Примеры решения комплексных чисел: Комплексные числа, примеры с решением

{\circ}$

Задача 19

Выполните следующую действия
$(5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)$ и запишите результат в тригонометрической форме.

$7\sqrt{2}\angle(n\pi +\frac{3}{4}\pi)$

$-7+7i$

$\sqrt{2}\angle(n\pi +\frac{3}{4}\pi)$

$n\pi +\frac{3}{4}\pi$

Задача 20

Найти расстояние между комплексными числами $z=2-3i$ и $w=-3+2i$.

$5\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{5}$

$3\sqrt{2}$

Задача 21

Какова средняя точка отрезка, образованного $z=6-3i$ и $w=2+5i$ ?

8+8i

4+i

4+2i

4

Задача 22

Пусть $s$ будет суммой комплексных чисел
$z=2+3i$ и $w=1-4i$ и пусть $r$ явлется разностью этих чисел.

Найти среднюю точку между $s,r$.

Задача 23

Если $z=2-i$ и $w=-3+2i$, то какова средняя точка между $2z$ и $\overline{w}$ ?

$\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}i$

$-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$

$-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

Задача 24

Если $z=2-i$, $w=5+i$, $t=-3+2i$, то что из нижеперечисленного равно $\frac{2z}{w-t}$ ?

$12+34i$

$34+12i$

$34-12i$

$12-34i$

Задача 25

Если $z=2-i$, $w=5+i$, $t=-3+2i$, то что из нижеперечисленного равно $\overline{(w\cdot t)-3z}$?

$23+10i$

$-23+10i$

$23-10i$

$-23-10i$

Прислать задачу

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Деление комплексных чисел, теория и примеры решений

Содержание:

• Деление комплексных чисел в алгебраической форме
• Деление комплексных чисел в геометрической форме

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется число $z$, которое задается соотношением:

$z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i$

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
2. в числителе умножают два комплексных числа;
3. полученную дробь почленно делят. {2}}=$

   $=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

   Ответ. $\frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

   Деление комплексных чисел в геометрической форме

   Если надо поделить комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ в геометрической форме: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)}{\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)}$ , то искомое число

   $z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\left[\cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\right]$

   То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

   236

   проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

   Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

   Пример

   Задание. Найти частное $\frac{z_{1}}{z_{2}}$, если $z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$, а $z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}$

   Решение. Искомое частное

   $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=$

   $=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=$

   $=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i$

   Ответ. $\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i$

   Читать дальше: возведение комплексного числа в степень.

   Алгебра — комплексные числа

   Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

   Мобильное уведомление

   Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 1.7: Комплексные числа

   Последняя тема в этом разделе на самом деле не связана с большей частью того, что мы сделали в этой главе, хотя, как мы увидим, она в некоторой степени связана с разделом радикалов. Нам также не понадобится этот материал так часто в оставшейся части этого курса, но есть пара разделов, в которых он нам понадобится, поэтому лучше убрать его с дороги на этом этапе.

   В разделе радикалов мы отметили, что мы не получим действительное число из квадратного корня из отрицательного числа. Например, \(\sqrt { — 9} \) не является действительным числом, поскольку нет никакого реального числа, которое мы могли бы возвести в квадрат и получить ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ 9.

   Теперь мы также видели, что если \(a\) и \ (b\) оба были положительными, тогда \(\sqrt {ab} = \sqrt a \,\sqrt b \). На секунду забудем об этом ограничении и сделаем следующее.

   \[\ sqrt { — 9} = \ sqrt {\ влево ( 9 \ вправо) \ влево ( { — 1} \ вправо)} = \ sqrt 9\sqrt {- 1} = 3\sqrt {- 1} \]

   Итак, \(\sqrt { — 1} \) не является действительным числом, но если подумать, мы можем сделать это для любого квадратного корня из отрицательного числа. Например,

   \[\begin{align*}\sqrt { — 100} & = \sqrt {100} \sqrt { — 1} = 10\sqrt { — 1} \\ \sqrt { — 5} & = \sqrt 5 \, \,\sqrt { — 1} \\ \sqrt { — 290} & = \sqrt {290} \,\,\sqrt { — 1} \hspace{0.25in}и т. д.\end{align*}\]

   Таким образом, даже если число не является полным квадратом, мы всегда можем уменьшить квадратный корень из отрицательного числа до квадратного корня из положительного числа (с которым мы или калькулятор можем справиться), умноженное на \(\sqrt {- 1} \).

