Теория множеств. Большая российская энциклопедия
Научные теории, концепции, гипотезы, модели
Тео́рия мно́жеств, раздел математики, в котором изучаются свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу исходных математических понятий; оно формально не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества, и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один объект; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный объект xxx есть элемент множества MMM, записывают как x∈Mx∈Mx∈M.
Если каждый элемент множества AAA является в то же время элементом множества BBB, то множество AAA называется подмножеством множества BBB. Это записывают как A⊂BA⊂BA⊂B или B⊃AB⊃AB⊃A. Подмножеством данного множества BBB является и само множество BBB. Если A⊂BA⊂BA⊂B и A⊃BA⊃BA⊃B, то множества ААА и BBB называют равными и пишут A=BA=BA=B. Пустое множество, по определению, считают подмножеством любого множества. Всякое непустое подмножество AAA данного множества BBB, отличное от всего множества BBB, называют правильной частью последнего (вместо символа включения ⊂⊂⊂ иногда используют символ включения ⊆⊆⊆; в этом случае запись A⊂BA⊂BA⊂B означает, что AAA есть правильная часть BBB).
Мощность множеств
Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 1870-х гг. Г. Кантор, основавший теорию множеств как математическую науку. Возможность сравнительной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами.
Пусть каждому элементу множества AAA поставлен в соответствие с помощью какого-либо правила или закона некоторый определённый элемент множества BBB; если при этом каждый элемент множества BBB оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества AAA, то говорят, что между множествами AAA и BBB установлено взаимно однозначное соответствие. Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одинакового числа элементов. Обобщая этот факт, определяют эквивалентность или равномощность двух бесконечных множеств как возможность установить между ними взаимно однозначное соответствие.
Ещё до создания теории множеств Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно сформулированным понятием взаимно однозначного соответствия, с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал взаимно однозначное соответствие основой установления равносильности множеств, но решительно возражал против этого.
Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться во взаимно однозначном соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу nnn поставить в соответствие натуральное число 2n2n2n, то получается взаимно однозначное соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от положения, состоящего в том, что часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности. В каждом бесконечном множестве MMM имеется правильная часть, равномощная всему множеству MMM, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части не существует. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества.
Для двух бесконечных множеств AAA и BBB возможны следующие 3 случая: либо в AAA есть правильная часть, равномощная BBB, но в BBB нет правильной части, равномощной AAA; либо, наоборот, в BBB есть правильная часть, равномощная AAA, а в AAA нет правильной части, равномощной BBB; либо, наконец, в AAA есть правильная часть, равномощная BBB, и в BBB есть правильная часть, равномощная AAA.
Доказывается, что в 3-м случае множества AAA и BBB равномощны (теорема Кантора – Бернштейна). В 1-м случае говорят, что мощность множества AAA больше мощности множества BBB, во 2-м – что мощность множества BBB больше мощности множества AAA. Формально возможный 4-й случай – в AAA нет правильной части, равномощной BBB, а в BBB нет правильной части, равномощной AAA, – в действительности для бесконечных множеств осуществиться не может.
Ценность понятия мощности множества связана с существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех подмножеств данного множества MMM имеет мощность бо́льшую, чем множество MMM. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно.
Из этого следует, в частности, доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек nnn-мерного пространства при любом nnn. Кантор высказал гипотезу о том, что всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; с этим связаны континуум-гипотеза и проблема континуума.
Отображения множеств
В теории множеств понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры приводят к общему понятию отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества XXX и YYY и каждому элементу x∈Xx∈Xx∈X поставлен в соответствие некоторый определённый элемент y=f(x)y=f(x)y=f(x) множества YYY; тогда говорят, что имеется отображение множества XXX в множество YYY или что имеется функция, аргумент xxx которой пробегает множество XXX, а значения yyy принадлежат множеству YYY; при этом для каждого данного x∈Xx∈Xx∈X элемент y=f(x)y=f(x)y=f(x) множества YYY называется образом элемента xxx при данном отображении или значением данной функции для данного значения xxx её аргумента.
3y=f(x)=x3, то тем самым будет установлено отображение множества XXX в себя.
3. Пусть XXX – множество всех действительных чисел; если для каждого x∈Xx∈Xx∈X положить y=f(x)=arctg xy=f(x)=\text {arctg}\, xy=f(x)=arctgx, то этим будет установлено отображение множества XXX в интервал (−π/2,π/2)(-π/2, π/2)(−π/2,π/2).
Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами XXX и YYY есть такое отображение множества XXX в множество YYY, при котором каждый элемент множества YYY является образом одного и только одного элемента множества XXX. Отображения примеров 2 и 3 взаимно однозначны, примера 1 – нет.
Операции над множествами
Суммой, или объединением, конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех элементов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Объединение множеств AAA и BBB обозначается A∪BA∪BA∪B. Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех элементов, принадлежащих всем данным множествам.
Пересечение множеств AAA и BBB обозначается A∩BA∩BA∩B. Пересечение непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством BBB и множеством AAA называется множество всех элементов из BBB, не являющихся элементами из AAA; эта разность обозначается BABABA; разность между множеством BBB и его частью AAA называется дополнением множества AAA в множестве BBB и обозначается B∖AB \setminus AB∖A.
Операции сложения и пересечения множеств обладают ассоциативностью и коммутативностью. Операция пересечения, кроме того, обладает дистрибутивностью по отношению к сложению и вычитанию. Если эти операции производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества MMM, то и результат будет подмножеством множества MMM. Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств, внешним произведением множеств XXX и YYY или прямым произведением множеств XXX и YYY называется множество X×YX×YX×Y всевозможных пар (x,y)(x, y)(x,y), где x∈Xx∈Xx∈X, y∈Yy∈Yy∈Y. Другим в этом смысле внешним действием является возведение в степень: степенью YXY^XYX называется множество всех отображений множества XXX в множество YYY.
XYX, что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества
В данном множестве XXX можно установить порядок, т. е. определить для некоторых пар x′,x′′x’, x»x′,x′′ элементов этого множества какое-либо правило предшествования (следования), выражаемое словами «элемент x′x’x′ предшествует элементу x′′x»x′′» (или, что то же, «элемент x′′x»x′′ следует за элементом x′x’x′»), что записывается x′≺x′′x’≺x»x′≺x′′; при этом предполагается, что для данного отношения порядка выполнено условие транзитивности, т. е. если x≺x′x≺x’x≺x′ и x′≺x′′x’≺x»x′≺x′′, то x≺x′′x≺x»x≺x′′. Множество, рассматриваемое вместе с каким-либо установленным в нём порядком, называется частично упорядоченным множеством; иногда – упорядоченным множеством. Однако чаще упорядоченным множеством называется частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям (линейного порядка): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов x,x′x, x’x,x′ один предшествует другому, т.
е. если x≠x′x≠x’x=x′, то или x≺x′x≺x’x≺x′, или x′′≺xx»≺xx′′≺x.
Примеры:
1. Любое множество, элементами которого являются некоторые множества xxx, является частично упорядоченным по включению, если считать, что x≺x′x≺x’x≺x′, если x⊂x′x⊂x’x⊂x′.
2. Любое множество функций fff, определённых на числовой прямой, становится частично упорядоченным, если считать, что f1≺f2f_1≺f_2f1≺f2, тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа xxx справедливо неравенство f1(x)⩽f2(x)f_1(x)⩽f_2(x)f1(x)⩽f2(x).
3. Любое множество действительных чисел линейно упорядочено, если считать, что меньшее из двух чисел предшествует большему.
Два упорядоченных множества называются подобными, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Например, в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел xxx, удовлетворяющих неравенствам a⩽x⩽ba⩽x⩽ba⩽x⩽b, число aaa есть первый элемент, bbb – последний.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть натуральное число. Порядковый тип бесконечного вполне упорядоченного множества называется трансфинитным числом.
Точечные множества
Теория точечных множеств, т. е. множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки многомерных пространств, основана Г. Кантором, который ввёл понятие предельной точки множества и связанные с ним понятия замкнутого множества и др. Развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства, изучением которых занимается общая топология. Самостоятельно существует дескриптивная теория множеств, основанная французскими математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905).
