Неравенства с модулем в знаменателе как решать: Решение неравенств с модулем в знаменателе

alexxlab / / Разное

Содержание

Рациональные неравенства — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

  • Основные теоретические сведения
    • Некоторые рекомендации к решению рациональных неравенств
    • Решение некоторых типов неравенств с модулями

 

Некоторые рекомендации к решению рациональных неравенств

К оглавлению…

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак «меньше» на знак «больше» или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

В линейных и в любых других рациональных неравенствах ни в коем случае нельзя домножать или делить левую или правую части неравенства на выражения, содержащие переменную (кроме случаев, когда данное выражение положительно либо отрицательно на всей числовой оси, в этом случае при делении на всегда отрицательное выражение знак неравенства нужно поменять, а при делении на всегда положительное выражение знак неравенства нужно сохранить).

Решение неравенств вида:

Проводится с помощью метода интервалов, который состоит в следующем:

  1. Изображаем координатную прямую, на которую наносим все числа ai. Эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на (n+1) промежутков знакопостоянства функции f(x).
  2. Таким образом, определив знак f(x) в любой точке каждого промежутка (обычно эта точка выбирается из удобства арифметических действий), определяем знак функции на каждом промежутке. Главное при этом не подставлять в функцию сами границы промежутков.
  3. Выписываем в ответ все те промежутки, знак функции на которых соответствуют основному условию неравенства.

Нужно также отметить, что не обязательно исследовать знак функции на каждом промежутке подстановкой некоторого значения из этого промежутка. Достаточно определить таким образом знак функции только на одном промежутке (обычно на крайнем правом), а затем двигаясь от этого промежутка влево вдоль числовой оси можно чередовать знаки промежутков по принципу:

  • Если скобка из которой взялось число через которое мы переходим стоит в нечетной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства меняется.
  • А если соответствующая скобка стоит в четной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства не меняется.

При этом нужно учитывать еще и следующие замечания:

  • В строгих неравенствах (знаки «меньше» или «больше») границы промежутков никогда не входят в ответ, а на числовой оси они изображаются выколотыми точками.
  • В нестрогих неравенствах (знаки «меньше либо равно» или «больше либо равно») те границы промежутков, которые взяты из числителя всегда входят в ответ и изображаются закрашенными точками (так как в этих точках функция действительно обращается в ноль, что удовлетворяет условию).
  • А вот границы взятые из знаменателя в нестрогих неравенствах всегда изображаются выколотыми точками и в ответ никогда не входят (так как в этих точках в ноль обращается знаменатель, что недопустимо).
  • Во всех неравенствах если одна и та же скобка есть и в числителе и в знаменателе, то сокращать на эту скобку нельзя.
    Нужно изобразить соответствующую ей точку выколотой на оси, и не забыть исключить из ответа. При этом при чередовании знаков промежутков, проходя через эту точку знак менять не нужно.

Итак еще раз самое важное: при записи окончательного ответа в неравенствах не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (это корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

При решении рациональных неравенств более сложного вида чем указан выше, необходимо сначала алгебраическими преобразованиями свести их именно к такому виду, а затем применить метод интервалов с учетом всех уже описанных тонкостей. Таким образом, можно предложить следующий алгоритм для решения рациональных неравенств:

  1. Все слагаемые, дроби и другие выражения необходимо перенести в левую часть неравенства.
  2. При необходимости привести дроби к общему знаменателю.
  3. Разложить числитель и знаменатель полученной дроби на множители.
  4. Решить полученное неравенство методом интервалов.

При этом при решении рациональных неравенств не допускается:

  1. Перемножать дроби «крест-накрест».
  2. Как и в уравнениях, нельзя сокращать множители с переменной с обеих сторон неравенства. Если такие множители есть, то после переноса всех выражений в левую часть неравенства их нужно вынести за скобки, а затем учесть те точки которые они дадут после окончательного разложения полученного выражения на множители.
  3. Отдельно рассматривать числитель и знаменатель дроби.

Как и в остальных темах по математике, при решении рациональных неравенств можно применять метод замены переменной. Главное не забывать, что после введения замены, новое выражение должно стать проще и не содержать старой переменной. Кроме того, нужно не забывать выполнять обратную замену.

При решении систем рациональных неравенств нужно по очереди решить все неравенства входящие в систему.  Система требует выполнения двух и более условий, причем мы ищем те значения неизвестной величины, которые удовлетворяют сразу всем условиям. Поэтому, в ответе системы неравенств нужно указать общие части всех решений отдельных неравенств (или общие части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

При решении совокупностей рациональных неравенств также по очереди решают каждое из неравенств. Совокупность требует нахождения всех значений переменной, удовлетворяющих хотя бы одному из условий. То есть любому из условий, нескольким условиям или всем условиям вместе. В ответе совокупности неравенств указывают все части всех решений отдельных неравенств (или все части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

 

Решение некоторых типов неравенств с модулями

К оглавлению…

Неравенства с модулями можно и нужно решать последовательно раскрывая модули на промежутках их знакопостоянства. Таким образом, нужно поступать примерно также как при решении уравнений с модулями (об этом ниже). Но есть несколько относительно простых случаев в которых решение неравенства с модулем сводится к более простому алгоритму. Так например, решение неравенства вида:

Сводится к решению системы:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной системой:

Ну а если в аналогичном неравенстве заменить знак «меньше» на «больше»:

То его решение сводится уже к решению

совокупности:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной совокупностью:

Таким образом, необходимо запомнить, что для неравенства «модуль меньше» мы получаем систему, где должны одновременно выполняться оба условия, а для неравенства «модуль больше» мы получаем совокупность, в которой должно выполняться любое из условий.

При решении рациональных неравенств с модулем вида:

Целесообразно переходить к следующему равносильному рациональному неравенству без модуля:

Такое неравенство нельзя решать извлечением корня (если по-честному извлекать корень, то снова нужно поставить модули, и Вы вернетесь к началу, если про модули забыть, это равносильно тому, чтобы в самом начале про них просто забыть, а это, конечно, ошибка). Все скобки нужно перенести налево и, ни в коем случае не раскрывая скобки, применить формулу разности квадратов.

Еще раз повторимся, что для решения всех других типов неравенств с модулями кроме указанных выше нужно раскрывать все модули входящие в неравенство на промежутках их знакопостоянства и решать полученные неравенства. Напомним подробнее общий смысл этого алгоритма:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение переменной из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения переменной, которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном неравенстве в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное рациональное неравенство с учетом всех правил и тонкостей решения обычных неравенств без модулей.
  • Решение каждого из неравенств полученных на конкретном промежутке объединяем в систему с самим промежутком, а все такие системы объединяем в совокупность. Таким образом из решений всех неравенств выбираем только те части которые вошли в промежуток, на котором было получено данное неравенство, и записываем все эти части в итоговый ответ.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Содержание:

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Объяснение и обоснование:

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства, содержащие знак модуля, могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 15).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №441

Решите уравнение

I способ (по определению модуля)

Решение:

► 1) Если

(1)

то получаем уравнение

Тогда что удовлетворяет и условию (1).

2) Если

(2)

то получаем уравнение

Тогда что удовлетворяет и условию (2).

Ответ:

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая:

По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при а при

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

► или

или

или

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние от точки 0 до точки По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство возможно тогда и только тогда, когда или

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции и будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

(1)

(2)

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции ), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции ). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций и то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы). Чтобы продолжить решение неравенств и методом интервалов, необходимо найти нули функций и то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций и не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств, содержащих знак модуля, проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №442

Решите уравнение

Решение:

► 1. ОДЗ:

2. Нули подмодульных функций:

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные Рис. 67 функции имеют знаки, показанные на рисунке 67.

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках I и III, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и III: Учитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Отсюда или В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток II: (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение которое принадлежит ОДЗ.) В этом

промежутке получаем уравнение Отсюда — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток IV: (И в этом промежутке необходимо не

забыть значение ) Получаем уравнение Отсюда

— корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: На рисунке 67 в каждом из промежутков первый знак — это знак функции

а второй — знак функции При выполнении рисунка удобно сначала

отметить на числовой прямой ОДЗ, а потом нули подмодульных функций на ОДЗ.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 15.

Обоснуем, например, соотношение 5:

Запишем заданное равенство в виде и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа и мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но Тогда получаем, что числа и — оба неотрицательные. Наоборот, если то выполняется Таким образом, действительно уравнение равносильно системе неравенств

Пример №443

Решите уравнение

Решение:

► Поскольку то данное уравнение имеет вид но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа и — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить и то и данное уравнение имеет вид а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Пример №444

Решите неравенство

Решение:

► Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству

(1)

Тогда таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Неравенство вида (где удобно решать, используя геометрический смысл модуля.

Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Таким образом, Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему

Пример №445

Решите неравенство (1)

Решение:

► 1. ОДЗ: Тогда то есть таким образом: или

2. Нули подмодульных функций: — не принадлежит ОДЗ) и

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке 68 (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции а второй — знак функции

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Учитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при заданное неравенство равносильно неравенству Тогда то есть Отсюда

В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения таким образом, в этом случае решением будет

Промежуток III: На этом промежутке получаем неравенство то есть Но при этом значении из промежутка III последнее неравенство обращается в неверное неравенство Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: В этом промежутке получаем неравенство то есть Как видим, при любом из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство

Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке

есть любое число из этого промежутка

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ: или

Ответ:

Укажем, что для решения некоторых неравенств, содержащих знак модуля, удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 15.

Пример №446

Решите неравенство

Решение:

► Поскольку и функция монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Получаем неравенство, равносильное заданному

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем:

Далее методом интервалов получаем или (рис. 70).

Ответ: или

Общая схема, предложенная в таблице 15, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, но и при преобразовании выражений, содержащих знак модуля.

Например, для построения графика функции удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №447

Постройте график функции

► 1. Область определения функции: все

2. Нули подмодульных функций: и

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке 71 также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков).

4. Тогда

Таким образом,

Строим график этой функции (рис. 72).

Уравнения и неравенства с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Если в запись уравнения или неравенства, кроме переменной и числовых коэффициентов, входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решения необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе решения часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-то ответ, целесообразно помещать окончательные ответы в прямоугольные рамки. Записывая окончательный ответ, следует учитывать, что ответ должен быть записан для всех возможных значений параметра.

