что это такое, как их вычислить и примеры • BUOM
9 апреля 2021 г.
Факториалы могут быть просты в вычислении и иметь множество практических применений в реальном мире. Например, некоторые компании используют факториалы для просмотра перестановок и комбинаций в деловых целях, например, для определения количества грузовиков, необходимых для снабжения их магазинов в каждом районе. Вы можете использовать математические задачи с факториалами, если вы работаете в сфере логистики или работаете в такой отрасли, как финансы или программное обеспечение.
В этой статье мы обсудим, что такое факториал, как вычислить факториал, приведем примеры проблем с факториалом и ответим на часто задаваемые вопросы о факториале.
Что такое факториал?
Факториал — это функция в математике со знаком (!), которая умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. Проще говоря, функция факториала предлагает умножить все целые числа из выбранного числа на единицу. Говоря более математическим языком, факториал числа (n!) равен n(n-1).
Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы должны написать:
Программы для Windows, мобильные приложения, игры — ВСЁ БЕСПЛАТНО, в нашем закрытом телеграмм канале — Подписывайтесь:)
4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24.
Вы можете использовать факториалы, чтобы найти количество способов, которыми можно расположить (n) объектов. Когда порядок каждого элемента имеет значение, например, когда вы обсуждаете пароль к сейфу, это перестановка. Когда порядок не имеет значения, это комбинация. Например, если вы хотите узнать, сколько комбинаций вы можете составить из трехзначного числа 725, вы должны найти факториал 3!, то есть
3! = 3 х 2 х 1 = 6.
Это означает, что с числом 725 можно составить шесть комбинаций: 725, 752, 572, 527, 275 и 257.
Формула факториала:
н! = п*(п-1)!
Как рассчитать факториал
Вы можете выполнить следующие шаги, чтобы найти факториал:
1. Определяем количество
Определите число, факториал которого вы находите.
Факториал состоит из положительного целого числа и восклицательного знака. Например, если вы хотите найти факториал числа восемь, математически это будет выглядеть так:
8!
2. Напишите последовательность
Используя формулу факториала, вы можете записать последовательность чисел, которые вы будете умножать. Это включает в себя число, для которого вы находите факториал, число восемь в этом примере и все числа, последовательно убывающие от него до единицы. Математически хотелось бы так:
н! = п (п-1) =
8 (8 — 1) (8 — 2) (8 — 3) (8 — 4) (8 — 5) (8 — 6) (8 — 7)
3. Умножьте числа
После того, как вы записали последовательность чисел, вы можете перемножить их. Если вы умножите все числа в этом примере, 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1, вы получите окончательный ответ 40 320. Математически это выглядит так:
н! = п (п-1) =
8 (8 — 1) (8 — 2) (8 — 3) (8 — 4) (8 — 5) (8 — 6) (8 — 7) =
8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40 320
Вы также можете вычислить факториал с помощью научного калькулятора.
Калькулятор должен иметь кнопку с «x!» знак. Введите число, для которого вы хотите найти факториал, в данном случае число восемь, а затем нажмите «x!» кнопка. Калькулятор должен дать вам тот же ответ, 40 320.
Примеры
Вот несколько примеров задач, в которых используются факториалы:
Пример 1
Задача: Сколькими способами можно расположить буквы в слове «компания», не повторяя их?
В этой задаче подсчитайте количество букв в слове «компания», чтобы найти шесть букв. Затем найдите факториал числа шесть либо вручную, либо с помощью научного калькулятора. Если вы решаете задачу вручную, она должна выглядеть так:
н! = п (п-1) =
6 (6 — 1) (6 — 2) (6 — 3) (6 — 4) (6 — 5) =
6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720
Теперь вы знаете, что максимальное количество способов, которыми можно расположить буквы в слове «компания» без повторов, равно 720.
Пример 2
Задача: Какие сочетания можно составить из красного, синего и зеленого цветов?
В этой задаче найдите факториал числа три, потому что цветов три, и перечислите различные комбинации.
