Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи) 8 класс онлайн-подготовка на
Введение
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)
1. Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями
На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида: , где . В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выполнить действие .
Решение.
Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.
и . Следовательно, и .
Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители . Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби .
.
Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь.
Ответ..
2. Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители
Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя.
Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.
Пример 2. Выполнить действия .
Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:
. Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби.
Во втором переходе можно обратить внимание на внесение минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).
Ответ..
Пример 3. Выполнить действия .
Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:
.
Ответ..
3. Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители
Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех дробей.
Пример 4. Выполнить действия .
Решение.
Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
.
Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели: . Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.
.
Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним.
Ответ..
Пример 5. Выполнить действия .
Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
.
Наименьший общий знаменатель: .
.
Можно заметить, что выражение в числителе представимо в виде по формуле квадрата суммы, аналогично выражение .
В конце проведено сокращение на , значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением: и являются недопустимыми значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .
Ответ..
На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.
Список рекомендованной литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.
М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. ЕГЭ оп математике (Источник).
2. Так то ЕНТ. Методическая копилка (Источник).
3. Презентации для школьников (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 55, 56, 63, 66, 68. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Выполнить действия .
3. Выполнить действия .
4. Доказать тождество: .
| Табличка на двери |
Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Итог — 3 11 12 .
При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.
Упростить: .
Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:
Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.
.. дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Вот здесь начнется самое интересное.
Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.
Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.
Какой еще туалет?Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1.
Сравнение дробей
2. Сложение дробей
3. Вычитание дробей
Сравнение дробей
Замечание 1
Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к нахождению их общего знаменателя и сравнения числителей.
Замечание 2
Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:
- Свести дроби к общему знаменателю.
- Выполнить сравнение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример 1
Сравнить дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{9}{22}$.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом сравнения дробей с разными знаменателями:
Сведем данные дроби к общему знаменателю, которым будет НОК:
$НОК(14, 22)=2\cdot 7\cdot 11=154$.
Найдем дополнительные множители данных дробей:
$154\div 14=11$ – дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{14}$;
$154\div 22=7$ – дополнительный множитель для дроби $\frac{9}{22}$.
Сведем дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{9}{22}$ к общему знаменателю:
$\frac{5\cdot 11}{14\cdot 11}=\frac{55}{154}$
$\frac{9\cdot 7}{22\cdot 7}=\frac{63}{154}$
Сравним полученные дроби:
$\frac{55}{154}$ $\frac{c}{d}$;
если выполняется условие $a\cdot d \frac{16}{92}$.
Ответ: $\frac{7}{24} >\frac{16}{92}$.
Сложение дробей
Замечание 3
Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями.
Замечание 4
Алгоритм сложения дробей с разными знаменателями:
- Свести данные дроби к общему знаменателю (принято сводить к наименьшему общему знаменателю).
- Сложить полученные дроби, которые имеют одинаковые знаменатели.
Пример 2
Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{18}$.
Решение.
У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Найдем $НОК(12, 18)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.
Дополнительным множителем дроби $\frac{7}{12}$ является число $36\div 12=3$, а для дроби $\frac{5}{18}$ – число $36\div 18=2$. Получим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{21}{36}$
$\frac{5}{18}=\frac{5\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{10}{36}$
Выполним сложение:
$\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$
Запишем краткое решение:
$\frac{7}{12}+\frac{5}{18}=\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$
Ответ: $\frac{31}{36}$.
Замечание 5
Если в результате сложения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Вычитание дробей
Замечание 6
Алгоритм вычитания дробей с разными знаменателями:
- Свести дроби к общему знаменателю (принято приводить к наименьшему общему знаменателю).
- Выполнить вычитание полученных дробей, которые имеют одинаковые знаменатели.
Пример 3
Вычесть дроби $\frac{5}{7}-\frac{2}{13}$.
Решение.
У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем их к наименьшему общему знаменателю:
$НОК(7, 13)=7\cdot 13=91$.
Дополнительными множителями для дробей будут числа $13$ и $7$ соответственно:
$\frac{5}{7}=\frac{5\cdot 13}{7\cdot 13}=\frac{65}{91}$,
$\frac{2}{13}=\frac{2\cdot 7}{13\cdot 7}=\frac{14}{91}$
Вычтем дроби:
$\frac{5}{7}-\frac{2}{13}=\frac{65}{91}-\frac{14}{91}=\frac{65\cdot 14}{91}=\frac{51}{91}$
Ответ: $\frac{51}{91}$.
