Пример квадратичной функции: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

Квадратичная функция, ее свойства, примеры и график

Функция y = ax² + bx + c, где a, b и c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется квадратичной функцией. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

При этом многочлен ax² + bx + c называют квадратным трехчленом. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного трехчлена: a — первым коэффициентом, b — вторым,                        c — свободным членом. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.

Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение                 ax² + bx + c = 0. Рассмотрим пример, найдем корни квадратного трехчлена x² — x — 2. Решая уравнение x² — x — 2 = 0, получаем: x₁ = -1, x₂ = 2.

Число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от знака его дискриминанта                     D = b² — 4ac, а значит и квадратный трехчлен:

• имеет два различных корня, если D > 0;
• имеет один корень (два равных корня), если D = 0;
• не имеет действительных корней, если D < 0.

Рассмотрим пример, квадратный трехчлен 3x² — 8x + 5 имеет два различных корня, так как          D = 8² — 4* 3*5 = 4 > 0, корни этого трехчлена: x₁ = 5/3,  x₂ = 1.

Квадратный трехчлен 4x² — 4x + 1 имеет один корень, так как D = 4² — 4*4*1 = 0, корень этого трехчлена  х = 1/2.

Квадратный трехчлен 2x² — 5x + 6 не имеет действительных корней, так как                                       D = 5² — 4*2*6 = — 23 < 0.

Рассмотрим самую простую квадратичную функцию

y = x², т. е. функцию y = ax² + bx + c, при a = 1, b = c = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений.

х	-2	-1	0	1	2
у	4	1	0	1	4

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Кривая, являющаяся графиком функции y = x², называется параболой. Ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы y = x² является начало координат.

Рассмотрим функцию вида y = 2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

x	-2	-1	0	1	2
y	8	2	0	2	8

Сравним графики функций y = 2х² и y = х². При одном и том же х значение функции y = 2х² в 2 раза больше значения функции y = х². Это значит, что каждую точку графика y = 2х² можно получить из точки графика функции y = х² с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 2х² получается растяжением графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = 1/2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

х	-2	-1	0	1	2
y	2	0.5	0	0.5	2

Сравним графики функций y = 1/2x² и y = х². Каждую точку графика y = 1/2x² можно получить из точки графика функции  y = х² с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x² получается сжатием графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = —x²,  и сравним с функцией y = х². При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции y = —x² можно получить симметрией относительно оси абсцисс графика функции 

y = х². Составим таблицу значений.

х	-2	-1	0	1	2
у	-4	-1	0	-1	-4

Говорят, что ветви параболы y = х² направлены вверх, а ветви параболы y = —x² направлены вниз. Аналогично график функции y = -2х² симметричен графику функции y = 2х² относительно оси абсцисс. График функции y = -1/2х² симметричен графику функции y = 1/2х² относительно оси абсцисс. График функции y = ах² при любом а ≠ 0 также называют параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при 

а < 0 вниз.

Рассмотрим функцию вида y = x² — 2х — 3, чтобы построить график составим таблицу значений.

х	-2	-1	0	1	2	3	4
у	5	0	-3	-4	-3	0	5

 

Вообще, графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы      y = ax² вдоль координатных осей. Равенство y = ax² + bx + c называют уравнением параболы.

Построение графика квадратичной функции

Урок 8. Алгебра 9 класс ФГОС

На этом уроке вводиться алгоритм построения графика квадратичной функции. Рассматриваются примеры построения графиков квадратичных функций вида y=a(x-m)2+n и y=ax2+bx+c.

Конспект урока «Построение графика квадратичной функции»

Графиком любой квадратичной функции является парабола. У каждой параболы есть вершина, при изображении графика важно знать её координаты. Вершина параболы  имеет координаты (m,n).

Определите координаты вершин для парабол:

Определим координаты вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции записанной в виде .

Преобразуем квадратный трёхчлен, выделим из него квадрат двучлена:

Второе слагаемое представим в виде удвоенного произведения:

Выделим квадрат суммы:

После сокращения получаем:

Отсюда запишем, что:

Вывод.

Графиком функции  является парабола, которую можно получить из параболы с помощью двух параллельных переносов: сдвига относительно оси x и сдвига относительно оси

y. Данная парабола имеет вершину с координатами (m,n), где , . Осью симметрии является прямая x=m.

Пример.

Найти координаты вершины параболы .

Вершина будет иметь координаты (m,n), каждую из которых можно получить по формуле. Подставим коэффициенты квадратичной функции в формулу и найдём эти значения:

Вершина параболы имеет координаты (-2,-5).

