При делении степени с одинаковыми основаниями: Деление степеней с одинаковыми основаниями — урок. Алгебра, 7 класс.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пусть надо a⁹ ÷ a³; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a⁹ и дан один множитель = a³. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a⁹) подробнее

a · a · a · a · a · a · a · a · a

и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a³ или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

a · a · a · a · a · a,

что = a⁶. Итак,

a⁹ ÷ a³ = a⁶.

Пусть надо b⁴⁷ ÷ b¹⁸. Данное произведение есть b⁴⁷ или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b¹⁸, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b²⁹. Итак, b⁴⁷ ÷ b¹⁸ = b²⁹.

Также

x¹⁵ ÷ x⁵ = x¹⁰
(a + b)⁷ ÷ (a + b) = (a + b)⁶
3²³ ÷ 3²⁰ = 3³ = 27 и т. д.

Вообще

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (если m > n)

или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

Пусть теперь надо

20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c².

Здесь дано произведение (20a⁵b⁴c²d) и один множитель 5a³b³c²; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза.

Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a². В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c² (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c². Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c² = 4a²bd.

Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c² ÷ c²; a ÷ a; b

3 ÷ b³; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение) 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Напоминание основных определений и теорем

 

Напоминание:

 

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что  n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

Теорема 4.

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Теорема 5.

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

 

Решение примеров на возведение дроби в степень с помощью теоремы 5

 

 

Пример 1: Возвести дробь в степень.

 

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 5.

а)

б)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

в)

д) 

Замечание: ,

е)

ж) 

 

Решение примеров на вычисление с помощью теоремы 5

 

 

Пример 2: Вычислите.

 

а)

б)

 

Решение различных типовых задач с помощью выученных теорем

 

 

Пример 3: Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

 

а)  

б)

б)

б)   или по-другому:  

 

Вычисление примеров наиболее рациональным способом

 

 

Пример 4: Вычислить наиболее рациональным способом.

 

а)

б)

в)

г)

д)

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. 583, 584, 585 стр. 152. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание.

М.: Просвещение. 2010 г.

2. Вычислить наиболее рациональным способом.

а)  б)   в) 

3. Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

а)   б)   в)

 

Видеоурок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение) по предмету Алгебра за 7 класс.

Умножение и деление показателей степени — правила, примеры

Показатель степени показывает, сколько раз данная переменная или число умножается само на себя. Например, 6 ⁴ означает, что мы умножаем 6 четыре раза. В расширенной форме это записывается как 6 × 6 × 6 × 6. При умножении двух экспоненциальных членов с одним и тем же основанием их степени складываются, а основание остается прежним. Однако при делении двух экспоненциальных членов, имеющих одно и то же основание, их степени вычитаются. Давайте узнаем больше об умножении и делении показателей в этой статье.

1.	Показатель деления
2.	Как умножать и делить дробные степени?
3.	Как умножать и делить экспоненты с переменными?
4.	Часто задаваемые вопросы об умножении и делении показателей степени

Показатель деления

Законы экспонент облегчают процесс упрощения выражений. Основное правило деления показателей степени с одинаковым основанием состоит в том, что мы вычитаем данные степени. Это также известно как частное свойство показателей.

Как разделить показатели степени?

Деление показателей становится простым, если мы следуем свойствам показателей. Например, давайте решим следующий вопрос обычным способом: 6 ⁵ ÷ 6 ³ = (6 × 6 × 6 × 6 × 6)/(6 × 6 × 6 ) = 6 ² . Это требует дополнительных расчетов. Однако, когда мы используем законы экспонент, это сокращает все эти вычисления. Давайте разберемся, как разделить показатели в разных сценариях, используя разные свойства.

Деление показателей степени с одинаковым основанием

Чтобы разделить показатели степени с одинаковым основанием, мы используем основное правило вычитания степеней. Рассмотрим a ^m ÷ a ⁿ , где «a» — общее основание, а «m» и «n» — показатели степени. Это «частное свойство экспоненты» говорит: а ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Теперь давайте разберемся в этом на примере.

