Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка: 44 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений

alexxlab / / Разное

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
  

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.

Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.

Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы.

Для студентов высших технических учебных заведений.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА XIII. (n) = f(x)
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
§ 28. Вынужденные колебания
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе XIII
ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Вычисление двойного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
§ 7. Вычисление площади поверхности
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
§ 11. Тройной интеграл
§ 12. Вычисление тройного интеграла
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле
§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе XIV
ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла
§ 3. Формула Грина
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
§ 5. Поверхностный интеграл
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла
§ 7. Формула Стокса
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе XV
ГЛАВА XVI. РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами
§ 4. Признак Даламбера
§ 5. Признак Коши
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 9. Функциональные ряды
§ 10. Мажорируемые ряды
§ 11. Непрерывность суммы ряда
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости
§ 14. Дифференцирование степенных рядов
§ 15. Ряды по степеням x-a
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена
§ 17. Примеры разложения функций в ряды
§ 18. Формула Эйлера
§ 19. Биномиальный ряд
§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 23. Уравнение Бесселя
§ 24. Ряды с комплексными членами
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения к главе XVI
ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
§ 8. Интеграл Дирихле
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
§ 11. Практический гармонический анализ
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
§ 13. Интеграл Фурье
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе XVII
ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Основные типы уравнений математической физики
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
§ 5. Распространение тепла в пространстве
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе XVIII
ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Начальная функция и ее изображение
§ 2. Изображение функций …
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
§ 4. Свойство линейности изображения
§ 5. Теорема смещения
§ 6. Изображение функций …
§ 7.
Дифференцирование изображения
§ 8. Изображение производных
§ 9. Таблица некоторых изображений
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
§ 11. Теорема разложения
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
§ 13. Теорема свертывания
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
§ 16. Исследование свободных колебаний
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
§ 19. Теорема запаздывания
§ 20. Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе XIX
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
§ 11. Функции от случайных величин
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
§ 21. Среднеарифметическая ошибка
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
§ 23. Двумерная случайная величина
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
§ 27. Задачи математической статистики. Статистический материал
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе XX
ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
§ 3. Обратное преобразование
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
§ 6. Обратная матрица
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
Упражнения к главе XXI
ПРИЛОЖЕНИЯ

Дифференциальные уравнения. Часть 1 | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ

Курс лекций «Дифференциальные уравнения» читается для студентов второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову.   Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка, теорема об альтернативе, периодические системы дифференциальных уравнений.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения и смежные определения Определение поля направлений Решение дифференциального уравнения Определение интегральной кривой  Примеры интегральной кривой Эквивалентность уравнения в дифференциалах и обычного дифференциального уравнения 

Лекция 2. Виды дифференциальных уравнений.
Продолжение доказательства с прошлой лекции Уравнение первообразной и его решение Теорема об общем решении интегрального уравнения Примеры интегралов Уравнение в полных дифференциалах и его свойства Автономные уравнения Определение точки единственности и существования

Лекция 3. Задача Коши.
Лемма о точках единственности Пример применения леммы к эксперименту с остыванием тела Пример применения леммы к эксперименту вытекание жидкости Уравнения с разделяющимися переменными и его решение Однородные уравнения и их решения Существование и единственность решений задачи Коши Эквивалентная задаче Коши задача

Лекция 4. Задача Коши.
Доказательство эквивалентности задач Обобщение теоремы Лагранжа на многомерное пространство

Лекция 5. Задача Коши.
Завершение доказательства теоремы об эквивалентности задач и пример применения Вариации условий теоремы существования и единственности Теорема глобального решения  Продолжаемость Лемма о продолжаемости решения и следствие из нее

Лекция 6. Системы дифференциальных уравнений.
Теорема о продолжаемости решения  Пример применения теоремы о продолжаемости решения  Линейная система дифференциальных уравнений Лемма об интегральном неравенстве (Гронуолла-Беллмана) Лемма о дифференциальном неравенстве  Доказательство теоремы о решении линейной системы

Лекция 7. Обобщенные дифференциальные уравнения.
Определение обобщенного дифференциального уравнения n-го порядка Каноническая замена и её свойства Теорема о изоморфности замены  Локальная теорема единственности уравнения n-го порядка Глобальная теорема единственности уравнения n-го порядка Теорема о продолжаемости решения уравнения n-го порядка Линейное неоднородное уравнение n-го порядка Существование и единственность непродолжаемости решение неоднородного уравнения Уравнения неразрешенные относительно производной Теорема существования и единственности уравнения неразрешенного относительно производной Определение дискриминантного множества Теорема о связи дискриминантного множества и особого решения

Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения.
Расширенная задача Коши Доказательство теоремы о связи дискриминантного множества и особого решения Нахождение дискриминантного множества для пример вытекания воды Уравнения колебаний маятника  Общая теория линейных дифференциальных уравнений Теорема об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Следствие из теоремы об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Оператор Коши Лемма о корректном определении оператора

Лекция 9. Методы решения дифференциальных уравнений.
Матрица решений дифференциального уравнения Лемма о свойствах матрицы решений Матрица Коши и ее свойства Удовлетворение оператора Коши задачи Коши Определитель Вронского Теорема об эквивалентности утверждений о линейной зависимости  Формула Ляувиля-Остроградского Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений Метод вариации постоянной 

Лекция 10. Краевая задача для уравнения второго порядка.
Доказательство эквивалентности уравнений Теорема об изоморфности множества решений неоднородного уравнения и n-мерного пространства и следствие из нее Следствие из теоремы Метод вариации постоянных Определитель Вронского для линейных уравнений Формула Ляувиля-Остроградского для линейных уравнений Теорема о фундаментальной системе решений для линейных дифференциальных уравнений Теорема о связи линейной зависимости и определителя Вронского Постановка краевой задачи для уравнения второго порядка Определение вырожденной и невырожденной краевой задачи

