Примеры решений неопределенный интеграл: Примеры решений неопределенных интегралов

Содержание

Как правильно решить интегралы

Практическое применение интегралов в жизни

Реальный мир не идеален и не прямолинеен. В нем нет геометрических форм без изъяна, нет движения без ускорения. И зависимости между величинами редко представлены прямой линией. Поэтому вычисления не обходятся без интегралов.

Определение

Интеграл — важнейшее понятие математики. Связано с необходимостью отыскивать функции по их производным и измерять объемы и площади, работу сил за какой-либо промежуток времени.

Множество частных случаев из жизни делают интегрирование не просто полезным, а необходимым действием. Интеграл поможет:

рассчитать стоимость, изучив зависимость потребности от предложений;
вычислить время выполнения работы, с учетом усталости людей;
узнать, как изменяется долг по кредиту в течение времени;
определить прирост жителей города

Место интегралам нашлось не только в физико-математических науках, но и в астрономии, экономике, медицине, биологии и архитектуре.

Понимая практическую значимость интегралов, легче усвоить базовые понятия и применять их в решении задач.

Из истории интегрирования

Интегрирование рассматривается, как сложение бесконечно малых частей бесконечное количество раз.

Интегральный расчет получен при определении площадей и объемов. Правила измерения квадратуры были известны древним ученым. В Египте и Вавилоне вычисляли площади круга и объем усеченной пирамиды.

Значительный вклад внесли древнегреческие ученые. Первый метод интегрирования назвали «исчерпание» по аналогии с водой, которую черпают кружкой из ведра. В Древней Греции Архимед объяснил задачу вычисления площади круга без знаний о числе «Пи».

Описание метода

Для нахождения площади круга в него вписываются геометрические фигуры. Высчитывается предел последовательности площадей этих фигур, который и принимается за площадь круга.

Данный способ вычисления площади рассматривает идею интегрирования. То есть нахождения предела безграничной суммы. Метод нашел применение в решении прикладных задач в разных научных областях.

Ньютон и Лейбниц сформулировали теорию интегрирования опираясь на законы дифференциального исчисления. Чтобы разобраться в классической теории нужно получить базовые знания.

Смысл интегрирования заключается в двух видах задач: геометрических и аналитико-алгебраических. В первом случае находят площади фигур, во втором подсчитывают суммарное значение переменной величины, принимающей различные значение единиц времени, длины и других измерений.

Понятие «Интеграл» в простом изложении

Термин «интеграл» произошел от латинского integer, то есть «целостный». Данный термин предложил математик Лейбниц еще в 17 веке.

Определение

Интеграл – это сложение маленьких частей и даже обозначение ∫ представляет собой вытянутую s, что означает сумму.

Интеграл – первообразная функции. Интегрирование – определение первообразной.

В математике интеграл вычисляет площадь, ограниченную кривой линией. Неопределенный интеграл – это вся фигура. Определенный интеграл – площадь некоторой части.

Запись интеграла функции:

х – аргумент, его можно заменить любой другой переменной, в отношении которой будет осуществляться интегрирование. d – бесконечно малое число. Сочетание «dx» называют приращением и рассматривают, как бесконечно малый «икс».

На рисунке криволинейная трапеция разбита на столбцы шириной х, число столбцов – d.

Неопределённый интеграл

Определение

Неопределенный интеграл – это сумма всех первообразных данной функции, которая не имеет границ интегрирования.

Сумма F(x)+C всех первоначальных функций f(x) на интервале а< x<b является неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается ∫f(x)dx .

Если функция F(x) является первообразной для f(x) , то по определению

∫ f(x)dx = F(x)+C

∫ — знак интеграла, f(x)dx — подынтегральное выражение, f(x) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — произвольная постоянная. {b} f(x) d x \]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры вычисления интегралов

Найти неопределенный интеграл.

Часто при решении используют тригонометрические формулы.

Решение определенного интеграла.

Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления интегралов:

Пример 1.

Пример 2.

Словарь базовых понятий.

Для понимания сути интеграла необходимо разбираться в базовых понятиях: функция, производная, приращение, предел.

Функция – отношение между элементами, где изменение одного элемента, повлечёт изменение другого.

Производная – функция, которая описывает скорость трансформации второй функции в каждой данной точке. Вторая функция называется первообразной. По сути — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Высчитывание проводят, используя таблицу производных со стандартными функциями.

Приращение – количественная степень изменения функции при вероятном изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремится значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Решение задач с интегралами могут показаться сложными. Выполнение практических заданий поможет преодолеть трудности.

Решение интегралов сводится к простым видоизменениям подынтегральной функции и поиску её в таблице интегралов.

Мы также можем отметить, что интегралы играют не последнюю роль в нашей жизни. В Биологических науках, к примеру, при их помощи узнают прирост популяции видов, в медицине используют в различных исследованиях, например, в томографии, в астрономии рассчитывают передвижение космических объектов и многое другое. Да и вообще трудно найти область, в которой не применяются данные методы вычисления.

