Лекция 1 ‘Алгебра’ — Mind Map
Действительные числа
Натуральные числа
r
Натуральные числа — это числа, которые используются при счете 1, 2, 3,… .
Простые числа
r
Простые числа имеют два делителя: 1 и само число.Например, 17=1*17 , т.е. 17 — это простое число;18=1*2*3*3 , т.е. 18 не является простым числом, его называют составным.
Делимость чисел
r
Делители числа 65526552=2*2*2*3*3*7*13
Факториал
r
Факториал — это произведение натуральных чисел от 1 до n.Например, 5!=1*2*3*4*5
Тригонометрия
Определение синуса
r
Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу a, называют синусом угла a и обозначают sin a.
Определение косинуса
r
Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу a, называют косинусом угла a и обозначают cos a.
n=a*a*…*a , число a повторяется n раз.
Свойства степеней
r
Свойства степеней:При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание сохраняется, о показатели складываются.При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание сохраняется, а показатели вычитаются.При возведении степень в степень показатели перемножаются.При умножении степеней с одинаковыми показателями, можно перемножить их основания, а показатель сохранить.При делении степеней с одинаковыми показателями, можно разделить их основания, а показатель сохранить.
Степень с отрицательным показателем
r
Степень с отрицательным показателем:при возведении числа в отрицательную степень можно заменить основание на обратное число и возвести данное число в положительную степень.
Корень
Определение корня
r
Корнем степени n из числа b называют такое число a (если оно существует), n -я степень которого равна b.
sqrt(3, 125)=5
Извлечь корень
r
Извлечь корень:При извлечении корня можно заменить подкоренное выражение на простые множители и те множители которые имеют степень корня заменить на основания.
Степень с дробным показателем
r
Свойства корней:Существует, и притом единственный, корень нечётной степени из любого действительного числа b, при этом корень нечётной степени: а) из положительного числа есть число положительное; б) из отрицательного числа есть число отрицательное; в) из нуля есть нуль.Существует два и только два корня чётной степени из любого положительного числа, которые отличаются только знаками. а) Корень чётной степени из нуля единственный и равен нулю. б) Корня чётной степени из отрицательного числа не существует.Неотрицательный корень степени n из неотрицательного числа b называют арифметическим корнем степени n из числа b.
Логарифм
Определение логарифма
r
Логарифмом положительного числа b по основанию aa>0 и a не равно 1, называют число A, такое что b=a^A Обозначают так: A=log(a,b) , где a -основание логарифма,b — логарифмическое выражение.
Свойства логарифмов
r
Свойства логарифмов:Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.
«Умножение и деление степеней» алгебра — 7 | Презентация к уроку по алгебре (7 класс):
Слайд 1
Разгадайте ребус
Слайд 2
Михаил Васильевич Ломоносов (1711-1765) «Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь».
Слайд 3
Представьте в виде степени: 3 • 3 • 3 • 3 • 3= 2. b • b • b = 3 . (a — b) • (a — b)= 4. a • a • a • … • a • a = n раз
Слайд 4
a • a • a • … • a • a= n раз Определение степени с натуральным показателем: Основание степени Показатель степени a n
Слайд 5
Назовите основание и показатель степени.
Вычислите: 1. 10 2 = 2. 1 4 = 3. 0 10 = 4. (2 2 ) 2 = 5. = 6. = 100 1 0 16
Слайд 6
Используя определение степени, упростите: 1 . · = 2. . 7 = 3. . = 4. ÷ = 5. ÷ 7 = 6. ÷ =
Слайд 7
. = = ÷ Представьте в виде степени:
Слайд 8
02.03.2020 Тема: Произведение и частное степеней
Слайд 9
Составьте план действий : Применять правила на практике Научиться проговаривать и записывать правила Вывести правила 2. Научиться проговаривать и записывать правила 3. Применять правила на практике 1. Вывести правила План действий
Слайд 10
Используя определение степени, упростите: 1 . · = 2. . 7 = 3. . = 4. ÷ = 5. ÷ 7 = 6. ÷ =
Слайд 11
Произведение степеней с одинаковыми основаниями При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают 2. Запишите и проговорите
Слайд 12
Частное степеней с одинаковыми основаниями При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя 2.