Лекция 11. Теорема об альтернативе.
Формулировка и доказательство теорема об альтернативе Нули решений однородного уравнения второго порядка Перемежающиеся нули решения Теорема о расположениях нулей однородного уравнения Теорема сравнения (Штурма) и следствия Лемма о приведении уравнения к более простому виду Примеры применения теоремы штурма Уравнение маятника

Лекция 12. Методы решения линейного дифференциального уравнения.
Определение экспоненты от матрицы Лемма о равномерной сходимости ряда экспоненты Теорема о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами  Следствия из теоремы о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами Расширение теоремы на комплексной плоскости Напоминание свойств жордановой клетки Вычисление экспоненты от матрицы Теорема о комплексных решениях  Определение векторного квазимногочлена

Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.
Теорема о методе неопределенных коэффициентов Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами Применение теоремы о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами для уравнения колебания маятника Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Определение резонанса кратности К Теорема о существовании и единственности решения в случае резонанса Применение теоремы к уравнению колебания маятника

Лекция 14. Периодические системы дифференциальных уравнений.
Определение периодических систем дифференциальных уравнений Определение оператора монодромии Определение мультприликатора Лемма о решениях периодических систем дифференциальных уравнений Задача о поиске периодических решениях Теорема о невырожденности задачи Определение логарифма от матрицы Логарифм от жордановой клетки Формулировка теоремы Флаке-Ляпунова

Численность, математика и статистика — набор академических навыков

Разделимые дифференциальные уравнения первого порядка

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Решение разделимых уравнений 3 Рабочие примеры 4 Видео примеры 5 Рабочая тетрадь 6 См. также 7 Внешние ресурсы

Определение

Первый порядок дифференциальное уравнение является разделимым , если его можно записать в одной из следующих форм:

\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= f(x ,y) = \frac{g(x)}{h(y)}, \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = f (x, y) = \ frac {h (y)} {g (x)}. \конец{выравнивание}\]

Решение уравнений с разделителями

Уравнение с разделителями решается путем разделения переменных, т. е. перестановки уравнения таким образом, что все, что включает $y$, появляется в одной части уравнения, а все, что включает $x$, — в другой. Тогда уравнение можно интегрировать напрямую.

Для уравнения вида:

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{g(x)}{h(y)},\]

умножение обеих частей на $h(y)\mathrm{d} x$ дает:

\[h(y)\mathrm{d} y = g(x) \mathrm{d} x,\]

, которые можно интегрировать напрямую:

\[\int h(y) \mathrm{d} y = \int g(x) \mathrm{d} x. \]

Это даст решение для $y(x)$.

Аналогично, уравнение в форме:

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{h(y)}{g(x)}\]

можно умножить на $\dfrac{\mathrm{d} x}{h(y)}$ и затем проинтегрировать:

\[\int \frac{\mathrm{d} y}{h(y)} = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {g (x)}, \]

93 + С’}. \end{align}\]

Примечание: Поскольку умножение произвольной константы на число дает произвольную константу, величина $2C$ может быть переименована в $C’$, другую произвольную константу.

Чтобы найти решение, удовлетворяющее условию $y(0)=2$, подставьте $x=0$ и $y=2$ в решение и найдите $C’$:

\[\begin{align} 2 &= \pm\sqrt{0+C’} \\ 2 &= \pm\sqrt{C’} \end{align}.\]

Ясно, что этого можно добиться, только взяв положительный квадратный корень. Тогда: 93+4}.\]

Примечание: Поскольку условие $y(0)=2$ выполняется только при извлечении положительного квадратного корня, решение верно только при извлечении положительного квадратного корня, поэтому $ Знак \pm$ больше не включается.

Пример 2

Решите дифференциальное уравнение

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{x+3}\]

условие $y(0)=1$.

Решение

Умножение обеих частей уравнения на $\mathrm{d} x$ дает

\[\frac{\mathrm{d} y}{y} = \frac{\mathrm{d} x}{x+3}.\]

Каждый термин, включающий $x$, теперь появляется справа- стороны, и каждый термин, включающий $y$, теперь появляется в левой части. Таким образом, каждую часть уравнения можно интегрировать напрямую:

\[\begin{align} \int \frac{\mathrm{d} y}{y} &= \int\frac{\mathrm{d} x}{ х+3}, \\ \ln\lvert y\rvert &= \ln\lvert x+3 \rvert + C. \end{align}\]

Чтобы найти решение, которое явно дает $y$, возведите обе части в степень, чтобы получить: 9С$. Поскольку $e$ — число, $e$, возведенное в постоянную степень, также является константой, и эту константу допустимо обозначать одной буквой $A$.

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения равно

\[y=A(x+3).\]

Чтобы найти решение, удовлетворяющее условию $y(0)=1$, подставьте $x=0$ и $y=1$ в решение и найти $A$:

\[1=A(0+3) \Rightarrow 3A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{3}. \]

Следовательно, решением данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию $y(0)=1$, является 92}{2+3x}$, при условии $y\left(-\dfrac{1}{3}\right)=0$.

Рабочая тетрадь

Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.

  • Дифференциальные уравнения первого порядка
См. также
  • Коэффициент интегрирования
  • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Внешние ресурсы
  • Решение дифференциальных уравнений путем разделения переменных рабочая тетрадь на математика центр.

Дифференциальные уравнения первого порядка — Calcworkshop