Примеры матрицы и решения: Примеры решения матриц: виды матриц, формулы

Примеры решения задач — Информатика

Самоучитель‎ > ‎лекция 7‎ > ‎ Примеры решения задач Решение системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения: А × Х= В,  где А — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец (вектор) неизвестных В — матрица-столбец (вектор) свободных членов: Существует ряд методов решения системы, методы Крамера, Гаусса, обратной матрицы. С помощью MS Excel можно решить СЛАУ двумя методами: методом Крамера и обратной матрицы. Суть метода Крамера заключается в следующем: если определитель ∆ системы n линейных алгебраических уравнений отличен от нуля ∆≠ 0, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: — определители, образованные с заменой j-го столбца, столбцом свободных членов Задача. МТС оказывает услуги агротехсервиса: вспашку, культивацию, боронование и опрыскивание полей. Данные за 4 дня работы занесены в таблицу.   Объем оказанных услуг за день Выручка в день, руб Вспашка, га Культива-ция, га Боронова-ние, га Опрыскива-ние, га 1 день 31 16 112 330 97490 2 день 18 42 86 260 93130 3 день 34 28 64 180 85100 4 день 29 32 68 216 87682   Определить стоимость каждого вида услуг (за 1 га). Пусть стоимость вспашки равна  х1, стоимость культивации х2 , стоимость боронования  х3 и стоимость  опрыскивания х4. Тогда можно сформировать следующую систему уравнений: Систему можно представить как систему трех матриц: Решение задачи методом Крамера. Рассмотрим решение системы методом обратной матрицы. Будем считать, что квадратная матрица системы А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица А-1. Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А получим: ,  отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец X=A-1× B. Таким образом, для решения системы необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов.  Решение задачи методом обратной матрицы.

Задачи для самостоятельного решения — Мегаобучалка

Решите системы линейных уравнений АХ = В методом Гаусса.

№	А	В	Х (ответы)
1.	,	,	.
2.	,	,	.
3.	,	,	.
4.	,	,	.
5.	,	,	.
6.	,	,	.

 

Матрицы. Основные понятия

В предыдущем разделе мы изучили некоторые операции с матрицами, рассматривая только квадратную матрицу третьего порядка и матрицу-столбец.

В общем случае матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

 

А_(m´n) = .

 

Числа называются элементами матрицы, первый индекс – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент .

Пример 1.5

;

;

А_(1´4) = (–1 2 5 7).

 

Во втором разделе была рассмотрена матрица-столбец. Матрица называется матрицей-строкой.

Если m = n, то матрица

A_(n´

n₎ =

называется квадратной матрицей n–ого порядка.

– квадратная матрица второго порядка,

– квадратная матрица третьего порядка.

В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a₁₁, a₂₂, a₃₃, …. , a_nn, называется главной диагональю матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

 

.

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E = .

(1.8)

Большой буквой в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

1. Суммой двух матриц и одинаковой размерности m´n называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1.6

1) А+В = ;

 

2) матрицы

 

А = и В =

сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.

 

2. Произведением матрицы на число l называется матрица lА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l.

Пример 1.7

3× =

(1.8)

 

3. Две матрицы A и одинаковой размерности m´n считаются равными, если равны их соответствующие элементы a_ik = b_ik.

 

Умножение матриц

В третьем разделе было изучено правило (1.6) умножения квадратной матрицы третьего порядка на столбец. Рассмотрим теперь умножение матрицы на матрицу . Подчеркнем, что число столбцовматрицы А, равно числу строкматрицы В. Отличие произведения А_(3´3) × В_(3´2) от формулы (1.6), рассмотренной в третьем разделе, заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А

(3_´3)× В_(3´2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

 

А_(3´3)× В_(3´2) = =

= .

(1.9)

Посмотрим, как изменится формула умножения матриц (1.9), если в матрице А добавить еще одну строку:

 

А_(4´3)× В_(3´2)= =

 

 

= .

(1.10)

Как видим, добавление строки в матрицу А приводит к добавлению строки в матрицу D = A×B, т.е. можно записать

 

.

(1.11)

 

Если в матрице прибавить один столбец, то произведение такой матрицы A_(3´4) на матрицу B_(3´2) по рассмотренным выше правилам найти невозможно. В этом случае говорят, что произведение матриц не существует. Матрицу A_(3´4), имеющую четыре столбца, можно умножить только на матрицу, имеющую четыре строки, например на матрицу B_(4´2):

 

 

 

= .

 

Таким образом, .

 

Из примера можно сделать следующие основные выводы об умножении матриц:

 

1) произведением некоторой матрицы А₍

m _{´ k)} на матрицу В_{(k ´ n)} является матрица D_{(m ´ n)}= А_{(m ´ k)} × В_{(k ´ n)} . Число строк матрицы D равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы D равно числу столбцов матрицы В;

2) если число столбцов матрицы А (первого сомножителя в произведении) не равно числу строк матрицы В (второго сомножителя), то произведение таких матриц не существует;

3) каждый столбец матрицы D_{(m ´ n)}= А_{(m ´ k)} × В_{(k ´ n)} строится как произведение матрицы А на соответствующий столбец матрицы В.

