.

Примеры.

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Два больше нуля, поэтому знак неравенства не изменяется:

   

Так как неравенство строгое, на числовой прямой отмечаем выколотую точку 7. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство строгое, в ответ 7 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двух до бесконечности».

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как минус пять меньше нуля, знак неравенства изменяется на противоположный:

   

   

Так как неравенство нестрогое, -2,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство нестрогое, -2,4 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус двух целых четырёх десятых, включая минус две целые четыре десятые».

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

   

Сократим дробь на 4

   

и выделим целую часть

   

Так как неравенство нестрогое, точку -1  2/3 на числовой прямой закрашиваем. Штриховка — влево, на минус бесконечность:

Поскольку неравенство нестрогое и точка закрашенная, точка -1 2/3 в ответ записывается с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одной целой двух третьих, включая минус одну целую две третьих».

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Деление на дробь заменяем умножением на обратное ей число, то есть обе части неравенства умножаем на минус семь. Так как -7 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

   

Поскольку неравенство строгое, x=21 на числовой прямой отмечается выколотой точкой. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство — строгое, точка — выколотая, соответствующая точке скобка — круглая.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двадцати одного до бесконечности».

 

www.algebraclass.ru

Подскажите, нужно ли меня знак неравенста, если ты переносишь число с одной стороны на другую?

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Почитай тут. Коротко и ясно: <a rel=»nofollow» href=»http://pl8.com.ua/?p=533″ target=»_blank» >Свойства неравенств</a>

Нет, не меняется. Не забывай, что справа будет +0.3 * x Только лучше содержащее x оставить с одной стороны. -0.3 * x &lt; 9 — 6 -0.3 * x &lt; 3 -x &lt; 10 [вот здесь умножаем обе части на отрицательное число «-1» и знак переворачивается] x &gt; -10

Знак меняется на противоположный если домножать на отрицательное А если гонять слагаемое в разные стороны то знаку сравнения пофигу 6-0.3x &lt; 9 -0.3x &lt; 9-6 //тут слагаемое перебегает со своей сменой своего знака, а общий знак сравнения не меняется 0.3x &gt; -3 // тут умножается на «-1» и знак сравнения переворачивается x&gt;-10

знак менятся будет, если вобщем у тебя множитель получившийся, поменяет знак вот тогда знак неравенства сменить можно. напримере (2-x)&gt;0 вот тут надо поменять знак вот x&lt;-2, а если бы было так (x-2)&gt;0 то мы просто 2-ку перенесли бы и все x&gt;2

при переносе слагаемое в другую сторону неравенства ( и равенства) меняется на противоположный. знак неравенства сохраняется. а-в=с а- уменьшаемое в-вычитаемое с- разность чтобы найти неизвестное уменьшаемое. к разности ПРИБАВЛЯЕТСЯ вычитаемое. вот почему меняется знак вычитаемого. еще раз — в этих случаях -перенос слагаемого- знак неравенства сохраняется.

touch.otvet.mail.ru

ТЕОРИЯ

1. Справочный материал

2. Решение неравенств

 

Определение и основные свойства неравенств.

Определения:

Неравенствами называют выражения вида  a<b (a≤ b) ,a>b (a≥b),

где a и b могут быть числами или функциями.

 Символы <(≤), >(≥) называются знаками неравенства и читаются соответственно :

меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).

Неравенства , которые записываются с помощью знаков >  и <,называются строгими,

а неравенства, в записи которых участвуют знаки ≥ и ≤,- нестрогими.

Неравенства  вида a<x<b (a≤x≤b) называются двойными неравенствами  

и читаются соответственно :x больше a

,но меньше b (x больше или равно a,но меньше или равно b ).

Различают два вида неравенств: числовые (2>0,7 ;½<6) и неравенства с переменной (5x-40>0 ; x²-2x<0).

Свойства числовых неравенств :

• Если a>b , то  b<a; если a<b,  то  b>a.
• Если a<b и b<c, то a<c.
• Если a<b и c-любое число, то a +c<b+c.
• Если a<b и c>0,то ac<bc. Если a<b и c<0,то ac>bc.
• Если a<b и c<d,то a +c<b +d.
• Если a<b и c<d,где a, b, c, d-положительные числа, то ac<bd.