Замечание 7
Если в результате вычитания дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08.06.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Сложение и вычитание математических дробей
Сложение и вычитание дробей может показаться некоторым ужасающим уроком математики, но правда в том, что это не так сложно, как некоторые люди могут подумать.
Хитрость заключается в том, чтобы уметь распознавать и переводить дроби в знакомые объекты; вот почему кусочки пиццы и шоколадные батончики обычно используются для представления дробей. Таким образом, вы можете визуализировать дробь и легко понять дробь.
Сложение дробей: как складывать дроби?
Допустим, вы и ваш друг съели по \frac { 1 }{ 4 } пиццы.
Суммируя их, получаем \frac { 4 }{ 8 } пиццы, которая также равна ½ пиццы при упрощении.
\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 }
Обратите внимание, что числители (числа в верхней части дроби ) — это единственные числа, которые добавляются. Знаменатели (числа внизу дроби) никогда не складываются. При сложении дробей важно следить за тем, чтобы знаменатели были одинаковыми. Причина этого в том, что одинаковые знаменатели говорят вам, что дроби, которые вы складываете, делятся на одинаковые части.
Возьмем для примера эти кусочки пиццы. Допустим, у вас есть \frac { 1 }{ 4 } пиццы, а у вашего друга \frac { 2 }{ 4 } такой же пиццы.
Мы знаем, что \frac { 1 }{ 2 } пиццу можно разрезать на две равные части так, чтобы они были одинаковыми. Таким образом, получается 3 куска пиццы размером \frac { 1 }{ 4 } . Что дает нам:
\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 }
Сложение дробей возможно только в том случае, если знаменатели совпадают, потому что вы можете только комбинировать точно, если вы добавите аналогичные части. Вот почему первое правило сложения дробей заключается в том, чтобы знаменатели ваших слагаемых были одинаковыми, потому что они показывают, на сколько равных частей были разделены дроби.
Вычитание дробей: Как вы вычитаете дроби?
То же правило применяется при вычитании дробей. Числители вычитаются, а знаменатели должны быть одинаковыми.
Допустим, у вас есть \frac { 5 }{ 8 } плитки шоколада, и вы съели \frac { 1 }{ 8 }
\frac { 5 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\ frac { 4 }{ 8 } плитки шоколада и \ frac { 4 }{ 8 } можно упростить как \ frac { 1 }{ 2 } .
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
При сложении и вычитании дробей со знаменателями, не похожими друг на друга, первым делом нужно сделать знаменатели похожими. Для этого вам нужно найти эквивалентную долю каждого слагаемого, убедившись, что оба слагаемых похожи. Вы можете использовать любой общий знаменатель, но использование наименьшего общего знаменателя делает сложение и вычитание не только проще, но и проще.
Вот несколько примеров:
Пример 1. Сложение дробей
\ гидроразрыв { 1 }{ 3 } + \ гидроразрыв { 2 }{ 5 } =
Шаг 1: Сделайте знаменатели похожими, найдя наименьшие общие знаменатели. Нахождение наименьшего общего знаменателя равнозначно нахождению наименьшего общего кратного.
Перечислите числа, кратные 3 и 5 . Первое кратное, которое они имеют общее, является наименьшим общим кратным.
3: 3, 6, 9, 12, 15 , 18
5: 5, 10, 15 , 20
Наименьшее общее кратное: 15
нет 9000 .
Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные дроби каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.
\frac { 1 }{ 3 } становится:
\ frac { 1 }{ 3 } \times \ frac { 5 }{ 5 } = \ frac { 5 }{ 15 }
\ frac { 2}{ 5 } становится:
\frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 3 } =\frac { 6 }{ 15 }
Шаг 3: Добавьте переименованные дроби
\ frac { 5 }{ 15 } + \ frac { 6 }{ 15 } = \ frac { 11 }{ 15 }
Пример 2. Вычитание дробей
\ гидроразрыв { 4 }{ 5 } — \ гидроразрыв { 1 }{ 2 } =
Шаг 1: Сделайте знаменатели похожими, найдя наименьшие общие знаменатели.
Перечислите числа, кратные 5 и 2. Первое кратное, которое у них есть, является наименьшим общим кратным.
5: 5, 10 , 15, 20
2: 2, 4, 6, 8, 10
Наименьшее общее кратное: 10
В качестве наименьшего общего знаменателя используйте наименьшее общее кратное.
Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные дроби каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.
\frac { 4 }{ 5 } становится:
\ frac { 4 }{ 5 } \ times \ frac { 2 }{ 2 } = \ frac { 8 }{ 10 }
\frac { 1 }{ 2 } становится:
\ frac { 1 }{ 2 } \ times \ frac { 5 }{ 5 } = \ frac { 5 }{ 10 }
Шаг 3: Вычитание переименованных дробей
\ frac { 8 }{ 10 } — \ frac { 5 }{ 10 } = \ frac { 3 }{ 10 }
Сложение и вычитание дробей — это не ракетостроение. Понимание числителя и знаменателя является первым шагом в решении этих двух операций коррекции. Также полезно освоить основные факты умножения, поскольку это наиболее полезно при уравнивании знаменателей.
Резюме
Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел — Полный курс арифметики
Мы выбираем общее кратное знаменателей, потому что мы меняем знаменатель, умножая его.
Урок 22.
| Пример 3. | 2 3 | + | 1 4 | . |
Решение . Наименьшим общим кратным чисел 3 и 4 является их произведение, 12. (Урок 22, вопрос 4.)
Преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь со знаменателем 12.
| 2 3 | + | 1 4 | = | 8 12 | + | 3 12 |
| = | 11 12 | . | ||||
| Мы преобразовали | 2 3 | отдо | 8 12 | , сказав: «3 входит в |
(содержится) 12 четыре раза.
Четыре раза по 2 равно 8».
(Так мы умножили и 2, и 3 на одно и то же число, а именно на 4. См. урок 22, вопрос 3.)
| Мы преобразовали | 1 4 | отдо | 3 12 | , сказав: «4 входит в 12 три |
раза. Трижды 1 будет 3″. (Мы умножили и 1, и 4 на 3.)
Тот факт, что мы говорим то, что делаем, еще раз показывает, что арифметика — это разговорный навык.
На практике необходимо записать общий знаменатель только один раз:
| 2 3 | + | 1 4 | = | 8 + 3 12 | = | 11 12 | . |
Пример 4. | 4 5 | + | 2 15 |
Решение . НОК 5 и 15 равно 15. Следовательно,
| 4 5 | + | 2 15 | = | 12 + 2 15 | = | 14 15 | . |
| Мы изменили | 4 5 | отдо | 12 15 | , сказав: «5 входит в 15 три |
раза. Три раза по 4 равно 12.»
| Мы не меняли | 2 15 | , потому что мы не меняем |
знаменатель 15.
| Пример 5. | 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 |
Решение . LCM 3, 6 и 12 равно 12.
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = | 8 + 2 + 7 12 |
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = | 17 12 |
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = 1 | 5 12 | . |
| Мы преобразовали | 2 3 | – | 8 12 | , сказав: «3 входит в 12 четыре |
раза. Четыре раза по 2 равно 8.»
| Мы преобразовали | 1 6 | – | 2 12 | , сказав: «6 входит в 12 два |
раза. Дважды 1 равно 2.»
| Мы не меняли | 7 12 | , потому что мы не меняем |
знаменатель 12.
| Наконец, мы изменили неправильную дробь | 17 12 | – 1 | 5 12 | по |
деление 17 на 12.
(Урок 20.)
«12 превращается в 17 один (1) раз с остатком 5.»
| Пример 6. | 5 6 | + | 7 9 |
Решение . НОК 6 и 9 равно 18
.| 5 6 | + | 7 9 | = | 15 + 14 18 | = | 29 18 | = 1 | 11 18 | . |
| Мы изменили | 5 6 | – | 15 18 | путем умножения обоих членов на 3. |
| Мы изменили | 7 9 | – | 14 18 | путем умножения обоих членов на 2. |
| Пример 7. Добавьте мысленно | 1 2 | + | 1 4 | . |
| Ответ . | 1 2 | это сколько | 1 4 | ? |
| 1 2 | = | 2 4 | . |
Точно так же, как 1 — это половина 2, 2 — это половина 4. Следовательно,
| 1 2 | + | 1 4 | = | 3 4 | . |
Студент не должен писать задачи, в которых один из
| дроби | 1 2 | , а знаменатель другого четный. |
Например,
| 1 2 | + | 2 10 | = | 7 10 |
| — потому что | 1 2 | = | 5 10 | . |
Пример 8. На недавнем экзамене одна восьмая часть студентов получила пятерку, две пятых — четверку, а остальные — тройку. Какая часть получила тройку?
