Примеры на степени: Свойства степеней и действия с ними

Содержание

7.1. Степень с натуральным показателем.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 4.7k. Опубликовано 29 ноября 2012

I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аⁿ.

Примеры. Записать произведение в виде степени.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5·5·5·5·ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Решение.

1) mmmm=m⁴, так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

2) aaabb=a³b²; 3) 5·5·5·5·ccc=5⁴c³; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p²k²+p³k-p²k³.

II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аⁿ – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

2³ — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 2³равно 8, так как 2³=2·2·2=8.

Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

5) 4³; 6) a³b²c³; 7) a³-b³; 8 ) 2a⁴+3b².

Решение.

5) 4³=4·4·4; 6) a³b²c³=aaabbccc; 7) a³-b³=aaa-bbb; 8) 2a⁴+3b²=2aaaa+3bb.

III. а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 25⁰=1.
IV. а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.

V. a^m∙aⁿ=a^m⁺ⁿ При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Примеры. Упростить:

9) a·a³·a⁷; 10) b⁰+b²·b³; 11) c²·c⁰·c·c⁴.

Решение.

9) a·a³·a⁷=a¹⁺³⁺⁷=a¹¹; 10) b⁰+b²·b³=1+b²⁺³=1+b⁵;

11) c²·c⁰·c·c⁴=1·c²·c·c⁴=c²⁺¹⁺⁴=c⁷.

VI. a^m:aⁿ=a^m^—ⁿ При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Примеры. Упростить:

12) a⁸:a³; 13) m¹¹:m⁴; 14) 5⁶:5⁴.

12) a⁸:a³=a^8-3=a⁵; 13) m¹¹:m⁴=m^11-4=m⁷; 14) 5⁶:5⁴=5²=5·5=25.

VII. (a^m)ⁿ=a^mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Примеры. Упростить:

15) (a³)⁴; 16) (c⁵)².

15) (a³)⁴=a^3·4=a¹²; 16) (c⁵)²=c^5·2=c¹⁰.

Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

15) (a³)⁴=(a⁴)³; 16) (c⁵)²=(c²)⁵.

VIII. (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

Примеры. Упростить:

17) (2a²)⁵; 18) 0,2⁶·5⁶; 19) 0,25²·40².

Решение.

17) (2a²)⁵=2⁵·a^2·5=32a¹⁰; 18) 0,2⁶·5⁶=(0,2·5)⁶=1⁶=1;

19) 0,25²·40²=(0,25·40)²=10²=100.

IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

Примеры. Упростить:

Решение.

Примеры решения задач со степенями с ответами

Алгоритм решения задач со степенями

Теорема

Алгебраические выражения, содержащие неизвестные в основании или показателе степени, относятся к классу выражений со степенями.

При решении задач на упрощение выражений, содержащих переменные в основании или показателе степени, используются свойства степеней.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений задач со степенями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ

Пример 8

Задача

Упростить выражение:

Решение

Ответ

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

Решение

Ответ

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

Ответ
Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 2
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
16106
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Степень сравнения: объяснение и примеры
Крейг Шрайвс
Эта страница содержит…
Тест для печати и отправки
Почему важны степени сравнения
Ключевые моменты
Что такое степени сравнения? (с примерами)
В грамматике степени сравнения относятся к прилагательным и наречиям.
Каждое прилагательное и наречие могут быть записаны в одной из трех степеней:

Положительная степень . Это не предлагает никакого сравнения. Он просто говорит нам о существовании качества. Например:
прилагательные: медленный, красивый, счастливый
наречий: медленно, красиво, радостно
Сравнительная степень . Это сравнивает две вещи, чтобы показать, что имеет меньшую или большую степень качества. Например:
прилагательных: медленнее, красивее, счастливее
наречий: медленнее, красивее, счастливее
Высшая степень . Это сравнивает более двух вещей, чтобы показать, какая из них имеет наименьшую или наибольшую степень качества. Например:
.
прилагательные: самый медленный, самый красивый, самый счастливый
наречий: самым медленным, самым красивым, самым счастливым