Запишите и проговорите
Слайд 13
. = = ÷ Представьте в виде степени:
Слайд 14
С 14 • С 8 4. С 4 • С 5 2. С 7 : С 5 5. С 16 : С 8 3. С 20 : С 7 6. С 14 • С Р Ш М Ю К Н А Т Е Д С 8 С 5 С 1 С 40 С 13 С 12 С 9 С 15 С 2 С 22 Представь в виде степени:
Слайд 15
Рене Декарт ввел современную запись степени
Слайд 16
О пределите, какие ответы правильные, а какие ложные. Истинному ответу поставьте в соответствие 1, ложному – 0. а ) x 2 • x 3 =x 5 б ) s 3 • s 5 • s 8 = s 16 в) x 7 : x 4 = x 28 г) ( c + d ) 8 : ( c + d ) 7 = c + d д) x 10 : х 7 = x 3 Получив упорядоченный набор из единиц и нулей, вы узнаете имя первой русской женщины — математика
Слайд 17
Ада Августа Лавлейс — 11001 Софи Жермен — 10101 Екатерина Дашкова — 11101 Софья Ковалевская — 11011
Слайд 18
Софья Васильевна Ковалевская 1850-1891 Российский математик и механик, с 1889 года — иностранный член-корреспондент Петербургской академии. Первая в Российской империи и Северной Европе женщина-профессор и первая в мире женщина — профессор математики
Слайд 19
Проверьте самостоятельную работу Вариант 1 Вариант 2 № Ответ 1 2 3 4 5 6 X = 9 № Ответ 1 2 3 4 5 6 X = 19
Слайд 20
ДОМАШНЯЯ РАБОТА П.
6.1 (2 свойства степени) № 526 № 529
Слайд 22
А Б В Г Д Е
Слайд 23
Заполните внизу таблицу, приведя в соответствие, начало предложения (обозначено БУКВОЙ) и продолжение предложения (обозначено ЦИФРОЙ) А) При умножении степеней с одинаковыми основаниями … 1) основанием степени Б) При делении степеней с одинаковыми основаниями …. 2) показатель степени В) Число а называют 3) произведение n множителей, каждый из которых равен а. Г) Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется 4)… основание остается прежним , а показатели складываются. Д) Число n называют 5) степенью Е) Выражение а n называют 6)…основание остается прежним , а показатели вычитаются.
Слайд 24
А Б В Г Д Е 4 6 1 3 2 5
Synthetic Division — УРОКИ МАТЕМАТИИ КЕЙТ
Зачем нам синтетическое подразделение? Синтетическое деление часто используется для нахождения корней многочленов высших степеней (степени 3 и выше). Допустим, у вас есть квадратичная функция (степень 2) и вам нужно найти корни. Корни функции — это значения, при которых функция равна нулю. На графике они находятся там, где функция пересекает ось X. Существует несколько различных способов нахождения корней квадратичной функции. Вы можете попробовать разложить его на множители или завершить квадрат. Всегда есть и квадратичная формула. Но что, если у вас есть функция более высокой степени? Если у вас есть x в кубе или x в 4-й степени, вы не можете использовать квадратичную формулу. Вы можете попытаться разложить их на множители, но если ответ будет иррациональным или комплексным числом, вам просто не повезло. К счастью, есть способ найти корни или разложить многочлен на множители более высокой степени. Он включает в себя деление полинома на линейный множитель со старшим коэффициентом, равным 1, например x + 4 или x — 3. Для этого можно использовать деление в длину, но 9Синтетическое деление 0007 — это сокращенный метод, в котором используются только коэффициенты членов . Обзор длинной дивизииЧтобы понять смысл синтетического деления, давайте посмотрим на этапы деления в длинное число. Допустим, у нас есть задача деления ниже: Мы видим, что ответ (выделен оранжевым цветом) является квадратичным, а остаток равен 0. Длинное деление может оказаться сложной задачей. Вы должны быть очень осторожны при вычитании отрицаний и должны убедиться, что вы правильно записываете термины. К счастью, синтетическое деление — это гораздо более простой и быстрый способ деления многочленов. Использование синтетического подразделения | Добро пожаловать на уроки математики у Кейт! Учителя, обязательно ознакомьтесь с учебными пособиями и заданиями. |
Эти корни можно использовать для факторизации многочлена.
