Примеры дифференциальные уравнения однородные: Однородные дифференциальные уравнения: определение, примеры

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x₀)=y₀, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x², как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

• Назад
• Вперёд

Глава 87. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Уравнения вида

,

(8.4.1)

Называется Однородным, если и однородные функции степени .

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с понятием однородной функции.

Определение

Функция называется Однородной функцией степени , если для произвольного числа выполняется равенство .

Пример

Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

А) . Так как , то данная функция однородна степени 2.

Б) . . Функция однородна степени 0.

В) . . Данная функция неоднородная.

Дифференциальное уравнение вида (8.4.1) можно привести к виду

(8. 4.2)

И при помощи подстановки ( – неизвестная функция) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Поскольку , то Þ Þ Þ .После того, как общее решение последнего уравнения будет найдено, необходимо вернуться к старой функции .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Разделим уравнение почленно на . Получим . Выполним замену . Следовательно, . Подстановка в исходное уравнение дает Þ – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Возвращаясь к функции , получим общее решение уравнения: .

Логарифмирование решения дает: .

Пример

Найти частное решение уравнения в точке .

Решение

Уравнение однородное нулевой степени – или . В результате подстановки (, ) получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .

Определение

Дифференциальное уравнение вида

.

(8.4.3)

Где и – непрерывные функции, называется Линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно, что и объясняет название уравнения.

Если , то уравнение (8.4.3) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.4.3) называется Линейным неоднородным уравнением.

Пусть линейное однородное уравнение.

(8.4.4)

Соответствует уравнению (8.4.3). Мы рассмотрим так называемый метод вариации постоянной – метод решения неоднородного уравнения, основанный на предварительном решении однородного уравнения (8.4.4).

Уравнение (8.4.2) можно решить методом разделения переменных:

, откуда .

Потенцируя, получаем общее решение уравнения (8.4.4):

,

(8.4.5)

Где .

Общее решение неоднородного уравнения (8.4.3) ищем в виде (8.4.5), полагая константу новой неизвестной функцией от аргумента.

.

(8.4.5а)

Подставим решение (8.4.5а¢) в уравнение (8.4.3).

,

Откуда после приведения подобных получаем уравнение для :

.

(8.4.6)

Интегрирование уравнения (8.4.4) дает выражение для : .

Подставляя выражение для в формулу общего решения, получаем окончательное выражение для решения неоднородного уравнения:

,

(8.4.7)

Где – произвольная постоянная.

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции . К таковым относится Уравнение Бернулли:

,

(8.4.8)

Где и – непрерывные функции, а – некоторое постоянное число. При имеем линейное неоднородное уравнение, а при – линейное однородное уравнение .

Пусть и . Введем новую функцию . Тогда . Поделим обе части уравнения (8.4.8) на и умножим на : .

Выполняя замену, получим линейное неоднородное уравнение относительно новой функции : . Метод решения последнего нами уже изучен.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала решим соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные, получим Þ .

Полагая функцией от и подставляя найденное решение в исходное неоднородное уравнение, получаем после приведения подобных дифференциальное уравнение для : .

После интегрирования этого уравнения и подстановки в уже найденное решение однородного уравнения получим искомое общее решение исходного уравнения: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при . Заменой искомой функции мы получим линейное неоднородное уравнение относительно : . По формуле (8.4.7) получаем общее решение этого уравнения . Теперь выполняя обратную замену , получаем решение исходного нелинейного уравнения:

Рассмотрим еще один из возможных способов решения линейного неоднородного уравнения (8.4.3) и уравнения Бернулли (8.4.8).

Решение этих уравнений ищем в виде произведения двух функций . Тогда линейное уравнение и уравнение Бернулли сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Так как , то линейное уравнение (8.4.3) преобразуется к виду .