Неопределенный интеграл: значение и расчет

Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.

В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.

Определение неопределенного интеграла

Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:

\[ F'(х) = f(х). \]

Итак, при чем тут неопределенный интеграл?

Ну, это используется для обозначения всего семейства первообразных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.

Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:

\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]

, где \(C\) — любая константа.

Обратите внимание:

\( \int \) называется интегральным символом переменная интегрирования ,
\( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).

Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».

Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:

интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).

Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \). {2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).

Формула неопределенного интеграла

Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.

При этом суть нахождения неопределенного интеграла функции состоит в обратном выполнении уже известных вам правил дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла

Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.

Свойство суммы/разности :

\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]

Постоянное кратное свойство :

\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

Доказательства свойств Неопределенный интеграл

В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
Теперь попробуйте найти первообразную \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]

Правила нахождения неопределенных интегралов

По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.

Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.

T Постоянное правило Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \). Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).
- Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.
- Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]
- Правило синусов
  \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]
- Правило косинуса
  \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]
- Правило косеканса
  \[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]
- Секущее правило
  \[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:
  \[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]
  Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать
  Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?
  Что это значит?
  Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению. Другими словами, так же, как и с производными:
  - Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]
  Вместо:
  - правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и
  - цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.
  Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \(f\) и \(g\) можно записать частное двух функций в виде произведения:
  \[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]
  Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям. 9{2}} ~\mathrm{d}x \]
  и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.
  Вычисление неопределенного интеграла
  Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.
  Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла
  1. Определите, какие свойства и правила применяются.
  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
  3. Используйте выбранные вами правила.
  4. Добавьте константу интегрирования.
  5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).
  Неопределенные интегралы Примеры
  В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.
  Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]
  Ответ :
  1. Определите, какие свойства и правила применяются.
  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
    1. Применение правила суммы/разности для интегралов.
    2. Применение правила постоянного кратного для интегралов.
    3. Применение правила степени для интегралов.
  3. 9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]
  4. Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
- Применение правила суммы/разности.
- Применение правила мощности.
Используйте выбранные вами правила.

Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций в подынтегральном выражении может значительно упростить задачу.

Вычислить

\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]

Ответ :

Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Используйте выбранные вами правила.
Добавьте константу интегрирования.
\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]
Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = — \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = — (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]

Неопределенный интеграл – основные выводы

Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) — любая константа.
Вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются следующим образом:
Свойство суммы/разности: \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d} x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
Постоянное кратное свойство:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm {г}х \]
В большинстве случаев правила нахождения неопределенного интеграла функции обратны правилам нахождения производных.
Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x ) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x) }{g (x)} ~ \ mathrm {d} x &\ neq \ frac {\ int f (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int g (x) ~ \ mathrm {d} x} \ конец {выравнивание} \]
Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла:
Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Используйте выбранные вами правила.
Добавьте константу интегрирования.
Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

Неопределенный интеграл (первообразная): определение, примеры

Содержание:

Определение
Константа интегрирования: зачем добавлять (+C)?
Неопределенные интегральные правила:
Несколько общих правил неопределенных интегралов
Правило суммы
Правило умножения
Линейная замена
Тригонометрические функции
Силовые функции
См. также:
Интегрирование по частям
Теорема о чистом изменении
Неопределенные интегралы (также называемые первообразные ) не имеют пределов/границ интегрирования, а определенные интегралы имеют границы .

Когда вы находите неопределенный интеграл, вы всегда добавляете к решению «+ C» (называемый постоянной интегрирования ). Это потому, что у вас может быть много решений , каждое из которых является набором всех вертикальных преобразований первообразной.

Например, первообразная 2x равна x ² + C, где C — константа. Производная константы равна нулю, поэтому C может быть любой константой, положительной или отрицательной. Четыре первообразные 2х равны х ² + 1, х ² -1, х ² + 2 или х ² – 2.
Решение с константой интегрирования (+ C).
Иными словами, неопределенный интеграл не имеет пределов, поэтому вы находите наборов интегралов (а не только один конкретный). «+ C» указывает на то, что решение действительно имеет бесконечные возможности.
Если это звучит странно, вы на самом деле использовали подобную технику в алгебре, когда ставили k для константы (например, f(x) = k * sin(x)): вы сообщаете читателю, что существует множество возможных значений.
Другой способ взглянуть на это: «C» представляет собой неопределенность в вашем решении.