Если вы решите эту задачу вручную, она должна выглядеть так:
н! = п (п-1) =
3 (3 — 1) (3 — 2) =
3 х 2 х 1 = 6
Шесть комбинаций:
красный, синий, зеленый
красный, зеленый, синий
зеленый, синий, красный
зеленый, красный, синий
синий, красный, зеленый
синий, зеленый, красный
Пример 3
Задача: найти факториал числа 15.
Хотя эту проблему можно решить вручную, это может занять много времени, поскольку 15 — большое число. Легче использовать научный калькулятор. Чтобы решить эту задачу с помощью калькулятора, следует:
Введите число 15 в свой калькулятор.
Нажми «х!» кнопку на вашем калькуляторе.
На калькуляторе должен появиться ответ 1 307 674 368 000.
Часто задаваемые вопросы о факториалах
Вот несколько ответов на распространенные вопросы о факториалах:
Сможете ли вы найти факториал числа ноль?
Да, вы можете найти факториал для числа ноль.
Математики сходятся во мнении, что факториал числа ноль равен единице или 0! =1. Может показаться странным, что 0! =1, но это легко понять, если проследить схему факториалов в обратном порядке. Посмотрите на этот шаблон, начинающийся с 4!:
4! = 24
3! = 6
2! = 2
1! = 1
0! = 1
Вы можете заметить, что каждый ответ делится последовательно, и по мере того, как вы следуете шаблону, он предсказывает следующий ответ и показывает, что 0! =1. Последовательные делимые числа выделены жирным шрифтом:
4! = 24, (24 ÷ 4 = 6)
3! = 6, (6 ÷ 3 = 2)
2! = 2, (2 ÷ 2 = 1)
1! = 1, (1 ÷ 1 = 1)
0! = 1
Сможете ли вы найти факториал отрицательного числа?
Нет, нельзя найти факториал отрицательного числа. Чтобы найти факториал отрицательного целого числа, нужно разделить на ноль. Однако деление на ноль не определено. Следовательно, отрицательные целочисленные факториалы не определены.
Сможете ли вы найти факториал десятичной дроби?
Да, вы можете найти факториал десятичной дроби.
Если вы хотите узнать, как найти факториал десятичной дроби, вы можете узнать о гамма-функции, которую также иногда называют «полуфакториалом». Эти проблемы быстро усложняются. Например, факториал для одной половины, или 0,5, равен половине квадратного корня из числа пи, или (-1/2)! = √π.
Каковы первые 15 факториалов?
Как вы можете видеть на этой диаграмме, факториалы растут очень быстро. Может быть полезно использовать научный калькулятор для решения факторных задач, особенно при работе с большими числами.
nn!011122364245120672075,040840,3209362,880103,628,8001139,916,80012479,001,600136,227,020,8001487,178,291,200151,307,6704,001
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
| Справочник по математике | Алгебра | Комбинаторика |
При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия
| Факториалы |
| Перестановки |
| Размещения |
| Сочетания |
Факториалы
Для произвольного натурального числа n формула
определяет факториал числа n ( n ! читается, как n – факториал).
Например,
Считается, что
0 ! = 1 , 1 ! = 1.
Перестановки
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. 6 карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?
Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть 6 способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 5 карточек. Таким образом, существует
способов, чтобы положить карточки на первое и второе места.
В каждом из этих 30 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 4 карточек. Следовательно, существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 120 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 3 карточек. Отсюда вытекает, что существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих 360 способов на пятое место можно положить одну из оставшихся 2 карточек. Следовательно, существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место.
Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 720 различных шестизначных чисел.
Ответ: 720.
Замечание 1. В задаче мы рассмотрели 6 пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно 6!
Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы n ! .
Замечание 2. Каждое расположение n пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.
Определение 1. Пусть n – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами 1, 2, 3, … , n.
Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.
Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn.
В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:
Pn = n !
В частности,
P6 = 6! = 720 .
Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.
С понятиями размещений из n элементов по m элементов и сочетаний из n элементов по m элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Факториал — определение, расчет | Факториал сотен и 0
Факториал целого числа n определяется как произведение этого числа на каждое целое число, меньшее или равное n, до 1.