Найдем сначала какое–нибудь частное решение уравнения . Тогда функция Решение уравнения .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение . Пусть , тогда . Следовательно, или . Положим . Проинтегрировав это уравнение, найдем какое–нибудь частное решение этого уравнения . Например, при получаем . Подставляя в уравнение Функцию , получим уравнение относительно функции : . Решением этого уравнения с разделяющимися переменными есть функция . Окончательное выражение для решения исходного уравнения имеет вид .

< Предыдущая		Следующая >

Однородное дифференциальное уравнение – формула, определение, решение, примеры

Однородное дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее дифференцирование и функцию с набором переменных. Функция f(x, y) в однородном дифференциальном уравнении — это однородная функция такая, что f(λx, λy) = λ ⁿ f(x, y) для любой ненулевой константы λ. Общая форма однородного дифференциального уравнения: f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0,

Давайте узнаем больше об однородном дифференциальном уравнении, методе решения однородного дифференциального уравнения, примеры, часто задаваемые вопросы.

1.	Что такое однородное дифференциальное уравнение?
2.	Как решить однородное дифференциальное уравнение?
3.	Примеры однородного дифференциального уравнения
4.	Практические вопросы по однородным дифференциальным уравнениям
5.	Часто задаваемые вопросы по однородному дифференциальному уравнению

Что такое однородное дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение, содержащее однородную функцию, называется однородным дифференциальным уравнением.

Функция f(x, y) называется однородной, если f(λx, λy) = λ ⁿ f(x, y) для любой ненулевой константы λ. Общая форма однородного дифференциального уравнения имеет вид f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. Однородное дифференциальное уравнение имеет одинаковую степень для переменных x, y внутри уравнения.

Однородное дифференциальное уравнение не имеет постоянного члена внутри уравнения. Линейное дифференциальное уравнение имеет постоянный член. Решение линейного дифференциального уравнения возможно, если мы можем удалить постоянный член из линейного дифференциального уравнения и преобразовать его в однородное дифференциальное уравнение. Кроме того, однородное дифференциальное уравнение не имеет переменных x, y внутри каких-либо специальных функций, таких как логарифмические или тригонометрические функции.

Примеры однородных дифференциальных уравнений.

• dy/dx = (x + y)/(x — y)
• dy/dx = x(x — y)/y
  2
• dy/dx = (x ² + y ² )/xy
• dy/dx = (3x + y)/(x — y)
• dy/dx = (x ³ + y ³ )/(xy ² + yx ² )

В приведенных выше примерах мы можем заменить x = λx и y = λy, чтобы доказать это для однородного дифференциального уравнения. Кроме того, если однородное дифференциальное уравнение имеет вид dx/dy = f(x, y) и f(x, y) — однородная функция, то мы подставляем x/y = v или x = vy. Это при дальнейшем интегрировании и подстановке переменных x, y дает общее решение однородного дифференциального уравнения.

Как решить однородное дифференциальное уравнение?

Общее решение однородного дифференциального уравнения можно получить интегрированием данного дифференциального уравнения. Однородное дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x, y) решается сначала путем разделения переменной и производной от конкретной переменной с обеих сторон, а затем интегрирования ее по переменной.

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x, y), сделаем замену y = v.x. Здесь легко интегрировать и решить с этой заменой. Дальнейшее дифференцирование y = vx по x дает dy/dx = v + x.dv/dx. Мы можем подставить значение dy/dx в выражение dy/dx = f(x, y) = g(y/x), чтобы получить приведенное ниже выражение.

v + x.dv/dx = g(v)

xdv/dx = g(v) — v

Разделив переменные x и v, получим:

\(\dfrac{dv}{g( v) — v} = \dfrac{dx}{x}\)

Здесь мы интегрируем его с обеих сторон, что приводит к следующему выражению.

\(\int \dfrac{1}{g(v) — v}.dv = \int \dfrac{1}{x}.dx\)

Приведенное выше выражение дает следующее решение, которое является общим решение дифференциального уравнения.