Вы получите тот же ответ, что и при делении в большую сторону, но большинство студентов считают, что это намного, намного быстрее . Сначала это может показаться сложным, но после нескольких попыток вы освоитесь. 
Итак, как работает синтетическое деление? Синтетическое деление — это сокращение от длинного деления. Это метод, который использует только коэффициенты членов для экономии времени.
Синтетическое деление можно использовать, только если вы делите на ЛИНЕЙНЫЙ множитель в форме x — a.
Например, это работает, если вы делите на x — 3 или на x + 4. Придется делать простое длинное деление.
На первый взгляд это может показаться немного сложным, но большинство учащихся довольно быстро с ним справляются. Мы пойдем шаг за шагом и решим ту же задачу, что и раньше, но на этот раз с помощью синтетического деления.
Задача деления:
Шаг 1: Убедитесь, что члены числителя расположены в порядке убывания.
Если термин отсутствует, добавьте его с коэффициентом 0,
Шаг 2:
Шаг 3: Составьте задачу, используя только коэффициенты каждого члена в числителе.
Шаг 4 : Уменьшите первый коэффициент. При делении на х — а первый коэффициент всегда остается одним и тем же.
Шаг 5 : Умножьте делитель на полученное вами число. Поместите результат в следующую колонку.
Шаг 6 : Добавьте чисел во 2-м столбце. В длинном делении вы вычитаете.
Шаг 7: Повторить. Умножьте делитель на новое число, которое вы записали, и занесите результат в следующий столбец. Повторяйте этот процесс, пока не закончатся столбцы. Последнее число, которое вы записываете, является остатком.
Шаг 8 : Запишите ответ. Числа, которые вы записали в нижней строке, — это коэффициентов ответа. Последняя цифра справа — это остаток. При синтетическом делении вы всегда делите на линейный множитель в форме х — а, поэтому степень вашего ответа всегда будет на единицу меньше той, с которой вы начали. Например, если бы числитель имел степень 4, то ответ был бы степенью 3. В этом примере числитель имел степень 3, поэтому наш ответ — степень 2.
Давайте рассмотрим два метода одновременно. Синтетическое деление, безусловно, занимает меньше места, и чем больше вы его делаете, тем быстрее вы становитесь.
Практика
Хотите решить некоторые задачи самостоятельно? Нажмите кнопку СТАРТ ниже, чтобы пройти пробный тест.
Работает на |
Сложение, вычитание, умножение и деление
Может быть полезно понять, как использовать различных математических операций , так как их можно использовать каждый день во многих различных ситуациях, точно так же, как вычисление того, как пакет конфет можно разделить поровну между Группа людей.
Определение сложения, вычитания, умножения и деления
Сложение, вычитание, умножение и деление — все типы операций, используемых в математике.
Сложение
Сложение — это тип операции, результатом которой является сумма двух или более чисел. Существует знак, обозначающий операцию сложения, называемый знаком плюс, то есть +.
Вычитание
Вычитание — это тип операции, результатом которой является нахождение разницы между двумя числами.
Знак, обозначающий операцию вычитания, называется знаком минус и выглядит он так: -.
Умножение
Умножение — это операция, требующая сложения равными группами, в результате умножения получается произведение. Знак, обозначающий операцию умножения, можно назвать знаком умножения, и он выглядит так: ×.
Деление
Деление — это операция, обратная умножению, при которой число разбивается на равные части. Знак, обозначающий операцию деления, называется просто знаком деления и выглядит так: ÷.
Правила сложения, вычитания, умножения и деления
Существуют различные правила и методы, которые могут быть полезны при использовании каждой из этих операций.