Воспользуемся наиболее простым способом: сначала найдём m вершины по формуле. И учитывая, что вершина принадлежит графику функции, подставим m вместо аргумента в функцию:

Получили вершину, которая имеет координаты (-2,-5).

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1.     Определить направление ветвей парабола. Если a>0, то ветви направлены вверх, если

a<0, то — вниз.

2.     Найти координаты вершины параболы и отметить её на координатной плоскости. Применив формулу , найдём абсциссу вершины параболы, и, подставив это значение в формулу, задающую функцию, найдем ординату этой точки.

3.     Определить ось симметрии x=m.

4.     Построить ещё несколько точек принадлежащих параболе, составив таблицу значений функции с учётом оси симметрии.

5.     Соединить отмеченные точки плавной линией.

Пример.

Изобразить график функции .

1.                Определим направление ветвей параболы:

2.                Найдём координаты вершины:

Получили вершину с координатами (-2, -3).

3.                Определим ось симметрии:

4.                Составим таблицу значений:

Выбранные значения симметричны относительно оси симметрии.

5.                Отметим и соединим полученные точки на координатной плоскости:

Получили параболу, которая является графиком функции. n

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Квадратичная функция

Общая форма квадратичной функции: ф ( Икс ) знак равно а Икс 2 + б Икс + с . График квадратичной функции представляет собой парабола , тип 2 -мерная кривая.

«Основная» парабола, у знак равно Икс 2 , выглядит так:

Функция коэффициента а в общем уравнении состоит в том, чтобы сделать параболу «шире» или «тоньше» или перевернуть ее вверх дном (если отрицательно):

Если коэффициент Икс 2 положителен, парабола раскрывается; в противном случае он открывается вниз.

Вершина

вершина параболы – это точка в нижней части « U » форма (или вершина, если парабола направлена ​​вниз).

Уравнение параболы также можно записать в «вершинной форме»:

у знак равно а ( Икс − час ) 2 + к

В этом уравнении вершиной параболы является точка ( час , к ) .

Вы можете увидеть, как это соотносится со стандартным уравнением, перемножив его:

у знак равно а ( Икс − час ) ( Икс − час ) + к

у знак равно а Икс 2 − 2 а час Икс + а час 2 + к

Коэффициент Икс вот − 2 а час . Это означает, что в стандартной форме у знак равно а Икс 2 + б Икс + с , выражение

− б 2 а

дает Икс -координата вершины.

Пример:

Найдите вершину параболы.

у знак равно 3 Икс 2 + 12 Икс − 12

Здесь, а знак равно 3 а также б знак равно 12 . Итак Икс -координата вершины:

− 12 2 ( 3 ) знак равно − 2

Подставив в исходное уравнение, чтобы получить у -координата, получаем:

у знак равно 3 ( − 2 ) 2 + 12 ( − 2 ) − 12

знак равно − 24

Итак, вершина параболы находится в точке ( − 2 , − 24 ) .

Ось симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через вершину. Для параболы стандартной формы у знак равно а Икс 2 + б Икс + с , ось симметрии имеет уравнение

Икс знак равно − б 2 а

Обратите внимание, что − б 2 а также является Икс -координата вершины параболы.

Пример:

Найдите ось симметрии.

у знак равно 2 Икс 2 + Икс − 1

Здесь, а знак равно 2 а также б знак равно 1 . Итак, осью симметрии является вертикальная линия

Икс знак равно − 1 4

Перехваты

Вы можете найти у -перехват параболы простым вводом 0 за Икс . Если уравнение находится в стандартной форме, то вы можете просто взять с как у -перехват. Например, в приведенном выше примере:

у знак равно 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) − 1 знак равно − 1

Итак у -перехват − 1 .

Икс -перехваты немного сложнее. Вы можете использовать факторинг , или же завершение квадрата , или квадратичная формула найти их (если они существуют!).

Домен и диапазон

Как и любая функция, домен квадратичной функции ф ( Икс ) это набор Икс -значения, для которых определена функция, и диапазон множество всех выходных значений (значений ф ).

Квадратичные функции обычно имеют областью определения всю действительную прямую: любая Икс является законным входом. Диапазон ограничен теми точками, которые больше или равны у -координата вершины (или меньше или равна, в зависимости от того, открывается парабола вверх или вниз).

Квадратичная функция (многочлен), уравнение и формула

Типы функций >

Содержание :

1. Квадратичная функция
   • Область определения и область значений квадратичной функции
2. Что такое квадратичный член?
3. Квадратное уравнение и квадратичная функция
4. Как использовать квадратичную формулу в вычислениях
5. График параболической функции

Квадратичная функция (также называемая квадратичной , квадратичной полиномиальной , или полином степени 2 ) — это особый тип полиномиальной функции, где член высшей степени является второй степенью.

