Степени числа 2 все: Степени 2. Степени числа 2. Таблица степеней 2. 2 в степени

2 ^{1 000 000} ≈ 9,623 × 10 ^{301 029}

Аппроксимация этих чисел

Для 131 072:

Источники

1. ↑ Бессмысленный гигантский список чисел — Часть 1 (0 ~ 1 000 000) — Бессмысленные большие числа
2. ↑ Prime Curios!: 536870912
3. ↑ OEIS A137214

Контент сообщества доступен по лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.

Начальные цифры степени двойки

Первая цифра степени двойки является единицей чаще, чем любая другая цифра. Степени двойки начинаются с 1 примерно в 30% случаев. Это потому, что степени числа 2 подчиняются закону Бенфорда. Мы докажем это ниже.

Когда первая цифра числа 2 ⁿ равна k ? Когда 2 ⁿ находится между k × 10 ^p и ( k +1) × 10 ^{p 79 p 90 90 для некоторого положительного целого числа 90. Логарифмируя по основанию 10, мы находим, что это эквивалентно дробной части n log ₁₀ 2, находящейся между log ₁₀ k и log ₁₀ ( k +1).}

Карта

x ↦ (  x + log ₁₀  2 ) mod 1

эргодична. Я писал об иррациональных поворотах несколько недель назад, и это, по сути, то же самое. Вы можете масштабировать x на 2π и думать об этом как о вращении по кругу вместо арифметического мода 1 на интервале.

Многократное умножение на 2 соответствует добавлению log ₁₀ 2 на логарифмической шкале. Таким образом, степени двойки соответствуют итерациям приведенной выше карты, начиная с 9.0579 x = 0. Эргодическая теорема Биркгофа говорит нам, что количество итераций этой карты, попадающих в интервал [ a , b ], равно b – a . Таким образом, для k = 1, 2, 3, … 9 отношение степеней числа 2, начинающихся с k , равно log ₁₀ ( k + 1) – log ₁₀ ( k ). = log ₁₀  (( k + 1) / k ).

Это закон Бенфорда. В частности, доля степеней числа 2, начинающихся с 1, равна log 9.0033 10 (2) = 0,301.

Обратите внимание, что единственная особенность числа 2 заключается в том, что log

[Интерпретация «!» выше как факториал или восклицательный знак, как вам угодно.]

Давайте рассмотрим степени двойки эмпирически, чтобы увидеть закон Бенфорда на практике. Вот простая программа на Python для просмотра первых цифр степени 2.

 count = [0]*10
N = 10000

определение первая_цифра (n):
    вернуть целое (строка (n) [0])

для я в диапазоне (N):
    n = первая_цифра ( 2 ** я )
    количество[n] += 1

распечатать (количество)
 

К сожалению, это работает только для умеренных значений

Вот гораздо более эффективная версия, которая работала примерно за 2 секунды с N = 1 000 000.

 из математического журнала импорта 10
N = 1000000
количество = [0] * 10

определение first_digit_2_exp_e(e):
    г = (log10(2.0)*е) % 1
    для я в диапазоне (2, 11):
        если r < log10(i):
            вернуть я-1
для я в диапазоне (N):
    n = первая_цифра_2_exp_e( я )
    количество[n] += 1

распечатать (количество)
 

Можно повысить эффективность, кэшируя значения log10 , а не пересчитывая их. Это сократило время выполнения примерно до 1,4 секунды. Это хорошее улучшение, но оно не сравнится с улучшением на порядки величины от изменения алгоритмов.

Вот результаты сравнения фактических значений с предсказаниями закона Бенфорда (с округлением до ближайшего целого числа).

 |---------------+--------+-----------|
| Начальная цифра | Фактический | Прогноз |
|---------------+--------+-----------|
| 1 | 301030 | 301030 |
| 2 | 176093 | 176091 |
| 3 | 124937 | 124939 |
| 4 | 96911 | 96910 |
| 5 | 79182 | 79181 |
| 6 | 66947 | 66948 |
| 7 | 57990 | 57992 |
| 8 | 51154 | 51153 |
| 9 | 45756 | 45757 |
|---------------+--------+-----------|
 

Согласие почти слишком хорошее, чтобы поверить, никогда не отличается более чем на 2.