Сложение
При сложении двух или более чисел можно использовать метод сложения столбцов. Это включает в себя размещение чисел одно над другим в столбце, затем вы работаете справа налево, добавляя числа, которые находятся в одном столбце.
Вычислить 122+552
Решение:
Для начала вы можете расположить числа друг над другом:
122+552
Теперь, работая справа налево, сложите два горизонтальных числа с 2 и 2:
122+5524
теперь переходят на 2 и 5:
122+55274
и, наконец, 5 и 1:
122+552672
Следовательно, 122+552 = 672
, если два числа, которые вы добавляете, больше 10, вы можете перенести это число.
Вычитание
При вычитании двух чисел можно также использовать метод столбца; метод вычитания столбцов. Это работает так же, как метод сложения столбцов, однако вы вычитаете числа, а не добавляете их.
Вычислить 538-214
Решение:
Для начала вы можете расположить числа друг над другом, поместив число, от которого вы вычитаете, сверху:
538-214
Теперь работаем справа влево отнять одно число от другого, начиная с 8 и 4:
538-2144
теперь переходит на 3 и 1:
538-21424
и, наконец, 5 и 2:
538-214324
Следовательно, 538-214 = 324
Если вы подтекаете. выше числа, из которого вычитается, нужно будет взять цифру из столбца слева.
Умножение
При умножении двух чисел можно использовать различные методы, включая метод сетки. Это включает в себя разбиение двух чисел и размещение их в сетке. Затем вы выполняете отдельные умножения, а затем складываете их все вместе.
Вычислить 23×42
Решение:
Для начала нарисуйте сетку, разбейте свои числа и поместите их в сетку следующим образом:
.0005 3
. может быть проще сделать это пошагово:
800+120=920
40+6=46
920+46=966
Следовательно, 23×42=966
Деление
При делении числа на другой вы можете использовать метод, называемый коротким делением, этот метод лучше всего работает, когда вы делите число на 10 или меньше. Короткое деление предполагает мысленное деление числа на более мелкие этапы.
Вычислить 306÷9
Решение:
Для начала вы можете нарисовать свой расчет, написав число, на которое вы делите, слева, а число, которое вы делите, запишите справа, как показано ниже:
9306
Теперь вам нужно проработать число, которое вы делите по одной единице за раз, начните с выяснения, сколько раз 9 может перейти в 3.
Поскольку это невозможно, вам нужно перенести 3 к следующему блоку:
93306
Теперь вы можете подумать о том, сколько раз 9 может перейти в 30. 9 входит в 30 три раза с остатком три:
9×3=27
Затем это можно записать в ваше деление, как показано делимое число записывается над вычислением, а остаток 3 переносится на 6:
9333036
Наконец, вы можете вычислить, сколько раз 9 входит в число 36:
9×4=36
93433036
Следовательно, 306÷9=34
Взаимосвязи сложения, вычитания, умножения и деления
Операции могут иметь взаимосвязи друг с другом. Существует связь между сложением и вычитанием, а также связь между умножением и делением.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание можно считать обратными друг другу. Это просто означает, что операции противоположны, вы можете отменить сложение, вычитая то же число, и наоборот!
Умножение и деление
Умножение и деление также считаются обратными друг другу, если вы хотите отменить умножение, вы можете просто разделить число.
Примеры сложения, вычитания, умножения и деления
Вычислить 647+278
Решение:
Для начала вы можете расположить числа друг над другом:
647+278 Теперь работаем справа слева, сложите два горизонтальных числа вместе. Начиная с 7 и 8, так как они равны 15, вам нужно перенести 1 на:
647+27815
Теперь вам нужно сложить 4, 7 и 1, опять же, поскольку это больше 10, вам нужно перенести единицу:
647+2781125
Наконец, вы можете сложить 6, 2 и 1:
647+27811925
Вычислить 732-426
Решение:
Для начала вы можете расположить числа друг над другом, поместив число, из которого вы вычитаете, сверху: 9006 7 300 -426
Теперь, работая справа налево, вычтите одно число из другого, начиная с 2 и 6. Поскольку 6 больше двух, вам нужно позаимствовать цифру из столбца слева:
72312-4266
Теперь вы можете вычесть 2 из 2:
72312-42606
Наконец, вы можете вычесть 4 из 7:
72312-426306
Рассчитайте 53 × 35
999007:1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 гг.