Например, факториал числа 4 равен 4 × 3 × 2 × 1, что равно 24. Оно представляется с помощью символа ‘!’ Итак, 24 — это значение 4!. В 1677 году британский автор Фабиан Стедман определил факториал как эквивалент звонка сдачи. Перезвон был частью музыкального представления, когда музыканты звонили в несколько настроенных колокольчиков. И было это в 1808 году, когда математик из Франции Кристиан Крамп придумал символ факториала: n!. Изучение факториалов лежит в основе нескольких тем математики, таких как теория чисел, алгебра, геометрия, вероятность, статистика, теория графов, дискретная математика и т. д.
Думаете о том, как вычислить факториал числа? Давай учить.
| 1. | Что такое факториал? |
| 2. | n Формула факториала |
| 3. | 0 Факториал |
| 4. | Факториал сотен |
| 5. | Факториал отрицательных чисел |
6. | Использование Факториала |
| 7. | Расчет факториала |
| 8. | Часто задаваемые вопросы о Факториале |
Что такое факториал?
Факториал целого числа — это функция, которая умножает число на каждое натуральное число под ним. Символически факториал можно представить с помощью символа «!». Таким образом, «n факториал» является произведением первых n натуральных чисел и представляется как n!
Итак, н! или «n факториал» означает:
- n! = 1 · 2 · 3 · … · n = Произведение первых n натуральных чисел = n(n-1)(n-2)…………………….(3)(2)(1)
Например, 4 факториал, то есть 5! можно записать как: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Обратите внимание на числа и их значения факториалов, приведенные в следующей таблице. Чтобы найти факториал числа, умножьте это число на значение факториала предыдущего числа.
Например, чтобы узнать значение 6! умножьте 120 (факториал 5) на 6 и получите 720. За 7! умножьте 720 (значение факториала 6) на 7, получите 5040. т. е. n! = п × (п — 1)!
| п | н! (n факториал) | н! = п × (п — 1)! | Результат |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
n Факториальная формула
Формула для n-факториала: n! = п × (п — 1)!
- н! = п × (п — 1)!
Это означает, что факториал любого числа равен данному числу, умноженному на факториал предыдущего числа.
Итак, 8! = 8 × 7!…… И 9! = 9 × 8!…… Факториал 10 будет 10! = 10 × 9!….. Вот так, если у нас есть (n+1) факториал, то его можно записать как (n+1)! = (n+1) × n! . Давайте посмотрим на некоторые примеры.
5 Факториал
Значение 5 факториала равно 5×4×3×2×1, что равно 120. Мы также можем вычислить его, используя формулу факториала. 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120,
10 Факториал
10 Факториал есть не что иное, как 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800.
0 Факториал
Нулевой факториал интересен, и его значение равно 1, т.е. 0! = 1 . Да, значение факториала 0 НЕ 0, а 1.
Давайте посмотрим, как это работает:
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24
Перейдем к основной формуле факториала n! = п × (п — 1)! Как найти 3! То, что вы делаете, это 4! / 4. Аналогично, 2! это 3! / 3 и так далее.
Теперь давайте посмотрим на образец:
Таким образом, мы можем доказать, что 0 факториал равен 1.
Альтернативный способ доказательства 0! = 1
В перестановках мы изучили бы, что n! есть количество способов упорядочить «n» разных вещей между собой. Если мы посмотрим на факториал таким образом, 1! = 1, так как возможна только 1 аранжировка с 1 вещью. Точно так же 0! = 1,
Факториал сотен
100 факториал = 100 × 99 × 98 × …. × 3 × 2 × 1 = 9,332621544 E+157. Этот продукт слишком велик для расчета вручную, поэтому используется калькулятор. Вот некоторые факты о факториале сотни:
- 100 факториал имеет 24 нуля в конце.
- Общее количество цифр в 100! 158.
- Точное значение факториала 100 равно 93, 326, 215, 443, 944, 152, 681, 699, 238, 856, 266, 700, 49.0, 715, 968, 264, 381, 621, 468, 592, 963, 895, 217, 599, 993, 229, 915, 608, 941, 463, 976, 156, 518, 286, 253, 697, 920, 827, 223, 758, 251, 185, 210, 916, 864, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 (всего 158 цифр).