Пример: Разделить 6 ⁵ ÷ 6 ³

Решение: Мы видим, что в данном выражении основания одинаковы. Используя «частное свойство экспоненты», мы получим 6 ^{5 — 3} = 6 ² . Следовательно, ответ 6 ² .

Деление показателей с разными основаниями

Для того, чтобы разделить показатели с разными основаниями и одним и тем же показателем, мы используем «степень частного свойства», то есть (a/b) ^m = a ^m /b ^м . Рассмотрим ^m ÷ b ^m , где выражения имеют разные основания и одинаковый показатель степени. Например, решим: 12 ³ ÷ 3 ³ . Используя «Свойство степени частного», это можно решить как 12 ³ ÷ 3 ³ = (12 ÷ 3) ³ = 4 ³

Показатель деления s с Коэффициентами

В некоторых случаи, мы должны разделить выражения, которые имеют коэффициенты. Эти коэффициенты, привязанные к их основаниям, можно легко разделить так же, как мы делим любую другую дробь. Следует отметить, что коэффициенты можно делить даже в том случае, если выражения имеют разные основания.

Пример: Разделить 12a ⁷ ÷ 4a ²

Решение: Выполним следующие шаги для деления выражений с коэффициентами. В данном случае 12 и 4 — коэффициенты, а остальные — переменные.

• Сначала перепишем выражение в виде дроби, то есть 12а ⁷ / 4а ² .
• Затем делим коэффициенты, то есть 12/4 = 3.
• После этого шага мы можем применить частное свойство показателей и решить переменную, то есть ⁷ / ² = ^{7 — 2} = ⁵ .
• Итак, теперь у нас есть коэффициент 3 и переменная ⁵ . Это дает ответ как 3a ⁵

Умножение экспоненциальных членов

Умножение показателей степени с одинаковым основанием и разными основаниями включает определенные правила показателей степени. Давайте разберемся с этим в следующем разделе.

Умножение показателей степени с одинаковым основанием

Когда мы умножаем два выражения с одинаковым основанием, мы применяем правило a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)} , , где «a» — общее основание, а «m» и «n» — показатели степени. Например, умножим 2 ² × 2 ³ . Используя правило, 2 ² × 2 ³ = 2 ^{(2 + 3)} = 2 ⁵ .

Умножение показателей степени с разным основанием и одинаковой степенью

Когда мы умножаем выражения с разными основаниями и одинаковой степенью, мы применяем правило:

a ^m × b ^м = (а × b) ^м . Например, умножим: 11 ⁴ × 3 ⁴ . Это можно решить как 11 ⁴ × 3 ⁴ = (11 × 3) ⁴ = 33 ⁴ .

Как умножать и делить дробные степени?

Чтобы умножать и делить дробные степени, мы используем те же правила, что и для целых чисел. Дробные показатели степени — это те выражения, в которых степени — дроби, например, 2 ^½ , 6 ^¾ и так далее.

Умножение дробных степеней с одинаковым основанием

Для умножения дробных степеней с одинаковым основанием мы используем правило a ^m × a ⁿ = a ^m+n . Например, упростим: 2 ^½ × 2 ^¾ = 2 ^{(½ + ¾)} = 2 ^5/4 .

Деление дробных степеней с одинаковым основанием

Для деления дробных степеней с одинаковым основанием мы используем правило a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Например, давайте решим 3 ^3/2 ÷ 3 ^1/2 . Используя правило, получаем, 3 ^{(3/2 — 1/2)} = 3 ¹ = 3.

Как умножать и делить экспоненты с переменными?

Правила, которые используются в числах, также используются в показателях степени с переменными. Вспомним их и затем используем в следующих примерах:

• a ^м × a ⁿ = a ^m+n
• a ^м × b ^м = (a × b) ^м
• а ^м ÷ а ^н = а ^м-н
• a ^м ÷ b ^м = (a ÷ b) ^м

Переменная как основа

Давайте посмотрим, как использовать эти правила, когда база является переменной. Например, решить: у ² × (2y) ³