Простые примеры степеней сравнения
Вот прилагательное «голодный» во всех трех степенях сравнения:
Ли голоден. (положительная степень)
Ли голоднее Марка. (сравнительная степень)
Ли — самый голодный из всех. (превосходная степень)
Вот наречие «опасно» во всех трех степенях сравнения:
Ли сегодня играл опасно. (положительная степень)
Ли играл опаснее Марка. (сравнительная степень)
Ли играл крайне опасно. (превосходная степень)
Реальные примеры степеней сравнения
Вот прилагательное «уродливый» во всех трех степенях сравнения.
Я могу быть пьян, мисс, но утром я буду трезвым, а вы все равно будете некрасивой. (Уинстон Черчилль)
( Уродливый находится в положительной степени. Это не дает никакого сравнения.)
В 18 лет детей втягивают в реальный мир и показывают его уродливую сторону, но не раньше. (австралийский писатель Марго Ланаган)
( Уродливее находится в сравнительной степени, описывая взрослую жизнь как обладающую чертой уродство в большей степени, чем детство. )
На прошлой неделе я заявил, что эта женщина была самой уродливой женщиной, которую я когда-либо видел. С тех пор меня посетила ее сестра, и теперь я хочу отозвать это заявление. (Писатель Марк Твен)
( Самая уродливая находится в превосходной степени, описывая женщину как обладающую чертой уродливая в наибольшей степени из всех.)
Вот наречие «красиво» во всех трех степенях сравнения:
Зарабатывание денег — это хобби, которое прекрасно дополнит любое другое ваше хобби. (Бизнесмен Скотт Александр)

Это будет нашим ответом на насилие: делать музыку более напряженной, более красивой, более преданной, чем когда-либо прежде. (Композитор Леонард Бернштейн)
( Более красиво (сравнительная степень) говорит нам, как будет создаваться музыка по сравнению с прошлым; т. е. это сравнение два шт.)
Палермо — город с самым красивым расположением в мире. Он мечтает о своей жизни в Конка-доро, живописной долине, лежащей между двумя морями. (Драматург Оскар Уайльд)
( Самый красивый (превосходная степень) говорит нам о том, что Палермо превосходит любой другой город своим расположением; то есть это сравнение больше, чем двух вещей.)
Формирование сравнительной и превосходной степени
Вот правила образования сравнительной и превосходной степени прилагательных:

0007 thin
Type of Adjective Example in the Positive Degree How to Form the Comparative Degree How to Form the Superlative Degree
one syllable
strong
add er
сильнее
добавить est
сильнее всего
односложная окончательная гласная double consonant and add er
thinner
double consonant and add est
thinnest
more than one syllable
famous
добавить меньше или больше
более известные
добавить самые или наименее известные
наименее известные