Дескриптивная теория множеств началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (BBB-множеств). Борелевские множества определяются как множества, которые могут быть построены из замкнутых множеств применением операций объединения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. Дальнейшее развитие дескриптивной теории множеств осуществлялось преимущественно русскими и польскими математиками, особенно московской математической школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, П. С. Новиков, М. Я. Суслин). Александров доказал (1916), что всякое бесконечное несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применён Суслиным для построения теории т. н. AAA-множеств, охватывающих как частный случай борелевские или BBB-множества, считавшиеся до того единственными множествами, которые могут встретиться в математическом анализе. Суслин показал, что множество, дополнительное к AAA-множеству MMM, является само AAA-множеством только в том случае, когда множество MMM – борелевское (дополнение к борелевскому множеству всегда есть борелевское множество).
При этом оказалось, что AAA-множества совпадают с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория AAA-множеств в течение нескольких лет оставалась в центре внимания дескриптивной теории множеств до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены из множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операций вычитания и непрерывного отображения. К теории AAA-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная теория множеств тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).
Роль теории множеств в развитии математики
Влияние теории множеств на развитие современной математики очень велико. Прежде всего теория множеств явилась фундаментом ряда математических дисциплин, например теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа.
Теоретико-множественные методы применяются и в классических разделах математики. Например, они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей. Теория множеств оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики, в частности таких её разделов, как геометрия. Только теория множеств позволила отчётливо сформулировать понятие изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того, что каждая математическая теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь с точностью до изоморфизма, т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана. В вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, следует иметь в виду, что сама теория множеств нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения.
Более того, все логические трудности, связанные с понятием бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают бо́льшую отчётливость.
Дата публикации: 13 января 2023 г. в 20:49 (GMT+3)
НОУ ИНТУИТ | Лекция | Разделенные множества
< Лекция 2 || Лекция 3: 123456 || Лекция 4 >
Ключевые слова: Разделенные множества, тип данных, множества, поиск, компонент, минимизация, подмножество, операции, корректной, ранг вершины, вершины графа, ребро, алгоритм, Связный граф, дерево, вес, граф, ациклический, подграф, объединение, доказательство, представление, корневое дерево, высота, оценки длины, Ранг узла, время выполнения, Реализация операций, указатель, ранг, Операция СОЗДАТЬ, время выполнения операции, Операция ОБЪЕДИНИТЬ, массив, Операция НАЙТИ, внутренние ребра, неравенство, индекс, расходы, потенциал
intuit.ru/2010/edi»>Разделенные множества — это
абстрактный тип данных,
предназначенный для представления коллекции, состоящей из некоторого
числа попарно непересекающихся подмножеств
заданного множества . Для простоты в качестве
будем рассматривать множество .Этот тип данных применяется в таких задачах, как поиск минимального остовного дерева для заданного взвешенного неориентированного графа, построение компонент связности графа, минимизация конечного автомата, и многих других, требующих динамического поддержания некоторого отношения эквивалентности. Примеры таких задач будут рассмотрены ниже.
Как правило, в таких задачах вычисления начинаются с пустой коллекции
подмножеств ( ). Затем по мере вычислений формируются
новые подмножества, включаемые в коллекцию. Формирование новых подмножеств
происходит либо путем создания одноэлементного подмножества, либо путем
объединения уже существующих в коллекции подмножеств.
Для осуществления
таких действий используются имена включенных в коллекцию подмножеств. В
качестве имени подмножества будем использовать один из его элементов
(главный элемент), выбираемый по определенному правилу. Поскольку в
коллекции всегда будут находиться попарно непересекающиеся подмножества
множества , такое имя будет однозначно определять требуемое
подмножество.
Операции над разделенными множествами
СОЗДАТЬ ( ). Эта операция предназначена для введения в коллекцию нового подмножества, состоящего из одного элемента , при этом предполагается, что не входит ни в одно из подмножеств коллекции, созданной к моменту выполнения этой операции. Элемент указывается в качестве параметра. Именем созданного подмножества будет считаться сам элемент .
ОБЪЕДИНИТЬ ( ).
С помощью этой операции можно объединить два подмножества коллекции, имеющие, соответственно,
имена и , в одно новое подмножество, при этом оба
объединяемые подмножества удаляются из коллекции, а вновь построенное подмножество
получает некоторое имя.
НАЙТИ ( ). Эта операция позволяет определить имя того подмножества коллекции, которому принадлежит элемент . Если элемент до выполнения операции не входил ни в одно из подмножеств коллекции, то в качестве берется 0.
