Примеры решения логарифмических уравнений: Логарифмические уравнения. Методы и способы решения

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства. — Решение логарифмических уравнений.

Комментарии преподавателя

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т. е. функ­ции вида  ().

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, при  мо­но­тон­но убы­ва­ет. Имен­но мо­но­тон­ность функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, все осталь­ные ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния сво­дят­ся к про­стей­шим:

ОДЗ за­дан­но­го урав­не­ния опре­де­ля­ет­ся си­сте­мой. Под ло­га­риф­мом может сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное число, имеем:

Мы вы­яс­ни­ли, что функ­ции f и g равны, по­это­му до­ста­точ­но вы­брать одно любое нера­вен­ство чтобы со­б­лю­сти ОДЗ.

Имеем сме­шан­ную си­сте­му. Нера­вен­ство, как пра­ви­ло, ре­шать необя­за­тель­но, до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние и най­ден­ные корни под­ста­вить в нера­вен­ство, таким об­ра­зом вы­пол­нить про­вер­ку.

На­пом­ним ме­то­ди­ку ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний:

Урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов;

При­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские функ­ции;

Вы­пол­нить про­вер­ку.

Чтобы урав­нять ос­но­ва­ния, сле­ду­ет вос­поль­зо­вать­ся свой­ства­ми ло­га­риф­мов.

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов. Здесь :

1.      Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

 (про­из­ве­де­ние  может быть по­ло­жи­тель­ным если  оба от­ри­ца­тель­ные числа, но ис­хо­дя из пра­вой части  стро­го по­ло­жи­тель­ны)

2.       Ло­га­рифм част­но­го:

3.      Ло­га­рифм сте­пе­ни:

4.      Пе­ре­ход к но­во­му ос­но­ва­нию:

 

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние:

Пред­ста­вим пра­вую часть в виде ло­га­риф­ма с тем же ос­но­ва­ни­ем:

Таким об­ра­зом, мы урав­ня­ли ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов. Имеем:

Те­перь имеем право при­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния:

Ответ: 

Дан­ное урав­не­ние можно также ре­шить на ос­но­ва­нии опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма:

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

Решим на ос­но­ва­нии опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма:

Учтем ОДЗ:

По­сколь­ку  (как ос­но­ва­ние ло­га­рим­фа),  боль­ше нуля, и вы­ра­же­ние под ло­га­риф­мом все­гда боль­ше нуля.

Ре­ша­ем урав­не­ние. Пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну:

Раз­ло­жим мно­го­член в левой части на мно­жи­те­ли спо­со­бом груп­пи­ров­ки, пер­вый член объ­еди­ним со вто­рым, тре­тий с чет­вер­тым:

При­ме­ним ко вто­рой скоб­ке фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния, а имен­но раз­но­сти квад­ра­тов:

По­лу­ча­ем корни:

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ: 

Рас­смот­рим урав­не­ние, на при­ме­ре ко­то­ро­го в даль­ней­шем смо­жем из­бе­жать мно­го­чис­лен­ных ти­по­вых оши­бок.

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние:

Ос­но­ва­ния всех ло­га­риф­мов оди­на­ко­вы, в левой части стоит сумма ло­га­риф­мов, со­глас­но свой­ству имеем право пре­об­ра­зо­вать ее в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Необ­хо­ди­мо учесть ОДЗ. Чтобы су­ще­ство­вал каж­дый из за­дан­ных ло­га­риф­мов, скоб­ки ,  и  долж­ны быть стро­го по­ло­жи­тель­ны, тогда как после при­ме­не­ния свой­ства про­из­ве­де­ние будет по­ло­жи­тель­ным, если обе скоб­ки будут от­ри­ца­тель­ны, и новый ло­га­рифм будет су­ще­ство­вать, но при этом ис­ход­ный по­те­ря­ет смысл.

Таким об­ра­зом, имеем си­сте­му:

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ: .

Сле­ду­ю­щее ло­га­риф­ми­че­ское урав­не­ние сво­дит­ся к со­во­куп­но­сти двух про­стей­ших с по­мо­щью за­ме­ны пе­ре­мен­ных.