more than one syllable endingy
silly
remove y add ier
sillier

for less
less silly
remove y add самый лучший
самый глупый

по крайней мере
наименее глупый
неправильный
плохой
хорошо
много
без правил
хуже
лучше
больше
без правил
худшее
лучший
наиболее
Вот правила образования сравнительной и превосходной степени наречий:
больше всего
Тип наречия Пример в положительной степени Как образовать компаратив How to Form the Superlative
one syllable
fast
add er
faster
add est
fastest
more than one слог
осторожно
добавить меньше или больше
тщательнее
добавить0084 or least
most carefully
irregular
badly
well
no rules
worse
better
no rules
worst
best
Почему важны степени сравнения
Если вы планируете изучать иностранный язык, то знание терминов сравнительной и превосходной степени является полезной отправной точкой для изучения правил их образования.
Помимо этого, вот пять заслуживающих внимания вопросов, связанных со степенью.
(Выпуск 1) Двойная сравнительная и двойная превосходная степени являются серьезными грамматическими ошибками.
Не применяйте два правила для образования сравнительной или превосходной степени.
С наступлением ночи ты становишься глупее.
Она может бежать быстрее всех.
Эти грамматические ошибки называются двойными сравнительными или двойными превосходными степенями. Они чаще встречаются в устной речи, чем в письменной. Когда они произносятся, они могут быть отклонены как оговорка. Однако, если вы используете его в письменной форме, вам конец. Выстрел достоверности.
(Выпуск 2) При сравнении двух вещей используйте сравнительную, а не превосходную степень.
Распространенной ошибкой является использование превосходной степени при сравнении всего двух вещей.
(Именно тогда вы должны использовать сравнительную степень.)
Из них двоих она является наиболее подходящим кандидатом.
(Более подходящий кандидат был бы правильным.)
Я называю белый самым сильным не-цветом; это чисто, оптимистично и мощно. (Художник Джейсон Ву)
(Когда я нашел эту цитату, я хотел, чтобы не-цвета были просто черными и белыми, что означает, что более мощный был бы правильным. Оказывается, что не-цвета также включают все оттенки серого. Итак, цитата Ву верна. Выпотрошенный.)
Часто количество сравниваемых вещей неизвестно.
Она самый подходящий кандидат.
(Читая это, мы предположили бы, что кандидатов было больше двух. Если бы было только два, следовало бы сказать «более подходящий».)
(Выпуск 3) «Мертвый» значит мертвый. Ты не можешь быть более мертвым, не так ли?
Возможно, есть прилагательные, которые не должны иметь формы сравнительной или превосходной степени, потому что их значения уже выражают качества в максимально возможной степени. Вот четыре прилагательных, которые могли бы вызвать критику, если бы вы использовали их в сравнительной или превосходной степени. (Они упорядочены по их способности раздражать.)
Мертвый (Может ли что-то быть мертвее или мертвее всего?)
Single (Может ли быть что-то большее или самое единственное?)
Уникальный (Может ли что-то быть более уникальным?)
Мгновенное (Может ли что-то быть более или более мгновенным?)
(выпуск 4) Вы можете использовать «быстрее» или «быстрее» в качестве наречия.
«Быстрее» и «более быстро» являются приемлемыми сравнительными формами наречия быстро. Это распространенное заблуждение, что «quicker» только недавно перешло в английский как наречие из-за общего использования и игнорирования разницы между наречиями и прилагательными. На протяжении большей части 19В 19-м и 20-м веках «быстрее» было гораздо более распространенным, чем «быстрее». Только с 1970-х «быстрее» обогнало «быстрее». Другое причудливое сравнение — «тупее», что является приемлемой альтернативой слову «более глупо».
Подумайте, насколько глуп средний человек, половина из нас глупее этого. (комик Джордж Карлин)
(Выпуск 5) «Выше меня» и «Выше меня» допустимы.
При использовании сравнительной степени многие писатели не уверены, следует ли использовать такую конструкцию, как «выше меня» или «выше меня». Быстрый ответ: оба верны, но не все согласны с тем, что оба верны, и в этом проблема. Вот корень спора: слово than может быть союзом или предлогом. Когда than используется как союз (помните, что союз соединяет такие же термины), это выглядит так:
Джон выше меня
или же
Джон выше меня. (Это просто более сжатая версия.)
Когда than используется в качестве предлога (предлог показывает отношения между словами), это выглядит так:
Джон выше меня.
Грамматики уже сотни лет спорят о том, является ли than союзом или предлогом в этой конструкции. Для большинства людей версия «чем я» звучит более естественно, но эта версия подвергается более высокому риску нападения, потому что версия «чем я» существует дольше и для многих кажется более грамматически правильной. Однако для других версия «чем я» звучит претенциозно. Таким образом, есть много вещей, которые нужно взвесить без каких-либо четких указаний.
К сожалению, это не так просто, как делать все, что хочешь, и заявлять, если это оспаривают, что грамматики всего мира спорят по этому поводу сотни лет. Есть еще одна проблема, которую иногда следует учитывать: версия «чем я» вносит двусмысленность. Посмотрите на этот пример:
Джон любит Питера больше, чем меня.
Это может означать:
Джон любит Питера больше, чем я люблю Питера.
или же
Джон предпочитает Питера мне.
Хороший способ устранить эту двусмысленность — использовать версию «чем я» и расширить предложение (что означает добавление по крайней мере глагола).
Джон любит Питера больше, чем я.
или же
Джон любит Питера больше, чем меня.
Эта конструкция также защитит вас от обвинений в вычурности. Читайте больше о чем он / он.
Ключевые моменты
Тест для печати
Помогите нам улучшить Grammar Monster
Вы не согласны с чем-то на этой странице?
Вы заметили опечатку?
Найдите нас быстрее!
При использовании поисковой системы (например, Google, Bing) вы найдете Grammar Monster быстрее, если добавите #gm к своему поисковому запросу.
Следующий урок >
См. также
Сравнительная и превосходная степени прилагательныхСравнительная и превосходная степени наречийСловарь грамматических терминов
URL страницы
Положительная степень 20 примеров на английском языке
Положительная степень 20 примеров на английском языке

