Примеры на вычитание и сложение дробей: Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи) 8 класс онлайн-подготовка на

Введение

 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

 

Урок: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

 

 

1. Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями

 

 

На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида: , где . В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.

 

Пример 1. Выполнить действие .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.

 и . Следовательно,  и .

Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители . Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби .

.

Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь.

Ответ..

 

2. Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

 

 

Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя. Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.

 

Пример 2. Выполнить действия .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:

. Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби. Во втором переходе можно обратить внимание на внесение минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).

Ответ..

Пример 3. Выполнить действия .

Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:

.

Ответ..

 

3. Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

 

 

Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех дробей.

 

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели: . Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.

 .

Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним.

Ответ..

Пример 5. Выполнить действия .

Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Наименьший общий знаменатель: .

.

Можно заметить, что выражение в числителе представимо в виде  по формуле квадрата суммы, аналогично выражение .

В конце проведено сокращение на , значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением:  и  являются недопустимыми значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .

Ответ..

На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ оп математике (Источник).

2. Так то ЕНТ. Методическая копилка (Источник).

3. Презентации для школьников (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 55, 56, 63, 66, 68. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Выполнить действия .

3. Выполнить действия .

4. Доказать тождество: .

 

Сложение приводим дроби общему. Сложение и вычитание дробей. Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители;
• умножить все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним.

Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 — 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 — 1 15 = 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 — 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .

Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 — 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 — 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = (1064 + 1) — 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 — 13 62 = 1 1 — 13 62 = 62 62 — 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 — 13 62 = 1065 1 — 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 — 13 62 = 66030 62 — 13 62 = = 66030 — 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 — 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 — 3 5 = (629 + 1) — 3 5 = 629 + 1 — 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 — 3 2 = 24 4 — 6 4 = 19 4 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог — 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 6 4 — 5 6 = = 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 — 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 — 5 + 3 5 = 98 + 17 20 — 5 — 3 5 = 98 — 5 + 17 20 — 3 5

Завершим расчеты: 98 — 5 + 17 20 — 3 5 = 93 + 17 20 — 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

• Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.

Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
• Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.

• Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «. .. дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Сравнение дробей

2. Сложение дробей

3. Вычитание дробей

Сравнение дробей

Замечание 1

Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к нахождению их общего знаменателя и сравнения числителей.

Замечание 2

Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Свести дроби к общему знаменателю.
2. Выполнить сравнение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 1

Сравнить дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{9}{22}$.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Сведем данные дроби к общему знаменателю, которым будет НОК:

   $НОК(14, 22)=2\cdot 7\cdot 11=154$.

   Найдем дополнительные множители данных дробей:

   $154\div 14=11$ – дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{14}$;

   $154\div 22=7$ – дополнительный множитель для дроби $\frac{9}{22}$.

   Сведем дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{9}{22}$ к общему знаменателю:

   $\frac{5\cdot 11}{14\cdot 11}=\frac{55}{154}$

   $\frac{9\cdot 7}{22\cdot 7}=\frac{63}{154}$

2. Сравним полученные дроби:

   $\frac{55}{154}$ $\frac{c}{d}$;

   если выполняется условие $a\cdot d \frac{16}{92}$.

Ответ: $\frac{7}{24} >\frac{16}{92}$.

Сложение дробей

Замечание 3

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями.

Замечание 4

Алгоритм сложения дробей с разными знаменателями:

1. Свести данные дроби к общему знаменателю (принято сводить к наименьшему общему знаменателю).
2. Сложить полученные дроби, которые имеют одинаковые знаменатели.

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{18}$.

Решение.

У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Найдем $НОК(12, 18)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.

Дополнительным множителем дроби $\frac{7}{12}$ является число $36\div 12=3$, а для дроби $\frac{5}{18}$ – число $36\div 18=2$. Получим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{21}{36}$

$\frac{5}{18}=\frac{5\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{10}{36}$

Выполним сложение:

$\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$

Запишем краткое решение:

$\frac{7}{12}+\frac{5}{18}=\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$

Ответ: $\frac{31}{36}$.

Замечание 5

Если в результате сложения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Вычитание дробей

Замечание 6

Алгоритм вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Свести дроби к общему знаменателю (принято приводить к наименьшему общему знаменателю).
2. Выполнить вычитание полученных дробей, которые имеют одинаковые знаменатели.

Пример 3

Вычесть дроби $\frac{5}{7}-\frac{2}{13}$.

Решение.