   Итак, если бы у нас был способ работать с \(\sqrt { — 1} \), мы могли бы работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что ж, реальность такова, что на этом уровне просто нет способа справиться с \(\sqrt { — 1} \), поэтому вместо того, чтобы иметь дело с ним, мы, так сказать, «заставим его уйти», используя следующее определение.

   \[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px сплошной черный]{{i = \sqrt { — 1} }}\]

   Обратите внимание, что если возвести в квадрат обе стороны, мы получим 92} = — 1}}\]

   Это важно запомнить позже. Это показывает, что в некотором роде \(i\) — единственное «число», которое мы можем возвести в квадрат и получить отрицательное значение.

   Используя это определение, все приведенные выше квадратные корни становятся

   \[\begin{align*}\sqrt { — 9} & = 3\,i & \hspace{0.5in}\sqrt {- 100} & = 10\,i\\ \sqrt {- 5} & = \ sqrt 5 \,i & \hspace{0. 5in} \sqrt {- 290} & = \sqrt {290} \,i\end{align*}\]

   Это все примеры комплексных чисел .

   В этот момент возникает естественный вопрос: зачем нам это? Ответ заключается в том, что, как мы увидим в следующей главе, иногда мы будем сталкиваться с квадратными корнями из отрицательных чисел, и нам понадобится способ с ними справиться. Итак, чтобы разобраться с ними, нам нужно будет обсудить комплексные числа.

   Итак, давайте начнем с некоторых основных определений и терминологии комплексных чисел. стандартная форма комплексного номера

   \[а + би\]

   где \(a\) и \(b\) — действительные числа, и они могут быть любыми, положительными, отрицательными, нулями, целыми, дробными, десятичными, это не имеет значения. Когда в стандартной форме \(a\) называется

   действительной частью комплексного числа, а \(b\) называется мнимой частью комплексного числа.

   Вот несколько примеров комплексных чисел.

   \[3 + 5i\hspace{0.25in}\,\,\,\,\sqrt 6 — 10i\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} + i\, \,\,\,\,\,\,16i\,\,\,\,\,\,\,\,\,113\]

   Последние два, вероятно, нуждаются в небольшом пояснении. Вполне возможно, что \(а\) или \(b\) могут быть равны нулю, и поэтому в 16\(i\) действительная часть равна нулю. Когда действительная часть равна нулю, мы часто будем называть комплексное число чисто мнимым числом . В последнем примере (113) мнимая часть равна нулю, а на самом деле мы имеем действительное число. Итак, думая о числах в этом свете, мы можем видеть, что действительные числа — это просто подмножество комплексных чисел.

   Конъюгат комплексного числа \(a + bi\) является комплексным числом \(a — bi\). Другими словами, это исходное комплексное число с измененным знаком мнимой части. Вот несколько примеров комплексных чисел и их сопряженных.

   \[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mbox{комплексное число}}}&{\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{сопряженное}}}\\{3 + \frac{ 1}{2}i}&{\hspace{0. 25in}3 — \frac{1}{2}i}\\{12 — 5i}&{\hspace{0.25in}12 + 5i}\\{1 — i}&{\hspace{0.25in}1 + i}\\{45i}&{\hspace{0.25in} — 45i}\\{101}&{\hspace{0.25in}101}\end{массив }\hspace{0,25 дюйма}\]

   Обратите внимание, что сопряженное вещественное число представляет собой само себя без изменений.

   Теперь нам нужно обсудить основные операции над комплексными числами. Начнем со сложения и вычитания. Самый простой способ думать о сложении и/или вычитании комплексных чисел — думать о каждом комплексном числе как о многочлене и выполнять сложение и вычитание так же, как мы складываем или вычитаем многочлены.

   Пример 1 Выполните указанную операцию и запишите ответы в стандартной форме.

   1. \(\влево( { — 4 + 7i} \вправо) + \влево( {5 — 10i} \вправо)\)
   2. \(\влево( {4 + 12i} \вправо) — \влево( {3 — 15i} \вправо)\)
   3. \(5i — \влево({- 9 + i} \вправо)\)

   Показать решение

   Здесь особо нечего делать, кроме добавления или вычитания. Обратите внимание, что круглые скобки в первых терминах нужны только для того, чтобы указать, что мы думаем об этом термине как о комплексном числе, и в общем случае не используются.

   a \(\left( { — 4 + 7i} \right) + \left( {5 — 10i} \right) = 1 — 3i\)

   b \(\left( {4 + 12i} \right ) — \left( {3 — 15i} \right) = 4 + 12i — 3 + 15i = 1 + 27i\)

   c \(5i — \left( { — 9 + i} \right) = 5i + 9 — i = 9 + 4i\)

   Далее рассмотрим умножение. Опять же, с одним небольшим отличием, вероятно, проще всего думать о комплексных числах как о многочленах, поэтому умножайте их, как многочлены. Единственное отличие появится на последнем шаге, как мы увидим.