Факториал отрицательных чисел
Можем ли мы иметь факториалы для таких чисел, как −1, −2 и т. д.? Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6
3! = 3 × 2 × 1 = 6
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(- 1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = деление на ноль не определено
И с этого момента все целочисленные факториалы не определены. Таким образом, отрицательные целочисленные факториалы не определены.
Использование Факториала
Одной из областей, где факториалы обычно используются, являются перестановки и комбинации.
- Перестановка — это упорядоченное расположение результатов, которое можно рассчитать по формуле: n P r = n! / (н — р)!
- Комбинация — это группировка исходов, порядок которых не имеет значения. Его можно рассчитать по формуле: n C r = n! / [(н — р)! р!]
В обеих этих формулах «n» — это общее количество доступных вещей, а «r» — это количество вещей, которые нужно выбрать.
Поясним это на следующих примерах.
Пример 1: В группе из 10 человек разыгрываются призы 200, 100 и 50 долларов. Сколькими способами можно распределить призы?
Решение:
Это перестановка, потому что здесь имеет значение порядок распределения призов. Его можно рассчитать как 10 P 3 способов.
10 P 3 = (10!) / (10 — 3)! = 10! / 7! = (10 × 9 × 8 × 7!) / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 способов.
Пример 2: Три приза по 50 долларов должны быть распределены в группе из 10 человек. Сколькими способами можно распределить призы?
Решение:
Это комбинация, потому что здесь порядок распределения призов не имеет значения (поскольку все призы имеют одинаковую ценность). Его можно рассчитать, используя 10 C 3 .
10 C 3 = (10!) / [ 3! (10 — 3)!] = 10! / (3! 7!) = (10 × 9 × 8 × 7!) / [(3 × 2 × 1) 7!] = 120 способов.
Расчет факториала
Факториал n обозначается n! и рассчитывается путем умножения целых чисел от 1 до n. Формула для n факториала равна н! = n × (n — 1)!.
Пример: Если 8! 40 320, тогда что такое 9!?
Решение:
9! = 9 × 8! = 9 × 40 320 = 362 880
Теперь давайте посмотрим на приведенную ниже таблицу факториалов, которая показывает значения факториала для первых 15 натуральных чисел:
| n | н! |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 11 | 39 916 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 14 | 8 717 8291 200 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
☛ Похожие темы:
- Калькулятор множителей
- Что такое факториал числа 9?
- Что такое факториал числа 20?
Важные замечания по факториалу:
- Факториал любого целого числа можно вычислить с помощью n! = n × (n — 1)!.
- Значение нулевого факториала равно единице, т. е. 0! = 1.
- Отрицательные целочисленные факториалы не определены.
- Перестановку и комбинацию можно рассчитать с помощью факториалов: n P r = n! / (н — р)! & n C r =n! / [(н — р)! р!].
Факториальные примеры
Пример 1: Вычислите выражение с факториалами: 10!/(4! × 6!).
Решение:
10!/(4! × 6!) = (10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (4! × 6!)
= (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1)
= 210Ответ: Следовательно, значение выражения 10!/(4! × 6!) равно 210.
Пример 2: Найдите значение 5! (6 — 3)!.
Решение:
5! (6−3)! = 5! × 3!
Теперь мы вычислим эти факториалы.
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)(3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720
Ответ: Следовательно, значение 5! (6 — 3)! 720.
Пример 3: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7 и 8, в каждом из которых не повторяется ни одна цифра?
Решение:
Данные 5 цифр (1, 2, 5, 7 и 8) нужно переставить между собой, чтобы получить все возможные 5-значные числа.
Количество способов сделать это можно с помощью факториала.
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Ответ: Следовательно, искомое количество пятизначных чисел равно 120.
Пример 4: Сколькими способами восемь человек могут выстроиться слева направо для группового фото?
Решение:
Количество способов, которыми 8 человек могут выстроиться в очередь, равно количеству способов, которыми они могут расположиться между собой, и это не что иное, как факториал 8.
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320
Ответ: Следовательно, восемь человек могут выстроиться в очередь 40 320 способами.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите создать прочную основу по математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по факториалу
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по факториалу
Где мы используем факториалы?