Решение . Пусть 1 представляет собой все количество студентов. Тогда вопрос:
| 1 8 | + | 2 5 | + ? = 1 | . |
Сейчас,
| 1 8 | + | 2 5 | = | 5 + 16 40 | = | 21 40 | . |
| Остаток, дробь, получившая C, является дополнением к | 21 40 | . |
| Это | 19 40 | . |
2 Стратегии сложения и вычитания дробей
Если вы работаете со своими учениками над сложением и вычитанием дробей, убедитесь, что вы используете различные стратегии. Важно показать учащимся, как использовать визуальные модели в дополнение к стандартному алгоритму .
В 4-м классе учащиеся в основном работают над сложением и вычитанием дробей с числом как знаменатель .
К 5 класс , в отличие от знаменателей используются для сложения и вычитания как дробей, так и смешанных чисел.
Создание дробной модели важно для того, чтобы показать учащимся, почему они складывают или вычитают только числители, а не знаменатели.
Сложение с одинаковыми знаменателями
В приведенном ниже примере изображения с одинаковыми знаменателями учащиеся должны создать прямоугольник для представления одного целого со столбцами, чтобы показать, сколько частей в целом. В примере сложения добавляемые дроби выходят за пределы девятых, поэтому они создадут один прямоугольник с 9столбцы. Чтобы представить первую дробь, они должны закрасить 3 из 9 столбцов одним цветом, а затем могут использовать тот же или другой цвет, чтобы закрасить еще 1 столбец, чтобы представить добавленную 1/9. После того, как эти два цвета будут закрашены, модель теперь имеет затенение 4/9.
Вычитание с одинаковыми знаменателями
В примере с вычитанием учащиеся должны создать прямоугольник с 12 столбцами, заштриховав 11 из них, чтобы представить 11/12. Чтобы вычесть из этого 4/12, они вычеркивают 4 из 11 заштрихованных частей. Количество оставшихся заштрихованных столбцов будет разницей. В этом случае ответ 7/12.
Сложение с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями с помощью визуальной модели, сначала нужно создать модели для представления каждой из дробей, а затем найти эквивалентные дроби с тем же знаменателем.
Для этого вам нужно найти наименьшее общее кратное двух дробей, а затем использовать НОК в качестве их общего знаменателя.
В приведенном ниже примере задачи LCD 1/4 и 3/5 равен 20. Каждая модель дроби должна состоять из 20 штук. Первая дробь (1/4) имеет 4 столбца, поэтому нам нужно разбить 4 столбца на 5 строк, чтобы получилось 20 штук. Вторая дробь (3/5) состоит из 5 столбцов, поэтому вам нужно создать 4 ряда, чтобы получить 20 штук. Теперь мы можем увидеть эквивалентные дроби для каждой из исходных дробей: 1/4 = 5/20 и 3/5 = 12/20. Наконец, сложите эквивалентные дроби, чтобы получить окончательный ответ 17/20.
Вычитание с разными знаменателями
Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, начните с создания моделей дробей для каждой дроби в задаче. У них должен быть общий знаменатель, поэтому найдите наименьшее общее кратное обоих знаменателей.
Для 4/5 и 1/3 НОК равен 15, поэтому общий знаменатель равен 15. Затем создайте эквивалентные дроби, используя общий знаменатель.
Первая дробь (4/5) имеет 5 столбцов, поэтому нам нужно создать 3 ряда, чтобы получилось 15 штук. Вторая дробь (1/3) должна состоять из 5 рядов. Первая фракция теперь имеет 12 из 15 закрашенных фигур (12/15). Нам нужно будет вычесть количество штук во второй модели дроби из первой. Для этого зачеркните 5 из 12 заштрихованных частей. Остальные заштрихованные не зачеркнутые столбцы — это ответ: 7/15.
При использовании стандартного алгоритма для нахождения суммы или разности двух дробей с разными знаменателями я учу своих учеников записывать исходные дроби по вертикали . Причина, по которой я преподаю это таким образом, заключается в том, что мне нравится, когда они получают визуализацию создания своих эквивалентных дробей сбоку и показывают, на что они умножают числитель и знаменатель, чтобы получить эквивалентные дроби.
Учащимся снова необходимо:
- Найдите наименьшее общее кратное каждой дроби, чтобы найти общий знаменатель.