При­мер 4 – ре­шить урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем так, чтобы урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов:

Ком­мен­та­рий: пре­об­ра­зо­ва­но со­глас­но фор­му­ле 

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли:

Оче­вид­на за­ме­на:

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета имеем корни:

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ре­ша­ем каж­дое урав­не­ние со­глас­но опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Ответ:  или 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние неко­то­рых ти­по­вых ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний.  

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т. е. функ­ции вида  (). Здесь t – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а= кон­крет­ное число, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет (когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти). При  мо­но­тон­но убы­ва­ет (когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от плюс до минус бес­ко­неч­но­сти). Имен­но мо­но­тон­ность функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния (т. к. из ра­вен­ства ло­га­риф­мов по од­но­му ос­но­ва­нию вы­те­ка­ет ра­вен­ство под­ло­га­риф­ми­че­ских вы­ра­же­ний ), все осталь­ные ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ние сво­дят­ся к про­стей­шим:

ОДЗ за­дан­но­го урав­не­ния опре­де­ля­ет­ся си­сте­мой. Под ло­га­риф­мом может сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное число, имеем:

Мы вы­яс­ни­ли, что функ­ции f и g равны, по­это­му до­ста­точ­но вы­брать одно любое нера­вен­ство, чтобы со­б­лю­сти ОДЗ.

Имеем сме­шан­ную си­сте­му. Нера­вен­ство, как пра­ви­ло, ре­шать необя­за­тель­но, до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние и най­ден­ные корни под­ста­вить в нера­вен­ство, таким об­ра­зом вы­пол­нить про­вер­ку.

На­пом­ним ме­то­ди­ку ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний:

Урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов;

При­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские функ­ции;

Вы­пол­нить про­вер­ку.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию при­ме­ров.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние:

От­ме­тим ОДЗ: (т. к. х стоит под ло­га­риф­мом и в ос­но­ва­нии ло­га­риф­ма)

Нам из­вест­но сле­ду­ю­щее свой­ство ло­га­риф­ма:

По­лу­ча­ем:

При­ве­дем по­доб­ные:

Со­кра­тим чис­лен­ный мно­жи­тель

Пре­об­ра­зу­ем со­глас­но опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

При­мер 2 – ре­шить по­ка­за­тель­ное урав­не­ние:

Спо­соб 1 (по опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма):

Спо­соб 2 (про­ло­га­риф­ми­ро­вать обе части):

Ре­ко­мен­да­ция – если неиз­вест­ное на­хо­дит­ся в по­ка­за­те­ле, то часто при­ме­ня­ет­ся такой спо­соб ре­ше­ния. Но нужно об­ра­тить вни­ма­ние на во­прос – можно ли в дан­ном слу­чае ло­га­риф­ми­ро­вать? В за­дан­ном при­ме­ре и левая, и пра­вая части стро­го по­ло­жи­тель­ны, по­это­му имеем право за­пи­сать:

Вы­не­сем по­ка­за­тель сте­пе­ни как со­мно­жи­тель со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма:

Упро­стим:

Спо­соб 3 (урав­нять ос­но­ва­ния в по­ка­за­тель­ном урав­не­нии):

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным ло­га­риф­ми­че­ским тож­де­ством:

При­мер 3 – ре­шить по­ка­за­тель­но-сте­пен­ное урав­не­ние:

Ука­жем ОДЗ: 

Те­перь имеем право про­ло­га­риф­ми­ро­вать обе части. Вы­би­ра­ем ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма 2, т. к. такое ос­но­ва­ние уже пред­став­ле­но в урав­не­нии:

Вы­не­сем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни как со­мно­жи­те­ли:

Упро­стим пра­вую часть:

Вве­дем за­ме­ну пе­ре­ме­ных:

По­лу­ча­ем:

Рас­кро­ем скоб­ки и пе­ре­не­сем все члены в одну сто­ро­ну:

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние, со­глас­но тео­ре­ме Виета, имеем корни:

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ответ:  или 

При­мер 4 – ре­шить урав­не­ние:

ОДЗ: 

Вы­не­сем по­ка­за­тель сте­пе­ни как со­мно­жи­тель, при этом ис­поль­зу­ем мо­дуль, чтобы не ис­ка­зить об­ласть опре­де­ле­ния:

Рас­кро­ем мо­дуль, учи­ты­вая ОДЗ:

При­ве­дем по­доб­ные:

Ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние более слож­ных ти­по­вых ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний.  

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-uravneniy

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-uravneniy-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=TUO9L38-AvA

http://www.youtube.com/watch?v=Tqy69Fik-k4

http://i.ytimg.com/vi/qSOFls26ICY/sddefault.jpg

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90. %D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.varson.ru/images/Analys_jpeg_big/analys_uravneniya6.jpg

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

 

 

Решение логарифмических уравнений — Математика средней школы

• Войти
• Биографии репетитора
• Подготовка к тесту

  СРЕДНЯЯ ШКОЛА

  • ACT Репетиторство
  • SAT Репетиторство
  • Репетиторство PSAT
  • ASPIRE Репетиторство
  • ШСАТ Репетиторство
  • Репетиторство STAAR

  ВЫСШАЯ ШКОЛА

  • Репетиторство MCAT
  • Репетиторство GRE
  • Репетиторство по LSAT
  • Репетиторство по GMAT

  К-8

  • Репетиторство AIMS
  • Репетиторство по HSPT
  • Репетиторство ISEE
  • Репетиторство ISAT
  • Репетиторство по SSAT
  • Репетиторство STAAR

  Поиск 50+ тестов

• Академическое обучение

  репетиторство по математике

  • Алгебра
  • Исчисление
  • Элементарная математика
  • Геометрия
  • Предварительный расчет
  • Статистика
  • Тригонометрия

  репетиторство по естественным наукам

  • Анатомия
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Физиология

  иностранные языки

  • французский
  • немецкий
  • Латинский
  • Китайский мандарин
  • Испанский

  начальное обучение

  • Чтение
  • Акустика
  • Элементарная математика

  прочие

  • Бухгалтерия
  • Информатика
  • Экономика
  • Английский
  • Финансы
  • История
  • Письмо
  • Лето

  Поиск по 350+ темам

• О
  • Обзор видео
  • Процесс выбора наставника
  • Онлайн-репетиторство
  • Мобильное обучение
  • Мгновенное обучение
  • Как мы работаем
  • Наша гарантия
  • Влияние репетиторства
  • Обзоры и отзывы
  • Освещение в СМИ
  • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы по математике для старших классов

8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Справка по математике для средней школы » Алгебра II » Математические отношения и основные графики » Логарифмы » Решение и построение логарифмических уравнений » Решение логарифмических уравнений

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Замените 81 на  , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Как только у вас будет одна и та же база, примените log к обеим сторонам, чтобы вы могли установить экспоненциальные выражения равными друг другу (). Таким образом, .

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Измените левую сторону на  и правую сторону на  , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените log к обеим сторонам, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу (). .

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Измените левую сторону на  и правую сторону на  , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените журнал, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу (). Таким образом, .

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Измените левую сторону на  и правую на  так, чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените журнал, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу (). Таким образом,

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Измените левую сторону на  и правую на  так, чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените log к обеим сторонам, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу (). Таким образом, .

Сообщить об ошибке

Решить для .

возможных ответов:

Правильный ответ:

Объяснение:

 можно упростить до  с . Это дает уравнение:

Вычитание из обеих частей уравнения дает значение для .

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала замените 25 на  , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Как только они будут иметь одинаковую базу, вы можете применить log к обеим сторонам, чтобы вы могли установить их показатели равными друг другу, что дает .

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Замените 49 на  , чтобы обе стороны имели одинаковую базу, чтобы можно было применить бревно. Затем вы можете установить экспоненциальные выражения равными друг другу.

Итак,

Сообщить об ошибке

Решить уравнение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Измените правую часть на  , чтобы обе стороны имели одинаковое значение bsae, равное 10. Примените log, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу

Сообщить об ошибке

Решите уравнение.

возможных ответов:

Правильный ответ:

Объяснение:

Замените 64 на  , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените log к обеим сторонам, чтобы вы могли установить экспоненциальные выражения равными друг другу

.

Таким образом, .

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Посмотреть репетиторов

Григорий
Сертифицированный репетитор

Университет Нового Орлеана, магистр искусств, история.

Посмотреть репетиторов

Лорен
Сертифицированный репетитор

Хьюстонский университет, бакалавр искусств, английский язык.

Посмотреть репетиторов

Дарлин
Сертифицированный репетитор

Государственный университет Николлса, бакалавр искусств, педагогическое образование языковых искусств.

Все ресурсы по математике для старших классов

8 диагностических тестов 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Экспоненциальные и логарифмические функции Решение логарифмических уравнений

Теперь, когда вы решили экспоненциальные уравнения, логарифмические уравнения станут легкой задачей. Мы будем применять обратные логарифмы, чтобы решить их, или, возможно, использовать натуральный логарифм. Мы дадим вам несколько различных способов решения логарифмических уравнений. После того, как вы прошли этот последний раздел, вы можете надеть выпускную шапку. Вы закончили эту главу предварительного исчисления. А теперь иди руби им деревья!

Точно так же, как мы можем использовать обратные экспоненциальные функции для решения уравнений, мы можем проделать тот же процесс с логарифмическими функциями. Если ваша функция выглядит следующим образом:

y = log _b x

Вы можете воспользоваться инверсией этого уравнения, чтобы удалить переменную x из журнала. Это быстро достигается путем взятия основания b и возведения каждой части уравнения в степень b .

y = log _b x
b ^y = b ^{log _b x}
b ^y = x
x = b ^y

Это была бы хорошая подсказка: «Дорогой, я хочу вырвать тебя из этой бревенчатой ​​хижины, подняв тебя до моих сил».

Пример задачи

Решите для x :

6 = log ₂ x

Мы попытаемся получить x сами по себе, возведя каждую часть уравнения в экспоненту с основанием 2.

6 = log ₂ x
2 ⁶ = 2 ^{log ₂ x}
64 = x
x = 64

Sample Problem

Solve for x :

log ₅ ( х + 1) = 6

Нам нужно поднять каждую сторону этого уравнения, используя основание 5.

5 ^{Log ₅ ( x + 1)} = 5 ⁶
x + 1 = 15625
x + 1 = 15625

x + 1 = 15625
x + 1 = 15625
x + 1 = 15625
x + 1 = 15625
x . = 15624

Ура! Мы сделали это! (Ну, мы так или иначе. Мы не знаем о вас.)

Пример задачи

Итак, сколько времени вам понадобится, чтобы расплатиться с этой машиной? Навсегда. Подсчитайте, сколько лет потребуется, чтобы окупить свой новый автомобиль, стоимость которого составила 18 000 долларов, если ваши ежемесячные платежи составляют 200 долларов, а годовая ставка составляет 3,8%. Это уравнение было представлено в нашем разделе «Экспоненциальные деньги».

Here is what we know:

PV = 18000
R = 200
r = 3.8% = 0.038
n = 12
t = ?

Подставив эти значения в:

Сначала разделите каждую сторону на 350, затем упростите больше:

Вычтите 1 из каждой стороны:

Поскольку основание уравнения равно 66,003 журнал обеих сторон, используя эту базу, мы получаем это:

log _1,00316667 0,837143 = log _{1. 00316667} (1,00316667) ^{-12 T}
_{1,003166679
1,00316677
1,00316679
1,00185
667
.
-12 t = log 1,00316667 0,837143}

Помните маленький трюк, которому мы научились вычислять логарифмы (но переключая их на натуральные логарифмы)?

Примерно через 5 лет вы можете окупить этот автомобиль. Так что не начинайте бросать картофель фри между сиденьями, вы будете пытаться сохранить эту машину в хорошем состоянии, чтобы избежать автомобильных тараканов.

Пример задачи

На этот раз мы собираемся комбинировать методы, потому что натуральный бревно НАСТОЛЬКО универсален. Проверьте это…

Решите для x :

Вы заметили, что ( x + 3) вынесено на передний план? Это хороший маленький трюк, использующий одно из свойств логарифмов. Если у вас есть логарифм или натуральный логарифм с показателем степени, вынесите его вперед и умножьте на него.