У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем их к наименьшему общему знаменателю:

$НОК(7, 13)=7\cdot 13=91$.

Дополнительными множителями для дробей будут числа $13$ и $7$ соответственно:

$\frac{5}{7}=\frac{5\cdot 13}{7\cdot 13}=\frac{65}{91}$,

$\frac{2}{13}=\frac{2\cdot 7}{13\cdot 7}=\frac{14}{91}$

Вычтем дроби:

$\frac{5}{7}-\frac{2}{13}=\frac{65}{91}-\frac{14}{91}=\frac{65\cdot 14}{91}=\frac{51}{91}$

Ответ: $\frac{51}{91}$.

Замечание 7

Если в результате вычитания дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08.06.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Сложение и вычитание математических дробей

Сложение и вычитание дробей может показаться некоторым ужасающим уроком математики, но правда в том, что это не так сложно, как некоторые люди могут подумать. Хитрость заключается в том, чтобы уметь распознавать и переводить дроби в знакомые объекты; вот почему кусочки пиццы и шоколадные батончики обычно используются для представления дробей. Таким образом, вы можете визуализировать дробь и легко понять дробь.

Сложение дробей: как складывать дроби?

Допустим, вы и ваш друг съели по \frac { 1 }{ 4 } пиццы.

Суммируя их, получаем \frac { 4 }{ 8 } пиццы, которая также равна ½ пиццы при упрощении.

\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 }

Обратите внимание, что числители (числа в верхней части дроби ) — это единственные числа, которые добавляются. Знаменатели (числа внизу дроби) никогда не складываются. При сложении дробей важно следить за тем, чтобы знаменатели были одинаковыми. Причина этого в том, что одинаковые знаменатели говорят вам, что дроби, которые вы складываете, делятся на одинаковые части.

Возьмем для примера эти кусочки пиццы. Допустим, у вас есть \frac { 1 }{ 4 } пиццы, а у вашего друга \frac { 2 }{ 4 } такой же пиццы.

Мы знаем, что \frac { 1 }{ 2 } пиццу можно разрезать на две равные части так, чтобы они были одинаковыми. Таким образом, получается 3 куска пиццы размером \frac { 1 }{ 4 } . Что дает нам:

\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 }

Сложение дробей возможно только в том случае, если знаменатели совпадают, потому что вы можете только комбинировать точно, если вы добавите аналогичные части. Вот почему первое правило сложения дробей заключается в том, чтобы знаменатели ваших слагаемых были одинаковыми, потому что они показывают, на сколько равных частей были разделены дроби.

Вычитание дробей: Как вы вычитаете дроби?

То же правило применяется при вычитании дробей. Числители вычитаются, а знаменатели должны быть одинаковыми.

Допустим, у вас есть \frac { 5 }{ 8 } плитки шоколада, и вы съели \frac { 1 }{ 8 }

\frac { 5 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\ frac { 4 }{ 8 } плитки шоколада и \ frac { 4 }{ 8 } можно упростить как \ frac { 1 }{ 2 } .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

При сложении и вычитании дробей со знаменателями, не похожими друг на друга, первым делом нужно сделать знаменатели похожими. Для этого вам нужно найти эквивалентную долю каждого слагаемого, убедившись, что оба слагаемых похожи. Вы можете использовать любой общий знаменатель, но использование наименьшего общего знаменателя делает сложение и вычитание не только проще, но и проще.

Вот несколько примеров:

Пример 1. Сложение дробей

\ гидроразрыв { 1 }{ 3 } + \ гидроразрыв { 2 }{ 5 } =

Шаг 1: Сделайте знаменатели похожими, найдя наименьшие общие знаменатели. Нахождение наименьшего общего знаменателя равнозначно нахождению наименьшего общего кратного.

Перечислите числа, кратные 3 и 5 . Первое кратное, которое они имеют общее, является наименьшим общим кратным.

3: 3, 6, 9, 12, 15 , 18
5: 5, 10, 15 , 20
Наименьшее общее кратное: 15

нет 9000 .

Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные дроби каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.

\frac { 1 }{ 3 } становится:

\ frac { 1 }{ 3 } \times \ frac { 5 }{ 5 } = \ frac { 5 }{ 15 }

\ frac { 2}{ 5 } становится:

\frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 3 } =\frac { 6 }{ 15 }

Шаг 3: Добавьте переименованные дроби

\ frac { 5 }{ 15 } + \ frac { 6 }{ 15 } = \ frac { 11 }{ 15 }

Пример 2. Вычитание дробей

\ гидроразрыв { 4 }{ 5 } — \ гидроразрыв { 1 }{ 2 } =

Шаг 1: Сделайте знаменатели похожими, найдя наименьшие общие знаменатели.