Факториал — это функция, которая используется для нахождения количества возможных способов, которыми можно расположить выбранное количество объектов между собой. Эта концепция факториала используется для поиска перестановок и комбинаций чисел и событий.
Что означает факториал числа?
Факториал в математике — это одна из операций (обозначается символом «!»), а факториал числа — это произведение числа на все положительные целые числа, меньшие этого числа.
Например 8! (читается как факториал 8) = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320.
Что такое факториал n+1?
Факториал n+1 можно вычислить как (n+1)! = (n+1)n!.
Что такое символ факториала?
Для обозначения факториала используется символ ‘ ! ‘. Например «9factorial» записывается как 9!.
Что такое факториал 100?
Факториал 100 записывается как 100! и его значение равно 100 · 99 · 98 · … · 2 · 1 = 9,332621544 E+157.
Что такое факториал числа 10?
10! может быть вычислено как 10! = 10 × 9! число означает умножение числа на каждое положительное целое число, меньшее этого. Итак, n!= n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ….. × 3 × 2 × 1.
Каково применение факториалов?
Факториалы используются для нахождения числа образов, решения задач перестановки и комбинации, определения вероятности событий и т. д.
Что такое факториальная запись?
Факторная запись представляет собой запись произведения последовательных целых чисел в виде факториала.
Итак, 3 × 2 × 1 = 3! (3 факториала), 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! (6 факториал) и так далее.
Каковы реальные примеры применения факториала?
Амина Решма
2 мин чтения
Сколькими способами можно перетасовать колоду карт? Есть ли ограничения на количество способов расстановки игрушек? Сколькими способами можно расположить буквы в слове конфеты так, чтобы они не повторялись?
Факториалы — это способ узнать ответ на все вышеперечисленные вопросы.
Теперь их 52! различные способы перетасовки колоды карт.
Точно так же, если есть две игрушки, вы можете расставить их двумя разными способами, а если у вас есть три игрушки, их можно расставить шестью способами.
В слове конфеты 5 букв, поэтому ваш ответ 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 способов.
Как мы получили эти числа для ответов? А что означает восклицательный знак рядом с цифрой? Как мы сделали эти расчеты?
Мы должны сначала понять факториалы, чтобы понять их.
Итак, что такое факториалы?
“ Факториал — это функция в математике со знаком (!), которая умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. “ 1 Проще говоря, факториалы обозначаются восклицательным знаком и предполагают многократное умножение всех целых чисел до заданного предела.
Поэтому вполне вероятно, что вы будете использовать факториал всякий раз, когда вам нужно что-то узнать о перестановках, вероятностях, перестановках или комбинациях. Если порядок компонентов важен, перестановки сообщают нам, сколько различных вариантов их расположения возможно. Комбинации объясняют, сколько существует различных способов выбрать k предметов из n предметов, когда их порядок не имеет значения. 2
Использование факториалов в реальной жизни
Факториалы играют важную роль в комбинаторике, которая представляет собой область математики, связанную с комбинациями элементов из конечного множества при определенных ограничениях, например, налагаемых теорией графов.
в реальном мире.
Возьмем в качестве примера простую задачу: новая часть кода выполняется успешно в 80% случаев. Какова вероятность того, что все пять реализаций кода были успешными? Насколько вероятно, что по крайней мере два испытания будут успешными? Ответ влечет за собой вычисление нескольких простых факториалов.
Функция факториала также может использоваться для определения количества различных способов выбора элемента из группы вариантов. Рассмотрим ситуацию, когда вам нужно решить, что надеть в школу каждый день на этой неделе. Учтите, что хотя у вас есть nnn предметов одежды, только кк из них были выстираны и выглажены. Сколько существует способов выбрать одежду kkk из коллекции одежды nnn ? Кажется, это сложная задача? Это не обязательно, потому что в подобных ситуациях функция факториала может быть весьма полезной.
Факториалы также используются в продвинутой алгебре для последовательностей и рядов, в исчислении по связанным причинам, в теории вероятностей, в теории чисел и в ряде других дисциплин.