\(\int \dfrac{1}{g(v) — v}.dv = Logx + C\)

Здесь мы подставляем обратно значение v = y/x, чтобы получить общее решение однородного дифференциального уравнения. Наличие +С в решении, относит его к общему решению, а далее решая и подставляя значение +С, можно получить частное решение данного однородного дифференциального уравнения.

Связанные темы

Следующие темы помогают лучше понять однородные дифференциальные уравнения.

• Дифференциальные уравнения
• Линейное дифференциальное уравнение
• Формула УФ-дифференциации
• Дифференциация тригонометрических функций
• Применение деривативов

Часто задаваемые вопросы по однородному дифференциальному уравнению

Что такое однородное дифференциальное уравнение?

Однородное дифференциальное уравнение, содержащее дифференциальное уравнение, содержащее однородную функцию. Однородное дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x, y) имеет однородную функцию f(x, y) такую, что f(λx, λy) = λ ⁿ f(x, y) для любой ненулевой константы λ. Общая форма однородного дифференциального уравнения имеет вид f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0,

В чем разница между однородным и неоднородным дифференциальным уравнением?

Однородное дифференциальное уравнение состоит из однородной функции f(x, y), такой, что f(λx, λy) = λ ⁿ f(x, y) для любой ненулевой константы λ. Неоднородное дифференциальное уравнение не содержит однородной функции. Примером неоднородного дифференциального уравнения является линейное дифференциальное уравнение вида dy/dx + Py = Q.

Каковы примеры однородного дифференциального уравнения?

Вот несколько примеров однородных дифференциальных уравнений.

• dy/dx = (x + y)/(x — y)
• dy/dx = (x ² + y ² )/xy
• dy/dx = (3x + y)/(x — y)
• dy/dx = (x ³ + y ³ )/(xy ² + yx ² )

Какова формула однородного дифференциального уравнения?

Общая форма однородного дифференциального уравнения имеет вид f(x, y). dy + g(x, y).dx = 0. Здесь функция f(x, y) является однородной функцией такой, что f(λx, λy) = λ ⁿ f(x, y) для любой ненулевой константы λ. Также нет определенной формулы для однородного дифференциального уравнения или для нахождения его решения. Однородное дифференциальное уравнение решается через последовательность шагов.

Каковы шаги для решения однородного дифференциального уравнения?

Однородное дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x, y) можно решить, выполнив следующую последовательность шагов.

• Шаг — 1: Подставьте y = vx в данное дифференциальное уравнение.
• Шаг — 2: Разделите переменные и дифференцирование переменных по обе стороны от знака равенства.
• Шаг — 3: Найти интегрирование переменных и найти общее решение, содержащее v и x.
• Шаг — 4: Подставьте обратно значение v, чтобы получить общее решение в переменных x и y.

Однородные дифференциальные уравнения0001

В математике дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее одну или несколько функций и их производные. В этой статье мы собираемся обсудить однородные уравнения, но прежде чем перейти к теме, давайте сначала разберемся с однородной функцией.

Однородная функция

Говорят, что функция f(x, y) по x и y является однородной функцией степени каждого члена, равной p. Например: f(x, y) = (x ² + y ² – xy) является однородной функцией степени 2, где p = 2. Аналогично, g(x, y) = (x ³ – 3xy ² + 3x ² y + y ³ ) — однородная функция степени 3, где p = 3. В общем случае однородная функция ƒ(x, y) степени n записывается как :

ƒ(x, y) = x ⁿ ƒ(y/x)

Уравнение вида dy/dx = f(x, y)/g(x, y), где обе функции f(x, y) и g(x, y) являются однородными функциями степени n, простым словом обе функции имеют одинаковую степень, называется однородным дифференциальным уравнением. Например: dy/dx = (x ² – y ² )/xy — однородное дифференциальное уравнение.

