При умножении что происходит со степенями: Умножение степеней с одинаковыми основаниями — урок. Алгебра, 7 класс.

что при этом происходит, формулы, примеры с разными основаниями

Что представляют собой степенные выражения

Определение 1

Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.

здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.

Таким образом, можно составить формулу:

Запись можно прочитать, как «a в степени n».

Определение 2

Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.

Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:

1. Произведение степеней. Если степени, которые требуется умножить, имеют одинаковые основания, то основание оставляют неизменным, а показатели степеней суммируют. То есть, , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.
2. Частное степеней. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, следует оставить основание прежним, а показатель степени делимого уменьшить на показатель степени делителя. Например, , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m > n.
3. Возведение степени в квадрат. При возведении степени в степень основание степени сохраняют прежним, а показатели перемножают. К примеру, , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.
4. Степень произведения. Для того чтобы возвести в степень произведение, требуется каждый из множителей возвести в эту степень. Результаты, которые получились в итоге, необходимо перемножить. То есть: , где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5. Степень частного. Для возведения в степень частного нужно возвести в данную степень по отдельности делимое и делитель. Затем первый получившийся результат следует разделить на второй. К примеру, , где а и b являются основаниями степени, не равными нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.

Правила умножения, что происходит

Правило 1

Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:

,

где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.

В качестве примера решим несколько простых уравнений:

Правило 2

Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:

, где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.

В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:

При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:

где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.

Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.

К примеру:

Правила деления

Правило 3

Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:

где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.

В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:

Правило 4

Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:

где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.

Например:

Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:

В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:

Примеры решения заданий для 7 класса

Задача 1

Вычислить:

Решение

Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:

Ответ: 32

Задача 2

Решить выражение:

Решение

Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:

Ответ: 128

Задача 3

Вычислить:

Решение

Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:

Ответ: 36

Задача 4

Вычислить:

Решение

Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:

Ответ: 3

Задача 5

Решить пример:

Решение

Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:

Ответ: 1

Задача 6

Решить пример:

Решение

Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:

Ответ: 8 

Умножение и деление степеней

Зачем уметь умножать и делить степени?

Умение умножать степени важно в математике, т. к. оно помогает быстро вычислять произведения и деления многих чисел со степенями, что может быть полезно в решении различных задач, таких как вычисление площади, объема или поверхности фигур, вычисление значений функций и т.д.

Умножение и деление степеней может использоваться в различных областях математики и науки, таких как:

• Алгебра: для умножения и деления многочленов, вычисления различных формул и выражений.
• Геометрия: для вычисления площади, объема или поверхности фигур, расчета расстояний и углов.
• Физика: для вычисления силы, энергии, давления и т.д.
• Информатика: для вычисления сложности алгоритмов, мощности вычислительных систем и т.д.
• Другие науки: в экономике, биологии, медицине и других областях умножение и деление степеней используется для вычисления различных показателей и метрик.

Кроме того, если вы любите поддерживать в тонусе свой мозг, вам тоже очень пригодится умение работать со степенями, потому что оно позволит решать намного больше интересных примеров и задач. Естественно, это навык крайне важен в школе и институте, ведь от него в большой степени зависит успеваемость учащегося.

Умение умножать и делить степени пригодится школьнику и студенту, а также любому человеку, чья деятельность связана с вычислениями. А прежде, чем учиться умножать и делить степени, важно усвоить несколько базовых основ.

Что такое степенные выражения?

Первое определение степени гласит, что степень n для числа a – это произведение множителей, равных величине a, взятой n раз.

Возьмем, например, aⁿ. Здесь a является основанием степени, а n определяет показатель этой степени.

Исходя из этого, можно получить формулу:

aⁿ = a × a × a … × a

А сама запись так и читается: a в степени n.

Можно сказать проще: степень (конкретно ее показатель) указывает на то, сколько раз нужно умножить основание степени само на себя.

Есть также и второе определение степени, согласно которому, степенное выражение – это выражение, в составе которого имеется степень.