Пример №448

Решите неравенство с переменной

Комментарий:

Заданное неравенство является линейным относительно переменной поэтому используем известный алгоритм решения линейного неравенства:

1) переносим члены с переменной в одну сторону, а без — в другую:

2) выносим в левой части за скобки общий множитель (то есть приводим неравенство к виду ):

Для решения последнего неравенства мы хотели бы разделить обе его части на Но если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится, а если на отрицательное, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Кроме того, следует учесть, что на нуль делить нельзя. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть три случая:

Приведенные выше рассуждения можно наглядно записать так:

Решение:

►

Ответ: 1) при 2) при

3) при — любое число.

При решении более сложных уравнений или неравенств следует помнить, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью равносильных преобразований, а все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения или неравенства (то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись уравнения или неравенства). Поэтому, прежде чем записать ответ, нужно обязательно учесть ОДЗ заданного уравнения или неравенства.

Пример №449

Решите уравнение где — переменная.

Комментарий:

Заданные дробные выражения существуют тогда и только тогда, когда знаменатели заданных дробей не равны нулю, следовательно, ОДЗ уравнения:

Умножим обе части заданного уравнения на выражение — общий знаменатель дробей — и получим целое уравнение, которое при условии (то есть на ОДЗ заданного уравнения) равносильно заданному: Из этого уравнения получаем то есть Тогда

Для того чтобы найти значение переменной , хотелось бы разделить обе части последнего уравнения на но при пришлось бы делить на 0, что невозможно. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть два случая.

Решение в соответствии с приведенными выше рассуждениями можно наглядно записать в виде схемы.

Решение:

► ОДЗ:

Выясним, при каких значениях найденные корни не входят в ОДЗ уравнения, то есть при каких значениях получаем тогда — решений нет. Следовательно, при всех значениях корень не равен 3.

тогда Следовательно, при имеем — посторонний корень (не входит в ОДЗ), то есть при заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: 1) при и корней нет; 2) при

Пример №450

Решите уравнение относительно переменной л: — а х

Комментарий:

Будем выполнять равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ (знаменатели дробей не равны нулю). Если теперь обе части уравнения умножить на произведение выражений, которые стоят в знаменателях дробей (и которое не равно нулю на ОДЗ уравнения), то получим уравнение равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Но последнее уравнение будет квадратным только при потому для его решения следует рассмотреть два случая ( и ).

Если то для исследования полученного квадратного уравнения нужно рассмотреть еще три случая: — ив каждом из них проверить, входят найденные корни в ОДЗ или нет. При удобно использовать, что значение корня соответствующего квадратного уравнения совпадает с абсциссой вершины параболы

то есть Рассматривая случай следует помнить также предыдущее ограничение:

Поскольку корни уравнения (1) записываются достаточно громоздкими формулами (см. решение), то вместо подстановки полученных корней в ограничение ОДЗ можно подставить «запрещенные» значения в уравнение (1) и выяснить, при каких значениях параметра а мы получим те значения , которые не входят в ОДЗ, а затем проверить полученные значения параметра.

Решение:

► ОДЗ: На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям:

(1)

1. Если то из уравнения (1) получаем — не входит в ОДЗ, следовательно, при корней нет.

2. Если то уравнение (1) — квадратное. Его дискриминант Рассмотрим три случая:

1) то есть Тогда уравнение (1) имеет одно

значение корня: . Если то корень уравнения (1)

входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения. Если то корень уравнения (1) тоже входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

2) то есть следовательно, или

Тогда уравнение (1) не имеет корней.

3) то есть следовательно, но

Тогда уравнение (1) имеет два корня:

(2)

Выясним, при каких значениях а найденные корни не входят в ОДЗ, то есть при каких значениях получаем и Подставляя в уравнение (1) , получаем но при заданное уравнение не имеет корней.

Подставляя в уравнение (1) получаем то есть Тогда (заданное уравнение не имеет корней), или Проверим эти значения

При ОДЗ записывается так: Из формулы корней (2) имеем (входит в ОДЗ) и (не входит в ОДЗ). Следовательно, при заданное уравнение имеет только один корень: При ОДЗ записывается так: а из формулы корней (2) получим: (входит в ОДЗ) и (не входит в ОДЗ). Следовательно, при заданное уравнение имеет только один корень:

Таким образом, формулу корней (2) можно использовать, если , только при и

Ответ: 1) если то

2) если то

3) если то 4) если то 5) если то

6) если или то корней нет

Замечание. Чтобы облегчить запись ответа в этом и аналогичных примерах, можно пользоваться таким приемом. Перед записью ответа в сложных или громоздких случаях изобразим ось параметра (а) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от нее) выпишем все полученные решения (кроме решения «корней нет») и напротив каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (рис. 73). После этого ответ записывают для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра. В частности, перед записью ответа в рассмотренном примере, на черновике удобно изобразить такую схему (рис. 73).

Исследовательские задачи с параметрами

Некоторые исследовательские задачи с параметрами удается решить по такой схеме: 1) решить заданное уравнение или неравенство; 2) исследовать полученное решение.

Пример №451

Найдите все значения при которых уравнение  имеет единственный корень.

Решение:

► ОДЗ: На ОДЗ получаем равносильное уравнение

Тогда или Получаем или Учтем ОДЗ. Для этого выясним, когда при при Тогда при получаем: — посторонний корень; — единственный корень.

При получаем: посторонний корень; —

единственный корень. Также заданное уравнение будет иметь единственный корень, если то есть при (тогда и ).

Ответ:

Комментарий:

Поскольку дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то на ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнению Дальше учитываем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а второй имеет смысл).

После этого выясним, при каких значениях найденные корни не входят в ОДЗ, то есть приравниваем корни к -7 и находим соответствующие значения . При найденных значениях один из двух полученных корней будет посторонним (), и уравнение будет иметь единственный корень (одно значение корня). Кроме того, заданное уравнение будет иметь единственный корень еще и в том случае, когда два полученных корня ( и ) будут совпадать (и, конечно, будут входить в ОДЗ).

Исследование количества решении уравнении и их систем

При решении некоторых задач с параметрами можно пользоваться таким ориентиром: если в задаче с параметрами речь идет о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Наиболее простым соответствующее исследование является в том случае, когда заданное уравнение можно преобразовать к виду поскольку график функции — это прямая, параллельная оси (которая пересекает ось в точке ). Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение нужно следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции с прямой при различных значениях параметра (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

  • Заказать решение задач по высшей математике
Пример №452

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра ?

Решение:

► Построим графики функций

Анализируя взаимное размещение полученных графиков, получаем ответ:

1) при уравнение корней не имеет;

2) при уравнение имеет 3 корня;

3) при уравнение имеет 6 корней;

4) при уравнение имеет 4 корня;

5) при уравнение имеет 2 корня.

Комментарий:

Поскольку в этом задании речь идет о количестве решений уравнения, то для анализа заданной ситуации попробуем использовать графическую иллюстрацию решения.

1. Строим график функции (учитывая, что построение может происходить, например, по таким этапам:

2) Строим график функции

3) Анализируем взаимное размещение полученных графиков и записываем ответ (количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции с прямой ).

Отметим, что значительное количество исследовательских заданий не удается решить путем непосредственных вычислений (или такие вычисления являются очень громоздкими). Поэтому часто приходится сначала обосновывать какое-то свойство заданного уравнения или неравенства, а затем, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Например, принимая во внимание четность функций, которые входят в запись заданного уравнения, можно использовать такой ориентир.

Если в уравнении функция является четной или нечетной, то вместе с каждым корнем а мы можем указать еще один корень этого уравнения

Пример №453

Найдите все значения параметра при которых уравнение  (1) имеет единственный корень.

Решение:

► Функция является четной Если — корень уравнения (1), то тоже является корнем этого уравнения. Потому единственный корень у заданного уравнения может быть только тогда, когда то есть Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только Если то из уравнения (1) получаем тогда или При уравнения (1) превращается в уравнение Тогда Получаем (тогда то есть ) или (тогда то есть ). Следовательно, при уравнение (1) имеет три корня и условие задачи не выполняется. При уравнение (1) превращается в уравнение Тогда Поскольку то получаем Тогда то есть — единственный корень. Следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Комментарий:

Замечаем, что в левой части заданного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир, приведенный выше. Действительно, если — корень уравнения то — правильное числовое равенство. Учитывая четность функции имеем Следовательно, — тоже корень уравнения Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни и совпадают. Тогда

Выясним, существуют ли такие значения параметра при которых является корнем уравнения (1). (Это значение и )

Поскольку значение и мы получили из условия, что — корень уравнения (1), то необходимо проверить, на самом ли деле при этих значениях а заданное уравнение будет иметь единственный корень. При решении полученных уравнений целесообразно использовать, что

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел и

Решение некоторых исследовательских задач с параметрами можно свести к использованию необходимых и достаточных условий расположения корней квадратного трехчлена. Основные из этих условий приведены в таблице 16 (в таблице использованы традиционные обозначения:

Объяснение и обоснование:

Для обоснования указанных условий достаточно воспользоваться тем, что график функции — сплошная (неразрывная) линия. Если такая функция на концах какого-то промежутка принимает значения с разными знаками (то есть соответствующие точки графика находятся в разных полуплоскостях относительно оси ), то внутри этого промежутка есть по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю (рис. 74).

Например, для того чтобы два различных корня квадратного трехчлена при были расположены по разные стороны от заданного числа , достаточно зафиксировать только одно условие: (рис. 75).

Действительно, график квадратичной функции при — парабола, ветки которой направлены вверх. Тогда в случае, когда аргумент стремится к или к (это обозначают обычно так: или функция стремится к следовательно, при или при

Если выполняется условие то с изменением значения аргумента от до квадратичная функция изменяет свой знак с «-» на « + », таким образом, имеет по крайней мере один корень

Точно так же с изменением значения аргумента от до квадратичная функция изменяет свой знак с « + » на «-», следовательно, имеет по крайней мере один корень Но квадратный трехчлен не может иметь более двух корней, значит, при условие необходимое и достаточное для того, чтобы два различных корня квадратного трехчлена были расположены по разные стороны от заданного числа

Аналогичные рассуждения при показывают, что для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы Эти два условия можно объединить в одно:

Соответствующее свойство будет обосновано более строго в 11 классе при рассмотрении так называемых непрерывных функций.

