Примеры производной функции с решением: Как найти производную функции, примеры решения

Решение производных

Для того чтобы понять определение производной рассмотрим следующий график функции.

Рис.1. Пример функции и ее производной.

Глядя на рисунок можно увидеть места, где функция растет быстрее, а где убывает. Например, с точки a до точки b график поднимается стремительнее, чем с точки b до точки c.

Если перенести точки с графика функции на новую систему координат таким образом, чтобы точки возрастания располагались выше по оси x, а точки убывания ниже оси x (соблюдая масштаб) и соединить эти точки, то получится новый график новой функции (нижний график на рис. 1). Данная функция и есть производная от основной функции. Данный график есть не что иное, как показатель скорости изменения функции. Другими словами, производная – показатель скорости изменения функции. На практике производные применяются для определения скорости изменения каких-нибудь процессов: физических, химических, экономических и т.д.

Если говорить более сложным языком, то производная – это предел, к которому стремится отношение приращения x к приращению y. 2+6x-72

Решение сложных производных

На практике с решением производных сложных функций приходится сталкиваться значительно чаще, чем с простыми.

Правило определения производной сложной функции выглядит следующим образом:
(a(b))’=a’(b)*b’, где a-внешняя функция, b-внутренняя функция.

Рассмотрим пример

Необходимо найти производную функции F(x)=sin(3x-5)

Найти производную данной функции, воспользовавшись таблицей простых (элементарных) функций, не получится, так как под sin находится целое выражение, т.е. функция состоит из двух функций a=sin(x)(внешняя функция) и b=3x-5 (внутренняя функция).

Воспользуемся правилом определения производной сложной функции и получим:
F’(x)=(sin(3x-5))’=cos(3x-5)*(3x-5)’=3cos(3x-5).

заметка: деревянные окна (http://www.woodlan.ru/) и Продвижение товара и услуг в интернете недорого от частного специалиста подробнее на http://seoshnig.ru.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Страница не найдена | CUHK Математика

1. Главная
2. Страница не найдена

×

Предупреждающее сообщение

В вашем поиске использовано слишком много выражений И/ИЛИ. В этот поиск были включены только первые 7 терминов.

×

Сообщение об ошибке

Запрашиваемая вами страница не существует. Для вашего удобства был выполнен поиск по запросу курс ИЛИ конструктор ИЛИ 1415 ИЛИ math2010e ИЛИ 1010e ИЛИ 20week ИЛИ 204 ИЛИ pdf .

1. MATh2010E — Университетская математика — 2014/15

   https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1415/math2010e
   Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Проф. Мартин Ман Чун LI Курс Год: 2014/15 Срок: 1 Объявление … будет включать материалы и объявления ТОЛЬКО по математике 1010E . Пожалуйста, регулярно проверяйте материалы курса , общие для всех разделов …

2. Предварительное кондиционирование с сохранением структуры для устранения размытости изображения на основе кадров

   https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/structure-preserving-preconditioning-frame-based-image-deblurring
   Дата: Пятница, 11 января 2019 г.  –  14:15  – 15:00 Место проведения: LSB LT3 Тип семинара:  … italian-cuhk_workshop_on_imaging_science_and_optimization. pdf …

3. Полностью нелинейное неравенство следа Соболева

   https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/full-nonlinear-sobolev-trace-inequality
   Дата: Среда, 20 июля 2016 г. — 13:15 — 14:15 Место проведения: LSB 222 Тип семинара: Семинар … Университет Плакат: s160720_wang_yi. pdf …

4. Методы доверительной области для минимизации конечной суммы

   https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/trust-region-methods-finite-sum-minimization
   Дата: Пятница, 11 января 2019 г. – 13:30 – 14:15  Место проведения: LSB LT3 Тип семинара:  … italian-cuhk_workshop_on_imaging_science_and_optimization. pdf …

5. MATh2010E — Университетская математика — 2017/18

   https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1718/math2010e
   Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Доктор Ханвул BAE Курс Год:  2017/18 Срок:  1       . ..

6. Конференция

   https://www.math.cuhk.edu.hk/research/conference
   … Профессор К.Ф. Нг как празднование его выхода на пенсию) 14-15 декабрь 2006 г. Первая международная летняя школа по…

7. MATh2010E — Университетская математика — 2020/21

   https://www.math.cuhk.edu.hk/course/2021/math2010e
   Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Доктор Пинг Шун ЧАН Курс Год: 2020/21 Срок: 1 …

8. MATh2010E — Университетская математика — 2016/17

   https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1617/math2010e
   Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Доктор Чи Хин LAU Курс Год: 2016/17 Срок: 1 …

9. MATh2010E — Университетская математика — 2022/23

   https://www.math.cuhk.edu.hk/course/2223/math2010e
   Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Проф. Лю ЛЮ Курс Год: 2022/23 Срок: 1 . ..

10. MATh2010E — Университетская математика — 2018/19

    https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1819/math2010e
    Курс Имя: Университет Преподаватель математики: Доктор Бохен ЛИУ Курс Год: 2018/19 Срок: 1 …

Деловой расчет

Дифференциальное уравнение — это уравнение, включающее производную функции. Они позволяют нам выразить простым уравнением связь между величиной и скоростью ее изменения.

Пример 1

Банк выплачивает 2% годовых по своим депозитным сертификатам, но взимает ежегодную комиссию в размере 20 долларов. Напишите уравнение для скорости изменения баланса \( B'(t) \).

Если баланс \( B(t) \) выражен в долларах, то \( B'(t) \) выражен в долларах в год. Когда мы думаем о том, что меняет баланс счета, есть два фактора:

1. Проценты, увеличивающие баланс, и
2. Комиссия, уменьшающая баланс.