В принципе, все просто, но перед освоением действий со степенными выражениями важно запомнить свойства степеней.

Свойства степеней

Если вы хотите грамотно и правильно работать со степенями, нужно раз и навсегда запомнить пять их свойств:

1. Произведение степеней. В случае, когда у степеней, которые нужно умножить, имеются одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатели степеней суммируются. К примеру, aⁿ × a^m = a^{n + m}. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
2. Частное степеней. Если делятся степени, имеющие одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатель степени делимого уменьшается на показатель степени делителя. К примеру, a^m/aⁿ = a^{m — n}. Основанием степени тут является a, а m и n являются показателями степени в виде натуральных чисел, и при этом m > n.
3. Возведение степени в степень. Если степень возводится в степень, основание остается неизменным, а показатели перемножаются. К примеру, (aⁿ)^m = a^nm. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
4. Степень произведения. Если требуется возвести в степень произведение, все множители возводятся в эту степень. Полученные результаты перемножаются. К примеру, (a × b)ⁿ = aⁿ х bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.
5. Степень частного. Если требуется возвести в степень частное, в эту степень нужно по отдельности возвести делимое и делитель. Первый полученный результат делится на второй. К примеру, (a/b) ⁿ = aⁿ/bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.

Запомнив эти правила, можно переходить к действиям со степенями.

Умножение степеней

Первое правило умножения степеней гласит, что при умножении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно умножить между собой их основания, а показатель остается неизменным.

Формула:

aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ

Пример:

a³ × b³ = (a × a × a)(b × b × b) = (a × b)³ = (ab)(ab)(ab) = (ab)³

3⁵ × 4⁴ = (3 × 4)⁵ = 12⁵ = 248832

16a² = 4² × a² = (4a)²

Второе правило умножения степеней гласит, что при поиске произведения степеней, обладающих одинаковыми основаниями, складываются показатели степеней.

Формула:

aⁿ × a^m = a^{n + m}

 Пример:

3⁵ × 3³ = 3^{5 + 3} = 3⁸ = 6561

2⁸ × 8¹ = 2⁸ × 2³ = 2¹¹ = 2048

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, и какое-либо одно основание не получается преобразовать в число со степенью, как у второго числа, нужно по отдельности возвести в степень каждое число, а затем сложить два результата. Например: 3⁴ х 4³ = 81 + 64 = 145.

Деление степеней

Первое правило деления степеней гласит, что при делении степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями нужно найти разность их показателей, а основание остается неизменным.

Формула:

a^m/aⁿ = a^{n– m} (не забывайте, что n > m)

Пример:

(11³ х 4⁴)/(11 х 4³) = 11^{3 – 1} х 4^{4 – 2} = 11² х 4² = (11 х 4)² = 1936

2a⁴/2a³ = 2a^{4 – 3} = 2a

Второе правило деления степеней гласит, что при делении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно возвести результат частного имеющихся чисел в эту степень.

Формула:

aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Пример:

5

12/3¹² = (5/3)¹²

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, нужно возвести в степень каждое число, а после этого разделить результаты. Например: 3³/5² = 27/25 = 1,08.

Чтобы было проще усвоить умножение и деление степеней, вы также можете запомнить несколько важных теорем, касающихся все рассмотренных нами операций.

Основные теоремы

Всего есть пять теорем, которые требуют внимания:

• Теорема 1. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство a^{n ×} a^m = a^{n + m}. Умножая степени с одинаковыми основаниями, вы складываете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 2. Для любого числа a и любых натуральных чисел n и m (при этом n > m) будет справедливым равенство a ⁿ/a^m = a^{n – m}. Деля степени с одинаковыми основаниями, вы отнимаете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 3. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство (aⁿ)^m = a^nm.

 

Имейте в виду, что эти три теоремы относятся к степеням с одинаковыми основаниями, а далее мы рассмотрим теоремы для степеней с одинаковыми показателями.