Действительно, или Следовательно,

квадратный трехчлен имеет два различных корня, которые расположены по разные стороны от заданного числа тогда и только тогда, когда выполняется условие

Аналогично можно обосновать и другие условия, приведенные в таблице 16.

Заметим, что приведенные условия не обязательно запоминать: для их записи можно пользоваться графиком квадратичной функции (изображенным для нужного расположения корней) и таким ориентиром.

Для того чтобы корни квадратного трехчлена были расположены заданным образом относительно данных чисел и необходимо и достаточно выполнения системы условий, которая включает:

1) знак коэффициента при старшем члене;

2) знаки значений и

3) знак дискриминанта

4) положение абсциссы вершины параболы относительно данных чисел и

Отметим, что для случаев, в которых хотя бы одно из данных чисел расположено между корнями квадратного трехчлена (см. вторую, пятую, шестую и седьмую строки табл. 16), достаточно выполнения первых двух условий этого ориентира, а для других случаев приходится рассматривать все четыре условия. Заметим также, что, записывая каждое из указанных условий, следует выяснить, будет ли выполняться требование задачи в том случае, когда в этом условии будет записан знак нестрогого неравенства.

Пример №454

Найдите все значения параметра для которых уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы.

Комментарий:

Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно квадратное (то есть ). Тогда и, чтобы получить ответ на вопрос задачи, достаточно решить совокупность из или Но такой путь решения достаточно громоздкий.

Попробуем воспользоваться условиями расположения корней квадратного трехчлена. Для этого можно непосредственно использовать соответствующие условия, зафиксированные в таблице 16, или получить их с помощью предложенного ориентира. В частности, обозначим и изобразим график квадратичной функции (параболу) в таких положениях, которые удовлетворяют условию задачи (рис. 76, а и б).

Для того чтобы корни квадратного трехчлена располагались по разные стороны от чисел 1 и 2, необходимо и достаточно выполнения совокупности условий или Замечаем, что в этих системах знаки и а также и противоположны, поэтому полученную совокупность систем можно заменить одной равносильной системой которая и позволяет получить план решения задачи.

Решение:

► Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно является квадратным (то есть ). Обозначим Как известно, корни квадратного трехчлена будут располагаться по разные стороны от данных чисел 1 и 2 тогда и только тогда, когда выполняется система условий:

Получаем систему

Решаем неравенства (1) и (2) и находим общее решение системы (рис. 77).

Ответ: заданное уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы при

Сведения из истории:

Напомним, что алгебра — раздел математики, посвященный изучению буквенных выражений и уравнений. Долгое время алгебра была частью науки о числе — арифметики. Значительное количество задач, возникающих в процессе практической деятельности человека, решают одинаковыми способами. Используя вместо чисел буквы, математики научились решать такие задачи в общем виде. Так и образовалась математическая наука — алгебра.

Исторически зачатки алгебры были известны вавилонянам, египтянам и грекам задолго до нашей эры. Сохранился египетский папирус Ахмеса (XVII в. до н. э.) с решением алгебраических задач. Ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приближенное значение квадратного корня из любого натурального числа, а также решать квадратные уравнения. Это было связано с решением задач на нахождение площадей земельных участков и с развитием астрономии. Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа, и поэтому корень квадратного уравнения мог быть только положительным.

Диофант, греческий математик, живший в III в. в Александрии, написал трактат «Арифметика», в котором он уже решал линейные и другие уравнения. В Средние века особенно активно алгебра развивалась в арабских странах и Средней Азии.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, можно найти и в трудах индийских математиков V в. Квадратные уравнения классифицировал в трактате «Алгебра» аль-Хорезми. Он же привел и способы их решения.

В течение многих веков развитие алгебры сильно тормозилось, потому что математикам долго не удавалось ввести в свои исследования удобные обозначения. Поэтому изложение математических работ выглядело громоздко. Только начиная с XVI в. постепенно в математику начали вводить современные обозначения. Символы и т. п. впервые применил французский ученый Рене Декарт (1596-1650). Символ для произвольного числа предложил английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727).

Благодаря исследованиям французского математика Франсуа Виета (1540-1603) уравнения второй степени, третьей и четвертой степеней впервые стали рассматривать в буквенных обозначениях. Он ввел буквенные обозначения для неизвестных величин и коэффициентов уравнений. Особенно ценил открытые им формулы, названные впоследствии формулами Виета. Однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в., после работ Г. Декарта, И. Ньютона и других математиков, решение квадратных и других уравнений приобрело современный вид.

Идея зависимости величин тоже берет начало от древнегреческой науки. Но греки рассматривали лишь величины, которые имеют «геометрическую» природу, и не ставили вопрос об общем изучении разных зависимостей. Графическое изображение зависимостей между величинами широко использовали Г. Галилей (1564-1642), П. Ферма (1601-1665) и Г. Декарт, который ввел понятие переменной величины. Развитие механики и техники привело к необходимости введения общего понятия функции, что сделал немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646-1716). Большие классы функций изучал в ходе своих исследований И. Ньютон.

В 1718 г. ученик Лейбница, И. Бернулли (1667-1748), дал определение функции, лишенное геометрических образов. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал его ученик, член Петербуржской академии наук Л. Ейлер (1707-1783).

После работ ряда математиков (Ж. Фурье (1768-1830), М. И. Лобачевский, П. Дирихле и др.) было дано следующее определение: «Переменная величина называется функцией переменной величины если каждому значению величины отвечает единственное значение величины ». П. Дирихле (1805-1859)

На современном этапе к словам «каждому значению величины л:» добавляют «принадлежащему некоторому множеству», а вместо переменных величин говорят об элементах этих множеств. Такой подход позволяет рассматривать с единой точки зрения как числовые функции, так и, например, геометрические преобразования и т. п.

Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была открыта в V в. до н. э. в Древней Греции. Это открытие показало, что для измерения геометрических величин недостаточно рациональных чисел. Поэтому греческие математики отказались от обозначения геометрических величин числами и стали развивать геометрическую алгебру (поэтому и сейчас говорят «квадрат числа», «куб числа» и т. п.).

Греческий математик Евдокс (IV в. до н. э.) разработал теорию отношений геометрических величин, которая заменяла для древнегреческих математиков современную теорию действительных чисел. В основе теории Евдокса лежит идея о бесконечной делимости отрезков и других фигур.

Р. Декарт ввел произвольно выбранный единичный отрезок, что позволило ему выразить все действия над числами через действия над отрезками. В сущности, он уже работал с положительными действительными числами. Лишь во второй половине XIX в. теория действительных чисел была приведена к теории натуральных чисел.

О понятии действительного числа

Первые представления о числах формировались постепенно под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается или натуральным числом, или числом «нуль». Следовательно, множество

всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратных метра и т. п.

Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков. С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные.

Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей.

Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна м.

Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах.

1. Пусть:

а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь:

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающей бесконечной последовательностью нулей:

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число — это целая часть положительного числа а — дробная часть числа Число называют десятичным приближением с точностью до с недостатком, а число называют десятичным приближением с точностью до с избытком для числа

Если число отрицательно, то есть то считают, что

и

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число меньше числа когда по меньшей мере для одного выполняется неравенство где и — десятичные приближения с точностью до с недостатком для чисел и (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух действительных чисел и (обозначается ) называют такое действительное число , что для любого выполняются неравенства

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел и называют такое число (обозначают ), что при любом выполняются неравенства

Такое число существует, и оно единственное.

Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрено в курсе алгебры 8 класса.

Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел и уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знаков а для чисел одинаковых знаков — (как обычно, модулем каждого из чисел и называют число ).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью чисел и называется такое число , что

Деление определяется как действие, обратное умножению: частным называется такое число что

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел.

Теория действительного числа была построена сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918).

Решаем неравенства профильного ЕГЭ по математике ⋆zagalina.ru

  • Простые неравенства
  • Cложные неравенства
  • Иррациональные неравенства
  • Неравенства с модулем

 

     Простые неравенства

        С простыми неравенствами проблем, как правило, не бывает: решаем уравнение относительно нуля, расставляем точки, соответствующие корням, рисуем интервалы, определяем знаки.

        Например: (х — 1)2 (х + 3)6 (х — 5)9  ≥ 0 .   Корнями этого выражения будут точки:  х1 = 1;  х2 = -3;  х3 = 5.  Но точки  х1   и  х2   на знак не влияют,так как первые два множителя заведомо положительные, они возводятся в четную степень. Или, другими словами, в первой скобке два одинаковых корня, во второй — четыре. Определяем, какой знак будет иметь выражение, скажем, в точке 10. Положительное. Рисуем числовую ось и расставляем знаки. Ответ:  х ∈ { -3 } ∪ { 1} ∪ [ 5; +∞ )

        Почему -3 и 1 появились? Потому что они не меняют знак, но являются частью уравнения, так как у  нас стоит знак «больше и равно». Если бы было строгое неравенство, то подобные точки, соответствующие четным корням, необходимо было бы выколоть.

        Рассмотрим еще одно неравенство:

Ищем нули функции. Это корни числителя: х1,2= ±4,  х3 = 3, три корня  х4  = -1; корни знаменателя:  х5 ≠ -4,  х6 ≠  2. Считаем, какой знак получится у выражения, когда, скажем, х=0. В нуле функция отрицательна. Строим интервалы. Учитываем, что корней х = -4 два, а значит, в этой точке знак не меняется:

Пишем ответ:  x ∈  [ -1; 2 ) ∪ [ 3; 4 ]

Сложные неравенства

   Решаем сложное неравенство, в котором присутствуют две различные функции в числителе и знаменателе:

Решить это неравенство — значит  определить промежутки, где функция положительная.   Чтобы расставить все точки над «i», посмотрим, как выглядит  график функции. Положительные значения функции находятся выше оси 0х, то есть выше точек пересечения графика с осью. А эти точки — не что иное, как корни уравнения, проще говоря. нас интересуют нули функции. Нули знаменателя, конечно, не совсем корни, делить на ноль нельзя, но в этих точках функция все равно меняет знак. Нас-то интересует знак!!! А корни знаменателя, меняющие знак, «выкалываются». На графике видно, что в точках, где х = 2  и  х = -2, функция стремится к бесконечности, но при этом меняет зак с «плюса» на «минус» и с «минуса» на «плюс».

