Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа  Расстояние между двумя точками на прямой§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4.  Общее уравнение прямой и его частные случаи5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3.  Понятие об определителях высших порядков§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2.  Равенство матриц. Действия над матрицами3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3.  Прямая и плоскость в пространстве2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7.  Понятие о гиперболических функцияхГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Дифференцируемость функции 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2.  Механический смысл второй производной§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4.  Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5.  Метод неопределенных коэффициентов6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле 2. Вычисление площади в полярных координатах 3.  Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4.  Точки разрыва5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4.  Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2.  ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7.  Особые решения8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6.  ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
20.4. Приложения тройных интегралов
ОбъемОбластиВыражается формулой
(20.12)
В сферических координатах этот интеграл имеет вид
(20.13)
А в цилиндрических координатах
Если тело занимает объемИ- плотность его в — точке
, то масса тела равна
(20.15)
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам
(20.16)
Где— масса тела.
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определяются интегралами
Момент инерции тела относительно оси Ои определяется интегралом
Где— расстояние точкиТела от осиВ частности, моменты инерции
Тела относительно координатных осейОпределяются формулами
(20.
17)
Момент инерции тела относительно начала координат определяется формулой Очевидно, верны следующие соотношения:
Ньютоновым потенциалом тела в точкеНазывается интеграл
(20.18)
Где— объем тела,- плотность тела,
Материальная точка массыПритягивается телом с силой, проекции которой На оси координатРавны:
Пример 20.9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Данное тело ограничено сферами радиусовИЦентрами в начале координат и конусом с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Оно расположено над плоскостьюСечение этого тела плоскостьюИзображено на рис. 20.3.
Для вычисления объема тела перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Уравнение сферыПримет видТак как
Аналогично преобразуется уравнение второй сферы. Уравнение конусаПримет видПотому что
Откуда
По формуле (20.13) находим
Пример 20.10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Рис. 20.
3 Рис. 20.4
Данное тело ограничено сферойИ параболоидом вращения
; сечение тела плоскостьюИзображено на рис. 20.4. Для вычисления объема тела перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (20.7). В цилиндрических координатах получаем(уравнение сферы),
(уравнение параболоида). Отметим, что при постоянных значенияхИВнутри тела z изменяется от(для точкиПересечения с поверхностью параболоида)
До(для точкиПересечения с верхней частью поверхности сферы).
При постоянномИзменяется от 0 (для точек, лежащих на оси) до наибольшего значения в точках линии пересечения данных поверхностей, так как с возрастаниемДля поверхности параболоида возрастает, а для шара убывает (что видно из уравнений поверхностей). Для линии пересечения поверхностей ИИмеемОткуда
(второй корень дает мнимые значения для р). Следовательно, для точек линии пересеченияВнутри тела р изменяется от 0 до. Заметив еще, что
Ф изменяется от 0 до 2тс, по формуле (20.14) получим
Пример 20.
11. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
При наличии выраженияВ уравнении поверхности по
Лезен переход к обобщенным сферическим координатам по формулам (20.11). Якобиан в этом случае равен
Уравнение данной поверхности в новых координатах примет вид(ибо
, поэтому
Для данного телаИзменяется от 0 до 1. Заметив, чтоПо
Формуле (20.6) получим
Итак,В частном случае, приПолучаем объем ша
Ра
Замечание. Поскольку эллипсоидсимметричен относительно координатных плоскостей, то можно найти объемЧасти данного тела. При вычислении интеграла нужно иметь в виду, что в этом случае
От предыдущих.
Пример 20.12. Найти массу шараЕсли плотность в
Каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат.
Пусть- произвольная точка данного шара, тогда ее расстояниеДо
Начала координат выражается формулойПоэтому плотностьВ
Соответствиис условием задачи определяется формулой
, где- коэффициент пропорциональности.
По
Формуле (20.15) имеем
Где областьОтраничена сферойДля вычисления данного
Интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Подынтегральная функция, а уравнение сферы примет вид
По формуле (20.10) находим
Пример 20.13. Найти центр тяжести шара если плотность в каждой точке его обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.
Воспользуемся формулами (20.16). Масса m была определена в предыдущей задаче (см. пример 20.12). Из соображений симметрии следует, чтоНайдем
Замечание. КоординатыМожно получить с помощью
Первых двух формул (20.16).
Следовательно,
Пример 20.14. Вычислить момент инерции однородного куба относительно одного из его ребер.
Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в одной из вершин куба, а оси направим вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер. Обозначим черезРебро куба и найдем его момент инерции относительно оси воспользовавшись третьей из формул (20.17). Так как куб является однородным, то в указанных формулах можно положить:
Гпава 21
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Тройное интегрирование в декартовых координатах
Все вычисления 3 Ресурсы
6 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 34 35 Следующая →
Исчисление 3 Помощь » Множественная интеграция » Тройные интегралы » Тройное интегрирование в декартовых координатах
Вычислить следующий интеграл
, где
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Отчет
.
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение формы
,
эквивалентно интегралу формы
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования. Например
Учитывая наш интеграл:
,
Подход просто для того, чтобы сделать его шаг за шагом:
Отчет о ошибке
Найдите значение тройного интеграла,
:
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение вида
,
эквивалентно интегралу вида
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования. Например,
Учитывая наш интеграл:
,
Подход заключается в простом выполнении шаг за шагом:
Отчет о ошибке
Найдите значение тройного интеграла,
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение формы
,
эквивалентно интегралу формы
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования.