Содержание Степень 20 Примеры’ тесно. Для описания, количественной оценки, изменения или определения существительных/местоимений используются или повторно используются прилагательные. Прилагательные имеют свои степени, называемые степенями прилагательных или степенями сравнения, которые сравнивают одну вещь / человека с другой.
Прилагательные имеют 3 степени сравнения
Положительная степень прилагательных
Сравнительная степень прилагательных
Превосходная степень прилагательных
Степени сравнения примеры
Положительная степень – Кошка быстро бегает.
Сравнительная степень – Кошка бегает быстрее собаки.
Превосходная степень – Кошка бегает быстрее всех животных.
Степень сравнения Правила
1. После сравнения двух предметов/людей сравнительная степень используется с помощью глагола «er» к прилагательному слову в сочетании со словом «than». В некоторых случаях используется «более».
Пример сравнительной степени
Она умнее своей сестры.
Она веселее своей сестры.

Точно так же, когда сравниваются две вещи/люди, используется превосходная степень путем добавления «est» к прилагательному слову, или, в некоторых случаях, используется «большинство».
Превосходная степень сравнения примеры
Он сильнейший борец.
Он самый красивый актер.
«Больше» используется, когда вы сравниваете качества одной вещи/человека. даже если первичное прилагательное может быть односложным словом.
Примеры степени сравнения
Неверно – Она умнее, чем умнее.
Верно. Она скорее разумна, чем умна.
Не используйте двойные прилагательные в сравнительной или превосходной степени.
Примеры степени сравнения
Неверно – Эти яблоки вкуснее тех.
Правильно – Эти яблоки вкуснее тех.
Есть некоторые прилагательные, которые относятся к «к», например, «низший», «предпочтительнее», «предпочтительнее», «старший». не используйте «чем» с этими прилагательными.
Степень прилагательного примеры
Неправильно: я старше ее.
Правильно: я старше ее.
Неверно. Эта марка автомобиля лучше той.
Правильно – Эта марка автомобиля лучше той.
При сравнении двух вещей должно быть сходство, т. е. сходные вещи должны сравниваться.
Примеры степени сравнения
Неверно – Этот цвет стен красивее предыдущего. (цвет стены сравнивается со стеной)
Правильно — этот цвет стены более красивый, чем предыдущий. (сравните цвет стены с цветом стены)
Если сравнительная степень используется в смысле превосходной степени
Используйте «любой другой» после сравнения вещи/человека из той же группы.
Пример степени сравнения
Неверно: Рина умнее любого ученика в своей категории.
Правильно: Рина умнее любого другого ученика в своей категории.
Используйте «любой», если сравнение вещей/лиц находится вне группы.
Неправильно: Дели чище, чем любой другой город Бангла Деш.
Правильно: любой другой город чище любого города Бангла Деш.
Чтобы указать, является ли различие между сравниваемой вещью/человеком небольшим или огромным, мы склонны использовать квантификаторы для сравнительной степени прилагательного, например (немного, немного, много, далеко, много, превосходно). сделка, значительно и др.).
Пример:
Мое общежитие лишь немного больше вашего.
В их колледже она могла бы быть немного более стандартной, чем ее сестра.
Австралия немного меньше континента.
Мы не используем квантификаторы с превосходными степенями прилагательных, однако есть верные словосочетания, обычно употребляемые с превосходными степенями сравнения.
No related posts.