Для наглядности посмотрите, как ведут себя графики числителя (зеленый пунктир), точки «нулей » знаменателя (синие точки) и график нашей функции. Все корни совпали, а точки (-2; 0) и (2;0) изменили знак функции.

        Отсюда вывод:

  •         Для того, чтобы решить любое неравенство, достаточно определиться с так называемыми нулями функции, не забывая «выколоть» нули знаменателя, определить знак любого промежутка из получившихся и чередовать  знаки.
  •         Если появились одинаковые корни, количество которых кратно двум, то в них знак не меняется.

 

Иррациональные неравенства

      

      •  Решим неравенство :    ≥ 0 . Неравенство несложное, но есть некоторые тонкости, которые следует учитывать, решая выражения  с корнем:

  1. Квадратный корень всегда число неотрицательное по определению,  на знак нашего выражения не влияет.
  2. Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа.
  3. Решать такие выражения очень часто приходится возведением обеих частей неравенства в квадрат, а это — не всегда равносильные выражения.

        При решении уравнений все вышесказанное приводит к обязательной проверке корней, что невозможно сделать в неравенстве. Поэтому такие неравенства превращаются в систему неравенств.

        Так как в конкретном нашем выражении корень не влияет на знак, мы на него делим. Напомню, что неравенства можно делить или умножать на выражения или числа только, если известен знак этого выражения или числа, так как в противном случае такое деление может изменить знак всего неравенства.

       Решаем систему:     Первое неравенство имеет решение при    х ≤ -3   и  х ≥ 3. Второе — при   х ≥ 2. Выводим общие для обоих неравенств интервалы.

        Ответ:   х ∈  [ 3; +∞ )

       

        •  Рассмотрим еще одно неравенство:    .

Функция ограниченная из-за двух корней, поэтому сначала найдем область определения функции (ООП):

     Решение этого неравенства: х  ∈  [ -1;  8 ].

         Теперь решаем само неравенство. Можно решить стандартно, возводя в квадрат обе части, при этом желательно перенести второй корень в правую часть, а единицу влево, и возвести в квадрат: . Обращаю ваше внимание, что придется возводить в квадрат два раза, так как слева после возведения останется корень от удвоенного произведения первого слагаемого на второе.

        Но можно несколько облегчить себе задачу, введя новую переменную .   Тогда   х+1 = t2 ,   х =  t2 — 1,   а

 

а все выражение превратится в выражение с одним корнем:

  — t < -1         ⇒        < t — 1

Возводим в квадрат,…….и т.д. Дальше решать не буду, Думаю, все понятно. Корни будут иррациональными, и это — нормально.

    

Неравенства с модулем

       Отдельная история — неравенства с модулем. Вспомним,что такое модуль числа

Очевидно, что решать уравнения или неравенства с модулем можно только, раскрыв модуль. Модуль раскрывается по правилу в зависимости от знака выражения, стоящего под модулем. Давайте разбираться на конкретных примерах:

   а).    

Если построить числовую ось, то все значения, удовлетворяющие этому неравенству, окажутся внутри интервала х ∈ ( -3; 3) Неравенство у нас строгое, значит скобки будут круглые.

       в).            ⇒   

Ответ:   х ∈ ( — ∞; -3) ∪ ( 3; +∞ ), то есть больше большего корня и меньше меньшего корня.

       

        Если же у нас под знаком модуля будут какие-нибудь функции, модуль будет раскрываться аналогично вышеизложенному, только уже не получится сразу интервалов, а будет системы или объединенные множества неравенств.

        1. Решаем следующее неравенство:

I 2x — 7 I ≤  5

Открываем модуль:

 -5 ≤  2x -7  ≤  5

Внутри модуля функция линейная, которую можно решить двойным неравенством. Сначала прибавим ко всем трем частям 7, получим :

 2 ≤  2x  ≤  12,

затем разделим все неравенство на 2 :

 1 ≤  x  ≤  6

Ответ:  х ∈ [ 1; 6 ].

 

        2. Еще одно неравенство:

Сначала найдем область определения функции, т.к. наша функция — ограниченная. ООП:  х > -2. 

Убираем модуль. Наше неравенство превращается в объединенное множество:Учитывая ООП, получаем ответ: х ∈  ( -2;  -17/9 ) ∪ ( 7; +∞)

 

        3. Ну, и наконец, неравенство с двумя модулями: В этом неравенстве две точки смены знака под модулем, это точки 3 и  5, следовательно, модули будем открывать на трех промежутках:

 

Ответ: х∈  ( — ∞;  2 ] ∪ [4; +∞)

Это неравенство можно представить графически. Для этого достаточно построить графики функции (зеленой) с модулями 

   y = Ix — 3I + Ix — 5I   (в неравенстве слева) и (красной) линейной функции  

 y =6 — x,   находящейся на правой стороне неравенства. По условию неравенства нас интересует та часть графиков, где зеленая функция находится выше красной. Как видите, ответ тот же самый!

            NB:  Кстати, решение уравнений и неравенств при помощи графиков часто очень помогает разобраться с задачами с параметрами — с задачами №18 профильного ЕГЭ. Но это уже тема для другой статьи.

Предварительное вычисление алгебры — Рациональные неравенства абсолютного значения

Вот решение без квадратичных вычислений, но с большим количеством подслучаев. Мне нравится это решение, потому что мне больше нравятся подслучаи, чем факторизация/решение квадратичных уравнений. Однако, если вы просто хотите получить ответ на этот вопрос, а теперь как получить ответ, введите здесь свои неравенства. Это даст вам тот же набор решений, что и мой ответ.

Для первого неравенства перепишите неравенство так, чтобы можно было избавиться от абсолютного значения: \begin{уравнение} -4 \leq \frac{x+6}{x-2} \leq 4 \end{уравнение} Умножьте все стороны на $x-2$. Теперь есть два случая: случай, когда $x > 2$, и в этом случае мы умножаем нормально, и случай, когда $x < 2$, и в этом случае мы меняем знаки.

Случай $x > 2$: \begin{уравнение} -4x+8 \leq x+6 \leq 4x-8 \end{уравнение} Теперь разделим это на два линейных неравенства: \begin{уравнение} -4x+8 \leq x+6 \клин x+6 \leq 4x-8 \end{уравнение} Решить оба неравенства: \begin{уравнение} х \geq 2/5 \клин х \geq 14/3 \end{уравнение} Теперь соедините это с тем фактом, что $x > 2$. Поскольку $2/5 \leq 2 < 14/3 \leq x$, решение просто $x \geq 14/3$.

Случай $x < 2$:

Мы получаем тот же ответ, что и в приведенном выше подслучайе, за исключением того, что знаки неравенства поменялись местами: \begin{уравнение} х \leq 2/5 \клин х \leq 14/3 \end{уравнение} Теперь соедините это с тем фактом, что $x < 2$. Поскольку $x \leq 2/5 < 2 \leq 14/3$, решение просто $x \leq 2/5$.

Таким образом, для первого неравенства, если рассмотреть все наши случаи, решение будет $x \leq 2/5 \vee 14/3 \leq x$.

Для второго неравенства просто разделите на $1-x$. Однако возможны три случая: $x=1$, когда выполняется неравенство, $x < 1$, когда $1-x$ положительно и нужно делить только на $1-x$, и $ x > 1$, в этом случае $1-x$ отрицательно и после деления на $1-x$ нужно поменять знак неравенства.

Случай $x < 1$: \begin{уравнение} \frac{-x-1}{|x+2|} \leq 3 \end{уравнение} Умножьте обе части на $-1$. Соответственно переключайте знаки. \begin{уравнение} \frac{x+1}{|x+2|} \geq -3 \end{уравнение} Умножьте обе части на $|x+2|$: \begin{уравнение} х+1 \geq -3|х+2| \end{уравнение} Теперь есть два дополнительных случая: $x < -2$, в этом случае $|x+2|=-x-2$, и $-2 < x < 1$, и в этом случае $|x+2| =х+2$.

Подвариант $x < -2$: \begin{уравнение} х+1 \geq -3(-x-2)=3x+6 \end{уравнение} Решить линейное неравенство: \begin{уравнение} х \leq -5/2 \end{уравнение} Теперь соедините это с тем фактом, что $x < -2$. Поскольку $x \leq -5/2 < -2$, решение для этого подслучая просто $x \leq -5/2$.

Вторичный случай $-2 < x < 1$: \begin{уравнение} х+1 \geq -3(х+2)=-3х-6 \end{уравнение} Решить линейное неравенство: \begin{уравнение} х \geq -7/4 \end{уравнение} Теперь соедините это с тем фактом, что $-2 < x < 1$. Поскольку $-2 < -7/4 \leq x < 1$, решение просто $-7/4 \leq x < 1$.

Теперь мы закончили со случаем, когда $x < 1$. Вернитесь к началу, где мы собирались рассмотреть случай $x > 1$.

Случай $x > 1$: \begin{уравнение} \frac{-x-1}{|x+2|} \leq 3 \end{уравнение} Умножьте обе части на $|x+2|$: \begin{уравнение} -x-1 \leq 3|x+2| \end{уравнение} Поскольку $-2 < 1 < x$, $|x+2|=x+2$: \begin{уравнение} -x-1 \leq 3(x+2)=3x+6 \end{уравнение} Решить линейное неравенство: \begin{уравнение} х \leq -7/4 \end{уравнение} Теперь соедините это с тем фактом, что $x > 1$. Поскольку $-7/4 \leq x > 1$ и $-7/4 < 1$, этот случай невозможен и не имеет решения.

Таким образом, из этого неравенства, рассматривая все наши случаи и подслучаи, решение $x \leq -5/2 \vee -7/4 \leq x < 1 \vee x=1$. Однако последние два неравенства можно объединить, чтобы упростить решение $x \leq -5/2 \vee -7/4 \leq x \leq 1$.

Теперь нам просто нужно сложить решения обоих неравенств: \begin{уравнение} (x \leq 2/5 \vee 14/3 \leq x) \клин (x \leq -5/2 \vee -7/4 \leq x \leq 1) \end{уравнение} Теперь обратите внимание, что в этом неравенстве у нас пять чисел: $-5/2 < -7/4 < 2/5 < 1 < 14/3$. Чтобы выяснить, когда это неравенство верно, нам нужно обработать шесть случаев: $x \leq -5/2$, $x$ находится между этими числами или $14/3 < x$.