С самого начала, вытяните сетку, разбивайте свои числа и поместите их в сетку, похожую на сетку:
| 50 | 3 | |
| 5 | 5 |
, чтобы заполнить сетку.
Теперь вы можете сложить все значения вместе, чтобы найти ответ на вопрос, может быть проще сделать это пошагово:
1500+90 = 1590
250+15 = 265
1590+265 = 1855
Расчет 434 ÷ 7
Решение:
Давайте начнем с написания суммы, используя метод короткого деления:
7434
Теперь сейчас. начните с подсчета, сколько раз 7 переходит в 4, это невозможно, поэтому вы можете перенести 4 в 3:
74434
Затем вы можете посмотреть, сколько раз 7 может перейти в 43:
7× 6=42
Это оставляет нам остаток от 1, который можно перенести на 4:9.
0010
7644314
Наконец, подсчитайте, сколько раз 7 может входить в число 14:
7×2=14
76244314
Следовательно, 434÷7=62
Деление 90операции часто используются в повседневной жизни, давайте рассмотрим несколько примеров:
У Эми 326 наклеек в коллекции наклеек, у Клэр 213 наклеек. Сколько наклеек у них было бы, если бы они объединили свои коллекции?
Решение:
Начните с размещения двух чисел друг над другом:
326+213
Теперь вы можете сложить их вместе, работая справа налево, начиная с 6 и 3:
326+2139
Проработайте числа:
326+213539
Таким образом, если Эми и Клэр объединит свои коллекции, в их коллекции будет 539 наклеек .
У Сэма 142 конфеты, он отдает своему другу 54, сколько конфет осталось у Сэма?
Решение:
Чтобы узнать, сколько конфет у Сэма, мы можем вычесть 54 из 142. Начните с размещения двух чисел друг над другом:
142-54
Теперь действуйте справа налево, вычесть одно число из другого.
Не забывайте, так как 2 меньше 4, вам нужно взять единицу из столбца слева:
13412-548
Теперь вы можете двигаться дальше, опять же, поскольку 3 меньше 5, вам нужно будет взять единица из столбца слева:
113412-5488
Следовательно, у Сэма осталось 88 конфет .
Дейв готовит на 12 человек, но по его рецепту он рассчитан только на 4. Если по рецепту требуется 72 грамма пасты, сколько пасты понадобится Дейву?
Решение:
Чтобы узнать, сколько пасты понадобится Дейву для его рецепта, мы можем использовать операцию умножения. Поскольку 4 входит в 12, 3 раза, Дейву понадобится в три раза больше, чем указано в рецепте. Для этого мы можем использовать метод сетки:
| 70 | 2 | |
| 3 | 210 | 6 |
Now you can add the two numbers together:
210+6=216
Therefore, Dave will need 216 грамм пасты на 12 персон.
Барбара обедает с тремя друзьями, счет составляет 188 фунтов стерлингов, и они решают разделить его поровну. Сколько платит каждый человек?
Решение:
Для начала запишите задачу, используя метод короткого деления. Счет составил 188 фунтов стерлингов, и его делят между 4 людьми, поэтому его можно записать следующим образом:
4188
Теперь сделайте первый шаг и посмотрите, сколько раз 4 может войти в первое число слева. Поскольку 4 не может перейти в 1, 1 можно перенести:
41188
Теперь подсчитайте, сколько раз 4 может войти в 18:
4×4=16
Это оставляет нам остаток 2:
4411828
Наконец, сколько раз 4 можно ввести в число 28:
4×7=28
44711828
Это означает, что каждому человеку нужно будет заплатить 47 фунтов стерлингов .
Сложение, вычитание, умножение и деление – основные выводы
- Существует множество различных типов математических операций, в том числе:
- Сложение – операция, результатом которой является сумма двух или более чисел.
- Сложение – операция, результатом которой является сумма двух или более чисел.