Перечислите числа, кратные 5 и 2. Первое кратное, которое у них есть, является наименьшим общим кратным.

5: 5, 10 , 15, 20
2: 2, 4, 6, 8, 10
Наименьшее общее кратное: 10

В качестве наименьшего общего знаменателя используйте наименьшее общее кратное.

Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные дроби каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.

\frac { 4 }{ 5 } становится:

\ frac { 4 }{ 5 } \ times \ frac { 2 }{ 2 } = \ frac { 8 }{ 10 }

\frac { 1 }{ 2 } становится:

\ frac { 1 }{ 2 } \ times \ frac { 5 }{ 5 } = \ frac { 5 }{ 10 }

Шаг 3: Вычитание переименованных дробей

\ frac { 8 }{ 10 } — \ frac { 5 }{ 10 } = \ frac { 3 }{ 10 }

Сложение и вычитание дробей — это не ракетостроение. Понимание числителя и знаменателя является первым шагом в решении этих двух операций коррекции. Также полезно освоить основные факты умножения, поскольку это наиболее полезно при уравнивании знаменателей.

Резюме

Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел — Полный курс арифметики

Мы выбираем общее кратное знаменателей, потому что мы меняем знаменатель, умножая его. Урок 22.

Пример 3.

2 3

+

1 4

.

Решение . Наименьшим общим кратным чисел 3 и 4 является их произведение, 12. (Урок 22, вопрос 4.)

Преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь со знаменателем 12.

2 3	+	1 4	=	8 12	+	3 12
			=	11 12	.

от

Мы преобразовали

2 3

до

8 12

, сказав: «3 входит в

(содержится) 12 четыре раза. Четыре раза по 2 равно 8».

(Так мы умножили и 2, и 3 на одно и то же число, а именно на 4. См. урок 22, вопрос 3.)

от

Мы преобразовали

1 4

до

3 12

, сказав: «4 входит в 12 три

раза. Трижды 1 будет 3″.  (Мы умножили и 1, и 4 на 3.)

Тот факт, что мы говорим то, что делаем, еще раз показывает, что арифметика — это разговорный навык.

На практике необходимо записать общий знаменатель только один раз:

2 3

+

1 4

=

8 + 3   12

=

11 12

.

Пример 4.

4 5

+

2  15

Решение . НОК 5 и 15 равно 15. Следовательно,

4 5

+

2  15

=

12  +  2     15

=

14 15

.

от

Мы изменили

4 5

до

12 15

, сказав: «5 входит в 15 три

раза. Три раза по 4 равно 12.»

Мы не меняли

2  15

, потому что мы не меняем

знаменатель 15.

Пример 5.

2 3

+

1 6

+

7  12

Решение . LCM 3, 6 и 12 равно 12.

2 3

+

1 6

+

7  12

=

8 + 2 + 7      12

2 3

+

1 6

+

7  12

=

17 12

2 3

+

1 6

+

7  12

=  1

5  12

.

Мы преобразовали

2 3

–

8 12

, сказав: «3 входит в 12 четыре

раза. Четыре раза по 2 равно 8.»

Мы преобразовали

1 6

–

2  12

, сказав: «6 входит в 12 два

раза. Дважды 1 равно 2.»

Мы не меняли

7  12

, потому что мы не меняем

знаменатель 12.

Наконец, мы изменили неправильную дробь

17 12

– 1

5  12

по

деление 17 на 12. (Урок 20.)

«12 превращается в 17 один (1) раз с остатком 5.»

Пример 6.

5 6

+

7 9

Решение . НОК 6 и 9 равно 18 

.

5 6

+

7 9

=

15 + 14    18

=

29 18

=  1

11 18

.

Мы изменили

5 6

–

15 18

путем умножения обоих членов на 3.

Мы изменили

7 9

–

14 18

путем умножения обоих членов на 2.

Пример 7.    Добавьте мысленно

1 2

+

1 4

.

Ответ .

1 2

это сколько

1 4

?

1 2

=

2 4

.

Точно так же, как 1 — это половина 2, 2 — это половина 4. Следовательно,

1 2

+

1 4

=

3 4

.

Студент не должен писать задачи, в которых один из

дроби

1 2

, а знаменатель другого четный.