Последовательность , составленную из операций типа
СОЗДАТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ, НАЙТИ, назовем корректной, если перед выполнением каждой
операции из последовательности соблюдены условия ее
применения. Например, перед выполнением очередной операции вида ОБЪЕДИНИТЬ
( , ) подмножества с именами и должны
быть уже созданы. Перед выполнением операции СОЗДАТЬ( ) элемент не
должен принадлежать ни одному из подмножеств коллекции. Операция НАЙТИ
( , ) применима при любом значении аргумента .
Мы рассмотрим несколько способов представления коллекции разделенных множеств в памяти компьютера и алгоритмической реализации перечисленных операций. А именно, будут описаны представления
- с помощью массива;
- с помощью древовидной структуры;
- с помощью древовидной структуры с использованием рангов вершин;
- с помощью древовидной структуры с использованием рангов вершин и сжатия путей.
Каждый раз при описании очередной реализации мы будем
обсуждать оценки трудоемкости рассматриваемых операций.Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 123456 || Лекция 4 >
Одиночный набор — определение, формула, свойства, примеры
LearnPracticeDownload
Одиночный набор — это набор, содержащий только один элемент. Одноэлементный набор имеет форму A = {a} и также называется единичным набором. Одноэлементный набор имеет два подмножества: нулевой набор и сам набор.
Давайте узнаем больше о свойствах одноэлементного набора, с примерами, часто задаваемыми вопросами.
| 1. | Что такое одноэлементный набор? |
| 2. | Свойства набора синглтонов |
| 3. | Примеры в наборе синглтонов |
| 4. | Практические вопросы |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о наборе Singleton |
Что такое одноэлементный набор?
Одноэлементный набор — это набор, содержащий только один элемент.
Одноэлементный набор имеет форму A = {a}, где A представляет набор, а маленький алфавит ‘a’ представляет элемент одноэлементного набора. Поскольку одноэлементный набор содержит только один элемент, его также называют единичным набором. Кардинальное число одноэлементного множества равно единице. Количество подмножеств одноэлементного набора равно двум, то есть пустому набору и самому набору с одним элементом.
Количество одноэлементных наборов, являющихся подмножествами данного набора, равно количеству элементов в данном наборе. Множество A = {a, e, i, o, u} состоит из 5 элементов. Следовательно, набор имеет пять одноэлементных наборов, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, которые являются подмножествами данного набора.
Свойства набора синглтонов
Ниже перечислены некоторые важные свойства одноэлементного множества.
- Одноэлементный набор содержит только один элемент.
- Мощность одноэлементного множества равна единице.
- Одноэлементный набор состоит из двух подмножеств.
- Нулевой набор является подмножеством каждого одноэлементного набора.
- Двумя подмножествами одноэлементного набора являются нулевой набор и сам одноэлементный набор.
- Powerset одноэлементного набора имеет кардинальное число 2
Следующие темы помогают лучше понять одноэлементный набор.
- Непересекающиеся наборы
- Союз наборов
- Пустой набор
- Суперсет
- Дополнение к набору
Примеры на наборе синглтонов
Пример 1: Найдите подмножества множества A = {1, 3, 5, 7, 11}, которые являются одноэлементными множествами.
Решение:
Дан набор A = {1, 3, 5, 7, 11}.
Данный набор состоит из 5 элементов и имеет 5 подмножеств, которые могут иметь только один элемент и являются одноэлементными множествами.
Таким образом, пять одноэлементных наборов, которые являются подмножествами данного набора A, это {1}, {3}, {5}, {7}, {11}.
Пример 2: Найдите набор мощности одноэлементного набора {5}.
Решение:
Данным одноэлементным набором является A = {5}.
Двумя возможными подмножествами этого одноэлементного набора являются { }, {5}.
Набор мощности можно сформировать, взяв эти подмножества в качестве элементов.
Powerset A = {{ }, {5}}.
Следовательно, набор мощности одноэлементного набора A равен {{ }, {5}}.
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Забронировать бесплатный пробный урок
Практические вопросы по одноэлементному набору
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о наборе синглтонов
Что такое одноэлементный набор?
Набор, содержащий только один элемент, называется одноэлементным набором.
Одноэлементный набор имеет форму A = {a}. Поскольку одноэлементный набор содержит только один элемент, его также называют единичным набором. Количество подмножеств одноэлементного набора равно двум, то есть пустому набору и самому набору с одним элементом.