Почему константа интегрирования необходима для неопределенного интеграла?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим базовую функцию:
f(x) = 3x ²
Предположим, что это ответ на задачу интегрирования. Интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию (поэтому неопределенные интегралы также называют первообразными), поэтому вы пытаетесь найти функцию F(x), первая производная которой равна 3×9.0662 2 :
F ^′ (x) = 3x ²
Какая функция имеет первую производную от 3x ² ? Одним из решений является x ³ . Используя правило дифференцирования показателей, получаем
3x ^{(3 – 1)}
3x ²
Но это не единственное решение. Добавление константы к решению никак не меняет его, потому что производная константы равна нулю.
Другими словами, у вас может быть бесконечное количество решений, например:
3x ² + 9
3x ² + .09
3x ² + π
3x ² + 3/2
3x ² – 8629862394629834
3x ² – 9
Поскольку невозможно записать все бесконечные решения, мы просто вставляем константу интегрирования в качестве заполнителя и скажем 3x ² + C.
Теорема о постоянной разности
Приведенный выше пример показал, что кратные производные одна и та же функция отличается только одной константой C, которая может равняться нулю. Теорема о постоянной разности использует этот факт, а также разность двух функций:
Если f и g дифференцируемы на интервале и если f ^′ (x) = g′(x) для всех x в этом интервале, то f – g постоянна на интервале; то есть существует константа k такая, что f(x) – g(x) = k или, что то же самое,
f(x) = g(x) + k
для всех x в интервале. (Антон и др., 2012).
Неопределенные интегральные правила
Неопределенные интегралы могут существовать или не существовать, но когда они существуют, существуют некоторые общие правила, которым вы можете следовать, чтобы упростить процедуру интегрирования.
∫m dx = mx + c для любого числа m.
∫x ⁿ dx = ¹ ⁄ _{n + 1} x ^{x + 1} + c, если n ≠ –1.
∫ ¹ ⁄ _x dx = ln |x| + c, для x ≠ 0,
∫sin x dx = −cos x + c
∫cos x dx = sin x + c
∫e ^x dx = e ^x + c
Интеграл от суммы двух функций является суммой их отдельных интегралов:
Сложение : ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Вычитание : ∫[f(x) − g(x)]dx = ∫f(x)dx − ∫g(x)dx
Однако обратите внимание, что это правило не говорит вам, как находить отдельные интегралы. Для этого вам придется обратиться к правилам, специфичным для функций (таким как интегральное правило или тригонометрические правила).
Пример задачи: Найти ∫ cos x + x dx
Разделить интегралы: ∫cos x + x dx = ∫cos x dx + ∫x dx
Найдите индивидуальные решения:
∫cos x = sin x
∫x = = sin x + x ² /2 + C (см.: правило интегрирования степенной функции )
Решение = sin x + x ² /2 + C
См.: Правило суммы: определение и примеры для пары пошаговых примеров.
Любой постоянный коэффициент может быть перемещен за пределы символа интегрирования:
∫ax ndx = a∫xn dx для любой константы «a».
Аналогично,

∫[af(u) + bg(u)]du = a = ∫ f(u) du + b ∫g(u) du
Если F′(x) = f(x), то для любого m ≠ 0,
∫f(mx + b)dx = ¹ ⁄ _m F(mx + b) + c
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x = -cos x + C
∫ sec ² x dx
∫ csc ² x dx = -cot x + C
∫ sec x tan x 1dx 906 ∫ csc x стоимость x dx
Наверх
Неопределенные интегралы от
степенных функций
Следующее общее правило для интегрирования степенных функций вида
f(x) = x ⁿ (n ≠- 1):
На самом деле это проще, чем кажется — все, что говорит формула, это добавить единицу к степени, разделите на эту степень, а затем добавьте «C» для константы.
Примеры задач:
Пример задачи №1: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для 20x ³
Шаг 1:
Увеличение мощности на 1 :
20x ³ = 20x ⁴
Шаг 2: Разделите на новую степень , полученную на шаге 1:
20x ⁴ = ²⁰ ⁄ ₄ x ⁴ = 5x ⁴
3
Шаг 3: Добавить «C» :
5x ⁴ + С
Пример задачи №2: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для 3x ⁸

Шаг 1: Увеличение мощности на 1 :
3x ⁸ = 3x ⁹
Шаг 2: Разделите на новую степень , полученную на шаге 1:
³ ⁄ ₉ x ⁹ = ¹ ⁄ _{0 6 6 30}
x ^{2 Шаг 3: Добавить «C» :
¹ ⁄ ₃ x ⁹ + С
Пример задачи №3: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для х сам по себе — в этом случае 6 становится 6x
0} ).
x ⁴ + 6x ⁰ = x ⁵ + 6x ¹
Шаг 2: Разделить на новые силы you calculated in Step 1:
^{x ⁵} ⁄ ₅ + ^{6x ¹} ⁄ ₁ = ¹ ⁄ ₅ x ⁵ + 6x ¹
Шаг 3: Добавить «C» :
¹ ⁄ ₅ x ⁵ + 6x ¹ + C
Вот и все!
Совет: Прибавляя 1 к своей степени, помните, что x становится x ¹ , а константа становится этой константой плюс x ⁰ . For example, 6x ¹⁰ + 17x + 9 becomes 6x ¹⁰ + 17x ¹ + 9x ⁰ before
you add the power and 6x ¹¹ + 17x ² + 9x ¹ after вы добавляете один.
Вернуться к началу
Другие ссылки
Антон Х.
No related posts.