   Пример 2 Умножьте каждое из следующих чисел и запишите ответы в стандартной форме.

   1. \(7i\влево( { — 5 + 2i} \вправо)\)
   2. \(\влево( {1 — 5i} \вправо)\влево( { — 9 + 2i} \вправо)\)
   3. \(\влево({4+i}\вправо)\влево({2+3i}\вправо)\)
   4. \(\влево( {1 — 8i} \вправо)\влево( {1 + 8i} \вправо)\)

   Показать все решения Скрыть все решения

   a \(7i\left( { — 5 + 2i} \right)\) Показать решение 92} = — 1\]

   Используя это, мы получаем,

   \[7i\влево( { — 5 + 2i} \вправо) = — 35i + 14\влево( { — 1} \вправо) = — 14 — 35i\]

   Мы также изменили порядок, чтобы реальная часть шла первой. 2}\). 92}}}\]

   Теперь мы дали эту формулу с комментарием, что она будет удобна при делении комплексных чисел, так что давайте рассмотрим пару примеров.

   Пример 3 Запишите каждое из следующих утверждений в стандартной форме.

   1. \(\displaystyle \frac{{3 — i}}{{2 + 7i}}\)
   2. \(\displaystyle \frac{3}{{9 — i}}\)
   3. \(\displaystyle \frac{{8i}}{{1 + 2i}}\)
   4. \(\displaystyle \frac{{6 — 9я}}{{2и}}\)

   Показать все решения Скрыть все решения

   Показать обсуждение

   Итак, в каждом случае мы действительно рассматриваем деление двух комплексных чисел. Однако основная идея здесь заключается в том, что мы хотим записать их в стандартной форме. Стандартная форма не позволяет никаким \(i\) стоять в знаменателе. Итак, нам нужно получить \(i\) из знаменателя.

   На самом деле это довольно просто, если вспомнить, что комплексное число, умноженное на его сопряженное, является действительным числом. Итак, если мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, мы сможем исключить \(i\) из знаменателя. 92}}} = \frac{{16 + 8i}}{5} = \frac{{16}}{5} + \frac{8}{5}i\]

   d \(\displaystyle \frac{{6 — 9i}}{{2i}}\) Показать решение

   Этот немного отличается от предыдущих, так как знаменатель является чисто мнимым числом. Это можно сделать так же, как и предыдущие, но есть немного более простой способ решить задачу.

   Сначала разбейте дробь следующим образом.

   \[\фракция{{6 — 98} & = 1\конец{выравнивание*}\]

   Вы видите узор? Все степени if \(i\) можно свести к одному из четырех возможных ответов, и они повторяются через каждые четыре степени. Это может быть удобным фактом для запоминания.

   Далее нам нужно решить проблему с квадратными корнями из отрицательных чисел. Из раздела о радикалах мы знаем, что можем сделать следующее.

   \[6 = \sqrt {36} = \sqrt {\left( 4 \right)\left( 9 \right)} = \sqrt 4 \,\sqrt 9= \влево( 2 \вправо)\влево( 3 \вправо) = 6\]

   Другими словами, мы можем разложить произведение квадратного корня на произведение квадратных корней, если оба числа положительны.

   Оказывается, мы можем сделать то же самое, если одно из чисел отрицательное. Например,

   \[6i = \sqrt { — 36} = \sqrt {\left( { — 4} \right)\left( 9 \right)} = \sqrt { — 4} \,\sqrt 9 = \left( {2i } \вправо)\влево( 3 \вправо) = 6i\] 92} = — 6\]

   Мы можем обобщить это как набор правил. Если \(a\) и \(b\) оба положительные числа, то

   \[\begin{align*}\sqrt a \,\sqrt b & = \sqrt {ab} \\ \sqrt { — a} \,\sqrt b & = \sqrt { — ab} \\ \sqrt a \ , \ sqrt { — b} & = \ sqrt { — ab} \\ & \\ \ sqrt { — a} \, \ sqrt { — b} & \ ne \ sqrt {\ left ( { — a} \ right) \left( { — b} \right)} \end{align*}\]

   Почему это так важно, чтобы об этом беспокоиться? Рассмотрим следующий пример.