 Числовые промежутки

 

Вверх

 Основные определения и свойства.

 

Определения:

 Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной,

 которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1)  Если из одной части неравенства перенести в

другую слагаемое с противоположным знаком,

то получится равносильное ему неравенство.

2)  Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же положительное число,

то получится равносильное ему неравенство.

3)    Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же отрицательное число,

 изменив при этом знак неравенства на противоположный,

то получится равносильное ему неравенство.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным неравенствам.

Неравенства  вида ах>b ( ах <b ,ax≤b или ax≥b), где а и b — некоторые числа,

называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если a>0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

Если a<0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

неравенство примет вид 0∙x>b, т.е. оно не имеет решений ,если b≥0,

 и верно при любых x ,если b<0.

Аналитический способ решения неравенств с одной переменной.

Алгоритм решения неравенства с одной переменной

• Преобразовать обе части неравенства.
• Привести подобные слагаемые.
• Привести неравенства к простейшему виду, на основании свойств неравенств.
• Записать ответ.

 

Приведем примеры решения неравенств .

Пример  1. Решить неравенство 3x≤15.

Решение:

Обе части неравенства

разделим на положительное число 3 (свойство 2) : x≤5.

Множество решений неравенства представляет собой числовой промежуток  (-∞;5].

Ответ :(-∞;5]

Пример  2. Решить неравенство -10x≥34.

 Решение:

Обе части неравенстваразделим на отрицательное  число -10  ,

при этом знак неравенства изменим на противоположный (свойство 3) : x≤-3,4.

 

Множество решений неравенства представляет собой промежуток  (-∞;-3,4].

Ответ : (-∞;-3,4].

Пример  3. Решить неравенство 18+6x>0.

 Решение:

Перенесем слагаемое 18 с противоположным знаком в левую часть неравенства (свойство 1): 6x>-18.

Разделим обе части на 6  (свойство 2) :

 x>-3.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-3;+∞).

Ответ : (-3;+∞).

Пример  4.Решить неравенство 3(x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.

Решение:

 Раскроем скобки : 3x-6-4x-8<2x-6-2.

Перенесем члены ,содержащие неизвестное ,в левую часть ,

а члены не содержащие неизвестное , в правую часть (свойство 1):

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Приведем подобные члены: -3x<6.

Разделим обе части на -3 (свойство 3) :

x>-2.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-2;+∞).

Ответ : (-2;+∞).

Пример  5. Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей,

 входящих в неравенство, т. е. на 6 (свойство 2).

Получим:

,

2x-3x≤12.

Отсюда , —x≤12  ,   x≥-12.

Ответ : [-12;+∞).

Пример  6. Решить   неравенство  3(2-x)-2>5-3x.

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

6-3x-2>5-3x,   4-3x>5-3x,   -3x+3x>5-4.

Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0∙x>1.

Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении x

оно обращается в числовое неравенство 0 < 1, не являющееся верным.

Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.

Ответ : решений нет. 

Пример  7.Решить   неравенство  2(x+1)+5>3-(1-2x).

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

2x+2+5>3-1+2x,  2x+7>2+2x,2x-2x>2-7,   0∙x>-5.

Полученное неравенство является верным при любом значении  x,

так как левая часть при любом x равна нулю, а 0>-5.

Множеством решения неравенства является промежуток (-∞;+∞).

Ответ : (-∞;+∞).

Пример  8. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a)

b)

Решение:

а)По определению арифметического квадратного корня

 должно выполнятся следующее неравенство 5x-3≥0.

Решая, получаем  5x≥3, x≥0,6.

Итак, данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка [0,6;+∞).

Ответ : [0,6;+∞).

б)С учетом свойств арифметического квадратного корня и знаменателя дроби

должно выполнятся следующее неравенство  2-3x>0.

Отсюда ,-3x>-2 (свойство 3), x<2/3.

Данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка  (-∞;2/3).

Ответ :(-∞;2/3).

Пример  9.При каких значениях a квадратное уравнение x-8x²-4a=0 имеет два корня ?

Решение:

Квадратное уравнение будет иметь два корня ,если дискриминант D будет больше нуля.