Случай $x \leq -5/2$: Неравенство верно, поскольку $x \leq 2/5 \клин x \leq -5/2$.

Случай $-5/2 \leq x < 7/4$: Неравенство неверно, поскольку в этом случае невозможно сделать второе утверждение в конъюнкции истинным.

Случай $-7/4 \leq x \leq 2/5$: Неравенство верно, поскольку $x \leq 2/5 \клин -7/4 \leq x \leq 1$.

Случай $2/5 < x \leq 1$: Неравенство неверно, потому что в этом случае невозможно сделать первое утверждение в конъюнкции истинным.

Случай $1 < x < 14/3$: Неравенство ложно, потому что в этом случае невозможно сделать ни одно из утверждений в конъюнкции истинным.

Случай $14/3 < x$: Неравенство неверно, потому что в этом случае невозможно сделать второе утверждение в конъюнкции истинным.

Таким образом, просмотрев все решения из всех наших случаев, мы находим, что решение этого составного неравенства — решение этой целой задачи — равно $x \leq -5/2 \vee — 7/4 \leq x \leq 2/5$.

Решение неравенств алгебраически и графически

2.5 — Решение неравенств алгебраически и графически

Линейные неравенства

При решении линейного неравенства относитесь к нему так же, как к решению уравнения с несколькими исключения.

  1. При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательную константу измените смысл (направление) неравенства.
  2. Когда обе части неравенства имеют один и тот же знак, измените смысл неравенства, когда вы берете обратное с обеих сторон.
  3. Вы можете соединить подобные неравенства вместе:
    • Если a
    • Если a
  4. Нельзя комбинировать смешанные неравенства.
    • Если ac, то нельзя с уверенностью сказать, что a
    • Если ad, то нельзя сказать наверняка, что a+cb+d
  5. Если вы переписываете всю проблему, просто меняя стороны, убедитесь, что вы изменить смысл неравенство так, чтобы оно по-прежнему указывало на одну и ту же величину.
  6. Следующие операции , а не изменяют смысл неравенство
    • Добавление константы к обеим частям неравенства
    • Вычитание константы с обеих сторон неравенства
    • Умножение или деление обеих частей неравенство на положительную константу

Двойные неравенства

Иногда два неравенства объединяются в одно. Однако нужно быть осторожным:

Если x>3 и x<6, то можно написать 36, вы можете написать , а не , 3>x>6, потому что это означало бы, что 3>6, и это было бы ложным утверждением, и множество было бы пустым.

Чтобы решить двойное неравенство, достаточно применить операции ко всем трем частям: Если 3

Неравенства абсолютного значения

Они доставят тебе неприятности. Они не должны, но они будут. Люди просто не получают абсолютные значения.

Я мог бы сказать вам, что основная причина, по которой люди этого не понимают, заключается в том, что они не понимают ограничений. Это было бы правдой, но просто рассказ тебе это не поможет. книга даст короткий путь, и люди будут спрашивать, «почему там так много правила?». Их нет! Существует одно определение абсолютной ценности, и если вы знайте это и применяйте ограничения, как вы должны, тогда проблемы тренироваться каждый раз без необходимости дополнительных правил. Дополнительные правила из книги используется для ускорения решения задач, например, когда мы опускаем абсолютное значение при взятии квадрата корень с обеих сторон и вместо этого просто вставьте плюс/минус. Это звучит как дополнительное правило, но это просто применение абсолютной ценности, которую мы пытаемся обойти, потому что нам не нравится ими (и мы удивляемся, почему у нас с ними трудности).

Абсолютные значения — правильный путь

Независимо от того, было ли исходное неравенство > или <, это не влияет на решение задачи, когда вы делать это правильно. Я мог бы показать пример обоих, но техника похожа.

Рассмотрим абсолютное неравенство | (х — 3) / 4 | ≤ 5

Начните с разделения абсолютного значение на два его случая. Помните, что абсолютное значение можно найти, отбрасывая знаки абсолютного значения, когда аргумент неотрицательный (случай 1) и взяв противоположное тому, что было в абсолютных значениях, когда аргумент отрицателен (случай 2).

  1. (х-3)/4 ≤ 5 если (x-3)/4 ≥ 0
  2. — (x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 < 0

Чемодан 1

(x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 ≥ 0

Сначала функциональная часть

(х-3) / 4 ≤ 5

х-3 ≤ 20

х ≤ 23

Теперь ограничение

(х-3)/4 ≥ 0

х-3 ≥ 0

х ≥ 3

Обязательно обратите особое внимание на ограничения относительно того, что в абсолютном значение неотрицательное и отрицательное. Неравенства, возникающие одновременно time как функция, так и ее ограничение должны быть удовлетворены. Вот почему две части от решения первой кейс может быть комбинированный так что x находится между 3 и 23 включительно. Это должно удовлетворяют как x≥3, так и x≤23.

3 ≤ х ≤ 23

Чемодан 2

— (x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 < 0

Сначала функция. Мы начнем с умножения на -1, чтобы избавиться от отрицательного знак, но тогда придется менять смысл (направление) неравенства.

— (х-3) / 4 ≤ 5

(х-3) / 4 ≥ -5

х-3 ≥ -20

х ≥ -17

Теперь ограничение.

(х-3)/4 < 0

х-3 < 0

х < 3

Аналогично, во втором случае обе части должны быть удовлетворены в в то же время. Также обратите внимание, что когда я умножил обе части неравенства на -4 я поменял смысл неравенства так, чтобы оно было уже не ≤, а теперь ≥. Вы могли бы упростить это другими способами, но я обычно нахожу это проще чтобы сразу избавиться от негатива.

-17 ≤ х < 3

Собираем обратно

Оба неравенства в конкретном случае должны быть удовлетворены в одно и то же время. время. Однако неравенство, которое возникает между двумя сторонами, может быть объединено с «или». Точно так же, как если бы (x-2)(x+4)=0, вы сказали бы, что ответ x=2 или x=-4, вы бы не настаивали на том, чтобы это было и 2, и -4 в одно и то же время. Одинаковый принцип держится с двумя частями абсолютного значения. Я же говорил, что все сходится. Я знаю, ты устанешь слушать, как я это говорю, но это намного проще. к понять, если вы видите общую картину.

Итак, сложите вместе два ответа из случая 1 и случая 2

-17 ≤ x < 3 или 3 ≤ x ≤ 23

Эти два интервала можно объединить вместе, чтобы получить окончательный ответ.

-17 ≤ х ≤ 23

В интервальной записи это будет [-17, 23]

Абсолютные значения кратчайшим путем

Менее
Когда абсолютное значение меньше правой части, ответ будет между противоположной правой стороной и правой стороной.
Неравенство абсолютного значения |x-2|<3 можно записать как -3
Больше, чем
Когда абсолютное значение больше правой части, ответ будет в две части, с или разделяя их. Она будет больше правой части или меньше чем напротив правой стороны.
Неравенство абсолютного значения |x-2|>3 можно записать как x-2<-3 или x-2>3. Решение этого приводит к x<-1 или x>5.
Обратите внимание, что это нельзя объединить в -1>x>5, поскольку это подразумевает, что 1>5 что просто ложно и будет пустым множеством.

Абсолютные значения геометрическим способом

У меня нет проблем с использованием геометрического подхода к решению абсолютных неравенств. Нет геометрический подход, когда вы вводите его в калькулятор, но геометрический подход, когда вы используете геометрическое определение абсолютной величины. Геометрическое определение абсолютной величины: расстояние от 0 на числовой прямой. Если его немного изменить, то |x-a| это расстояние от x=a на числовой прямой.

Однако этот метод требует знания некоторых свойств абсолютных значений. Эти в любом случае полезно знать (разве это не все?), так что было бы хорошо, если бы вы их выучили.

Рассмотрим то же неравенство, которое мы решали ранее: | (х — 3) / 4 | ≤ 5

Умножьте обе части на 4, чтобы получить |x-3| ≤ 20.

Это говорит о том, что расстояние от 3 на числовой прямой меньше или равно 20. Итак, начните с 3 и пройдите 20 влево (-17) и 20 вправо (23). Ты необходимость в расстояние быть меньше (или равно) 20 единицам. Этот будет включать значения от -17 до 23. Поскольку равенство включено, вы включить конечные точки, чтобы получить ответ (интервальное обозначение) [-17,23].

Вау! Это было легко, скажете вы. Ага.

Задача посложнее: | (3-5x) / 2| ≥ 3

Умножьте обе стороны на 2, чтобы получить | 3-5x | ≥ 6.

Вот где в игру вступают свойства абсолютных значений. Абсолютное значение напротив числа совпадает с абсолютным значением числа. Это означает, что мы можем сказать | 3-5x | = | 5х-3 | и |5x-3| ≥ 6.

Теперь разделите обе части на 5, чтобы получить | х- 3/5 | ≥ 6/5.

Это говорит о том, что расстояние от 3/5 не менее 6/5. Итак, начните с 3/5 и продолжайте 6/5 влево (-3/5) и 6/5 вправо (9/5). Поскольку вам нужно расстояние быть более чем в 6/5 единицах от 3/5, вы нужны значения слева от -3/5 и справа от 9/5. Следовательно, ответ х≤-3/5 или х≥9/5. В интервальной нотации вам придется использовать объединение двух интервалов (-∞,-3/5] U [9/5, +∞).

Полиномиальные неравенства

Полиномы непрерывны. Это означает, что вы можете рисовать их, не поднимая карандаш. (в математическом анализе есть более строгое определение, но теперь оно нам подойдет). Если вы превратитесь из меньше нуля в больше нуля и нельзя подобрать ваш карандаш, то в какой-то момент вы должны пересечь ось X. Это означает, что единственное место неравенство может измениться — это точка пересечения с х, ноль, корень, решение.

Таким образом, ключом к нахождению множества решений полиномиального неравенства является нахождение нулей неравенство (представьте, что это уравнение), помещая их на числовую прямую и выбирая контрольную точку в каждом регионе.