Общая форма квадратичной функции:
f(x) = ax ²  + bx + c (или y = ax ²  + bx + c) ,
, где a, b и c — все действительные числа, а a не могут быть равны 0.  

График квадратичной функции представляет собой параболу, двумерную кривую, которая выглядит либо как чашка (∪), либо как шапка (∩).

Квадратичная функция y = x ² – x – 2 представлена ​​ниже:
Квадратичный полином с двумя действительными корнями (пересечения оси x), что означает отсутствие комплексных корней. Квадратичная функция, имеющая минимум над осью x, не имеет действительных корней и имеет два комплексных корня.

Переменная «а» квадратичной функции сообщает вам, открывается ли парабола вверх (более формально называется вогнутой вверх) или открывается вниз (называется вогнутой вниз). На графике выше переменная x ²  положительна, поэтому парабола раскрывается. Если переменная x ²  были отрицательными, например -3x ² , парабола открывалась вниз. Развернутая парабола имеет вершину, являющуюся точкой минимума. Парабола, обращенная вниз, имеет вершину, являющуюся точкой максимума. Квадратичные функции полезны при решении задач, связанных с величинами с неизвестными переменными.

Идентификация квадратичной функции

Квадратичная функция является примером многочлена второй степени. Это означает, что наивысшая степень, которую может иметь переменная в функции, равна 2. Один из способов запомнить это — помнить, что термин «квадратичная» происходит от слова «9».0131 квадрат , что означает квадрат (мы ищем функцию, где квадрат является самой высокой переменной).

Примеры

• f(x) = x ²  является квадратичной функцией, поскольку степень переменной x равна 2.
• f(x) = 2x ² + 5x + 3 является квадратичным, поскольку наивысшая степень всех переменных равна 2. Обратите внимание, что степень переменной 5x равна 1.
• f(x) = x ³ не является квадратичным. Степень переменной x равна 3. Опять же, наивысшая степень переменной x в квадратичной функции равна 2.
• f(x) = x ⁵ – 6x ² . Это немного сложнее, так как у нас есть переменная x со степенью 2. Однако самая высокая степень в функции — 5, что нарушает общее правило выше. Таким образом, эта функция не является квадратичной функцией.

Квадратичная функция — это тип полиномиальной функции. Вы можете использовать следующую блок-схему, чтобы найти домен и диапазон:

Посмотрите это короткое видео о том, как найти домен и диапазон квадратичной функции, используя блок-схему и график:

Область определения и область значений квадратичной функции

Посмотрите это видео на YouTube.

Квадратичная функция или уравнение имеет вид f(x) = ax ² + bx + c. Он содержит три слагаемых :

• x ² = квадратичный член (а — старший коэффициент). Этот член всегда увеличивается до 2, поэтому иногда его называют в квадрате .
• bx = линейный член,
• c = постоянный член.

Например, для функции f(x) = 5x ² + 4x – 2 квадратичный член равен 5x ² . В выражении f(x) = x ² + 2 это x ² . Знак старшего коэффициента влияет на форму параболы:

• Положительный коэффициент приведет к U-образной форме,
• Отрицательный коэффициент приведет к форме «∩».

Положительный коэффициент (красный) и отрицательный (синий). Графика с Desmos.com.

Он называется квадратичным членом, потому что этот член делает выражение квадратичной функцией: уберите «ax ² », и у вас останется линейная функция, bx + c.

Пример квадратичного члена

Движение снаряда можно частично описать квадратичным членом. Например, на следующем графике показана траектория бейсбольного мяча:

Выражение, необходимое для полного объяснения траектории бейсбольного мяча, состоит из трех частей:

• Квадратичный член представляет движение мяча под действием силы тяжести. Именно это придает траектории характерную квадратичную (то есть горбатую) форму: ускорение замедляется по мере того, как гравитация притягивает мяч. В конце концов мяч достигает своей максимальной высоты, затем гравитация еще больше замедляет мяч, пока он не упадет на землю.
• Линейный член представляет собой вертикальное (восходящее) движение мяча после удара по нему битой. Эта часть выражения была бы прямой линией, за исключением того, что гравитация изгибает ее вниз.
• Постоянный член представляет начальную высоту мяча в момент удара. Для бейсбольного мяча это примерно 2-3 фута, в зависимости от роста игрока.

В исчислении мы в основном занимаемся функциями.

Уравнение — это просто выражение с двумя равными членами. Например:
y = ax ² + bx + c
Если квадратное уравнение удовлетворяет требованиям для функций (каждый вход соответствует не более чем одному выходу), то оно называется квадратичной функцией. Обычно вы должны дать этой функции имя:
f(x) = ax ² + bx + c.
Это соглашение об именах, где «f» — отношение функций, означает, что квадратичные функции и квадратные уравнения проще разделить.

Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение всегда имеет два решения, так как оно является полиномом второго порядка. Эти два решения могут быть как действительными, так и комплексными числами.

Корни (или нули) можно найти, разложив на множители или дополнив квадрат. Иногда может быть целесообразно изобразить уравнение в виде графика; Часто самый простой способ найти корни — использовать квадратная формула , которая, когда вы подставите a, b и c вашего конкретного квадратного уравнения, даст вам корни.

Эта формула может быть получена путем завершения квадрата обобщенного уравнения ax ² + bx + c = 0. Завершение квадрата — это когда вы переписываете полином как величину, возведенную в степень «2».

Квадратные уравнения часто встречаются в алгебре, и квадратную формулу стоит запомнить. Они также имеют множество приложений в геометрии, инженерии и биологии.

Квадратная формула — это способ найти решение для любого многочлена в форме ax ² + bx + c = 0. Вам нужно будет использовать квадратную формулу, чтобы найти решения для многочленов во многих местах; например, вы можете использовать решения для полиномов, чтобы найти полное расстояние для уравнений скорости. Это работает, когда факторинг не работает или когда факторинг слишком сложен. На самом деле формула всегда даст вам решение, в то время как факторинг иногда работает, а иногда нет.

Квадратичная формула выглядит следующим образом:
Для любой функции вида ax ² + bx + c = 0 значение x определяется как:

«a», «b» и c равны просто числа или числовые коэффициенты. Формула получается из заполнения квадрата.

Пример квадратичной формулы

Пример задачи: Решите x ² + 3x + 4 с помощью квадратичной формулы.

Шаг 1: Определите a, b и c в вашей функции.
Мы знаем, что квадратичная формула имеет вид: ax ² + bx + c = 0. Итак, в этом примере a = 1, b = 3 и c = 4. Обратите внимание, что перед x ^{2 нет числа.} , поэтому мы ставим «1». Это потому, что 1 * х ² = х ² .

Шаг 2: Подставьте a, b и c в формулу квадрата:

Шаг 3: Используйте алгебру для решения формулы:

Это еще больше упрощает до -8/2, 2/2 или -4, 1, что является решением этого конкретного квадратного уравнения.

Совет: Чтобы формула работала, ваша функция должна иметь вид ax ² + bx + c = 0. Вам может понадобиться немного алгебры, чтобы получить вашу функцию в правильной форме. Обратите внимание, что «2a» в знаменателе находится под всем , а не только квадратным корнем. Большинство ошибок совершается из-за того, что случайно отбрасывают квадратный корень, ставят «а» в знаменателе вместо «2а» или опускают «плюс/минус». Кроме того, когда вы вычисляете «b ² », ответ всегда будет положительным, даже если перед b стоит отрицательный. Не забывайте включать знаки при работе с уравнением.

График параболической функции — это любой график, имеющий U-образную (или перевернутую U-образную) форму. Другими словами, это график квадратичной функции.

Основная форма графика параболической функции

График параболической функции имеет следующую основную форму: c рассказать вам кое-что о:

• Где расположен график на плоскости x-y,
• Насколько крутая форма,
• Является ли график «правой стороной вверх» или «перевернутым».

A и B: расположение вершины квадратичной функции

Вершина — это самая низкая точка параболы (или, если парабола перевернута, самая высокая точка). Например, функция f(x) = 5(x – 2) ² + 1 имеет вершину в точке (2, 1).

C: Направление и Крутизна

Знак «с» говорит вам, открывается ли парабола вверх или вниз. На следующем графике показана функция f(x) = 5(x – 2) ² + 1 (показаны красным). Изменение знака первого члена на -5 переворачивает график вверх ногами:

Значение «c» изменяет крутизну графика. В приведенном ниже примере одна и та же функция изображена с тремя разными значениями c. Чем дальше от нуля, тем круче график параболической функции:
Влияние изменения константы c на 1 (красный), 5 (зеленый) и 20 (синий) на графике параболической функции для той же функции.

Чтобы сравнить крутизну графиков с разными знаками для c (например, -10 и 4), сначала возьмите абсолютные значения. В этом примере вам останется сравнить 10 и 4, поэтому 10 — более крутой график.

Ссылки

Калькулятор Desmos.
Колумбийский университет. Предварительное исчисление: нелинейные функции. Получено 6 декабря 2019 г. с: http://ci.columbia.edu/ci/premba_test/c0331/s4/s4_3.html
Приложения квадратных уравнений. Получено с https://www.cos.edu/Faculty/jonb/Documents/10.6.pdf 13 января 2019 г.
Подготовка к экзамену по математике THEA: решение квадратичных уравнений.