 

• Теорема 4. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n будет справедливым равенство aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ. Перемножая степени с одинаковыми показателями, просто перемножьте их основания, а показатель оставьте без изменений.
• Теорема 5. Для любых чисел a и b (при условии, что b ≠ 0) и любого натурального числа n будет справедливым равенство a
  n/bⁿ = (a/b)ⁿ. Деля друг на друга степени с одинаковыми показателями, просто разделите одно основание на другое, а показатель оставьте без изменений.

Несложно увидеть, что расчеты со степенями не вызывают особых трудностей. Чтобы научиться умножать и делить степени, нужно лишь немного попрактиковаться и наработать навык. После этого подобные примеры и задания вы сможете щелкать, как орешки.

Вопросы и ответы

А также предлагаем вашему внимание ответы на часто задаваемые вопросы по умножению и делению степеней.

Что происходит при умножении степеней с одинаковыми основаниями?

При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени суммируются.

Что происходит при делении степеней с одинаковыми основаниями?

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Можно ли упростить выражение a

^{n ×} a^m до одной степени?

Да, выражение a^{n ×} a^{mможно упростить до одной степени так: am + n.}

Чем отличается умножение степеней с одинаковыми основаниями от умножения степеней с разными основаниями?

Умножение степеней с одинаковыми основаниями приводит к сложению показателей, в то время как умножение степеней с разными основаниями не дает степень.

Можно ли умножать разные степени с разными основаниями?

Да, можно умножать разные степени с разными основаниями. В этом случае основания нужно по отдельности возвести в степень, а затем сложить результаты.

Правила для экспонентов

Правила для экспонентов

---

При работе с производственными функциями и моделями роста часто приходится работать с показателями, в том числе с дробными показателями. Далее следует краткий обзор основ.

Экспоненты

---

Определения х ^a = х раз х раз х … итого а раз.

х ^-а = 1 / х ^а

---

Отрицательные показатели степени дают величину, обратную положительному показателю степени. Например

х ^-2 = 1 / х ²

Операции

Умножение переменных, возведенных в степень, требует добавление их показателей. х ^а раз х ^б = х ^{а + б}

х ² раз х ³ = х ⁵

Деление переменных, возведенных в степень, требует вычитая их показателей.

x ^a разделить на x ^b = x ^{a — b}

х ⁵ / х ³ = х ²

Возведение в степень переменных включает умножить на показатели степени.

x ^a в степени b = x ^{a b}

х ⁵ в квадрате = х ¹⁰

Примечание: Нет простых правил сложения и вычитания переменных, возведенных в степень.

---

Логарифмы и процентные изменения

---

Логарифмы являются показателями степени и, следовательно, следовать правилам для показателей. В экономике Чаще всего используется натуральных логарифмов .

Натуральные логарифмы используют основание e = 2,71828 , так что учитывая число e ^x , его натуральный логарифм равен х . Например, e ^{3. 6888} равно 40, так что натуральный логарифм 40 равен 3,6888.

Обычное обозначение натурального логарифма x равно ln x ; экономисты и прочие, кто забыл, что логарифмы по основанию 10 также существуют иногда пишут log x .

Правила эксплуатации

очень похожи на экспоненты. пер аб = пер а + пер б ln a/b = ln a — ln b пер а ^б = б пер а

Существует экономически очень полезное приближенное соотношение:

ln x ₂ — ln x ₁ = ПРОЦЕНТНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ x

Важность натуральных логарифмов в экономике исходит из того, что x = e ^{r t} даст значение переменной x во время т если есть непрерывно начисляется с темпом роста r

Таким образом, мы можем рассчитать текущую стоимость суммы S получить т лет в будущем как

С/э ^{р т} = Се ^-рт

так как отрицательный показатель будет указывать на деление.

---

Назад на ГЛАВНУЮ страницу

Умножение с показателями Рона Куртуса

SfC Home > Арифметика > Алгебра >

Рон Куртус (обновлено 18 января 2022 г.)

Когда вы умножить экспоненциальные выражения , есть несколько простых правил. Если они имеют одинаковую базу, вы просто добавляете показатели степени.