  1. Запишите полиномиальное неравенство в стандартной форме так, чтобы правая часть была равна нулю.
  2. Найдите действительные решения (не обращайте внимания на комплексные решения, включающие i ) неравенства любым способом, который вы хотите. Предпочтителен факторинг, но можно использовать и квадратичную формулу, если вы можете свести это к квадратичному множителю. Эти значения называются «критическими». номера» (не путать с похожими, но немного отличными от исчисления «критическими значениями»).
  3. Поместите нули многочлена (критические числа) на числовую прямую. Обязательно вставьте их порядок от меньшего к большему. Не важно помечать любое другое значение на числовой прямой. Некоторых людей учили, что на числовой прямой всегда ставится ноль. Это не обязательно здесь.
  4. Выберите контрольную точку в каждом интервале. У вас будет на один интервал больше, чем количество тестов точки. Вставьте эту контрольную точку обратно либо в факторизованное неравенство, либо в исходное неравенство. Если контрольная точка дает вам истинное утверждение, то любая точка в этом интервале будет работать, и вы хотите включить этот интервал в ответ. Если контрольная точка дает ложное утверждение, то все точки в этом интервале не будут работать, и вы не хотите включать этот интервал.
  5. Включить конечные точки, если неравенство включает равенство, и не включать конечные точки, если неравенство не включает равное.

Рациональные неравенства

Рациональные неравенства похожи на многочлены, но есть лишний соблазн и лишняя место, где могут возникнуть критические числа.

Искушение: Не поддавайтесь искушению, ибо поддаваться — грех.

Я знаю, что ты не любишь дроби. Вы пытаетесь избавиться от них при каждом удобном случае. Но, дроби — ваши друзья, и я очень надеюсь, что вы не относитесь так ко всем своим друзьям.

Вот в чем проблема. Если вы умножаете на константу, довольно очевидно, положительна она или нет. отрицательное, чтобы вы знали, следует ли изменить неравенство. Однако при рациональном выражений, в знаменателе будет переменная. Переменные могут принимать различные значения — вот почему они называются переменными (и вы думали, что математика не имеет смысла). Иногда выражение положительно, но для других значений x выражение отрицательно. Итак, если умножить по наименьшему общему знаменателю, вы не знаете, умножаете ли вы на положительный число или отрицательное число если не следить за ограничениями! Итак, у вас есть выбор — Фракции, которые вы ненавидите, или ограничения, которые вы ненавидите? В этом случае дроби являются меньшими из два зла (в вашем уме — на самом деле ни одно из них не является злом)

Непрерывность

Полиномиальные функции везде непрерывны. Однако рациональные функции таковыми не являются. Они есть непрерывен везде, за исключением случаев, когда он не определен, и это происходит, когда знаменатель равен нулю.

Если вы идете вперед и не можете взять карандаш, и вы переходите от отрицательного к положительный, то это должно произойти в нуле функции, как и в случае полинома. Но, если функция не определена, то вам нужно взять карандаш. Пока карандаш поднят, есть ничего, что говорило бы о том, что вы не можете переехать в совершенно другое место, возможно, на другую сторону ось X, когда вы положите его обратно.

Теперь у нас есть два места, где могут встречаться критические числа. Один находится в нуле функции, в другом функция не определена.

  1. Запишите рациональное неравенство в стандартной форме так, чтобы право сторона равна нулю.
  2. Получите общий знаменатель, перемножив верхний и нижний члены. Помню тебя не можете умножить и избавиться от дробей, потому что вы не знаете если что ты умножение на отрицательное или положительное (если вы не хотите возиться с ограничениями — а вы не в этом случае)
  3. Найдите критические числа. Проще говоря, критическое число — это все, что делает числитель или знаменатель равным нулю.
    • Найдите места, где функция не определен из-за деления на ноль. Это будут критические точки, которые не могут быть включены в окончательный ответ, даже если равен включено, потому что это вызовет деление на ноль.
    • Найти реальные решения (не обращайте внимания на сложные решения, включающие i ) к функции в любом случае что вы хотите. Чтобы найти нули, все, о чем вам нужно беспокоиться, это числитель.
  4. Поместите критические числа в числовую строку.
  5. Выберите контрольную точку в каждом интервале и определите, работает этот интервал или нет.
  6. Включать конечные точки, если неравенство включает равенство, и не включать конечные точки, если неравенство не включает равное. Убедитесь, что вы не включаете конечную точку, которая вызовет деление на ноль, если включено.

На самом деле, преобразовав все это в уравнение и решив найти критический номера не так уж и плохи для маршрута. Книга и большинство учителей математики предположим, что вы собираетесь держать неравенство в задаче до конца. Если вы готовы вставьте значения обратно в исходную задачу, вы можете перейти к равному подписать, избавиться от дробей и найти критические числа. Вам все равно придется следить за ограничениями, но теперь ограничения относятся к образуют x ≠ 2 вместо x < 2, и с ним гораздо проще иметь дело.

Тем не менее, изучите это таким образом, потому что, когда мы дойдем до главы 3, будет фундаментальная концепция, которая значительно ускорит поиск решений этих проблем, и требует (вроде) что вы смотрите на положительные и отрицательные стороны.

Графические утилиты

Еще один способ решения неравенства состоит в том, чтобы изобразить левую часть неравенства в виде графика y 1 и правая сторона как y 2 , а затем найдите точку пересечения. Точка пересечения будет вашей критическое число. Глядя на график, вы можете определить, когда выполняется неравенство, и записать тот интервал. Помните, что когда вы задаете интервалы, необходима только координата x. В исходной задаче нет y, это было добавлено для графического отображения. удобный.

Решите уравнение абсолютного значения: 2=|x|-1 -Turito

Вопрос

Правильный ответ: x = 3, -3

    Подсказка:


    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение модуля x равно

    Итак, при решении данного уравнения мы получим два случая. Мы максимально упрощаем уравнение, а затем применяем приведенное выше определение, чтобы получить значение x.
    Пошаговое решение:
    Данное уравнение имеет вид
    2 = |x| — 1
    Прибавив 1 с обеих сторон, получим
    1 + 2 = |x|
    Упрощая приведенное выше уравнение, мы можем написать
    |x| = 3
    Используя определение абсолютного значения,

    Мы получаем две возможности,
    Для x < 0,
    |x| = -x = 3
    Таким образом, мы получаем
    x = -3
    Для x ≥ 0,
    |x| = x = 3
    Имеем
    x = 3
    Следовательно, мы получаем два значения x, удовлетворяющих данному уравнению,
    x = 3, -3
    Примечание:
    Абсолютное значение переменной имеет множество применений в математике. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    ‘Хотите узнать больше?

    Зарегистрируйтесь в Turito, чтобы просмотреть полное решение

    У вас уже есть учетная запись? Войдите, чтобы продолжить

    Забронируйте бесплатную демо-версию

    Мобильный*

    +

    91

    Электронная почта*

    Grade*

    SELECT GRADE

    Я согласен получить уведомления WhatsApp и маркетинговые обновления

    Связанные вопросы для изучения

    Общие

    General

    SOLVE SOLVE Каждая абсолютная неравенность. Нарисуйте решение


    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Данное неравенство:
    3|x| — 2 ≤ 10
    Прибавив по 2 с обеих сторон, мы получим
    3|x| ≤ 10 + 2

    Разделив на 3, получим
    |x| ≤ 4
    Мы используем определение  , которое равно

    . Для
    имеем
    |x| = — х ≤ 4
    Умножая  с обеих сторон, получаем
    x ≥ — 4
    Или
    -4 ≤ x
    Для x ≥ 0,
    Имеем
    |x| = x ≤ 4
    То есть
    x ≤ 4
    Объединив два приведенных выше решения, мы получим

    . Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -4 и 4 включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Решить каждое абсолютное неравенство. Постройте график решения


    Общие Общие

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Абсолютное значение x равно

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Данное неравенство:
    3|x| — 2 ≤ 10
    Прибавив по 2 с обеих сторон, мы получим
    3|x| ≤ 10 + 2

    Разделив на 3, получим
    |x| ≤ 4
    Мы используем определение  , которое равно

    . Для
    имеем
    |x| = — x ≤ 4
    Умножив  с обеих сторон, мы получим
    x ≥ — 4
    Или
    -4 ≤ x
    Для x ≥ 0,
    Имеем
    |x| = x ≤ 4
    То есть
    x ≤ 4
    Объединив два приведенных выше решения, мы получим

    . Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -4 и 4 включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Общий

    Математика-

    Решить — 0,85t — 0,85t -3,9 = — 8,15

    Пошаговое решение:-
    -0,85t — 0,85t — 3,9 = -8,15
    ∴ -0,85t — 0,85t = -8,15 + 3,9 …………….. …………………. (Все константы вместе)
    ∴ -1,7t = -4,25
    ∴ t = -4,25 / -1,7 ….. …………………………… (Деление обеих сторон на -1,7)
    ∴ t = 2,5
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение t для данного уравнения равно 2,5.

    Решить — 0,85t — 0,85t -3,9 = — 8,15

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    -0,85t — 0,85t — 3,9= -8,15
    ∴ -0,85t — 0,85t = -8,15 + 3,9 …. …………………………. … (Вместе все константы)
    ∴ -1,7t = -4,25
    ∴ t = -4,25 / -1,7 …………………… ………….. (Деление обеих частей на -1,7)
    ∴ t = 2,5
    Окончательный ответ:-
    ∴ Значение t для данного уравнения равно 2,5.

    Общий

    MATHS-

    Решение 1,037x + 0,02x + 25 = 30,285

    Пошаговый раствор:-
    1,037x + 0,02x + 25 = 30,285
    ∴ 1,037x + 0,02x = 30,285- 25- 255- 255- 255
    . ………………………………. (Все константы вместе)
    ∴ 1,057х = 5,285
    ∴ х = 5,285/1,057 ………………………………..
    ∴ x = 5
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение x для данного уравнения равно 5 -пошаговое решение:-
    1,037x + 0,02X + 25 = 30,285
    ∴ 1,037x + 0,02X = 30,285 — 25 …………. …………… (Вместе все константы)
    ∴ 1,057x = 5,285
    ∴ x = 5,285/1,057 ……………. …………………. (Деление обеих частей на 1,057)
    ∴ x = 5
    Окончательный ответ:-
    ∴ Значение x для данного уравнения равно 5.