Что такое кардинальное число одноэлементного множества?
Кардинальное число одноэлементного множества равно 1. Одноэлементное множество содержит только один элемент.
Каково другое название набора синглтонов?
Одноэлементный набор состоит только из одного элемента, поэтому одноэлементный набор также называется единичным набором.
Каковы подмножества набора Singleton?
Одноэлементный набор состоит из двух наборов: нулевого набора и самого набора. Для набора A = {a} двумя подмножествами являются {} и {a}.
Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план
Типы множеств в теории множеств
Набор : Набор представляет собой набор четко определенных объектов или элементов.
Набор обозначается заглавной буквой. Количество элементов в конечном множестве известно как кардинальное число множества.
Возьмем пример:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Так как множество обычно обозначается заглавной буквой. Таким образом, A — это множество, а 1, 2, 3, 4, 5 — это элементы множества или члены множества. Элементы, записанные в наборе, могут быть в любом порядке, но не могут повторяться. Все элементы набора представлены строчными буквами в случае алфавитов. Кроме того, мы можем записать это как 1 ∈ A, 2 ∈ A и т. д. Кардинальное число или мощность множества A равна 5.
Типы наборов –
(i) Одиночный набор –
Набор, состоящий только из одного элемента, называется одноэлементным набором.
Например: Набор S = {5}, M = {a} называется одноэлементным, поскольку он состоит только из одного элемента 5 и «a» соответственно.
(ii) Конечное множество –
Множество, количество элементов которого является счетным, т.
Например: Наборы Здесь A, B и C все три содержат конечное число элементов, то есть 4 в A, 5 в B и 33 в C, и поэтому мы будем называть их конечными множествами. (iii) Бесконечное множество – N = {1, 2, 3, 4 . . . .} – бесконечное множество. Точно так же множество всех рациональных чисел между любыми двумя числами будет бесконечным. Например, A = {x : x ∈ Q, 2 < x < 5} — бесконечное множество. (iv) Равные наборы – Например, A = {1,2,3,4,5} и B = {1,5,2,4,3}, тогда A = B. (v) Пустой набор – ∅ = { x : x ≠ x }, этот набор пуст, поскольку нет элемента, который не был бы равен самому себе. Например, а = а, 2 = 2. (vi) Подмножества заданного множества – B ⊆ A. Когда B является подмножеством A, мы также говорим «A содержит B» или «A является надмножеством A». B. Символ ⊇ читается как «содержит» это A ⊇ B означает «A содержит B». Пример: Если A = (3, 5, 7), B = (3, 5, 7, 9), то A ⊆ B, поскольку каждый элемент A также является элементом B. Но B ⊄ A, поскольку 9 ∈ B в то время как 9 ∉ A. (vii) Собственное подмножество – Кроме того, пустое множество ∅ является правильным подмножеством любого множества, кроме самого себя. Неправильное подмножество –
A = {a, b, c, d}, B = {5,7,9,15,78} и C = {x : x кратно 3, где 0
Множество, содержащее бесконечное число элементов, т. е. мощность которого не может быть определена, называется Бесконечным множеством .
Итак, множество всех натуральных чисел.
Когда два набора состоят из одних и тех же элементов, независимо от того, расположены ли они в одном и том же порядке, они называются равными.
Другими словами, если каждый элемент множества A является элементом множества B и каждый элемент множества B является элементом множества A, то множества A и B называются равными, т. е. A = B.
Если множество не состоит ни из одного элемента (нулевые элементы), то говорят, что это пустое множество. Обозначается ∅. Его также называют нулевым набором или пустым набором.
Обычный способ представления нулевого набора задается как
Предположим, что A задано множество. Любое множество B, каждый элемент которого также является элементом A, называется содержащимся в A и называется подмножеством A.
Символ ⊆ означает «содержится в» или «является подмножеством».
Таким образом, если «B содержится в A» или «B является подмножеством A», мы пишем
Если B является подмножеством A и B ≠ A, то B называется правильным подмножеством A. Другими словами, если каждый элемент B является элементом A и существует по крайней мере один элемент A, который не является элементом B, то B называется правильным подмножеством A. «Является правильным подмножеством» символически обозначается ⊂.
Множество A называется неправильным подмножеством B тогда и только тогда, когда A = B.