Применим правило: a ^m × b ^m = (a × b) ^м , г ² × (2y) ³

= y ² × 2 ³ × y ³ = 2 ³ × y ⁽²⁺³⁾ = 8y 9000 3 5

Переменная как показатель степени

Давайте посмотрим, как использовать правила, когда показатель степени является переменной. Например, решить: 5 ^{(2x -1)} ÷ 5 ^{(x + 1)}

Применим правило: a ^m ÷ a ⁿ = a 9 0068 ^м-н , мы получить 5 ^{(2x -1 — x — 1)} = 5 ^{(x -2)}

Советы по умножению и делению показателей степени

• a ⁰ = 1[ так как а ^м ÷ а ^m = 1 = a ^m-m = a ⁰ ]
• Следует также отметить, что отрицательный показатель степени можно преобразовать в положительный показатель, написав обратную величину числа.
  Например, 6 ^-3 можно записать как 1/6 ³ .
• Если мы умножим два показателя степени с одним и тем же основанием, их степени будут складываться.
• Если мы разделим два показателя степени с одинаковым основанием, то их степени вычитаются.

Связанные темы

• Rational Exponents
• Иррациональные Показатели

Часто задаваемые вопросы об умножении и делении показателей степени

Как умножать и делить степени?

Чтобы умножать и делить степени, мы используем набор правил степени. При перемножении двух экспоненциальных членов с одним и тем же основанием их степени складываются, а основание остается прежним. Например, умножим 6 ³ × 6 ⁵ = 6 ^{(3 + 5)} = 6 ⁸ . Однако при делении двух экспоненциальных членов, имеющих одно и то же основание, их степени вычитаются. Например, 7 ⁸ ÷ 7 ⁵ = 7 ³ . Точно так же есть и другие правила, которые помогают легко упростить показатели степени.

Каковы правила деления показателей степени?

Есть несколько правил экспоненты, которые помогают в делении экспонент. Эти правила также помогают упростить числа со сложными степенями, включая дроби, десятичные дроби и корни. Например, чтобы разделить числа или переменные с одинаковым основанием, применим правило: a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Чтобы разделить числа или переменные с разными основаниями, применим правило: a ^m ÷ b ^m = (a ÷ b) ^m

Как вы решаете показатели степени в скобках?

Показатель степени в скобках можно решить, используя тождество (a ^m ) ⁿ = a ^mn . Например, (4 ² ) ³ = 4 ^{(2 × 3)} = 4 ⁶ = 4096

Можем ли мы распределить показатели по делению?

Да, мы можем распределять показатели по делению. Например, (7/2) ³ = 7 ³ ÷ 2 ³ = 343/8

Как умножать и делить отрицательные степени?

Когда мы умножаем и делим отрицательные степени, мы следуем тем же правилам, которые используются для положительных степеней. Например, мы используем свойство: a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n , чтобы решить: 2 ^-3 ÷ 2 ^-4 . Это будет: 2 ^(-3-(-4)) = 2 ^{(-3 + 4)} = 2 ¹ = 2. Соблюдайте правило упрощения целых чисел, которое меняет знак после раскрытия скобок. . Следует также отметить, что отрицательный показатель степени можно преобразовать в положительный показатель, написав обратную величину числа. Например, 7 ^-3 можно также записать как: 1/7 ³ . Это означает, что если нам нужно разделить выражения с отрицательными показателями степени, мы можем просто переместить основание на другую сторону дробной черты. Например, если у нас в знаменателе дроби 4 ^-2 , мы можем перенести его в числитель. Это означает, что y ^-2 /y ^-3 = y ³ /y ² = y ^{3 — 2} = y ¹ = y.

Как разделить экспоненты с разными степенями?

Чтобы разделить показатели с разными степенями, но одинаковыми основаниями, мы вычитаем данные степени. Здесь используется следующее свойство: a ^m ÷ a ⁿ = a ^(m-n) . Например, давайте разделим показатели степени, 8 ⁶ ÷ 8 ⁴ . После применения свойства показателей степени, мы получаем, 8 ^{6 — 4} = 8 ²

Как разделить показатели степени на дроби?

Чтобы разделить степени на дроби, мы используем то же правило, что и для целых чисел, то есть ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Например, разделим следующие показатели степени: 2 ^3/4 ÷ 2 ^1/2 = 2 ^{3/4 -1/2} = 2 ^1/4 .