Учитывая проценты, мы знаем, что каждый год баланс будет увеличиваться на 2%, но 2% чего? Каждый год это будет меняться, поскольку мы зарабатываем проценты на любом текущем балансе. 3 — 4\).

Вы уже решили множество дифференциальных уравнений: каждый раз, когда вы находили первообразную функции \(f(x)\), вы решали дифференциальное уравнение \(y’ = f(x)\), чтобы получить решение \( у\). Однако дифференциальное уравнение \(y’ = f(x)\) — это только начало. Другие приложения генерируют другие дифференциальные уравнения, как в приведенном выше примере банковского баланса.

Проверка решений дифференциальных уравнений

Независимо от того, легко или трудно решить дифференциальное уравнение, важно иметь возможность проверить, действительно ли возможное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению. 92} = 2, \] результат, который мы хотели проверить.

Разделимые дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется разделимым, если переменные можно разделить алгебраически так, что все \(х\) и \(дх\) являются одной частью уравнения, а все \(у\) и \(dy\) находятся на другой стороне уравнения. Другими словами, уравнение имеет вид \( f(x)\, dx=g(y)\, dy \).

После разделения разделимые дифференциальные уравнения могут быть решены путем интегрирования обеих частей уравнения. 92+х+С. \]

Как и ожидалось, у этого дифференциального уравнения есть целое семейство решений.

Задача с начальными значениями (IVT)

Задача с начальными значениями представляет собой дифференциальное уравнение, предоставляющее дополнительную информацию о начальном или начальном значении функции. Это позволяет нам найти константу и найти единственное решение.

Пример 4

Найдите решение \( y’=\frac{6x+1}{2y} \), которое удовлетворяет условию \( y(2)=3 \). 92+х-5}. \]

Пример 5

Банк выплачивает 2% годовых по своим депозитным сертификатам, но взимает ежегодную комиссию в размере 20 долларов. Если вы изначально инвестируете 3000 долларов, сколько у вас будет через 10 лет?

Вы можете узнать это по примеру из начала раздела, для которого мы составили уравнение \( B'(t)=0,02B(t)-20 \) или, проще говоря, \[ \frac{ дБ}{dt}=0,02B-20. \]

Мы можем разделить это уравнение, умножив на \(dt\) и разделив на все выражение справа: \[ \frac{dB}{0.02B-20}=dt. \]

Для интегрирования левой части этого уравнения требуется замена. Пусть \(u=0,02B-20\), значит, \(du=0,02\, дБ\). Произведя замену, \[ \begin{выравнивание*} \int\frac{dB}{0.02B-20}=& \int\frac{du/0.02}{u} \\ =& \int\frac{1}{u}\frac{du}{0,02} \\ =& \frac{1}{0.02}\int\frac{1}{u}\, du \\ =& \frac{1}{0.02}\ln|u|+C_1\\ =& \frac{1}{0,02}\ln|0,02B-20|+C_1 \end{выравнивание*} \]

Интегрировать правую часть дифференциального уравнения проще: \[\int dt = t+C_2\] 9{0,02(10)}+1000\приблизительно \$3442,81. \]

Стоит отметить, что этот ответ не совсем правильный. Дифференциальные уравнения предполагают непрерывных изменений, и маловероятно, что проценты непрерывно начисляются или комиссия взимается непрерывно. Однако ответ, вероятно, близок к реальному ответу, а дифференциальные уравнения дают относительно простую модель сложной ситуации. {0.08t} &\qquad\text{Упростите обе стороны, используя приемы, которые мы использовали в примере с банком.} \end{выравнивание*} \] 9{0,08 т}. \]

Обратите внимание, что решение уравнения неограниченного роста является показательным уравнением.

Когда продукт активно рекламируется, продажи будут расти очень быстро, но в конце концов рынок достигнет насыщения, и продажи замедлятся. В этом типе роста, называемом ограниченным ростом , популяция растет со скоростью, пропорциональной расстоянию от максимального значения.

Ограниченный рост

Если величина растет со скоростью, пропорциональной расстоянию от максимального значения \(M\), ее можно смоделировать с ограниченным ростом, который имеет дифференциальное уравнение \[ y’=k(M-y), \] где \(k\) — константа, а \(M\) — максимальный размер \(y\).

Пример 7

Представлен новый сотовый телефон. По оценкам компании, они продадут 200 тысяч телефонов. Через 1 месяц они продали 20 тысяч. Сколько они продадут через 9 месяцев?

В этом случае есть максимальное количество телефонов, которые они рассчитывают продать, поэтому \(M = 200\) тысяч. Моделируя продажи \(y\) в тысячах телефонов, мы можем написать дифференциальное уравнение \[ y’=k(200-y). \]

Поскольку это был новый телефон, \( y(0)=0 \). Мы также знаем продажи через месяц, \( y(1)=20 \). 9{-0,105(9)}+200\около 122,26\текст{тыс. телефонов}. \]

Ограниченный рост также обычно используется для моделей обучения, поскольку при изучении нового навыка люди обычно сначала учатся быстро, а затем скорость их совершенствования замедляется по мере приближения к мастерству.

Раньше мы использовали неограниченный рост для моделирования населения, но часто население будет ограничено едой, пространством и другими ресурсами. Когда популяция растет как пропорционально ее размеру, так и относительно расстояния от некоторого максимума, это называется логистический рост . Это приводит к дифференциальному уравнению \(y’=ky(M-y)\), которое является точным, но не всегда удобным в использовании.