Из сказанного следует, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности (перестановочности), т.е. в общем случае АВ¹ВА. Более того, при существовании произведения АВ произведение ВА может и не существовать.

Приведем еще несколько примеров умножения матриц.

Пример 1.8

Легко показать, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка (см. определение и формулу (1.8)), что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда

АЕ = =

= =

= = А.

 

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

Пример 1.9

.

Пример 1.10

.

В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 1.11

А= , В = .

Найти АВ и ВА.

Решение

АВ = × =

= = ;

ВА = × =

 

= = .

Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 1.12

 

× =

= = .

 

Пример 1.13

 

× =

= =

= .

Матрицы и определители: задачи с решениями

Задача 1

Каковы размеры матрицы $A$?
$А=\влево[ \begin{массив}{ccccc} 2 и -2 и 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 0 и 3 \\ 1 и -1 и 3 и 0 и 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 \конец{массив} \right] $

5

$5 \times 4$

$4 \times 5$

20

Задача 2

$A=\left[ \begin{массив}{ccccc} 2 и -2 и 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 0 и 3 \\ 1 и -1 и 3 и 0 и 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1% \конец{массив}% \справа] $

Какой элемент $A_{2,4}$?

Задача 3

$A=\left[ \begin{массив}{ccccc} 2 и -2 и 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 0 и 3 \\ 1 и -1 и 3 и 0 и 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1% \конец{массив}% \right] $

Какой элемент $A_{3,2}$?

Задача 4 прислал Oyoo Fredrick Ochieng

Дайте определение термину единичная матрица (единичная матрица).

Все элементы едины.

Единицы на одной из диагоналей и нули в других местах.

Единицы в первой строке и первом столбце и нули в остальных местах.

Единицы на главной диагонали и нули в остальных местах.

Задача 5

Запишите следующую систему уравнений в виде расширенной матрицы.

$\слева\{ \начать{массив}{с} 3х-2у=3\\ 5х+у=0 \конец{массив} \right\} $

$\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end {массив} \right]$

$\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \end{array} \right]$

Задача 6

Какова сумма матриц?
$\влево[ \begin{массив}{cc} 2 & -1 \\ 1 и 3 \конец{массив} \вправо] +\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 0 \\ 2 и -1 \конец{массив} \right] =$

$\left[ \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 4 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right]$

Задача 7

Найдите матрицу $A$ так, чтобы выполнялось следующее равенство.

$A+\влево[ \begin{массив}{cc} 2 и 3 \\ -4 и 1 \конец{массив} \вправо] =\влево[ \begin{массив}{cc} 5&-1\\ 1 и 5 \конец{массив} \right] $

$A=\left[ \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 3 & -4 \end{array} \right]$

$A=\left[ \begin{array }{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{массив} \right]$

$A=\left[ \begin{array}{cc} -3 & 4 \\ -5 & -2 \end{array} \right]$

$A=\left[ \begin{array}{ cc} 7 и 2 \\ -3 и 4 \end{массив} \right]$

Задача 8

Что получится в результате умножения?
$5 \раз\влево[ \начать{массив}{с} -2\ 3\\ -4 \конец{массив} \right] =$

$\left[ \begin{array}{ccc} -20 & 15 & -10 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{c} 10 \\ 15 \\ 20 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{c} -20 \\ 15 \\ -10 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{c} -10 \\ 15 \\ -20 \end{array} \right]$

Задача 9

Найдите матрицу $X$.

$\frac{3}{2}X+\left[ \begin{массив}{cc} -1 и 3 \\ 2 и -2 \конец{массив} \вправо] =\влево[ \begin{массив}{cc} 3 и -4 \\ 5 и 4 \конец{массив} \right] $

$X=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \end{array} \right ]$

$X=\left[ \begin{array}{cc} 6 & -\frac{21}{2} \\ \frac{9}{2} & 9 \end{array} \right]$

$X=\left[ \begin{array}{cc} \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4 \end{array} \right]$

$X=\left[ \begin{array}{cc} 3 & -\frac{3}{2} \\ \frac{21}{2} & 3 \end{array} \right]$

Задача 10

Если $A=B\times C$, найти матрицу $A$.