D=(-8)²-4∙(-4a)=64+16a,

64+16a>0,

 16a>-64,

a>-4.

Таким образом , при всех значениях a из промежутка (-∞;-4)

 данное квадратное уравнение будет иметь два корня.

Ответ : при всех  a из промежутка (-∞;-4) .

Пример  10.Решите задачу:

В одном бассейне налито 100 л воды, а во втором 150 л воды.

Каждый час в первый бассейн вливается 15 л воды, а во второй — 5 л воды.

В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение:

 Пусть за x ч в первый бассейн вольется 15x л воды и в нем станет 100+15x л воды.

Тогда  через x ч во втором бассейне будет 150+5x л воды.

Надо найти такие значения x , для которых выполняется неравенство

100+15x>150+5x.

Преобразовав ,получаем

15x-5x>150-100,

10x>50,

x>5.

Итак ,в первом бассейне окажется больше воды ,чем во втором, при x>5,

т.е. после 5ч с начала вливания воды.

Ответ : после 5ч с начала вливания воды.

Пример  11. При каких  значениях x значения функции Y=-1/3x+8 принадлежит промежутку  (-1,1)?

Решение: -1<-1/3x+8<1,

-9<-1/3x<7,

27>x>21,

21<x<27.

Ответ : (21;27).

Вопросы.

 

1.   Что  называется     неравенством   первой   степени   с  одним   неизвестным?

2.  Что называется решением неравенства с одним неизвестным?

3.  Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

4.  Каким способом можно решить неравенство первой степени с одним неизвестным?

 

.Графический способ решения неравенств с одной переменной.

Покажем, как можно, применяя графический метод, решить неравенства вида

kx+ b> 0                                         (1)

или

kx + b<0,                                        (2)

где k и b — заданные числа и k≠0.

В декартовой  системе координат  Оху  рассмотрим  прямую

y = kx + b.                                        (3)

На рис. 1 изображена такая прямая при k> 0, а на рис. 2 изображена такая прямая при k<0.

рис1.                                                                                                  рис.2.         

 

Решить неравенство (1) — это значит найти все решения х,

для которых прямая y = kx-b расположена выше оси х.

Здесь важную  роль  играет  точка  А  пересечения  прямой   (3)   с  осью  х.

Абсциссу точки А обозначим через x_o. Так как ее ордината равна нулю, то x_o удовлетворяет уравнению

O = kx_o + b, откуда

x_o=-b/k.

Обратимся к рис. 1, соответствующему случаю k> 0. Мы видим , что прямая y = kx+b

расположена выше оси х для всех х, находящихся правее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (-∞, + ∞), и расположена ниже оси х для всех х, находящихся левее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (—∞,x_o).

Итак, при k> 0 неравенство (1) выполняется на интервале (x_o, + ∞), а неравенство (2) —на интервале (—∞,x_o).

При k<0, как это видно из рис. 2, неравенство (1) выполняется на интервале (—∞,x_o),

а неравенство (2) — на интервале (x_o, + ∞).

Пример 1. Решить, применяя графический метод, неравенства

2X+1 >0,           (4)                                  

2X+1 <0.            (5)

Решение :

Начертим в декартовой системе координат Оху прямую

у = 2X+1.                                        (6)

рис3.

Для этого нужно знать две ее точки. В качестве первой точки возьмем точку пересечения прямой с осью х. Она все равно будет нужна. Полагая в формуле (6) у = 0, получим уравнение                                                                      

0 = 2х+1.

 Его решение есть абсцисса точки А пересечения прямой с осью х. Итак, А ( —1/2 ,0).

В качестве второй точки можно взять точку В пересечения прямой с осью у. Ее абсцисса X=0, а ордината

 y=2∙0+1, y=1.

Итак, В(0, 1).

Через точки А и В проводим прямую. Это и есть прямая y=2X+1 (рис. 3).

Из рис. 3 видно, что неравенство (4) выполняется на интервале ( — 1/2 , + ∞)  а (5) — на интервале (— ∞, —1/2).

Вопрос.

 

Как можно решать неравенства первой степени, применяя графический метод?

kalach-gimnazia.narod.ru