   Пример 4 Умножьте следующие числа и запишите ответ в стандартной форме. \[\left( {2 — \sqrt { — 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { — 36} } \right)\]

   Показать решение

   Если бы мы умножили это в его нынешней форме, мы бы получили

   \[\left( {2 — \sqrt { — 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { — 36} } \right) = 2 + 2\sqrt { — 36} — \sqrt { — 100 } — \sqrt { — 36} \, \sqrt { — 100} \]

   Теперь, если бы мы не были осторожны, мы, вероятно, объединили бы два корня в последнем члене в один, что невозможно!

   Итак, есть общее практическое правило при работе с квадратными корнями из отрицательных чисел. Столкнувшись с ними, первое, что вы всегда должны делать, это преобразовать их в комплексные числа. Если мы будем следовать этому правилу, мы всегда получим правильный ответ.

   Итак, давайте решим эту задачу так, как надо. 2} = 62 + 2i\]

   Эмпирическое правило, данное в предыдущем примере, достаточно важно, чтобы повторить его снова. Столкнувшись с квадратными корнями из отрицательных чисел, первое, что вы должны сделать, это преобразовать их в комплексные числа.

   Есть еще одна тема, которую нам нужно затронуть, прежде чем покинуть этот раздел. Как мы уже отмечали в разделе о радикалах, хотя \(\sqrt 9 = 3\) на самом деле есть два числа, которые мы можем возвести в квадрат, чтобы получить 9. Мы можем возвести в квадрат и 3, и -3.

   То же справедливо и для квадратных корней из отрицательных чисел. Как мы видели ранее \(\sqrt { — 92} = — 9\]

   и поэтому, если возвести в квадрат -3\(i\), мы также получим -9. Итак, при извлечении квадратного корня из отрицательного числа на самом деле есть два числа, которые мы можем возвести в квадрат, чтобы получить число под радикалом. Однако мы ВСЕГДА будем брать положительное число в качестве значения квадратного корня точно так же, как мы делаем это с квадратным корнем из положительных чисел.

   Введение в комплексные числа и комплексные решения

   Это «Введение в комплексные числа и комплексные решения», раздел 9..6 из книги Начальная алгебра (v. 1.0). Для получения подробной информации об этом (включая лицензирование) нажмите здесь.

   Для получения дополнительной информации об источнике этой книги или о том, почему она доступна бесплатно, посетите домашнюю страницу проекта. Там вы можете просматривать или скачивать дополнительные книги. Чтобы загрузить ZIP-файл с этой книгой для использования в автономном режиме, просто нажмите здесь.

   Помогла ли вам эта книга? Рассмотрите возможность передачи:

   Помощь Creative Commons

   Creative Commons поддерживает свободную культуру от музыки до образования. Их лицензии помогли сделать эту книгу доступной для вас.

   Помогите государственной школе

   DonorsChoose.org помогает таким людям, как вы, помогать учителям финансировать их школьные проекты, от художественных принадлежностей до книг и калькуляторов.

   9.6 Введение в комплексные числа и комплексные решения

   Цели обучения

   1. Выполнение операций с комплексными числами.
   2. Решите квадратные уравнения с комплексными решениями.

   Знакомство с комплексными числами

   До этого момента квадратный корень из отрицательного числа оставался неопределенным. Например, мы знаем, что −9не является реальным числом.

   Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат дает отрицательное число. Мы начнем решение этого вопроса с определения воображаемой единицы, определяемой как i=-1 и i2=-1., i , как квадратный корень из -1.

   Чтобы выразить квадратный корень из отрицательного числа через мнимую единицу i , мы используем следующее свойство, где a представляет любое неотрицательное действительное число:=3i, то можно было бы ожидать, что 3 i в квадрате равно −9:

   . Следовательно, квадратный корень любого отрицательного действительного числа можно записать в терминах мнимой единицы. Такие числа часто называют мнимыми числами. Квадратные корни любых отрицательных действительных чисел.

   а. −4

   б. −5

   в. −8

   Решение:

   а. −4=−1⋅4=−1⋅4=i⋅2=2i

   б. −5=−1⋅5=−1⋅5=i5

   c. −8=−1⋅4⋅2=−1⋅4⋅2=i⋅2⋅2=2i2

   Обозначение Примечание

   Если мнимое число содержит радикал, поместите i перед радикалом. Рассмотрим следующее:

   2i2=22i

   Поскольку умножение коммутативно, эти числа эквивалентны. Однако в форме 22i воображаемая единица i часто неверно истолковывается как часть подкоренного числа. Чтобы избежать этой путаницы, рекомендуется размещать i перед радикалом и используйте 2i2.