$B=\слева[ \begin{массив}{ccc} 1&-3&-2\ 2 и 0 и 1 \конец{массив} \right]$      $C=\left[ \begin{массив}{cc} 2 и 1 \\ -2 и -1 \\ 3 и 0 \конец{массив} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 6 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 7 & 2 \end{array} \right]$

Задача 11

Найдите определитель матрицы.
$А=\влево[ \begin{массив}{cc} 2 и -3 \\ 4 и 5 \конец{массив} \справа] $

Задача 12

Найдите определитель матрицы.
$А=\влево[ \begin{массив}{cc} 3 и 4 \\ 0 и 0 \конец{массив} \справа] $

Задача 13

Найти обратную матрицу $A=\left[ \begin{массив}{cc} 2 и -3 \\ 4 и 5 \конец{массив} \right] $

$\left[\begin{matrix}110 & 66\\-88 & 44\end{matrix} \right]$

$\left[\begin{matrix}5 & 3\\ — 4 & 2\end{matrix} \right]$

$\frac{1}{22}$

$\left[\begin{matrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{ 22}\\\frac{-2}{11} & \frac{1}{11}\end{matrix} \right]$ 9{-1}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$

Обратное для A не существует.

Задача 16

$A=\left[ \begin{массив}{cc} 7 и -4 \\ 4 и -3 \конец{массив} \вправо]$ $B=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{7}{5} \конец{массив} \right] $
Являются ли $A$ и $B$ мультипликативно обратными (можно ли написать, что $A \cdot B = B \cdot A$)?

Задача 17

$A=\left[ \begin{массив}{cc} 2 и -3 \\ 1 и -2 \конец{массив} \right]$   $B=\left[ \begin{массив}{cc} -2 и 1 \\ -3 и 2% \конец{массив} \справа]$
Являются ли $A$ и $B$ мультипликативно обратными (можно ли написать, что $A \cdot B = B \cdot A$)?

Задача 18

$A=\left[ \begin{массив}{cc} 8 и 9 \\ -1 и 2 \конец{массив} \right]$   $B=\left[ \begin{массив}{cc} \frac{2}{25} & -\frac{1}{5} \\ \фракция{3}{25} и \фракция{9}{25} \конец{массив} \right]$
Являются ли $A$ и $B$ мультипликативно обратными?

Задача 19

$A=\left[ \begin{массив}{cc} 8 и 9 \\ -1 и 2 \конец{массив} \right]$   $ B=\left[ \begin{массив}{cc} \frac{2}{25} & -\frac{9{25} \\ \фракция{1}{25} и \фракция{8}{25} \конец{массив} \right]$
Являются ли $A$ и $B$ мультипликативно обратными?

Задача 20

Какое значение должно быть у $x$, чтобы $B$ было обратным $A$?
$А=\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 3 \\ -1 и 2 \конец{массив}% \вправо] \qquad B=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{2}{5} & x \\ \фракция{1}{5} и \фракция{1}{5} \конец{массив} \право]$

Задача 21

При каком значении $x$ матрица $A$ не имеет обратной?

$А=\влево[ \begin{массив}{cc} 2 и 3 \\ х & -2 \конец{массив} \right] $

$\frac{4}{3}$

$-\frac{3}{4}$

$-\frac{4}{3}$

$\frac{3} {4}$

Задача 22

Какое значение должно быть у $x$, чтобы матрица $A$ не имела обратной?

$А=\слева[ \begin{массив}{cc} 1 и 2+х \\ х & -1 \конец{массив} \право]$

Сообщите о проблеме на этой странице.

Правильно:

Неправильно:

Нерешенные проблемы:

Матричные решения для линейных систем Видеоучебник и практика

Начните печатать, затем используйте стрелки вверх и вниз, чтобы выбрать вариант из списка.

Изучите самые сложные концепции алгебры с помощью пошаговых видеоуроков и попрактикуйтесь в решении задач с помощью преподавателей мирового уровня

Матричные решения для линейных систем

Напишите расширенную матрицу для линейной системы

ВИДЕО

Предыдущая видео для

Следующие видео для

Матрикс

ВИДЕО

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Матричные решения для линейных систем

Использование матриц и исключения Гаусса-Жордана для решения систем

Видео

Предыдущие видео для

Следующие видео для

НЕОБХОДИМЫ Зависимые системы

Применение исключения Гаусса к системам с большим количеством переменных, чем в уравнениях

ВИДЕО

Предыдущие видео для

Следующие видеоролики для

НЕОБХОДИМОСКИЕ И ЖЕЛАННЫЕ СИСТЕМЫ

Решение проблем с участием систем без уникальных решений

видео

Предыдущие видео для

. ВИДЕО

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Матричные операции и приложения

Understand What is Meant by Equal Matrices

VIDEOS

Previous videos for

Next videos for

Matrix Operations and Applications

Add and Subtract Matrices

VIDEOS

Previous videos for

Next videos for

Матричные операции и приложения

Выполнение скалярного умножения

ВИДЕО

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Матричные операции и приложения

Уравнения Matrix

. видео для

Следующие видео для

Матричные операции и приложения

Моделирование прикладных ситуаций с матричными операциями

Видео

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Мультипликативные конверты матриц и уравнений матрицы

Найдите мультипликативную обратную обратную связь для квадратной матрицы

Видео

Предыдущие видео для

.