    Общее

    Математика-

    Пусть a, b, c и x — действительные числа. Чем решение отличается от решения 

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».
    Обсудим оба этих случая для двух данных неравенств.
    Пошаговое решение:
    Предположим, что a, b, c положительны.
    Первое неравенство:
    |ax |+ b ≥ c
    Применяя определение модуля для ax в приведенном выше неравенстве, получаем
    Для ax < 0 имеем
    -ax + b ≥ c
    ⇒-ax ≥ c — b
    ⇒ax ≤ b — c
    Затем, решая для x, мы получаем

    Для ax ≥ 0 имеем
    ax + b ≥ c
    Решая x, мы получаем

    Или

    Комбинируя два решения, мы have

    Второе неравенство равно
    | топор + б | ≥ c
    . Мы используем определение модуля,
    . Для ax + b < 0 имеем
    -(ax + b) ≥ c
    ⇒-ax — b ≥ c
    ⇒-ax ≥ b + c
    . Находя x, получаем

    Для ax + b ≥ 0 имеем
    ax + b ≥ c
    ⇒ax ≥ c — b
    Решая x, получаем

    Комбинируя два решения, получаем

    Наконец, мы можем заметить, что решения, которые мы получаем из двух данных неравенств, различны.
    Примечание:
    В первых неравенствах mod изменяет значение только одного слагаемого, т. е. ax; тогда как во втором неравенстве mod изменяет значение двух членов, ax и b. Это приводит к изменению значений x для обоих неравенств.

    Пусть a, b, c и x — действительные числа. Чем решение отличается от решения 

    Maths-General

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».
    Обсудим оба этих случая для двух данных неравенств.
    Пошаговое решение:
    Предположим, что a, b, c положительны.
    Первое неравенство:
    |ax |+ b ≥ c
    Применяя определение модуля для ax в приведенном выше неравенстве, получаем
    Для ax < 0 имеем
    -ax + b ≥ c
    ⇒-ax ≥ c — b
    ⇒ax ≤ b — c
    Затем, решая для x, мы получаем

    Для ax ≥ 0 имеем
    ax + b ≥ c
    Решая x, мы получаем

    Или

    Объединяя два решения, мы have

    Второе неравенство:
    |ax + b| ≥ c
    Мы используем определение модуля,
    Для ax + b < 0 имеем
    -(ax + b) ≥ c
    ⇒-ax — b ≥ c
    ⇒-ax ≥ b + c
    Решая x, получаем

    Для ax + b ≥ 0 имеем
    ax + b ≥ c
    ⇒ax ≥ c — b
    Решая x, мы получаем

    Комбинируя два решения, мы получаем

    Наконец, мы можем заметить, что решения, которые мы получаем из двух заданных неравенств, различны.
    Примечание:
    В первых неравенствах mod изменяет значение только одного слагаемого, т. е. ax; тогда как во втором неравенстве mod изменяет значение двух членов, ax и b. Это приводит к изменению значений x для обоих неравенств.

    Общее

    Математика-

    Решить -0,07p -0,6 = 5

    Пошаговое решение:-
    -0,07p — 0,6 = 5
    ∴ -0,07p = 5 + 0,6 …….. …………………………………………. ( Если взять все константы вместе)
    ∴ -0,07p = 5,6
    ∴ p = 5,6 / -0,07 ……………………………… ………………. (Деление обеих сторон на -0,07)
    ∴ p = — 80
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение p для данного уравнения равно -80 .

    Решить -0,07p -0,6 = 5

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    -0,07p — 0,6 = 5
    ∴ -0,07p = 5 + 0,6 ………………… ……………………………… (Все константы вместе)
    ∴ -0,07p = 5,6
    ∴ р = 5,6 / -0,07 …………………………………………….. …… (разделив обе части на -0,07)
    ∴ p = — 80
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение p для данного уравнения равно -80.

    Общее

    Математика-

    Напишите выражение для каждого произведения без множителей полного квадрата в подкоренном члене.

    × √21x 3  × 4√7x 2

    Пошаговое решение:-
    Данное выражение =  × √21x 3  × 4√7x 2 × 906×51
    x ∴ Данное выражение = ( × x) × 4 × √(7 × x × x) ……………………………… (Разложение на множители данное подкоренное число)
    ∴ Данное выражение = √21 × √(x × x) × √x × 4 × √7 × √(x × x) ……………….. ……. [Свойство произведения радикалов, т.е. √m × √n = √(m n )]
    ∴ Данное выражение =  × √21 × √x 2  × √x × 4 × √7 × √х 2
    ∴ Данное выражение =  × 4 × √21 × √7 × √x × (x) 2/2  × (x) 2/2 …………. ………………….. [Степенное правило- m√(b n ) = b n/m ]
    ∴ Данное выражение = 2 × √(21 × 7 × x) × x 1  × x 1
    ∴ Данное выражение = 2 × √147x × x 2
    ∴ Данное выражение = 2 × √(7 × 7 × 3 × x) х 2 ……………………. ………………………. …………. (Разложение данного подкоренного числа на множители)
    ∴ Данное выражение = 2 × x 2  × √(7 × 7) ×√(3 × x) ……………………. …………………………… [Произведение          свойство  радикалов, т. е. √m × √n = √(mn)]
    ∴ Данное выражение = 2 × x 2  × 7 × √3x
    ∴ Данное выражение = 14x 2 √3x
    Окончательный ответ: —
    2 √3x.

    Напишите выражение для каждого произведения без полных квадратных множителей в подкоренном члене. × √21x

    3 × 4√7x 2

    Генеральный математический 21 × x × x × x) × 4 × √(7 × x × x) ……………………………… .. (Разложение данного подкоренного числа на множители)
    ∴ Данное выражение = √21 × √(x × x) × √x × 4 × √7 × √(x × x) …………… ………… [Свойство произведения радикалов, т. е. √m × √n = √(m n )]
    ∴ Данное выражение =  × √21 × √x 2  × √x × 4 × √7 × √x 2
    ∴ Данное выражение =  × 4 × √21 × √7 × √x × (x) 2/2  × (x) 20 . ………………………………. [степенное правило- m√(b n ) = b  н/м ]
    ∴ Данное выражение = 2 × √(21 × 7 × x) × x 1  × x 1
    ∴ Данное выражение = 2 × √147x × x 1
    заданное выражение = 2 × √(7 × 7 × 3 × x) × x 2 ……………………………… ……………………… (Разложение данного подкоренного числа на множители)
    ∴ Данное выражение = 2 × x 2  × √(7 × 7) ×√(3 × x) ……………………. …………………………… [Произведение          свойство  радикалов, т. е. √m × √n = √(mn)]
    ∴ Данное выражение = 2 × x 2  × 7 × √3x
    ∴ Данное выражение = 14x 2 √3x
    Окончательный ответ: —
    2 √3x.

    Общее

    Математика-

    Решить 0,025(Q + 2)= 2,81

    Пошаговое решение:-
    0,025(Q + 2) = 2,81
    ∴ Q + 2 = 2,81 / 0,025 ………………… …………… (Деление обеих сторон на 0,025)
    ∴ Q + 2 = 112,4
    ∴ Q = 112,4 — 2
    ∴ Q = 110,4
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение Q для данного уравнения равен 110,4.

    Решить 0,025(Q + 2)= 2,81

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    0,025(Q + 2) = 2,81
    ∴ Q + 2 = 2,81 / 0,025 …….. ………………………… (делив обе стороны на 0,025)
    ∴ Q + 2 = 112,4
    ∴ Q = 112,4 — 2
    ∴ Q = 110,4
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение Q для данного уравнения равно 110,4.

    Общий

    Математика-

    Решить 1,2 n + 0,68 = 5

    Пошаговое решение:-
    1,2n + 0,68 = 5
    ∴ 1,2n = 5 — 0,68 ……….. …………….. (Вместе все константы)
    ∴ 1,2n = 4,32
    ∴ n = 4,32/1,2 ….. ………………………….. (делим обе части на 1,2)
    ∴ n = 3,6
    Окончательный ответ:
    ∴ Значение n для данного уравнения равно 3,6.

    Решить 1,2 n + 0,68 = 5

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    1,2n + 0,68 = 5
    ∴ 1,2n = 5 — 0,68 …………. …………………….. (Вместе все константы)
    ∴ 1,2n = 4,32
    ∴ n = 4,32/1,2 ….. … ……………………… (Деление обеих частей на 1,2)
    ∴ n = 3,6
    Окончательный ответ:
    ∴ Значение n для данного уравнения равно 3,6.

    Общий

    Математика-

    Решите каждое абсолютное неравенство. Нарисуйте решение


    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Абсолютное значение x равно

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Приведенное неравенство
    2|2x + 4|+10 > — 6
    Вычитая по 10 с обеих сторон, получаем
    |2x + 4|> — 6 — 10

    Делим на -2 везде, получаем
    | 2x+ 4|< 8
    Мы используем определение , которое равно

    Для,
    Имеем
    |2x + 4|= -(2x + 4) < 8
    Умножая  с обеих сторон, получаем
    2x + 4 > — 8
    Вычитая 4 с обеих сторон, получаем
    2x  > —  8- 4

    Делим на 2 везде, получаем
    X > — 6
    Или
    -6 < x
    Для, 2x + 4 ≥ 0,
    Имеем
    |2x + 4|=2x + 4 < 8
    Вычитая 4 с обеих сторон, получаем
    2x < 8 - 4

    Разделив на 2, мы имеем
    X < 2
    . Объединив два приведенных выше решения, мы получим
    -6 < x < 2
    . Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -6 и 2 не включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Решить каждое абсолютное неравенство. Нарисуйте решение


    Maths-General

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Абсолютное значение x равно

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Приведенное неравенство:
    2|2x + 4|+10 > — 6
    Вычитая по 10 с обеих сторон, получаем
    |2x + 4|> — 6 — 10

    Разделив на — 2 повсюду, мы получаем
    |2x+ 4|< 8
    Мы используем определение , которое равно

    For,
    У нас есть
    |2x + 4|= -(2x + 4) < 8
    Умножая  с обеих сторон, мы
    2x + 4 > -8
    Вычитая 4 с обеих сторон, получаем
    2x  > —  8- 4