Примечание : Основание экспоненциального выражения x ^y равно x , а показатель степени равен y .

Это также верно для чисел и переменных с разными основаниями, но с одинаковым показателем степени. Вы можете применить правила, когда включены другие числа.

Это правило не применяется, когда числа или переменные имеют разные основания и разные степени.

У вас могут возникнуть следующие вопросы:

• Как умножать степени с одинаковым основанием?
• Как насчет разных оснований, но с одним и тем же показателем?
• А с другими номерами?
• Когда правило не применяется?

Этот урок ответит на эти вопросы.

---

---

Умножение показателей степени с одинаковым основанием

Когда вы умножаете две переменные или числа, имеющие одно и то же основание , вы просто добавляете степени.

(х ^а )*(х ^б ) = х ^а+б

Таким образом, x ³ *x ⁴ = x ³⁺⁴ = x ⁷ .

Доказательство: Так как x ³ = x*x*x и x ⁴ = x*x*x*x , тогда

(х*х*х)*(х*х*х*х) = х*х*х *х*х*х*х = х ⁷

Демонстрация с числами

Демонстрация этого правила видна при умножении 7 ³ на 7 ² . Результат:

(7*7*7)*(7*7) =

7*7*7*7*7 = 7 ⁵

Вместо того, чтобы записывать числа, вы можете просто добавить показатели степени:

7 ³ *7 ² = 7 ³⁺² = 7 ⁵

Аналогично, 2 ³ *2 ⁵ *2 ² = 2 ³⁺⁵⁺² = 2 ¹⁰ .

Вы видите, что при умножении чисел с одинаковым основанием, возведенных в степень, вы добавляете их показателей степени.

Различные основания, но один и тот же показатель степени

При умножении двух переменных или чисел или на разных оснований , но с той же степенью , вы можете просто умножить основания и использовать одну и ту же степень. Например:

(x ^a )*(y ^a ) = (xy) ^a

Также:

(x ³ )*(y ³ ) = xxx*yyy = (xy) ³

Аналогично, с номерами:

3 ² *4 ²⁼ (3*4) ² = 12 ² = 144

Включая другие числа

Если у вас есть экспоненциальные числа, которые умножаются на другие числа, вы можете легко выполнить арифметику. Например, упростите:

.

(12*7 ⁵ )*(2*7 ³ )

Переставить номера:

(12*2)*(7 ⁵ *7 ³ )

Затем добавьте показатели степени:

24*7 ⁸

Другие числа или переменные также могут быть экспоненциальными. Некоторые примеры включают:

(3 ³ *5 ² )*(5 ³ *3 ³ ) = (3 ³⁺³ )*(5 ²⁺³ ) = 3 ⁶ *5 ⁵

(7*x ³ )*(y ² *x ⁵ ) = 7y ² x ⁸

(а ³ *б ³ )*(б ⁶ *а ⁵ ) = а ⁸ б ⁹ 9001 7

Когда правило не применяется

При умножении выражений с разными основаниями и разными показателями нет правила, упрощающего процесс.

Например, предположим, что вы хотите умножить 2 ³ *5 ² .

Вы можете видеть, что 2 ³ = 8 и 5 ² = 25 . Таким образом, 8*25 = 200 . Но если вы попробуете (2*5) ³⁺² , вы получите 10 ⁵ , что неверно.

Сводка

Когда вы умножаете два числа или переменные с одинаковым основанием, вы просто складываете показатели степени. Когда вы умножаете выражения с одним и тем же показателем степени, но с разными основаниями, вы умножаете основания и используете один и тот же показатель степени.

Когда вы включаете другие числа или переменные в умножение, вы просто разбиваете его на несколько умножений, например, (х*10 ⁵ )*(х*10 ³ ) = х ² *10 ⁸ .

Когда вы умножаете выражения с разными основаниями и разными показателями, нет правила, упрощающего процесс.

---

Всегда делайте все возможное

---

Ресурсы и ссылки

Учетные данные Рона Куртуса

Веб-сайты

Экспоненты: Основные правила — PurpleMath.