Как разделить показатели степени с разными основаниями и одинаковыми степенями?

Чтобы разделить показатели степени с разными основаниями и одинаковыми степенями, мы применяем «Степень частного свойства», которая равна: a ^m ÷ b ^m = (a ÷ b) ^m . Например, разделим 14 ³ ÷ 2 ³ = (14 ÷ 2) ³ = 7 ³ .

Как делить экспоненты с отрицательными основаниями?

Когда нам нужно разделить степени с отрицательным основанием, правила степени остаются прежними. Например, разделим (-4) ⁸ ÷ (-4) ² = (-4) ^{8 — 2} = (-4) ⁶

Как делить степени — ACT Math

Все ресурсы ACT Math

14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 Следующая →

ACT Math Help » Алгебра » Экспоненты » Экспоненциальные операции » Как делить степени

Упростить

Возможные ответы:

Ни один из ответов не является правильным

Правильный ответ:

Объяснение:

При работе с полиномами деление аналогично умножению на обратную величину. После умножения упростите. Правильный ответ на деление

 

и правильный ответ для умножения:

Сообщить об ошибке

Упрощение:

Возможные ответы: 9000 5

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы просто получить степень в дроби, вычтите показатель степени для каждой переменной в знаменателе из показателя степени в числителе. Это оставит вас с

или

Сообщить об ошибке

Чему равно м где:

 

Возможные ответы:

2

9000 2 4

1

-2

6

Правильный ответ:

2

Пояснение:

Если n=4, то 64 ^(4/12) =64 ^(1/3) =4. Тогда 4=m4 ^(1+m)/(m+4) . Если 2 заменить на м , то 4=24 ^(1+2)/(2+4) =24 ^1/2 =2√4=22=4.

 

 

Сообщить об ошибке

Упростите следующее:

 

Возможные ответы: 9 0005

x ^7/3

1/x ⁴

x ⁴

Невозможно

Правильный ответ:

x ⁴

Объяснение:

Эти показатели степени имеют одинаковое основание x, поэтому их можно разделить. Чтобы разделить их, вы берете значение показателя степени в числителе (верхний показатель степени) и вычитаете значение показателя степени знаменателя (нижний показатель степени). Здесь это означает, что мы берем 7 — 3, поэтому наш ответ x ⁴ .

Сообщить об ошибке

Упрощение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

9062 0 Объяснение:

Используйте правило умножения показателей степени, чтобы упростить числитель.

Используйте правило деления степени для упрощения.

Сообщить об ошибке

Упрощение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Упростить:

Шаг 1: Упростите дробь. При делении степеней вычесть низшие степени из верхних.

Шаг 2: Распределите показатель степени. При возведении степени в степень умножьте их вместе.

Сообщить об ошибке

Упростить

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Разделите коэффициенты и вычтите показатели степени.

Сообщить об ошибке

Что из следующего равно выражению , где  

xyz ≠ 0?

Возможные ответы:

xy

xyz

z

z/(xy)

1/y

900 67 Правильный ответ:

1/год

Объяснение:

(xy) ⁴ можно переписать как x ⁴ y ⁴ и z ⁰ = 1, потому что число в нулевой степени равно 1. После упрощения вы получите 1/y.

Сообщить об ошибке

Если , то

 

Возможные ответы:

Невозможно определить

9 0002

Правильный ответ:

Объяснение:

Начните с упрощения числителя и знаменателя по отдельности. В числителе (c ³ ) ² равно c ⁶ . В знаменателе c ² * c ⁴ равно c ⁶ . Деление числителя на знаменатель c ⁶ /c ⁶ дает ответ 1, потому что числитель и знаменатель эквивалентны.

 

Сообщить об ошибке

Если , что из следующего равно ?

Возможные ответы:

a

Из вышеуказанной информации нельзя определить ответ

a ⁴

a ¹⁸ 9000 5

a ⁶

Правильный ответ:

a ¹⁸

Объяснение:

Числитель упрощается до  (добавляя показатели степени), затем кубируйте результат.