Решение однородного дифференциального уравнения

Пусть dy/dx = f(x, y)/g(x, y) — однородное дифференциальное уравнение. Теперь, подставляя y = vx и dy/dx = (v + x dv/dx) в данном уравнении, мы получаем

v + x dy/dx = F(v)

=> ∫dv/{F(v) – v} = ∫dx/x

=> ∫dv/{F(v) – v} = log|x| + C

Теперь замените v на (y/x), чтобы получить требуемое решение. Давайте посмотрим несколько примеров.

Пример 1: Решить dy/dx = y ² – x ² /2xy?

Решение:

Ясно, что поскольку каждая из функций (y ² – x ² ) и 2xy является однородной функцией степени 2, данное уравнение является однородным.

Положив y = vx и dy/dx = v + x dy/dx, данное уравнение принимает вид

=> v + x dv/dx = v ² – 1/2v   [после деления (v ² x ² /2vx ² – x ² /2vx ² )]

9 x

=> – 1/2v) – v)

=> x dv/dx = -(1 + v ² )/2v

=> 2v/(1 + v ² )dv = -1/x dx

=> ∫2v/(1 + v ² )dv = -∫1/x dx [объединение обеих сторон]

=> log | 1 + v ² | = -лог | х | + журнал C

=> журнал | 1 + v ² | + журнал | х | = журнал C

=> журнал | х(1 + v ² ) | = log C

=> x(1 + v ² ) = ±C

=> x(1 + v ² ) = C ₁

=> x(1 + y ² / x ² ) = C ₁   [Подставив исходное значение v = y/x]

=> (x ² + y ² ) = xC ₁ , что и является требуемым решением

Пример 2: Решите (x√(x ² + y ² ) – у ² )dx + xy dy = 0?

Решение:

Данное уравнение может быть записано как

dy/dx = y ² — x√ (x ² + y ² )/xy, который явно является однородным

+ y ² )/xy, который явно является однородным Подставляя в нем y = vx и dy/dx = v + x dv/dx, получаем

v + x dv/dx = {v ² x ² – x√(x ² + v ² y ² )}/vx ²  

=> x dv/dx = [{v ² – √(1 + v ² )}/v – v]

=> x dv/dx = -√(1 + v ² )/v

=> ∫v/√(1 + v ² )dv = -∫dx/xc [Интегрирование обеих сторон]

=> √(1 + v ² ) = -log | х | + C

=> √(x ² + y ² ) + x log | х | = Cx, что является требуемым решением после установки значения v = y/x.

Пример 3: Решите x dy/dx – y = √(x ² + y ² )?

Решение:

Данное уравнение может быть записано как dy/dx = {y + √(x ² + y ² )}/x , что явно является однородным.

Подставляя в него y = vx и dy/dx = v + x dv/dx, получаем

v + x dv/dx = {vx + √(x ² + v ² x ² ) }/x

=> v + x dv/dx = v + √(1+v ² ) [После деления {vx + √(x ² + v ² x ² )}/ х]

=> х dv/dx = √(1 + v ² ) [v с обеих сторон отменяется]

=> dv/√(1+v ² ) = 1/x dx [после перестановки]

=> ∫dv/√(1+v ² ) = ∫1/x dx [интегрирование обеих сторон]

=> log | в | + √(1 + v ² ) | = журнал | х | + журнал C

=> журнал | {v + √(1 + v ² )}/x | = журнал | С |

=> {v + √(1 + v ² )}/x = ±C

=> v + √(1 + v ² ) = C ₁ x, где C ₁ = ±С

=> y + √(x ² + y ² ) = C ₁ x ² , что является требуемым решением после подстановки значения v = y/x

Пример

2 401: Решить (x cos(y/x))(y dx + x dy) = y sin(y/x)(x dy – y dx)?

Решение:

Данное уравнение можно записать в виде

(x cos(y/x) + y sin(y/x))y – (y sin(y/x) – x cos ( у/х)) х.

No related posts.