   Комплексное числоЧисла вида a+bi, где a и b — действительные числа. — любое число вида

   , где a и b — действительные числа. Здесь a называется действительной частью Действительное число a комплексного числа a+bi. а b называется мнимой частью. Действительное число b комплексного числа a+bi.. Например, 3−4i — это комплексное число, имеющее действительную часть 3 и мнимую часть −4. Важно отметить, что любое действительное число также является комплексным числом. Например, действительное число 5 также является комплексным числом, потому что его можно записать как 5+0i с действительной частью 5 и мнимой частью 0. Следовательно, набор действительных чисел, обозначенный R — это подмножество набора комплексных чисел, обозначаемое C .

   Сложение и вычитание комплексных чисел аналогично сложению и вычитанию одинаковых членов. Добавьте или вычтите действительные части, а затем мнимые части.

    

   Пример 2: Добавить: (3−4i)+(2+5i).

   Решение: Добавьте действительные части, а затем добавьте мнимые части.

   Ответ: 5+i

    

   Чтобы вычесть комплексные числа, вычтите действительные части и вычтите мнимые части. Это согласуется с использованием распределительного свойства.

    

   Пример 3: Вычесть: (3−4i)−(2+5i).

   Решение: Распределите отрицательное, а затем соедините одинаковые члены.

   Ответ: 1−9i

    

   Распределительное свойство также применяется при умножении комплексных чисел. Воспользуйтесь тем фактом, что i2=−1, чтобы преобразовать результат в стандартную форму: a+bi.

    

   Пример 4: Умножьте: 5i(3−4i).

   Решение: Начните с применения свойства распределения.

   Ответ: 20+15i

    

   Пример 5: Умножьте: (3−4i)(4+5i).

   Решение:

   Ответ: 32−i

    

   Для заданного комплексного числа a+bi его комплексно-сопряженных двух комплексных чисел, действительные части которых совпадают, а мнимые части противоположны. Если дано a+bi, то его комплексно-сопряженным является a−bi. это а-би. Далее мы исследуем произведение комплексных сопряженных чисел.

    

   Пример 6: Умножьте: (3−4i)(3+4i).

   Решение:

   Ответ: 25

    

   В общем случае произведение комплексно-сопряженных чиселДействительное число, которое получается в результате умножения комплексно-сопряженных чисел: (a+bi)(a−bi)=a2+b2. следует:

   Обратите внимание, что результат не включает воображаемую единицу; значит результат реальный. Это приводит нас к очень полезному свойству:

   Чтобы разделить комплексные числа, мы применяем метод, используемый для рационализации знаменателя. Умножить числитель и знаменатель (делимое и делитель) на сопряженное знаменателю. Затем результат можно преобразовать в стандартную форму a+bi.

    

   Пример 7: Разделить: 11−2i.

   Решение: В этом примере сопряжение знаменателя равно 1+2i. Умножьте на 1 в виде (1+2i)(1+2i).

   Чтобы выразить это комплексное число в стандартной форме, запишите каждый член над общим знаменателем 5.

   Ответ: 15+25i

    

   Пример 8: Разделите: 3−4i3+2i.

   Решение:

   Ответ: 113−1813i

    

   Попробуйте это! Разделить: 5+5i1−3i.

   Ответ: −1+2i

   Решение для видео

   (нажмите, чтобы посмотреть видео)

   Квадратные уравнения с комплексными решениями

   Теперь, когда комплексные числа определены, мы можем завершить изучение решений квадратных уравнений. Часто решения квадратных уравнений не являются реальными.

    

   Пример 9: Решите по квадратичной формуле: x2−2x+5=0

   Решение: Начните с идентификации a , b и c . Здесь

   Подставляем эти значения в квадратичную формулу и упрощаем.

   Проверьте эти решения, подставив их в исходное уравнение.

   Ответ: Решения 1−2i и 1+2i.

    

   Уравнение не может быть приведено в стандартной форме. Общие шаги решения с использованием квадратичной формулы показаны в следующем примере.

    

   Пример 10: Решите: (2x+1)(x−3)=x−8.

   Решение:

   Шаг 1: Запишите квадратное уравнение в стандартной форме.

   Шаг 2: Определите a , b и c для использования в квадратичной формуле. Здесь

   Шаг 3: Подставьте соответствующие значения в квадратную формулу и затем упростите.

   Ответ: Решение 32±12i. Проверка необязательна.

    

   Пример 11: Решите: x(x+2)=−19.

   Решение: Начните с переписывания уравнения в стандартной форме.

   Здесь a=1, b=2 и c=19. Подставьте эти значения в квадратичную формулу.

   Ответ: решения равны −1−3i2 и −1+3i2.

   Обозначение Примечание

   Рассмотрим следующее:

   −1+3i2=−1+32i

   Оба числа эквивалентны, и −1+32i имеет стандартную форму, где действительная часть равна −1, а мнимая часть равна 32. , Однако это число часто выражается как -1 + 3i2, даже если это выражение не в стандартной форме. Опять же, это делается для того, чтобы избежать возможности неверного истолкования мнимой единицы как части подкоренного числа.

    

   Попробуйте! Решите: (2x+3)(x+5)=5x+4.

   Ответ: −4±i62=−2±62i

   Решение для видео

   (нажмите, чтобы посмотреть видео)

   Ключевые выводы

   • Результатом сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел является комплексное число.
   • Используйте комплексные числа для описания решений квадратных уравнений, которые не являются действительными.

   Тематические упражнения

   Часть A: Знакомство с комплексными числами

   Переписать в терминах i .

   1. −64

   2. −81

   3. −20

   4. −18

   5. −50

   6. −48

   9,0 −003 7

   4 8. −− 8

   9. −14

   10. −29

   Выполнить операции.

   11. (3+5i)+(7−4i)

   12. (6−7i)+(−5−2i)

   13. (−8−3i)+(5+2i)

   14. (−10+15i)+(15−20i)

   15. (12+34i)+(16−18i)

   16. (25−16i)+(110−32i)

   17. (5+2i)−(8−3i)

   18. ( 7−i)−(−6−9i)

   19. (−9−5i)−(8+12i)

   20. (−11+2i)−(13−7i)

   21. (114+ 32i)−(47−34i)

   22. (38−13i)−(12−12i)

   23. 2i(7−4i)

   24. 6i(1−2i)

   25. −2i( 3−4i)

   26. −5i(2−i)

   27. (2+i)(2−3i)

   28. (3−5i)(1−2i)

   29. (1− i)(8−9i)

   30. (1+5i)(5+2i)

   31. (4+3i)2

   32. (2−5i)2

   33. (4−2i)(4+2i)

   34. (6+5i)(6−5i)

   35 .(12+23i)(13−12i)

   36. (23−13i)(12−32i)

   37. 15+4i

   38. 13−4i

   39. 20i1−3i

   3 90,004 10i1−2i

   41. 10−5i3−i

   42. 4−2i2−2i

   43. 5+10i3+4i

   44. 2−4i5+3i

   903−3i+

   42. 45. 04 46. ​​3−i4−5i

   Часть B: Комплексные корни

   Решите путем извлечения корней, а затем решите с помощью квадратичной формулы. Проверить ответы.

   47. x2+9=0

   48. x2+1=0

   49. 4t2+25=0

   50. 9t2+4=0

   51. 4y2+3=0

   9y2+5=0

   53. 3×2+2=0

   54. 5×2+3=0

   55. (x+1)2+4=0

   56. (x+3)2+9= 0

   Решите по квадратичной формуле.

   57. x2−2x+10=0

   58. x2−4x+13=0

   59. x2+4x+6=0

   60. x2+2x+9=0

   61. y2 −6y+17=0

   62. y2−2y+19=0

   63. t2−5t+10=0

   64. t2+3t+4=0

   65. −x2+10x−29=0

   66. −x2+6x−10=0

   67. −y2−y−2=0

   68 −y2+3y−5=0

   69. −2×2+10x−17=0

   70. −8×2+20x−13=0

   71. 3y2−2y+4=0

   72. 5y2− 4y+3=0

   73. 2×2+3x+2=0

   74. 4×2+2x+1=0

   75. 2×2−12x+14=0

   76. 3×2−23x+13=0

   77. 2x(x-1)=-1

   78. x(2x+5)=3x-5

   79. 3t(t-2)+4=0

   80. 5t(t-1) =t−4

   81. (2x+3)2=16x+4

   82. (2y+5)2−12(y+1)=0

   83. −3(y+3)(y−5)=5y+46

   84. −2(y−4) (y+1)=3y+10

   85,9x(x−1)+3(x+2)=1

   86,5x(x+2)−6(2x−1)=5

   87 3(t−1)−2t(t−2)=6t

   88.

   No related posts.