Объяснение, Методы, Линейные и Уравнения
Знаете ли вы, что как действительные числа, отличные от нуля, могут иметь обратное значение, так и матрицы могут иметь обратное значение? После этого вы поймете, как вычислить матрицу , обратную матрице .
Определение обратных матриц
Матрица называется обратной по отношению к другой матрице, если произведение обеих матриц дает единичную матрицу. Однако, прежде чем перейти к обратным матрицам, нам нужно освежить наши знания о единичной матрице.
Что такое идентификационная матрица?
Единичная матрица — это квадратная матрица, умножение которой на другую квадратную матрицу равно той же самой матрице. В этой матрице элементы от самой верхней левой диагонали до самой нижней правой диагонали равны 1, а все остальные элементы матрицы равны 0. Ниже приведены примеры единичной матрицы 2 на 2 и 3 на 3 соответственно:
A 2 на 2 единичная матрица:
единичная матрица 3 на 3:
Таким образом, обратная матрица может быть получена как:
Где I — единичная матрица, а A — квадратная матрица, тогда:
Уравнение:
означает, что произведение матрицы A и обратной матрицы A даст I, единичную матрицу.
Следовательно, мы можем проверить, являются ли две перемножаемые матрицы обратными друг другу.
Проверьте, являются ли следующие матрицы обратными.
а.
б.
Решение:
а. найти произведение между матрицами A и B;
Поскольку произведение матриц A и B не дает единичной матрицы, следовательно, A не является обратной B и наоборот.
б.
Поскольку произведение матриц M и N дает единичную матрицу, это означает, что матрица M является обратной матрицей N.
Какие методы используются для нахождения обратной матрицы?
Существует три способа нахождения обратной матрицы, а именно:
Детерминантный метод для матриц 2 на 2.
Метод Гаусса или расширенная матрица.
Сопряженный метод с использованием матричных кофакторов.
Однако на этом уровне мы будем изучать только детерминантный метод.
Детерминантный метод
Чтобы найти обратную матрицу 2 на 2, вы должны применить следующую формулу:
При условии, что:
Если определитель матрицы равен 0, обратной матрицы нет.
Таким образом, матрица, обратная 2 на 2, является произведением обратной величины определителя и измененной матрицы. Измененная матрица получается путем замены диагональных элементов со знаком кофактора на каждом.
Найдите обратную матрицу B.
Решение:
Использование;
Затем;
или,
Самое главное, как только ваш определитель вычислен и ваш ответ равен 0, это просто означает, что матрица не имеет обратной.
Обратная матрица 3 на 3 также может быть получена с использованием:
Где
— определитель матрицы M
adj(M) — сопряженная матрица M
шаги следуют:
Шаг 1 — Найдите определитель данной матрицы.
Если определитель равен 0, значит обратного нет.
Шаг 2 — Найдите кофактор матрицы.
Шаг 3. Транспонирование матрицы кофакторов для получения сопряженной матрицы.
Шаг 4 — Разделите сопряженную матрицу на определитель матрицы.
Примеры обратных матриц
Давайте еще несколько примеров, чтобы лучше понять обратные матрицы.
Найдите обратную матрицу X.
Решение:
Это матрица 3 на 3.
Шаг 1: Найдите определитель данной матрицы.
Поскольку определитель не равен 0, значит, матрица X имеет обратную.
Шаг 2: Найдите кофактор матрицы.
Кофактор рассчитывается с помощью
Кофактор 2, который составляет C 11 ,
Кофактор 1, который C 12 —
. 13 равно
Кофактор 5, который равен C 21 равен
The cofactor of 3 which is C 22 is
The cofactor of 0 which is C 23 is
The cofactor of -4 which is C 31 is
Кофактор 2, который равен C 32 , равен
Кофактор 1, который равен C 33 , равен
Таким образом, кофактор матрицы X равен