Например,
Учитывая наш интеграл:
,
Подход просто для того, чтобы сделать его шаг за шагом:
Отчет о ошибке
Найдите значение тройного интеграла,
9000
0017 Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение формы
,
эквивалентно интегралу формы
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования. Например
Учитывая наш интеграл:
,
Подход заключается в простом выполнении шаг за шагом.
Но сначала мы должны рассмотреть порядок, в котором мы хотим интегрироваться; эти термины и термины перед показателем степени пугают. Давайте посмотрим, сможем ли мы исключить некоторые из них, интегрировав их по отношению к на начальном этапе:
Это уже выглядит более управляемым. Однако теперь у нас есть и перед показателем степени, и мы должны решить, какой из них выбрать для следующего интегрирования. Напомним, что . Интегрирование по было бы лучшим способом исключить члены перед показателем степени:
Наконец, у нас остался (относительно) более простой интеграл:
Внимательное отношение к порядку интегрирования может значительно облегчить работу (относительно).
Сообщить об ошибке
Найти значение тройного интеграла ,
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение вида
,
эквивалентно интегралу вида
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования. Например,
Учитывая наш интеграл:
,
Подход состоит в том, чтобы просто делать это шаг за шагом; однако, чтобы облегчить задачу интеграции, было бы разумно начать с интеграции в отношении:
Это сработало очень хорошо с точки зрения избавления от некоторых терминов в начале; давайте снова воспользуемся этим трюком и возьмем интеграл по следующему:
. Остается относительно простой интеграл по отношению к:
Внимательное отношение к порядку интегрирования может немного упростить сложную задачу.
Сообщить об ошибке
Найти значение тройного интеграла ,
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Интегральное выражение формы
,
эквивалентно интегралу формы
Где самый внутренний интеграл соответствует самой внутренней производной переменной, а самый внешний интеграл соответствует самой внешней переменной.
Следует отметить, что порядок выполнения интегрирования не имеет значения, поскольку каждая переменная будет интегрироваться независимо, а остальные будут рассматриваться как константы для целей интегрирования. Например
Учитывая наш интеграл:
,
. Подход просто для того, чтобы сделать его шаг за шагом:
Отчет о ошибке
Возможные ответы:
.
Объяснение:
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 34 35 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы исчисления 3
3 9 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Как решить несколько интегралов в Excel.
Как решить несколько интегралов в Excel. QUADF может быть вложен для вычисления нескольких интегралов любого порядка.
Это позволяет индивидуально управлять каждым вложенным интегралом, например, выбором алгоритма. Чтобы проиллюстрировать процесс, рассмотрим интеграл по объему:
∫ab∫ly(x)uy(x)∫lz(x,y)uz(x,y)fx,y,z dzdydx
Общие шаги, необходимые для выполнения вышеуказанного интеграла, следующие:
Выберите переменные интегрирования. Например, X1, Y1, Z1 и определите формулы для подынтегральной функции f(x,y,z) и функции ограничения l z (x,y) , l y (x) , u z (x,y) , и u y в терминах 30 выбранных переменных. Вы также можете передавать выражения для функций лимитов непосредственно в параметры для QUADF формул, как показано в примерах.
В ячейку (например, A1 ) введите формулу
QUADFдля самого внутреннего интеграла.Во вторую ячейку (например, A2) введите формулу
QUADFдля среднего интеграла и укажите A1 для подынтегральной функции.В третью ячейку (например, A3) введите
QUADF.формулу для внешнего интеграла и указать A2 для подынтегральной функции. Оцените A3 , чтобы вычислить тройной интеграл.
Примеры
Свернуть все примеры
Пример 1: Вычисление двойного интеграла
Решение
Мы используем X1, Y1 в качестве переменных интегрирования. Формула подынтегрального выражения определена в A1, а вложенные формулы внутреннего и внешнего интегрирования — в A2 и A3 соответственно.
При оценке ячейки A3 вычисляется результат двойного интеграла.
| А | |
| 1 | =EXP(-X1-Y1) |
| 2 | = КВАДФ(A1,Y1,0,1-X1) |
| 3 | =КВАДФ(A2,X1,0,1) |
⇒
| А | |
| 1 | 1 |
| 2 | 0,632120559 |
| 3 | 0,264241118 |
Пример 2.
Вычисление несобственного двойного интеграла с бесконечными пределами 90 450
Решение
Мы используем X1, Y1 в качестве переменных интегрирования. Формула подынтегрального выражения определена в A4, а вложенные формулы внутреннего и внешнего интегрирования — в A5 и A6 соответственно. При оценке ячейки A6 вычисляется результат двойного интеграла.
| А | |
| 4 | =EXP(-X1-2*Y1) |
| 5 | = КВАДФ(A4,Y1,X1,»inf») |
| 6 | =QUADF(A5,X1,0,»inf») |
⇒
| А | |
| 4 | 1 |
| 5 | 0,5 |
| 6 | 0,1666666667 |
Пример 3: Вычисление тройного объемного интеграла
Решение
Мы используем X1, Y1 и Z1 в качестве переменных интегрирования.