Например,

1 2

+

2  10

=

7  10

— потому что

1 2

=

5  10

.

Пример 8.   На недавнем экзамене одна восьмая часть студентов получила пятерку, две пятых — четверку, а остальные — тройку. Какая часть получила тройку?

  Решение . Пусть 1 представляет собой все количество студентов. Тогда вопрос:

1 8

+

2 5

+ ? = 1

.

Сейчас,

1 8

+

2 5

=

5 + 16    40

=

21 40

.

Остаток, дробь, получившая C, является дополнением к

21 40

.

Это

19 40

.

2 Стратегии сложения и вычитания дробей

Если вы работаете со своими учениками над сложением и вычитанием дробей, убедитесь, что вы используете различные стратегии. Важно показать учащимся, как использовать визуальные модели в дополнение к стандартному алгоритму .

В 4-м классе учащиеся в основном работают над сложением и вычитанием дробей с числом  как знаменатель .

К 5 класс , в отличие от знаменателей используются для сложения и вычитания как дробей, так и смешанных чисел.

Создание дробной модели важно для того, чтобы показать учащимся, почему они складывают или вычитают только числители, а не знаменатели.

Сложение с одинаковыми знаменателями

В приведенном ниже примере изображения с одинаковыми знаменателями учащиеся должны создать прямоугольник для представления одного целого со столбцами, чтобы показать, сколько частей в целом. В примере сложения добавляемые дроби выходят за пределы девятых, поэтому они создадут один прямоугольник с 9столбцы. Чтобы представить первую дробь, они должны закрасить 3 из 9 столбцов одним цветом, а затем могут использовать тот же или другой цвет, чтобы закрасить еще 1 столбец, чтобы представить добавленную 1/9. После того, как эти два цвета будут закрашены, модель теперь имеет затенение 4/9.

Вычитание с одинаковыми знаменателями

В примере с вычитанием учащиеся должны создать прямоугольник с 12 столбцами, заштриховав 11 из них, чтобы представить 11/12. Чтобы вычесть из этого 4/12, они вычеркивают 4 из 11 заштрихованных частей. Количество оставшихся заштрихованных столбцов будет разницей. В этом случае ответ 7/12.

Сложение с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями с помощью визуальной модели, сначала нужно создать модели для представления каждой из дробей, а затем найти эквивалентные дроби с тем же знаменателем. Для этого вам нужно найти наименьшее общее кратное двух дробей, а затем использовать НОК в качестве их общего знаменателя.

В приведенном ниже примере задачи LCD 1/4 и 3/5 равен 20. Каждая модель дроби должна состоять из 20 штук. Первая дробь (1/4) имеет 4 столбца, поэтому нам нужно разбить 4 столбца на 5 строк, чтобы получилось 20 штук. Вторая дробь (3/5) состоит из 5 столбцов, поэтому вам нужно создать 4 ряда, чтобы получить 20 штук. Теперь мы можем увидеть эквивалентные дроби для каждой из исходных дробей: 1/4 = 5/20 и 3/5 = 12/20. Наконец, сложите эквивалентные дроби, чтобы получить окончательный ответ 17/20.

Вычитание с разными знаменателями

Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, начните с создания моделей дробей для каждой дроби в задаче. У них должен быть общий знаменатель, поэтому найдите наименьшее общее кратное обоих знаменателей.

Для 4/5 и 1/3 НОК равен 15, поэтому общий знаменатель равен 15. Затем создайте эквивалентные дроби, используя общий знаменатель. Первая дробь (4/5) имеет 5 столбцов, поэтому нам нужно создать 3 ряда, чтобы получилось 15 штук. Вторая дробь (1/3) должна состоять из 5 рядов. Первая фракция теперь имеет 12 из 15 закрашенных фигур (12/15). Нам нужно будет вычесть количество штук во второй модели дроби из первой. Для этого зачеркните 5 из 12 заштрихованных частей. Остальные заштрихованные не зачеркнутые столбцы — это ответ: 7/15.

При использовании стандартного алгоритма для нахождения суммы или разности двух дробей с разными знаменателями я учу своих учеников записывать исходные дроби по вертикали . Причина, по которой я преподаю это таким образом, заключается в том, что мне нравится, когда они получают визуализацию создания своих эквивалентных дробей сбоку и показывают, на что они умножают числитель и знаменатель, чтобы получить эквивалентные дроби.

Учащимся снова необходимо:

1.  Найдите наименьшее общее кратное каждой дроби, чтобы найти общий знаменатель.

   No related posts.