    Делим на 2 везде, получаем
    X > — 6
    Или
    -6 < x
    Для, 2x + 4 ≥ 0,
    Имеем
    |2x + 4|=2x + 4 < 8
    Вычитая 4 с обеих сторон, получаем
    2x < 8 - 4

    Разделив все на 2, мы получим
    X < 2
    . Объединив два приведенных выше решения, мы получим
    -6 < x < 2
    . Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -6 и 2 не включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Общие

    Математика-

    Пусть a, b, c и x — действительные числа. Чем решение отличается от решения 

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».
    Обсудим оба этих случая для двух данных неравенств.
    Пошаговое решение:
    Предположим, что a, b, c положительны.
    Первое неравенство
    |ax| + b ≤ c
    Применяя определение модуля для ax в приведенном выше неравенстве, получаем
    . Для ax < 0 имеем
    -ax + b ≤ c
    ⇒ -ax ≤ c — b
    ⇒ ax ≥ b — c
    Затем, решая для x, мы получаем

    Для ax ≥ 0, мы имеем
    ax + b ≤ c
    Решая для x, мы получаем

    Или

    Комбинируя два решения, мы имеем

    Второе неравенство
    | топор + б | ≤ c
    Мы используем определение модуля,
    Для ax + b < 0 имеем
    -(ax + b) ≤ c
    ⇒ -ax — b ≤ c
    ⇒ -ax ≤ b + c
    Решая x, получаем

    Для ax + b ≥ 0 имеем
    ax + b ≤ c
    ⇒ax ≤ c — b
    Решая x, мы получаем

    Комбинируя два решения, мы получаем

    Наконец, мы можем заметить, что решения, которые мы получаем из двух заданных неравенств, различны.
    Примечание:
    В первых неравенствах mod изменяет значение только одного слагаемого, т. е. ax; тогда как во втором неравенстве mod изменяет значение двух членов, ax и b. Это приводит к изменению значений x для обоих неравенств.

    Пусть a, b, c и x — действительные числа. Чем решение отличается от решения 

    Maths-General

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».
    Обсудим оба этих случая для двух данных неравенств.
    Пошаговое решение:
    Предположим, что a, b, c положительны.
    Первое неравенство
    |ax| + b ≤ c
    Применяя определение модуля для ax в приведенном выше неравенстве, получаем
    . Для ax < 0 имеем
    -ax + b ≤ c
    ⇒ -ax ≤ c — b
    ⇒ ax ≥ b — c
    Затем, решая для x, мы получаем

    Для ax ≥ 0, мы имеем
    ax + b ≤ c
    Решая для x, мы получаем

    Или

    Комбинируя два решения, мы имеем

    Второе неравенство
    | топор + б | ≤ c
    Мы используем определение модуля,
    Для ax + b < 0 имеем
    -(ax + b) ≤ c
    ⇒ -ax — b ≤ c
    ⇒ -ax ≤ b + c
    Решая x, получаем

    Для ax + b ≥ 0 имеем
    ax + b ≤ c
    ⇒ax ≤ c — b
    Решая x, мы получаем

    Комбинируя два решения, мы получаем

    Наконец, мы можем заметить, что решения, которые мы получаем из двух заданных неравенств, различны.
    Примечание:
    В первых неравенствах mod изменяет значение только одного слагаемого, т. е. ax; тогда как во втором неравенстве mod изменяет значение двух членов, ax и b. Это приводит к изменению значений x для обоих неравенств.

    Общее

    Математика-

    Решите 0,1 r -1 = 0,65.

    Пошаговое решение:-
    0,1 r — 1 = 0,65
    ∴ 0,1 r = 0,65 + 1 ……………….. …… (Вместе все константы)
    ∴ 0,1 r = 1,65
    ∴ r = 1,65/0,1 ………………… …… (разделив обе части на 0,1)
    ∴ r = 16,5
    Окончательный ответ:-
    ∴ Значение r для данного уравнения равно 16,5.

    Решите 0,1 r -1 = 0,65.

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    0,1 r — 1 = 0,65
    ∴ 0,1 r = 0,65 + 1 ……………………………… (Принимая все константы вместе)
    ∴ 0,1 r = 1,65
    ∴ r = 1,65/0,1 ………………………………. (разделив обе стороны на 0,1)
    ∴ r = 16,5
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение r для данного уравнения равно 16,5.

    Общий

    Математика-

    Решить 1290= h20 +h5

    Пошаговое решение:-
    1290 = h/10 + h/5
    ∴ 1290 = h/10 + 2h/10 …… …………………………… (Обобщение знаменателей на правой стороне)
    ∴ 1290 = (ч + 2ч)/10
    ∴ 1290 = 3ч/10
    ∴ 1290 × 10/3 = ч ………………….. ……………………………………… (Умножение обеих сторон на 10/3)
    ∴ 4300 = h
    Окончательный ответ: —
    ∴ Значение h для данного уравнения равно 4300.

    Решить 1290= h20 +h5

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    1290 = h/10 + h/5
    ∴ 1290 = h/10 + 2h/10 …….. ……………………………….. (Обобщим знаменатели на правой стороне)
    ∴ 1290 = (ч + 2ч)/10
    ∴ 1290 = 3ч/10
    ∴ 1290 × 10/3 = ч ……………………. ……………………………….. (Умножение обеих сторон на 10/3)
    ∴ 4,300 = h
    Окончательный ответ:-
    ∴ Значение h для данного уравнения равно 4,300.

    Общее

    Математика-

    Решите каждое неравенство абсолютного значения.

    Нарисуйте решение:

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Данное неравенство
    2|x + 4| ≤ — 6
    Разделив все на 2, получим
    -|x + 4 |≤ — 3
    Умножив на -1, получим
    |x + 4| ≥ 3
    Мы используем определение , которое равно

    Для x + 4 < 0,
    Имеем
    |x + 4| = — (x + 4) ≥ 3
    Упрощая, получаем
    — x — 4 ≥ 3
    Прибавляя по 4 с обеих сторон, получаем
    x ≥ 3 + 4

    Умножая  с обеих сторон, получаем
    x ≤ — 7
    Для
    У нас есть
    |x + 4|= x + 4 ≥ 3
    Вычитая 4 с обеих сторон, мы получаем
    x ≥ 3 —  4

    Объединяя два приведенных выше решения, мы получаем
    x ≤ — 7 и x ≥ -1
    Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -7 и -1 включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Решить каждое абсолютное неравенство. Нарисуйте решение:


    Maths-General

    Подсказка:
    |x| называется абсолютным значением х. Это неотрицательное значение x независимо от его знака. Значение абсолютного значения x определяется как

    Сначала упростим неравенство, а затем решим его, рассмотрев два случая. Затем мы строим график по оси x или реальной линии R таким образом, чтобы график удовлетворял значению x из обоих случаев.
    Пошаговое решение:
    Данное неравенство
    2|x + 4| ≤ — 6
    Разделив все на 2, получим
    -|x + 4 |≤ — 3
    Умножив на -1, получим
    |x + 4| ≥ 3
    Мы используем определение , которое равно

    Для x + 4 < 0,
    Имеем
    |x + 4| = — (x + 4) ≥ 3
    Упрощая, получаем
    — x — 4 ≥ 3
    Прибавляя по 4 с обеих сторон, получаем
    x ≥ 3 + 4

    Умножая  с обеих сторон, получаем
    x ≤ — 7
    Для
    У нас есть
    |x + 4|= x + 4 ≥ 3
    Вычитая 4 с обеих сторон, мы получаем
    x ≥ 3 —  4

    Объединяя два приведенных выше решения, мы получаем
    x ≤ — 7 и x ≥ -1
    Наносим указанное выше неравенство на вещественную прямую.

    Точки -7 и -1 включены в график.
    Примечание:
    Данное неравенство содержит только одну переменную. Итак, график строится по одному измерению, которое является реальной линией. Геометрически абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля независимо от его направления. Символ |.| произносится как «модуль». Читаем |х| как «модуль x» или «mod x».

    Общий

    Математика-

    Какое выражение эквивалентно 5√4x

    17 .

    Пошаговое решение:-
    Данное выражение = 5√4x 17
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2 × 2 × x 8+8+1 ) ………… ………………. (Разложение данного выражения на множители)
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2 × 2 × x 8  × x 8  × x) ……………………………….. [a n ⋅ a m  = a n+m ]
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2 × 2) × √(x 8  × x 8 ) × √x ……………. .. ……….. [Свойство продукта — √m × √n = √(mn)]
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2) 2  × √(x 8 ) 2  × √x
    ∴ Данное выражение = 5 × (2) 2/2 06 9 9 05 (x 8 9) 2/2  × √x ………………………………. [Степенное правило — м √(b n ) = b  н/м ]
    ∴ Заданное выражение = 5 × (2) 1  × (x 8 ) 1 ∙ 7×7 Заданное x 9 √ 1 выражение × x 8  × √x
    ∴ Данное выражение = 10x 8  × √x
    Окончательный ответ: —
    ∴ 10x 8  × √x является эквивалентом данного выражения 5√4x 17 .

    Какое выражение эквивалентно 5√4x

    17 .

    Общая математика

    Пошаговое решение:-
    Заданное выражение = 5√4x 17
    ∴ Заданное выражение = 5 × √(2 × 2 × x 8+8+1 ) ….. ……………………………. (Разложение данного выражения на множители)
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2 × 2 × x 8  × x 8  × x) . ………………………………. …. [а n ⋅ a m  = a n+m ]
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2 × 2) × √(x 8  × x 8 √ ) x . …………………. [Свойство произведения — √m × √n = √(mn)]
    ∴ Данное выражение = 5 × √(2) 2  × √(x 8 ) 2  × √x
    ∴ Данное выражение = 5 × (2) 2/2  × (x 8 × ) 2/2 x ………………………… [Степенное правило- 90 650 м 90 651 √(b 90 650 n 90 651 ) = b  90 650 n/ м ]
    ∴ Данное выражение = 5 × (2) 1  × (x 8 ) 1  × √x
    ∴ Данное выражение = 5 × 2 × x 8  × 5 √x 090 0
     × √x
    Окончательный ответ: —
    ∴ 10x 8  × √x является эквивалентом данного выражения 5√4x 17 .

    Общее

    Математика-

    Решить — =

    Пошаговое решение:-
    — =
    ∴ — = .

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *