Примеры решения производная: Примеры решения производных с ответами

Например, продифференцируйте sin

Шаг 1. Сначала запишите sin ⁴ (2𝑥) как [sin(2𝑥 9.0) 1 4 90

Шаг 2. Уменьшите степень и вычтите единицу из степени, сохранив тригонометрическую функцию той же.

Мы опускаем 4 перед скобками, степень становится равной 3, и мы сохраняем sin(2𝑥) внутри скобок, что дает нам 4[ sin(2𝑥) ] ³ .

Шаг 3. Умножить на производную sin(2𝑥). Здесь мы используем цепное правило, поэтому sin(𝑥) — это внешняя функция, которая дифференцируется в cos(𝑥).

Мы оставляем 2𝑥 внутри, чтобы получить cos(2𝑥). Затем мы умножаем это на производную от 2𝑥, которая равна 2.

sin(2𝑥) дифференцировано равно 2cos(2𝑥).

Итак, мы умножаем 4[sin(2𝑥)] ³ на 2cos(2𝑥).

f'(𝑥) = 8sin ³ (2𝑥)cos(2𝑥)

Цепное правило с бревнами

Цепное правило гласит, что для y = ln(u), ^dy / _d𝑥 = ¹ / _u × ^du / _{. Другими словами, дифференцируйте внутреннюю функцию, а затем разделите ее на внутреннюю функцию. Например, если y = ln(𝑥 ² + 3 𝑥 ), ^dy / d𝑥 = (2𝑥 + 3)/( 𝑥 ^{2 90 15 + 3 9001).}}

Производная от y = ln(u) равна ¹ / _u × ^дю / _d𝑥 .

u — это функция внутри функции ln. Для y = ln(𝑥 ² + 3𝑥), u = 𝑥 ² + 3𝑥.

Следовательно, ^du / _d𝑥 = 2𝑥 + 3.

Производная ^dy / _d𝑥 =.

Мы можем записать это как .

Цепное правило позволяет различать функции журнала. Производная y = ln ( f(𝑥) ) может быть записана как:

или .

Чтобы дифференцировать log любого основания, если y = log _a f(𝑥), то .

Например, продифференцируем y = log ₅ (2𝑥 + 1):

Здесь f(𝑥) = 2𝑥 + 1 и, следовательно, f'(𝑥) = 2.

Подставляя их в формулу, получаем :

Правило цепи с экспоненциальными функциями

Производная y = E ^𝑥 — ^DY / _D𝑥 = E ^𝑥 и, следовательно ^{f ( 𝑥 )} is ^dy / _d𝑥 = f'(𝑥

3

Например, дифференцировать e ^5𝑥+3 .

В этом примере f(𝑥) = 5𝑥 + 3 и, следовательно, f'(𝑥) = 5.

Чтобы найти производную от y = e ^5𝑥+3 , просто умножаем на 5.

Получаем ^dy / _d𝑥 = 5 e ^5𝑥+3 .

Применение цепного правила с тремя функциями

Цепное правило можно применять к композиции из трех функций. Если y(𝑥) = h(g(f(x))), то y'(𝑥) = f'( 𝑥 ) . g'(f( 𝑥 )) . h'(g(f( 𝑥))). Однако проще применить цепное правило дважды, чтобы различать три функции.

Например, дифференцировать f(𝑥) = грех ² (5𝑥).

Здесь у нас есть композиция из 3-х функций.

1. Самая внутренняя функция — 5𝑥.
2. Действие на 5𝑥 есть функция sin
3. Наконец, функция sin возводится в степень 2

Мы записываем sin ² (5𝑥) как [sin(5𝑥)] ² .

Мы дифференцируем, используя цепное правило, так что мы дифференцируем внешнюю функцию, оставляя внутреннюю функцию неизменной, а затем умножаем на производную внутренней функции.

Дифференцируя внешнюю квадратичную функцию, сохраняя внутреннюю функцию неизменной, мы получаем 2[sin(5𝑥)]. Сила 2 уменьшилась, мы вычли 1 из мощности и оставили грех (5𝑥) внутри прежним.

Теперь нам нужно умножить это значение на производную внутренней функции sin(5𝑥). Это требует повторного использования цепного правила.

Мы дифференцируем внешнюю функцию sin, чтобы получить cos, и сохраняем внутреннюю функцию 5𝑥 такой же. Получаем cos(5𝑥). Нам нужно умножить это на производную внутренней функции 5𝑥. Мы находим, что производная от sin(5𝑥) равна 5cos(5𝑥).

Теперь мы умножаем предыдущий результат 2[ sin(5𝑥) ] на 5cos(5𝑥), чтобы получить окончательную производную 10sin(5𝑥)cos(5𝑥).

Примеры правил цепи с решениями

Вот несколько примеров использования правила цепи для дифференциации различных функций:

Когда использовать цепное правило

Цепное правило используется для дифференцирования любой сложной функции вида y = f(g(𝑥)). Это функция, которая имеет внутреннюю функцию с внешней функцией, примененной к ней. Например, у = (3 𝑥 + 2) ⁵ состоит из функций g( 𝑥) = 3 𝑥 + 2 и f( 𝑥 ) = 𝑥 ⁵ .

Вот несколько примеров того, когда и когда не следует использовать цепное правило:

Пример	Должен ли я использовать цепное правило?	Почему?
y = (3𝑥+2) 5	Да	Внутренняя функция 3𝑥+2, а внешняя функция 𝑥 5 .
y = 𝑥 5	Нет	Есть только одна функция 𝑥 5 . Его можно дифференцировать напрямую.
y = (𝑥+3) sin(𝑥)	Нет	Это произведение двух функций. Используйте правило произведения.
y = sin(2𝑥+1)	Да	Внутренняя функция 2𝑥+1, а внешняя функция sin(𝑥)
y = 1 (9001+5) +5)	Нет	Это дробь с функцией числителя и знаменателя. Используйте правило отношения.
y = ln(𝑥 4 -𝑥)	Да	Внутренняя функция 𝑥 4 -𝑥. Внешняя функция — это ln(𝑥).
y = e 2𝑥	Да	Внутренняя функция равна 2𝑥, а внешняя функция равна e 𝑥 .

Доказательство цепного правила

Чтобы доказать цепное правило, рассмотрим ^dy / _dx как предел

^dy / 0059 Δ ^y / _Δ𝑥 как 𝑥 стремится к нулю. Это может быть написано в виде ограничений ^{Δ Y} / _ΔU × ^{Δ U} / _{Δ . Оценивая эти пределы как 𝑥 и u, стремящиеся к нулю, мы получаем цепное правило как ^dy / d 𝑥 = ^dy / DU × ^DY / D 𝑥 339..}

Чтобы доказать цепное правило:

1. Запишите ^dy / _d𝑥 как предел ^Δy / 9001 как _{Δ07s стремящийся к нулю}
2. Запишите предел ^Δy / _Δ𝑥 как ^Δy / _Δu × ^Δu / _Δ𝑥 . Δu — это просто число, так что это можно сделать.
3. Разделите предел на 2 предела: ^Δy / _Δu и ^Δu / _Δ𝑥 .
4. Поскольку Δ𝑥 стремится к 0, то же самое происходит и с Δu.
5. Оцените оба предела, чтобы получить ^dy / _d𝑥 = ^dy / _du × ^du / _d𝑥 .

Решения дифференциальных уравнений: примеры

Было бы неплохо иметь решение всех ваших задач? Или, по крайней мере, ваши математические проблемы? Как насчет задач с дифференциальными уравнениями? К сожалению, вы даже не можете найти решения всех видов дифференциальных уравнений. Однако здесь можно найти как минимум несколько видов решения дифференциальных уравнений .

Проверка решений дифференциальных уравнений

Начнем с того, как проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения. Предположим, вам дано дифференциальное уравнение

\[ y’ = f(x,y),\]

, и кто-то говорит вам, что функция \(y(x)\) является решением уравнения. Как вы видите, правы ли они?

Чтобы убедиться, что \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения \(y’=f(x,y)\), вычислить \(y'(x) — f(x, y(x ))\) и посмотрите, получите ли вы \(0\). Если да, то \(y(x)\) является решением. 92 — 4x — 4 }\right) \\ &= 0.\end{align}\]

Следовательно, \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения.

Что делать, если вы хотите получить представление о том, как выглядит решение, не решая дифференциального уравнения?

Графики решений дифференциальных уравнений

Есть два основных метода, которые можно использовать, чтобы получить представление о том, как выглядит решение дифференциального уравнения и как оно ведет себя, не решая его.

• Если вам нужна численная аппроксимация, вы можете использовать метод Эйлера.

• Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать поведение решений.

В статьях по этим темам будет много примеров построения графиков решений. Если вы действительно можете решить дифференциальное уравнение, вы можете построить график общего решения. Если назвать это «общим решением», это будет звучать как единственное решение, но на самом деле это семейство функций. Поведение решения зависит от того, где начинается решение (также называемое начальным условием). Дополнительные сведения по этой теме см. в разделе Общие решения дифференциальных уравнений.

Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P( x)y=Q(x),\]

, где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — функции.

Частный случай этого — когда \(P(x)\) и \(Q(x)\) являются константами, поэтому линейное уравнение первого порядка можно записать как

\[ \frac{\mathrm{d }y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]

Затем

\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]

— решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

При решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка используется интегрирующий коэффициент, и в статьях «Линейные дифференциальные уравнения» и «Неоднородные линейные уравнения» есть множество примеров.

Экспоненциальные решения дифференциального уравнения

Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами — это почти единственный класс дифференциальных уравнений, для которых гарантировано экспоненциальное решение. Однако это не означает, что другие дифференциальные уравнения не могут иметь в своих решениях экспоненциальные функции. Давайте посмотрим на пример. 92 — 6r + 8 = 0.\]

Это делит на \( (r-2)(r-4) = 0\), которое имеет решения \(r=2\) и \(r=4\) , который оказался в показателях решения! Такие вещи, как характеристические многочлены и линейные дифференциальные уравнения второго порядка, — это некоторые из вещей, о которых вы узнаете, если будете посещать занятия по дифференциальным уравнениям.

Равновесные решения дифференциальных уравнений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют равновесное решение.

Равновесный раствор \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка — это такое, которое удовлетворяет условию \(y'(x)\equiv 0\).

Одним из известных дифференциальных уравнений, имеющих не одно, а два равновесных решения, является логистическое уравнение,

\[P’ = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\]

Итак, теперь у вас есть два равновесных решения и общее решение! Как узнать, какой из них правильный? Ну, технически они все верны. Они составляют набор функций, которые решают дифференциальное уравнение. Если бы вам были даны начальные значения, вы могли бы либо выбрать одно из равновесных решений, либо найти \(B\) в общем решении, чтобы получить конкретное решение.

Чтобы увидеть пример дифференциального уравнения, которое может иметь одно, ни одного или бесконечное множество решений в зависимости от начального значения, см.

Решение

Во-первых, давайте определимся, что это за переменные. Конечно, одним из них будет время, а другим — температура, но вам нужно выяснить, какая из них является независимой переменной, а какая — зависимой. Поскольку температура пиццы зависит от времени, это означает, что время является независимой переменной, а температура — зависимой переменной. Задав каждому из них переменную, пусть

• \(t\) — время с момента выхода из духовки; и
• \(y(t)\) — температура с момента выхода из духовки.

Теперь нужно выяснить, какое уравнение моделирует эту ситуацию. Закон охлаждения Ньютона вам в помощь! Помните, что для охлаждения объекта (в данном случае ваша пицца охлаждается до комнатной температуры) скорость изменения температуры определяется как константа, умноженная на разницу между текущей температурой и комнатной температурой.

\[y'(t) = k(y(t) — 70),\]

где \(k\) — постоянная охлаждения.

Вам все еще нужно начальное значение, чтобы завершить это как дифференциальное уравнение.

Каково начальное значение? Это температура на выходе из духовки, поэтому \(y(0) = 375\). Итак, чтобы завершить дифференциальное уравнение как задачу с начальным значением,

\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) — 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\ ]

где \(k\) — постоянная охлаждения. 9\circ\) перед едой. Как долго вам придется ждать?

Решение

В предыдущем примере вы видели, как составить это дифференциальное уравнение и найти равновесное решение, и вы обнаружили, что

\[\begin{align} &y'(t) = k(y( t) — 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\]

где \(k\) — постоянная охлаждения. Давайте опираться на эту информацию.

Это хорошее разделимое уравнение, и запись его в разделимой форме даст вам

\[ \frac{1}{y-70}y’ = k.\]

Тогда интегрирование обеих частей по \(t\) дает

\[ \ln |y-70| = kt+C. \]

Вы можете либо использовать информацию, приведенную в задаче, чтобы сначала найти \(k\) и \(C\), либо найти явное решение, а затем найти константы. В любом случае вы получите один и тот же ответ.

Если вы подставите начальное условие \(y(0) = 375\), вы получите

\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]

поэтому \( C = \ln 305\). 9\circ\), но вы его не использовали. Переводя это в переменные, \(y(5) = 350\). Подставив его вместе с \(C\) в уравнение, вы получите

\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\]

Другими словами,

\[ \begin{align} 5k &= \ln |350-70| — \ln 305 \\ &= \ln 280 — \ln 305 \\ &= \ln \frac{280}{305}, \end{align}\]

, поэтому

\[k= \frac{1 }{5} \ln \frac{280}{305} .\]

Тогда, сложив все вместе, мы получим решение задачи с начальным значением: 9\круг\). Поэтому вместо того, чтобы искать явное решение, просто подключите температуру и определите время. Это означает

\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]

, поэтому

\[ \ln 230 — \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]

, что означает

\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \приблизительно 16.